投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型

7單指數(shù)與多因素模型均值方差模型對組合投資收益與風險的關系及其優(yōu)化給出了精確、有效的計算方法，其相關證券之間的協(xié)方差計算量較大，優(yōu)化過程也比較復雜。人們希望尋找簡明的方法計算、優(yōu)化組合。這就是“指數(shù)模型”。投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!7.1單指數(shù)模型系統(tǒng)風險與公司特有風險證券收益之間的協(xié)方差有正有負(正是因為負的協(xié)方差使組合投資的風險降低)，但相同的經濟力量(因素)通使影響公司的經營狀況，如：經濟周期、利率、技術進步、勞動力成本、原材料等。這些因素的變化將導致證券市場收益率相應發(fā)生變化，使證券收益之間的協(xié)方差趨向于正。如果將這些相關經濟因素綜合成一個宏觀經濟引導棒，對證券市場產生影響。除此以外，證券收益的剩余不確定性均為公司所特有。則可以把證券投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!的持有期收益可表示為：

ri=Ri+mi+ei

(7.1)其中，Ri為證券持有期初的期望收益，mi為證券持有期間非預期宏觀因素對證券收益的影響，

ei為非預期公司特有事件的影響。mi和ei均具有零期望值。由于不同企業(yè)對宏觀經濟因素影響由不同的敏感性，將mi分解成兩個因子：mi=βiF,F為宏觀因素非預測成分，βi為證券對對宏觀經濟事件的敏感度。則ri=Ri+βiF

+ei

(7.2)式(7.2)為證券收益的單指數(shù)模型。(常用Rm代F)投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!單指數(shù)模型估計RiSCLRm投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!資產組合方差為：(7.7)其中，

βp2σm2為系統(tǒng)風險，σ2(ep)為非系統(tǒng)風險。

σp2

σ2(ep)可分散風險

βp2σm2

系統(tǒng)風險n投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!或(7.10)求yi得：(7.11)式(7.11)兩邊同乘以βi，并對所有i求和得：(7.12)投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!用代入式(7.15)有：(7.16)標準化：(7.17)這就是利用單指數(shù)模型(SIM)求有效投資組合的方程。投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!單指數(shù)模型與期望收益-β關系

(MichaelC.Jensen.Theperformanceofmutualfundsintheperiod1945-1964.JournalofFinance,1968,23(May))CAPM中，資產i與市場組合M的關系為：單指數(shù)模型為：其中：αi是資產i超過CAPM預測的期望收益部分。CAPM理論認為，均衡狀態(tài)下αi為零。投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

多因素模型

投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!股票持有期的超額收益：

ri-rf=αi+βi(rm-rf)+ei

或Ri=αi+βiRm+ei

(7.3)證券i的收益率方差：(7.4)證券i,j的收益之間的協(xié)方差：(7.5)投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!單指數(shù)模型與風險分散化Sharpe(1963)首先提出的單指數(shù)模型，從另一個角度說明了資產組合風險分散化。(WilliamF.Sharpe.Asimplifiedmodelofportfolioanalysis.ManagementScience,Jan.,1963)n個等權重資產組合的超額收益率為(7.6)則資產組合對市場的敏感程度為：(資產組合有：)投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!7.2利用單指數(shù)模型構造最佳投資組合

利用拉格朗日乘子法確定n種證券有效組合W=(w1,w2,…,wn)T時，有下列方程：(7.8)其中，,(

)在單指數(shù)模型中，有：(7.9)將式(7.9)代入式(7.8)，有：投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!將其中的i轉換為j,即：(7.13)求得：(7.14)將式(7.14)代入式(7.11)，得：(7.15)投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!7.3CAPM與單指數(shù)模型

從證券i的收益與市場指數(shù)收益之間的協(xié)方差分析公司特有的非系統(tǒng)因素獨立于整個市場的系統(tǒng)因素，即Cov(RM,ri)，由此可導出證券i的超額收益率與市場指數(shù)的協(xié)方差為：(7.18)則(7.19)式(7.19)中單指數(shù)模型β系數(shù)與CAPM模型期望收益-β關系的β相同。投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)與多因素模型共22頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!7.4多因素模型雙因素模型投資學(高級教程)(07)-單指數(shù)