第1章-概述-MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真-教學(xué)課件

第1章概述1.1控制系統(tǒng)簡介1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第1章概述1.1控制系統(tǒng)簡介1.1控制系統(tǒng)簡介1.1.1控制理論的發(fā)展進(jìn)入20世紀(jì)以來,現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對自動控制的精度、速度和適應(yīng)能力的要求越來越高,從而推動了自動控制理論和控制技術(shù)的迅速發(fā)展。特別是20世紀(jì)60年代以來,計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展,奠定了自動控制理論和控制技術(shù)的物質(zhì)基礎(chǔ)。于是,現(xiàn)代控制理論逐步形成了一門現(xiàn)代科學(xué)分支。1.1控制系統(tǒng)簡介1.1.1控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展過程是由簡單到復(fù)雜、由量變到質(zhì)變的辯證發(fā)展過程。從發(fā)展的不同階段來看,控制理論的發(fā)展大致經(jīng)歷了經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個(gè)階段。經(jīng)典控制理論主要研究簡單的單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng),所涉及的系統(tǒng)大多是線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng),即使是用于解決非線性系統(tǒng)問題的相平面法，也只能處理兩個(gè)狀態(tài)變量的情況。常接觸到的系統(tǒng),如電機(jī)的位置和速度控制、冶煉爐的溫控系統(tǒng)都被簡化成SISO線性定常系統(tǒng)來處理?？刂评碚摰陌l(fā)展過程是由簡單到復(fù)雜、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的常用方法包括頻域法、根軌跡法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、期望對數(shù)頻率特性綜合等。這些方法在精確度、準(zhǔn)確度不高的情況下是完全適用的。經(jīng)典控制理論是與生產(chǎn)過程的局部自動化相適應(yīng)的,具有明顯的依靠手工進(jìn)行分析和綜合的特點(diǎn)。這個(gè)特點(diǎn)是與40~50年代生產(chǎn)發(fā)展的狀況以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展水平尚處于初期階段密切相關(guān)的?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的常用方法包括頻域法、1.1.2經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論對SISOLTI系統(tǒng)的分析和綜合是有成效的。它主要以Laplace變換和Z變換為數(shù)學(xué)工具,用傳遞函數(shù)方法描述系統(tǒng)的動態(tài)特性,用頻域響應(yīng)、根軌跡分析和極點(diǎn)配置等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論主要有以下特點(diǎn)：（1）經(jīng)典控制理論本質(zhì)上是一種頻域方法,它以系統(tǒng)的輸出輸入特性作為研究的依據(jù),著眼于系統(tǒng)的輸出；而現(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是一種時(shí)域方法,它是建立在狀態(tài)變量描述方法的基礎(chǔ)上的。1.1.2經(jīng)典控制理論（2）經(jīng)典控制理論是在一類特定的輸入情況下分析輸出的響應(yīng)。在綜合問題上,是根據(jù)給定的某種指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的校正網(wǎng)絡(luò)的。（3）經(jīng)典控制理論的控制器即校正裝置,是由能實(shí)現(xiàn)典型控制規(guī)律的調(diào)節(jié)器構(gòu)成的。而現(xiàn)代控制理論的控制器則是能實(shí)現(xiàn)任意控制規(guī)律的數(shù)字機(jī)。（4）經(jīng)典控制理論的基本內(nèi)容有時(shí)域法、頻域法、根軌跡法、描述函數(shù)法、相平面法、代數(shù)與幾何判據(jù)、校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等,研究的主要問題是穩(wěn)定性問題。（2）經(jīng)典控制理論是在一類特定的輸入情況1.1.3現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)為數(shù)學(xué)工具,用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng)內(nèi)部的動力學(xué)性能,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性、能觀性等問題,用極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)方塊等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,主要有以下特點(diǎn)：（1）現(xiàn)代控制理論是以多變量、線性及非線性系統(tǒng)為研究對象的。在近代的工業(yè)過程控制、飛行器控制等許多領(lǐng)域中,被控對象變得日益復(fù)雜,其中包括了多變量耦合問題、參數(shù)時(shí)變問題和非線性問題。現(xiàn)代控制理論正是為了處理這樣的復(fù)雜控制系統(tǒng)而發(fā)展起來的。1.1.3現(xiàn)代控制理論（2）現(xiàn)代控制理論以時(shí)域中的狀態(tài)空間方法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,并在此基礎(chǔ)上對系統(tǒng)進(jìn)行各種定性和定量的分析以及希望的控制規(guī)律設(shè)計(jì)。（3）現(xiàn)代控制理論以現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法為主要分析手段,如線性代數(shù)、微分方程和微分幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論在最優(yōu)控制、非線性系統(tǒng)的控制問題中都有廣泛的應(yīng)用,甚至像模糊數(shù)學(xué)、混沌及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等最新的數(shù)學(xué)方法也已經(jīng)在許多控制領(lǐng)域得到應(yīng)用。（2）現(xiàn)代控制理論以時(shí)域中的狀態(tài)空間方法（4）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究是以計(jì)算機(jī)為主要計(jì)算和分析工具的,計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展極大地促進(jìn)了控制理論研究的廣泛應(yīng)用與推廣。（5）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究對象還包括沒有或不能用精確數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的廣泛意義上的非線性系統(tǒng),其中諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、自適應(yīng)控制等先進(jìn)控制技術(shù)已成功應(yīng)用到衛(wèi)星、航天等大系統(tǒng)的控制中。現(xiàn)代控制技術(shù)能夠處理復(fù)雜非線性、相互耦合、外界干擾、多輸入多輸出、參數(shù)時(shí)變等復(fù)雜對象,研究的范圍與經(jīng)典控制理論相比有了極大的擴(kuò)展。（4）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究是以計(jì)算機(jī)為主1.1.4控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)是一門以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析的技術(shù)。大部分從事科學(xué)研究和工程應(yīng)用的技術(shù)人員常常遇到并為之困擾的是,當(dāng)計(jì)算涉及矩陣運(yùn)算或畫圖時(shí),利用FORTRAN和C語言進(jìn)行程序設(shè)計(jì)是一件比較麻煩的事情。不僅需要對所利用的算法有深刻的了解,還需要熟練掌握程序語言的編程方法。有時(shí)這種編程并不是一件容易的事情。1.1.4控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)從事控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的技術(shù)人員則常常會為系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)帶來的巨大、繁瑣的計(jì)算工作量而苦惱。例如,在進(jìn)行校正器設(shè)計(jì)時(shí),經(jīng)常需要繪制系統(tǒng)對數(shù)頻率響應(yīng)曲線；在采用根軌跡方法配置系統(tǒng)期望極點(diǎn)時(shí),也需要首先繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。而如果借助計(jì)算機(jī)本身強(qiáng)大的計(jì)算和繪圖功能,這些問題都可以很容易地解決,從而極大地提高了系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的效率。從事控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的技術(shù)人員則常控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件包是從20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的,最初是由英國的H.H.Rosenbrock學(xué)派將線性單變量控制系統(tǒng)的頻域理論推廣到多變量系統(tǒng),隨后Manchester大學(xué)的控制系統(tǒng)中心完成了該系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件包；日本的古田勝久主持開發(fā)的DPACS―F軟件,在處理多變量系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)上也很有特色。同時(shí),國際自動控制領(lǐng)域的一些學(xué)者用狀態(tài)空間法發(fā)展了多變量系統(tǒng)控制理論,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件上提供了命令式的人機(jī)交互界面,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真中給設(shè)計(jì)者以充分的主動權(quán)?？刂葡到y(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件包是從21.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.2.1概述MATLAB6.X控制產(chǎn)品集支持控制設(shè)計(jì)過程的每一個(gè)環(huán)節(jié),可以用于不同的領(lǐng)域，如汽車、航空航天、計(jì)算機(jī)和通訊等領(lǐng)域。MathWorks提供的控制產(chǎn)品集,提供了如下能力：使用MATLAB高級編程語言,只需花很短的時(shí)間就可以開發(fā)出控制算法、強(qiáng)大的繪圖能力以對數(shù)據(jù)、方程和結(jié)果進(jìn)行顯示,如根軌跡、Bode圖、響應(yīng)和譜等。1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.2與控制相關(guān)的工具箱涵蓋了許多前沿的控制設(shè)計(jì)方法,從LQG和根軌跡到H∞和模糊邏輯。MATLAB語言提供的圖形界面使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析更加方便。如ControlSystemToolbox中包含了一個(gè)根軌跡設(shè)計(jì)工具,用于補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)；一個(gè)LTI觀察器,用于分析時(shí)域和頻域的響應(yīng)。使用框圖式動態(tài)系統(tǒng)仿真工具Simulink可以方便地建立控制系統(tǒng)原型和控制對象模型,通過仿真不斷地優(yōu)化和改善你的設(shè)計(jì)。無論是離散的、連續(xù)的、條件執(zhí)行的、多采樣的或混雜的系統(tǒng),Simulink都是描述動態(tài)系統(tǒng)模型的最佳工具。與控制相關(guān)的工具箱涵蓋了許多前沿的控結(jié)合有限狀態(tài)機(jī)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和流程圖多種技術(shù)手段,Stateflow使用戶能夠建立復(fù)雜響應(yīng)式系統(tǒng)的清晰、簡明的描述。通過Simulink和Stateflow,可以在單一的集成環(huán)境下對包括頂層控制邏輯、物理對象和控制器的整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真。RealTimeWorkshop和StateflowCoder直接從Simulink模型和Stateflow圖中生成高質(zhì)量的代碼,并自動地編譯、鏈接和下載可執(zhí)行文件到目標(biāo)處理器上。通過將MathWorks代碼生成工具與先進(jìn)的實(shí)時(shí)系統(tǒng)集成,用戶可以快速、方便地實(shí)現(xiàn)快速控制原型,實(shí)時(shí)地仿真和分析自己的設(shè)計(jì)。結(jié)合有限狀態(tài)機(jī)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和流程圖1.2.2控制系統(tǒng)工具箱簡介控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）是MATLAB軟件包中專門針對控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的函數(shù)和工具的集合。該工具箱主要采用M文件形式，提供了豐富的算法程序以完成一般控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、分析和建模。1.2.2控制系統(tǒng)工具箱簡介控制系統(tǒng)工具箱主要用于反饋控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)和仿真,所涉及的領(lǐng)域涵蓋經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的大部分內(nèi)容,包括根軌跡、極點(diǎn)配置和LQG（線性二次最優(yōu)）控制器設(shè)計(jì)等。另外，還提供了友好的圖形界面環(huán)境（GUI），大大簡化了控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)過程?？刂葡到y(tǒng)工具箱主要用于反饋控制系統(tǒng)的通過控制系統(tǒng)工具箱,用戶可以創(chuàng)建線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)-增益模型或狀態(tài)空間模型。既可以操作連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),也適用于離散時(shí)間系統(tǒng),并且可以實(shí)現(xiàn)不同模型間的相互轉(zhuǎn)換。用戶還能夠輕松繪制系統(tǒng)的時(shí)域或頻域響應(yīng)和開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖。其中的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)函數(shù)能夠快速完成系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)等。MATLAB本身提供的開放式環(huán)境可以讓用戶通過M文件建立自己的控制模型和控制算法。通過控制系統(tǒng)工具箱,用戶可以創(chuàng)建隨著MATLAB的發(fā)展,控制系統(tǒng)工具箱本身也得到不斷升級。隨MATLAB6.1一起發(fā)行的是最新的ControlSystemToolbox5.1,它的主要組成和特點(diǎn)包括：(1)LTI觀測器（LTIViewer）,用于分析和仿真LTI系統(tǒng)的交互式圖形環(huán)境。(2)單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具（SISODesignTool）,用于SISO系統(tǒng)分析和仿真的交互式圖形環(huán)境。(3)可以控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域繪圖屬性,例如曲線顏色和類型等。隨著MATLAB的發(fā)展,控制系統(tǒng)工(4)采用專門的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示系統(tǒng)的各類模型,稱之為LTI對象。(5)支持MIMO系統(tǒng)、連續(xù)時(shí)間和采樣系統(tǒng)、具有時(shí)間延遲的系統(tǒng)。(6)用戶復(fù)雜框圖操作的函數(shù)和運(yùn)算,例如串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接等。(7)可以采用不同方法實(shí)現(xiàn)連續(xù)-離散模型之間的轉(zhuǎn)換。

