【高中數(shù)學競賽】2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽

20162016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽PAGEPAGE9PAGEPAGE82016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽考試時間：201658日（星期日）上午8∶00－10∶00試題構(gòu)成：類別題號章節(jié)知識點適用階段難度1不等式解不等式高一易2概率與計數(shù)原理計數(shù)原理高二易3函數(shù)估值，周期高一易4導數(shù)導函數(shù)，基本不等式高二易填5解析幾何圓，直線高二易空6平面向量線性關(guān)系高一易題7立體幾何共面問題高一中8數(shù)列零點存在性定理高一難9不等式基本不等式，數(shù)的收攏高二中10初等數(shù)論整除問題競賽難11三角函數(shù)基本運算高一易解12平面幾何幾何證明競賽易答13解析幾何雙曲線的離心率高二中題14初等數(shù)論三角等式，數(shù)的輪換競賽難解題建議：放棄10，12，14適當放棄7，8試題正文與答案：一、填空題（每小題7分，共70分）xxab的解集為2x，則ab的值是．解析由題設(shè)b0xab等價于abxab，ab2 a 從而ab4，解得b

，所以ab3．故填3．從1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取兩個不同的數(shù)，則取出的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是．C2C2 4 4解析取出兩數(shù)之和為偶數(shù)（兩數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)）的概率為 5 4．故填 ．C2 9 99 10已知fx是周期為4的奇函數(shù)，且當x時，fxx216x60，則f 2 的值10是．3640解析注意到 3640

49，即6249

7，所以82100,2，10101010 10101010所以f 2 f 2 8 f 82 36．故填36．評注fxx824fxxx1660．10f821082 82436或1010f21021010

6036已知直線lfx2lnxx2圖象的切線，當ll的方程是．解析fx2x1時等號成立．x所以直線l的斜率最小值為41,4xy304xy30．xOy中，如果直線lx2y22x4y0平分，且不經(jīng)過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是．解析圓的標準方程為x2y2

5，由題設(shè)直線l過點1,2y2kx1ykx2k，k…0注意到l不經(jīng)過第四象限，則2

，解得k 2．故填1

1已知等邊△ABC的邊長為2，若AP

ABAC AQAPBC，則△APQ的面積3 2是．2 312 3解析由AP

ABAC 得點P是等邊三角形ABC的中心，所以AP ，3 333 133 又由AQ AP BC得PQ BC，且AP PQ，因此△APQ的面積為 ．故填 ．2 2 3 3PAPQB CJC2016T06D評注若找不到方向，此題也可以建系考查．ABCDABC

的棱長為1PBC上，點Q為棱

的中點．若過點11 1 1 1A,P,Q的平面截該正方體所得的截面為五邊形，則BP的取值范圍為．解析AP與CD的延長線交于點W，連接WQ并延長與C

交于R，1 1則R是所截五邊形的第三個頂點．（注：作圖方法不唯一）D1 C11AB1 Q A11AD C

D1 RC1CB1 QD CWP PA B A BJC2016T07D通過同樣的方法，可以作出其余的點，如下圖所示，XSDXSD1 R1-ttC1B1QDCPBtWAJC2016T07D若存在這樣的五邊形，則每個頂點都存在，1tBPt，通過相似可以得RC10t1 1

CW ，t1 從而只需 1t ，解得 t1．故填

,1．0 1 2

2 t 評注如下圖所示，由于是正方體，也可采用極端思想，需要幾何動態(tài)的觀點．DC(X)DC1 1BA1 QB1D C PA BJC2016T07D1BC1

BP

時，截面為四邊形APQD；2 1P移向C時，W遠離CXD點靠攏，此時可形成五邊形，即當0BP

1時，截面為四邊形；當

BP1時，截面為五邊形．2 2因此BP的取值范圍為1,1．故填1,1．2 2 已知數(shù)列n

的奇數(shù)項依次構(gòu)成公差為d1

的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構(gòu)成公差為d2

的等差數(shù)列，且對任意nN*，都有an

an

．若a1

12

2n

的前10項和S10

75則a ．8解析分析知S10

5a1

a10d2

d75，即dd2 1

6，從此點無法解決根本，按照題目的設(shè)想，可求出dd．1 2首先，可以得到該數(shù)列的奇偶項表達式（分段通項，設(shè)nN*，則a 11d，a 2，2n1 1 2n 2其次，因為對任意nN*，都有a a ，n n1即只需滿足a