(4)采用專門的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示系統(tǒng)的(8)通常只需要一條指令即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的時(shí)域和頻域仿真。(9)大量基于經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具,例如根軌跡設(shè)計(jì)、極點(diǎn)配置和LQR/LQG最優(yōu)設(shè)計(jì)等。(8)通常只需要一條指令即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)1.2.3Simulink4.1產(chǎn)品介紹Simulink4.1（如圖1.1所示）是用來建模、分析和仿真各種動態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境,包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混雜系統(tǒng)。Simulink提供了采用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互界面。通過Simulink提供的豐富的功能塊,可以迅速地創(chuàng)建系統(tǒng)的模型,不需要書寫一行代碼。Simulink還支持Stateflow,用來仿真事件驅(qū)動過程。1.2.3Simulink4.1產(chǎn)品介紹圖1.1Simulink中的庫瀏覽器圖1.1Simulink中的庫瀏覽器1.交互建模Simulink提供了大量的功能塊以方便用戶快速地建立動態(tài)系統(tǒng)模型。建模時(shí)只需使用鼠標(biāo)拖放庫中的功能塊并將它們連接起來。你可以通過將塊組成子系統(tǒng)來建立多級模型。對塊和連接的數(shù)目沒有限制。2.交互仿真Simulink框圖提供了交互性很強(qiáng)的非線性仿真環(huán)境?？梢酝ㄟ^下拉菜單執(zhí)行仿真,或使用命令行進(jìn)行批處理。仿真結(jié)果可以在運(yùn)行的同時(shí)通過示波器或圖形窗口顯示。有了Simulink,可以在仿真的同時(shí),采用交互或批處理的方式,方便地更換參數(shù)來進(jìn)行“Whatif”分析。1.交互建模3.能夠擴(kuò)充和定制Simulink的開放式結(jié)構(gòu)允許用戶擴(kuò)展仿真環(huán)境的功能：（1）用MATLAB、FORTRAN和C代碼生成自定義塊庫,并擁有自己的圖標(biāo)和界面。（2）將用戶原有FORTRAN或C語言編寫的代碼連接進(jìn)來。4.與MATLAB和工具箱集成由于Simulink可以直接利用MATLAB的數(shù)學(xué)、圖形和編程功能,用戶可以直接在Simulink下完成諸如數(shù)據(jù)分析、過程自動化、優(yōu)化參數(shù)等工作。工具箱提供的高級的設(shè)計(jì)和分析能力可以通過Simulink的屏蔽手段在仿真過程中執(zhí)行。3.能夠擴(kuò)充和定制5.專用模型庫（Blocksets）Simulink的模型庫可以通過專用元件集進(jìn)一步擴(kuò)展。DSPBlockset可以用于DSP算法的開發(fā)。FixedPointBlockset擴(kuò)展了Simulink,用于建立和模擬數(shù)字控制系統(tǒng)和數(shù)字濾波器。MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊如表1.1所示。5.專用模型庫（Blocksets表1.1MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊表1.1MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模1.2.4其它控制相關(guān)產(chǎn)品MATLAB中的控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）主要是運(yùn)用經(jīng)典控制理論（包括時(shí)域和頻域方法）處理線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的函數(shù)集合。除了ControlSystemToolbox,MathWorks公司還在MATLAB6.X軟件包中集成了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的其它相關(guān)工具箱和軟件包,這些工具箱有的是作為ControlSystemToolbox的補(bǔ)充,有的是獨(dú)立的軟件包,主要以控制系統(tǒng)為研究對象。1.2.4其它控制相關(guān)產(chǎn)品借助這些工具箱和軟件包,用戶可以完成諸如系統(tǒng)辨識、系統(tǒng)建模、仿真以及魯棒控制、模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)。所包含的內(nèi)容幾乎涉及到現(xiàn)代控制理論的所有內(nèi)容,使MATLAB廣泛運(yùn)用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和制造的各個(gè)領(lǐng)域。關(guān)于這些工具箱和軟件包的簡要說明如表1.2所示。借助這些工具箱和軟件包,用戶可以完成隨著控制理論和控制工程的不斷發(fā)展,不少第三方針對控制領(lǐng)域內(nèi)的某些特殊系統(tǒng)和應(yīng)用領(lǐng)域設(shè)計(jì)和開發(fā)了其它的專有工具箱,這些工具箱不少是目前該領(lǐng)域的最新研究成果,例如機(jī)器人控制、最優(yōu)控制等等,這些工具箱一般還沒有被收錄進(jìn)MATLAB集成軟件包中,讀者可以在網(wǎng)上獲得它們的說明文檔或源代碼。隨著控制理論和控制工程的不斷發(fā)展,表1.2MATLAB6.X中的其它控制系統(tǒng)相關(guān)工具箱表1.2MATLAB6.X中的其它控制系統(tǒng)相關(guān)工具箱1.2.5MATLAB6.X開發(fā)控制系統(tǒng)流程采用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)的輔助設(shè)計(jì)和仿真一般分為建模、分析、仿真和實(shí)現(xiàn)等四個(gè)部分,針對每個(gè)部分MATLAB6.X都提供了強(qiáng)有力的輔助工具,其良好的交互界面、強(qiáng)大的計(jì)算功能使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)輕松快捷,極大地提高了系統(tǒng)開發(fā)的速度和效率。圖1.2顯示了利用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)開發(fā)的不同階段以及相應(yīng)的MATLAB工具。1.2.5MATLAB6.X開發(fā)控制系統(tǒng)流程圖1.2基于MATLAB6.X控制系統(tǒng)開發(fā)流程圖1.2基于MATLAB6.X控制系統(tǒng)開發(fā)流程1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.3.1微分方程的求解多變量連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)一般可以采用微分方程或微分方程組來描述。線性非齊次微分方程的一般形式可以寫成(1.1)1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.3.1微分方程的求解(1.1)對于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)函數(shù)ai(t)和g(t),方程對下面的初始條件存在唯一的解析解：(1.2)要得到唯一的微分方程解,必須有n個(gè)初始條件。已知n個(gè)初始條件對微分方程進(jìn)行求解的問題稱為n階初值問題（IVP）。非齊次方程的一般解的形式由齊次方程的解再加上滿足方程（1.1）的特殊解組成：(1.3)對于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)函數(shù)ai(t)和其中齊次方程的解是指當(dāng)g(t)=0時(shí)方程（1.1）的解。將方程的初始條件代入一般解的形式中,可以求出方程（1.1）的唯一解的形式。對于系數(shù)時(shí)變的系統(tǒng),求出它的解析解的形式一般是很困難的。但是對于簡單的常系數(shù)方程而言,可以通過下面的方法來確定方程的齊次解。設(shè)齊次方程為(1.4)其中齊次方程的解是指當(dāng)g(t)=0定義解的形式為(1.5)將式（1.5）代入式（1.4）,得到λneλt+an-1λn-1eλt+…+a0eλt=0λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.6)假設(shè),可以對方程（1.4）構(gòu)造一般解的形式（對于不同解的情況），即(1.7)定義解的形式為(1.5)將式（1.5）代入式（1.例1.1求解下面微分方程的解。初始條件為解：假設(shè)方程一般解的形式為首先求方程的齊次解,將y=eλt代入原微分方程,得到λ2+ω2=0,λ1,2=±iω。方程齊次解可以寫成例1.1求解下面微分方程的解。初始條然后求方程的一個(gè)特解，將yh(t)=k1sin(ω0t)+k2cos(ω0t)代入原方程,得到解得因此,原微分方程一般解的形式為最后將初始條件代入上式,得到然后求方程的一個(gè)特解，將yh(t)例1.2對于g(t)=Csin(ωt),重新求解例1.1的微分方程。解：這個(gè)問題與例1.1有相同的齊次解。但是這里的輸入函數(shù)與齊次解的形式有相同的函數(shù)形式。因此,可以選擇下面的特殊解形式。

yp(t)=k1tsin(ωt)+k2tcos(ωt)最終得到原方程的解為例1.2對于g(t)=Csin(ω將上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式為將初始條件（參見例1.1）代入上式,得將上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式為1.3.2差分方程的解離散系統(tǒng)的動態(tài)行為可以用差分方程來描述。線性非齊次差分方程的解的一般形式為

y(k+n)+an-1(k)y(k+n-1)+…+a0(k)y(k)=g(k)(1.8)與連續(xù)系統(tǒng)的情況類似,非線性齊次方程的解的一般形式可以由齊次方程的解加上特殊解構(gòu)成，即y(k)=yh(k)+yp(k)(1.9)并且定常系數(shù)的線性差分方程具有相對簡單的齊次解的形式。假定齊次方程為z(k+n)+an-1

z(k+n-1)+…+a0z(k)=0(1.10)1.3.2差分方程的解假定解的形式為

z(k)=λk(1.11)將其代入式（1.10）,得λk+n+an-1λk+n-1+…+a0λk=0

λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.12)式（1.12）稱為差分方程的特征方程。最后,假定zi(k)=λki,可以構(gòu)造方程（1.10）的解的形式，即(1.13)假定解的形式為(1.13)例1.3求解下面的差分方程的解。y(k+1)-2ay(k+1)+a2y(k)=brk初始條件為y(0)=0y(1)=0解：定義y(k)=λk,由λ2-2aλ+a2=0得到λ1,2=a（重根）。使用參數(shù)變量方法,定義y2(k)=u(k)y1(k),其中u(k)=k,將其代入原來的齊次方程,得到下面的關(guān)系：(k+2)ak+2-2a(k+1)ak+1+a2kak=0

kak+2+2ak+2-2kak+2-2ak+2+kak+2=0因此yh(k)=C1ak+C2kak例1.3求解下面的差分方程的解。特解計(jì)算：假定yp(k)=C3rk,將其代入非齊次方程,得到將上述齊次解與特解結(jié)合起來,得到原差分方程的一般解的形式為將初始條件代入，得特解計(jì)算：假定yp(k)=C3rk最終得到的非齊次差分方程的解為最終得到的非齊次差分方程的解為1.3.3矩陣代數(shù)與矩陣運(yùn)算表1.3列出了常用的矩陣代數(shù)運(yùn)算。表1.3常用的矩陣代數(shù)及其分量表示1.3.3矩陣代數(shù)與矩陣運(yùn)算表1.3常用1）矩陣的特征值和特征根如果在代數(shù)方程描述的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)中定義b=λx,則有Ax=λx(1.14)如果存在非零向量x滿足式（1.14）,則這里的λ稱為n維矩陣A的特征值。x稱為對應(yīng)于特征值λ的特征向量。式（1.14）也經(jīng)常寫成det(A-λI)=0(1.15)式（1.15）又稱為矩陣A的特征方程。特征多項(xiàng)式的根表示n個(gè)特征值λ（又可能有重根）。一旦確定矩陣的n個(gè)特征值,將λ=λi代入特征方程即可求出對應(yīng)的每個(gè)特征值。1）矩陣的特征值和特征根矩陣的特征值與特征向量對于描述動態(tài)系統(tǒng)十分重要。如果一個(gè)線性集中參數(shù)系統(tǒng)的所有特征值和特征向量均已確定,則一般可以完全仿真該系統(tǒng)的時(shí)域和頻域特性,包括系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性、對輸入?yún)?shù)變化的敏感性等系統(tǒng)特征也可以被確定。事實(shí)上,根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值和特征向量,我們可以描述和分析這類動態(tài)系統(tǒng)幾乎所有的方面。矩陣與其相似矩陣具有相同的特征值。兩個(gè)矩陣A和B如果滿足下面的相似變換,則稱它們?yōu)橄嗨凭仃嚒?/p>

B=C-1

AC(1.16)矩陣的特征值與特征向量對于描述動態(tài)系統(tǒng)一種特殊的相似變換是矩陣的對角化。對于任何無重根的n×n維矩陣,有D=M-1

AM(1.17)或者A=MDM-1(1.18)矩陣D為對角矩陣,其對角元素為矩陣A的n個(gè)不同的特征根。矩陣M的每一列對應(yīng)于矩陣A的特征向量。通常將這些矩陣表示成M=［e1e2…en］(1.19)一種特殊的相似變換是矩陣的對角化。2）矩陣微積分假定矩陣A的微分表示為積分表示為(1.20)(1.21)乘法規(guī)則(1.22)(1.23)2）矩陣微積分矩陣A的微分表示為積分表逆矩陣的微分(1.24)3）矩陣指數(shù)的公式一些具有解析解的動態(tài)系統(tǒng)可以寫成所謂的矩陣指數(shù)的形式。矩陣指數(shù)eAt定義成無窮Taylor展開式：(1.25)逆矩陣的微分(1.24)對于A矩陣為常數(shù)矩陣的情況,有下面的運(yùn)算(式(1.26)和(1.27))。(1)求導(dǎo)(1.26)證明：只要對其中的每一項(xiàng)進(jìn)行求導(dǎo)，即有對于A矩陣為常數(shù)矩陣的情況,有下(2)積分證明：設(shè)F=A-1

eAt,則故(1.27)(2)積分證明：設(shè)F=A-1eA4）方陣函數(shù)除了式（1.25）所定義的eAt無窮序列展開多項(xiàng)式外,我們還可以獲得矩陣指數(shù)的封閉解形式。事實(shí)上,這個(gè)封閉解的結(jié)果可以從任何方陣的多項(xiàng)式函數(shù)獲得。這將用到下面介紹的Sylvester定理。4）方陣函數(shù)【Sylvester定理（無重根）】：如果P(A)是方陣A的任何多項(xiàng)式,并且λi是矩陣A的n個(gè)不同特征值之一,則(1.28)或者(1.29)【Sylvester定理（無重根）】例1.4對于解：首先確定矩陣的特征值。計(jì)算eAt。解之可得運(yùn)用Sylvester定理,有例1.4對于計(jì)算eAt。解之可得運(yùn)用Syl第1章--概述-MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真-教學(xué)課件【Sylvester定理（重根）】：如果P(A)是方陣A的任何多項(xiàng)式,矩陣A具有s個(gè)相同的特征值,則所有的特征值其中(1.30)(1.31)如果所有的特征值都相等,則Δs(λ)=1?！維ylvester定理（重根）】：例1.5對于解：首先計(jì)算特征值。計(jì)算eAt。解之可得λ1,2=4由Sylvester定理例1.5對于計(jì)算eAt。解之可顯然Δs=1,有將λ=λs=4代入上式，得對表達(dá)式關(guān)于λ進(jìn)行一次求導(dǎo)，得顯然Δs=1,有將λ=λs=4代入上式，第1章概述1.1控制系統(tǒng)簡介1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第1章概述1.1控制系統(tǒng)簡介1.1控制系統(tǒng)簡介1.1.1控制理論的發(fā)展進(jìn)入20世紀(jì)以來,現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對自動控制的精度、速度和適應(yīng)能力的要求越來越高,從而推動了自動控制理論和控制技術(shù)的迅速發(fā)展。特別是20世紀(jì)60年代以來,計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展,奠定了自動控制理論和控制技術(shù)的物質(zhì)基礎(chǔ)。于是,現(xiàn)代控制理論逐步形成了一門現(xiàn)代科學(xué)分支。1.1控制系統(tǒng)簡介1.1.1控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展過程是由簡單到復(fù)雜、由量變到質(zhì)變的辯證發(fā)展過程。從發(fā)展的不同階段來看,控制理論的發(fā)展大致經(jīng)歷了經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個(gè)階段。經(jīng)典控制理論主要研究簡單的單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng),所涉及的系統(tǒng)大多是線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng),即使是用于解決非線性系統(tǒng)問題的相平面法，也只能處理兩個(gè)狀態(tài)變量的情況。常接觸到的系統(tǒng),如電機(jī)的位置和速度控制、冶煉爐的溫控系統(tǒng)都被簡化成SISO線性定常系統(tǒng)來處理。控制理論的發(fā)展過程是由簡單到復(fù)雜、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的常用方法包括頻域法、根軌跡法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、期望對數(shù)頻率特性綜合等。這些方法在精確度、準(zhǔn)確度不高的情況下是完全適用的。經(jīng)典控制理論是與生產(chǎn)過程的局部自動化相適應(yīng)的,具有明顯的依靠手工進(jìn)行分析和綜合的特點(diǎn)。這個(gè)特點(diǎn)是與40~50年代生產(chǎn)發(fā)展的狀況以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展水平尚處于初期階段密切相關(guān)的?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的常用方法包括頻域法、1.1.2經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論對SISOLTI系統(tǒng)的分析和綜合是有成效的。它主要以Laplace變換和Z變換為數(shù)學(xué)工具,用傳遞函數(shù)方法描述系統(tǒng)的動態(tài)特性,用頻域響應(yīng)、根軌跡分析和極點(diǎn)配置等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論主要有以下特點(diǎn)：（1）經(jīng)典控制理論本質(zhì)上是一種頻域方法,它以系統(tǒng)的輸出輸入特性作為研究的依據(jù),著眼于系統(tǒng)的輸出；而現(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是一種時(shí)域方法,它是建立在狀態(tài)變量描述方法的基礎(chǔ)上的。1.1.2經(jīng)典控制理論（2）經(jīng)典控制理論是在一類特定的輸入情況下分析輸出的響應(yīng)。在綜合問題上,是根據(jù)給定的某種指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的校正網(wǎng)絡(luò)的。（3）經(jīng)典控制理論的控制器即校正裝置,是由能實(shí)現(xiàn)典型控制規(guī)律的調(diào)節(jié)器構(gòu)成的。而現(xiàn)代控制理論的控制器則是能實(shí)現(xiàn)任意控制規(guī)律的數(shù)字機(jī)。（4）經(jīng)典控制理論的基本內(nèi)容有時(shí)域法、頻域法、根軌跡法、描述函數(shù)法、相平面法、代數(shù)與幾何判據(jù)、校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等,研究的主要問題是穩(wěn)定性問題。（2）經(jīng)典控制理論是在一類特定的輸入情況1.1.3現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)為數(shù)學(xué)工具,用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng)內(nèi)部的動力學(xué)性能,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性、能觀性等問題,用極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)方塊等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,主要有以下特點(diǎn)：（1）現(xiàn)代控制理論是以多變量、線性及非線性系統(tǒng)為研究對象的。在近代的工業(yè)過程控制、飛行器控制等許多領(lǐng)域中,被控對象變得日益復(fù)雜,其中包括了多變量耦合問題、參數(shù)時(shí)變問題和非線性問題?，F(xiàn)代控制理論正是為了處理這樣的復(fù)雜控制系統(tǒng)而發(fā)展起來的。1.1.3現(xiàn)代控制理論（2）現(xiàn)代控制理論以時(shí)域中的狀態(tài)空間方法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,并在此基礎(chǔ)上對系統(tǒng)進(jìn)行各種定性和定量的分析以及希望的控制規(guī)律設(shè)計(jì)。（3）現(xiàn)代控制理論以現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法為主要分析手段,如線性代數(shù)、微分方程和微分幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論在最優(yōu)控制、非線性系統(tǒng)的控制問題中都有廣泛的應(yīng)用,甚至像模糊數(shù)學(xué)、混沌及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等最新的數(shù)學(xué)方法也已經(jīng)在許多控制領(lǐng)域得到應(yīng)用。（2）現(xiàn)代控制理論以時(shí)域中的狀態(tài)空間方法（4）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究是以計(jì)算機(jī)為主要計(jì)算和分析工具的,計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展極大地促進(jìn)了控制理論研究的廣泛應(yīng)用與推廣。（5）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究對象還包括沒有或不能用精確數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的廣泛意義上的非線性系統(tǒng),其中諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、自適應(yīng)控制等先進(jìn)控制技術(shù)已成功應(yīng)用到衛(wèi)星、航天等大系統(tǒng)的控制中?，F(xiàn)代控制技術(shù)能夠處理復(fù)雜非線性、相互耦合、外界干擾、多輸入多輸出、參數(shù)時(shí)變等復(fù)雜對象,研究的范圍與經(jīng)典控制理論相比有了極大的擴(kuò)展。（4）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究是以計(jì)算機(jī)為主1.1.4控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)是一門以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析的技術(shù)。大部分從事科學(xué)研究和工程應(yīng)用的技術(shù)人員常常遇到并為之困擾的是,當(dāng)計(jì)算涉及矩陣運(yùn)算或畫圖時(shí),利用FORTRAN和C語言進(jìn)行程序設(shè)計(jì)是一件比較麻煩的事情。不僅需要對所利用的算法有深刻的了解,還需要熟練掌握程序語言的編程方法。有時(shí)這種編程并不是一件容易的事情。1.1.4控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)從事控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的技術(shù)人員則常常會為系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)帶來的巨大、繁瑣的計(jì)算工作量而苦惱。例如,在進(jìn)行校正器設(shè)計(jì)時(shí),經(jīng)常需要繪制系統(tǒng)對數(shù)頻率響應(yīng)曲線；在采用根軌跡方法配置系統(tǒng)期望極點(diǎn)時(shí),也需要首先繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。而如果借助計(jì)算機(jī)本身強(qiáng)大的計(jì)算和繪圖功能,這些問題都可以很容易地解決,從而極大地提高了系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的效率。從事控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的技術(shù)人員則?？刂葡到y(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件包是從20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的,最初是由英國的H.H.Rosenbrock學(xué)派將線性單變量控制系統(tǒng)的頻域理論推廣到多變量系統(tǒng),隨后Manchester大學(xué)的控制系統(tǒng)中心完成了該系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件包；日本的古田勝久主持開發(fā)的DPACS―F軟件,在處理多變量系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)上也很有特色。同時(shí),國際自動控制領(lǐng)域的一些學(xué)者用狀態(tài)空間法發(fā)展了多變量系統(tǒng)控制理論,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件上提供了命令式的人機(jī)交互界面,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真中給設(shè)計(jì)者以充分的主動權(quán)。控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件包是從21.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.2.1概述MATLAB6.X控制產(chǎn)品集支持控制設(shè)計(jì)過程的每一個(gè)環(huán)節(jié),可以用于不同的領(lǐng)域，如汽車、航空航天、計(jì)算機(jī)和通訊等領(lǐng)域。MathWorks提供的控制產(chǎn)品集,提供了如下能力：使用MATLAB高級編程語言,只需花很短的時(shí)間就可以開發(fā)出控制算法、強(qiáng)大的繪圖能力以對數(shù)據(jù)、方程和結(jié)果進(jìn)行顯示,如根軌跡、Bode圖、響應(yīng)和譜等。1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.2與控制相關(guān)的工具箱涵蓋了許多前沿的控制設(shè)計(jì)方法,從LQG和根軌跡到H∞和模糊邏輯。MATLAB語言提供的圖形界面使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析更加方便。如ControlSystemToolbox中包含了一個(gè)根軌跡設(shè)計(jì)工具,用于補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)；一個(gè)LTI觀察器,用于分析時(shí)域和頻域的響應(yīng)。使用框圖式動態(tài)系統(tǒng)仿真工具Simulink可以方便地建立控制系統(tǒng)原型和控制對象模型,通過仿真不斷地優(yōu)化和改善你的設(shè)計(jì)。無論是離散的、連續(xù)的、條件執(zhí)行的、多采樣的或混雜的系統(tǒng),Simulink都是描述動態(tài)系統(tǒng)模型的最佳工具。與控制相關(guān)的工具箱涵蓋了許多前沿的控結(jié)合有限狀態(tài)機(jī)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和流程圖多種技術(shù)手段,Stateflow使用戶能夠建立復(fù)雜響應(yīng)式系統(tǒng)的清晰、簡明的描述。通過Simulink和Stateflow,可以在單一的集成環(huán)境下對包括頂層控制邏輯、物理對象和控制器的整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真。RealTimeWorkshop和StateflowCoder直接從Simulink模型和Stateflow圖中生成高質(zhì)量的代碼,并自動地編譯、鏈接和下載可執(zhí)行文件到目標(biāo)處理器上。通過將MathWorks代碼生成工具與先進(jìn)的實(shí)時(shí)系統(tǒng)集成,用戶可以快速、方便地實(shí)現(xiàn)快速控制原型,實(shí)時(shí)地仿真和分析自己的設(shè)計(jì)。結(jié)合有限狀態(tài)機(jī)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和流程圖1.2.2控制系統(tǒng)工具箱簡介控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）是MATLAB軟件包中專門針對控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的函數(shù)和工具的集合。該工具箱主要采用M文件形式，提供了豐富的算法程序以完成一般控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、分析和建模。1.2.2控制系統(tǒng)工具箱簡介控制系統(tǒng)工具箱主要用于反饋控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)和仿真,所涉及的領(lǐng)域涵蓋經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的大部分內(nèi)容,包括根軌跡、極點(diǎn)配置和LQG（線性二次最優(yōu)）控制器設(shè)計(jì)等。另外，還提供了友好的圖形界面環(huán)境（GUI），大大簡化了控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)過程?？刂葡到y(tǒng)工具箱主要用于反饋控制系統(tǒng)的通過控制系統(tǒng)工具箱,用戶可以創(chuàng)建線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)-增益模型或狀態(tài)空間模型。既可以操作連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),也適用于離散時(shí)間系統(tǒng),并且可以實(shí)現(xiàn)不同模型間的相互轉(zhuǎn)換。用戶還能夠輕松繪制系統(tǒng)的時(shí)域或頻域響應(yīng)和開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖。其中的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)函數(shù)能夠快速完成系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)等。MATLAB本身提供的開放式環(huán)境可以讓用戶通過M文件建立自己的控制模型和控制算法。通過控制系統(tǒng)工具箱,用戶可以創(chuàng)建隨著MATLAB的發(fā)展,控制系統(tǒng)工具箱本身也得到不斷升級。隨MATLAB6.1一起發(fā)行的是最新的ControlSystemToolbox5.1,它的主要組成和特點(diǎn)包括：(1)LTI觀測器（LTIViewer）,用于分析和仿真LTI系統(tǒng)的交互式圖形環(huán)境。(2)單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具（SISODesignTool）,用于SISO系統(tǒng)分析和仿真的交互式圖形環(huán)境。(3)可以控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域繪圖屬性,例如曲線顏色和類型等。隨著MATLAB的發(fā)展,控制系統(tǒng)工(4)采用專門的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示系統(tǒng)的各類模型,稱之為LTI對象。(5)支持MIMO系統(tǒng)、連續(xù)時(shí)間和采樣系統(tǒng)、具有時(shí)間延遲的系統(tǒng)。(6)用戶復(fù)雜框圖操作的函數(shù)和運(yùn)算,例如串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接等。(7)可以采用不同方法實(shí)現(xiàn)連續(xù)-離散模型之間的轉(zhuǎn)換。

(4)采用專門的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示系統(tǒng)的(8)通常只需要一條指令即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的時(shí)域和頻域仿真。(9)大量基于經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具,例如根軌跡設(shè)計(jì)、極點(diǎn)配置和LQR/LQG最優(yōu)設(shè)計(jì)等。(8)通常只需要一條指令即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)1.2.3Simulink4.1產(chǎn)品介紹Simulink4.1（如圖1.1所示）是用來建模、分析和仿真各種動態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境,包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混雜系統(tǒng)。Simulink提供了采用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互界面。通過Simulink提供的豐富的功能塊,可以迅速地創(chuàng)建系統(tǒng)的模型,不需要書寫一行代碼。Simulink還支持Stateflow,用來仿真事件驅(qū)動過程。1.2.3Simulink4.1產(chǎn)品介紹圖1.1Simulink中的庫瀏覽器圖1.1Simulink中的庫瀏覽器1.交互建模Simulink提供了大量的功能塊以方便用戶快速地建立動態(tài)系統(tǒng)模型。建模時(shí)只需使用鼠標(biāo)拖放庫中的功能塊并將它們連接起來。你可以通過將塊組成子系統(tǒng)來建立多級模型。對塊和連接的數(shù)目沒有限制。2.交互仿真Simulink框圖提供了交互性很強(qiáng)的非線性仿真環(huán)境?？梢酝ㄟ^下拉菜單執(zhí)行仿真,或使用命令行進(jìn)行批處理。仿真結(jié)果可以在運(yùn)行的同時(shí)通過示波器或圖形窗口顯示。有了Simulink,可以在仿真的同時(shí),采用交互或批處理的方式,方便地更換參數(shù)來進(jìn)行“Whatif”分析。1.交互建模3.能夠擴(kuò)充和定制Simulink的開放式結(jié)構(gòu)允許用戶擴(kuò)展仿真環(huán)境的功能：（1）用MATLAB、FORTRAN和C代碼生成自定義塊庫,并擁有自己的圖標(biāo)和界面。（2）將用戶原有FORTRAN或C語言編寫的代碼連接進(jìn)來。4.與MATLAB和工具箱集成由于Simulink可以直接利用MATLAB的數(shù)學(xué)、圖形和編程功能,用戶可以直接在Simulink下完成諸如數(shù)據(jù)分析、過程自動化、優(yōu)化參數(shù)等工作。工具箱提供的高級的設(shè)計(jì)和分析能力可以通過Simulink的屏蔽手段在仿真過程中執(zhí)行。3.能夠擴(kuò)充和定制5.專用模型庫（Blocksets）Simulink的模型庫可以通過專用元件集進(jìn)一步擴(kuò)展。DSPBlockset可以用于DSP算法的開發(fā)。FixedPointBlockset擴(kuò)展了Simulink,用于建立和模擬數(shù)字控制系統(tǒng)和數(shù)字濾波器。MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊如表1.1所示。5.專用模型庫（Blocksets表1.1MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊表1.1MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模1.2.4其它控制相關(guān)產(chǎn)品MATLAB中的控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）主要是運(yùn)用經(jīng)典控制理論（包括時(shí)域和頻域方法）處理線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的函數(shù)集合。除了ControlSystemToolbox,MathWorks公司還在MATLAB6.X軟件包中集成了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的其它相關(guān)工具箱和軟件包,這些工具箱有的是作為ControlSystemToolbox的補(bǔ)充,有的是獨(dú)立的軟件包,主要以控制系統(tǒng)為研究對象。1.2.4其它控制相關(guān)產(chǎn)品借助這些工具箱和軟件包,用戶可以完成諸如系統(tǒng)辨識、系統(tǒng)建模、仿真以及魯棒控制、模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)。所包含的內(nèi)容幾乎涉及到現(xiàn)代控制理論的所有內(nèi)容,使MATLAB廣泛運(yùn)用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和制造的各個(gè)領(lǐng)域。關(guān)于這些工具箱和軟件包的簡要說明如表1.2所示。借助這些工具箱和軟件包,用戶可以完成隨著控制理論和控制工程的不斷發(fā)展,不少第三方針對控制領(lǐng)域內(nèi)的某些特殊系統(tǒng)和應(yīng)用領(lǐng)域設(shè)計(jì)和開發(fā)了其它的專有工具箱,這些工具箱不少是目前該領(lǐng)域的最新研究成果,例如機(jī)器人控制、最優(yōu)控制等等,這些工具箱一般還沒有被收錄進(jìn)MATLAB集成軟件包中,讀者可以在網(wǎng)上獲得它們的說明文檔或源代碼。隨著控制理論和控制工程的不斷發(fā)展,表1.2MATLAB6.X中的其它控制系統(tǒng)相關(guān)工具箱表1.2MATLAB6.X中的其它控制系統(tǒng)相關(guān)工具箱1.2.5MATLAB6.X開發(fā)控制系統(tǒng)流程采用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)的輔助設(shè)計(jì)和仿真一般分為建模、分析、仿真和實(shí)現(xiàn)等四個(gè)部分,針對每個(gè)部分MATLAB6.X都提供了強(qiáng)有力的輔助工具,其良好的交互界面、強(qiáng)大的計(jì)算功能使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)輕松快捷,極大地提高了系統(tǒng)開發(fā)的速度和效率。圖1.2顯示了利用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)開發(fā)的不同階段以及相應(yīng)的MATLAB工具。1.2.5MATLAB6.X開發(fā)控制系統(tǒng)流程圖1.2基于MATLAB6.X控制系統(tǒng)開發(fā)流程圖1.2基于MATLAB6.X控制系統(tǒng)開發(fā)流程1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.3.1微分方程的求解多變量連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)一般可以采用微分方程或微分方程組來描述。線性非齊次微分方程的一般形式可以寫成(1.1)1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.3.1微分方程的求解(1.1)對于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)函數(shù)ai(t)和g(t),方程對下面的初始條件存在唯一的解析解：(1.2)要得到唯一的微分方程解,必須有n個(gè)初始條件。已知n個(gè)初始條件對微分方程進(jìn)行求解的問題稱為n階初值問題（IVP）。非齊次方程的一般解的形式由齊次方程的解再加上滿足方程（1.1）的特殊解組成：(1.3)對于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)函數(shù)ai(t)和其中齊次方程的解是指當(dāng)g(t)=0時(shí)方程（1.1）的解。將方程的初始條件代入一般解的形式中,可以求出方程（1.1）的唯一解的形式。對于系數(shù)時(shí)變的系統(tǒng),求出它的解析解的形式一般是很困難的。但是對于簡單的常系數(shù)方程而言,可以通過下面的方法來確定方程的齊次解。設(shè)齊次方程為(1.4)其中齊次方程的解是指當(dāng)g(t)=0定義解的形式為(1.5)將式（1.5）代入式（1.4）,得到λneλt+an-1λn-1eλt+…+a0eλt=0λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.6)假設(shè),可以對方程（1.4）構(gòu)造一般解的形式（對于不同解的情況），即(1.7)定義解的形式為(1.5)將式（1.5）代入式（1.例1.1求解下面微分方程的解。初始條件為解：假設(shè)方程一般解的形式為首先求方程的齊次解,將y=eλt代入原微分方程,得到λ2+ω2=0,λ1,2=±iω。方程齊次解可以寫成例1.1求解下面微分方程的解。初始條然后求方程的一個(gè)特解，將yh(t)=k1sin(ω0t)+k2cos(ω0t)代入原方程,得到解得因此,原微分方程一般解的形式為最后將初始條件代入上式,得到然后求方程的一個(gè)特解，將yh(t)例1.2對于g(t)=Csin(ωt),重新求解例1.1的微分方程。解：這個(gè)問題與例1.1有相同的齊次解。但是這里的輸入函數(shù)與齊次解的形式有相同的函數(shù)形式。因此,可以選擇下面的特殊解形式。

yp(t)=k1tsin(ωt)+k2tcos(ωt)最終得到原方程的解為例1.2對于g(t)=Csin(ω將上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式為將初始條件（參見例1.1）代入上式,得將上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式為1.3.2差分方程的解離散系統(tǒng)的動態(tài)行為可以用差分方程來描述。線性非齊次差分方程的解的一般形式為

y(k+n)+an-1(k)y(k+n-1)+…+a0(k)y(k)=g(k)(1.8)與連續(xù)系統(tǒng)的情況類似,非線性齊次方程的解的一般形式可以由齊次方程的解加上特殊解構(gòu)成，即y(k)=yh(k)+yp(k)(1.9)并且定常系數(shù)的線性差分方程具有相對簡單的齊次解的形式。假定齊次方程為z(k+n)+an-1

z(k+n-1)+…+a0z(k)=0(1.10)1.3.2差分方程的解假定解的形式為

z(k)=λk(1.11)將其代入式（1.10）,得λk+n+an-1λk+n-1+…+a0λk=0

λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.12)式（1.12）稱為差分方程的特征方程。最后,假定zi(k)=λki,可以構(gòu)造方程（1.10）的解的形式，即(1.13)假定解的形式為(1.13)例1.3求解下面的差分方程的解。y(k+1)-2ay(k+1)+a2y(k)=brk初始條件為y(0)=0y(1)=0解：定義y(k)=λk,由λ2-2aλ+a2=0得到λ1,2=a（重根）。使用參數(shù)變量方法,定義y2(k)=u(k)y1(k),其中u(k)=k,將其代入原來的齊次方程,得到下面的關(guān)系：(k+2)ak+2-2a(k+1)ak+1+a2kak=0

kak+2+2ak+2-2kak+2-2ak+2+kak+2=0因此yh(k)=C1ak+C2kak例1.3求解下面的差分方程的解。特解計(jì)算：假定yp(k)=C3rk,將其代入非齊次方程,得到將上述齊次解與特解結(jié)合起來,得到原差分方程的一般解的形式為將初始條件代入，得特解計(jì)算：假定yp(k)=C3rk最終得到的非齊次差分方程的