a2n1

a2n1

（或a2n

a2n1

a ，2n2因此11

22

11

對nN*恒成立，分析左邊，若需n1d1

d1，則必須滿足d2

d?0；2分析右邊，若需n1d1

2

1，即n1

d1dd2 1

5，則必須滿足d1

d．2因此分析得d d．1 2最后，d d1 2

3，a8

a 2

11．故填11．評注若不然，若d

0，則令

d1，解得n 1 1，1 2 1

dd1 2若令n 1 1，則有

1d

d1與題意矛盾． 0 dd1 2

0 1 2的理由同類似．事實上，在解決問題“不等式ax2ax對xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．”的時候，就沒將問題講清楚，而是直接根據(jù)主觀論斷，否定a0的情形，本質(zhì)上否定就是尋找一個x ，0得ax2

10，這跟函數(shù)的零點以及單調(diào)性有關(guān)．0 0①當a0時，1…0恒成立，符合題意；a0②當a0時，只許滿足 ，從而04；a24a?0③當a0時，易知a24a0，易知方程ax2ax10x1

，x ，a a2a a24aa a24afxax2ax1x

，所以在,1上單調(diào)遞增，又x1x1 2

，fx1

20，所以x0

2 2x，1使fxax2x1fx

0，與題意矛盾．0 0 0 1綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是0,4．這種思想與高考卷或模擬卷中找尋零點個數(shù)或極值點（變號零點）個數(shù)的思想是一致的．x22 y22已知正實數(shù)x,y滿足 16，則xy．y x分析x,yxy的形式求出，則必定分別求出，這類問題涉及到對代數(shù)式變形．解析將題設(shè)條件式通分并整理，得xx2

yy2216xy0，整理得xx2

yy2

8xy

0，因此xy2，所以xy4．故填4．x22 y22

8x 8yxy x解法二因為為x,y正實數(shù)，所以16 2 xy xy x y x等號成立的條件為xy2，所以xy4．故填4．x22 y22 xy42解法三因為16 ，y x xy所以16xyxy28xy16，即xy42?0，所以xy4．故填4．x22

y2

x2

y2

444x

4y解法四：由y

x

x y x

y x x2

y2444

2416，等號成立的條件是xy2，1y x y x1所以xy4．故填4．評注常見的不等式鏈“調(diào)和平均數(shù)Hn

?幾何平均數(shù)Gn

?算術(shù)平均數(shù)An

?冪平均數(shù)Q”，n簡記為調(diào)幾算冪，設(shè)aa1 2

,,an

是n個正實數(shù)， 則 n 剟a

a

aa1

aa2aa2a2a21 2nn11a a1

1an

12 n nM表示滿足下列條件的正整數(shù)nn整除20162，且2016整除n2M同正因子的個數(shù)為．解析因為n20162，2016n2，所以n與2016的素因子相同，而2016257，故可設(shè)n257．10 x 10這樣我們由題設(shè)條件可得4，且2，從而有y 4 ， ?2 21 z 2 故M 2324210 3772 232813405623551323523729717，M的所有不同正因子的個數(shù)為1360．評注算術(shù)基本定理：若不計素因數(shù)的次序，則每一個大于1的整數(shù)n都可以唯一分解成素因數(shù)乘積

p1

p2121

pk

，其中p,p1 2

, ,pk

均為素數(shù)，,1 2

, ,k

為自然數(shù)．有結(jié)論如下：nfn1

12

1k

1；n的所有約數(shù)之和為121pp2p1p p2p1p p2pk；121 1 1 2 2 2 k k k歐拉（Euler）函數(shù)表示不大于n且與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)為nn1

11

111． p p p 12k 12k二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）1已知 11

35，0,，求tan．sin cos 12 2 由題設(shè)知12sincos35sincos2 令sincost，則t1, 2，且sincost21，則12t35t21， 2 27 5即3t22t350，解得t或t（舍，5 7即有sincos

7，sincos12．5 25所以sin

4，cos

3或sin

，cos

，從而tan43．5 5 5 5 3 4352

1

1 2 1 1 2解法二由題設(shè)可得 122

sin cos

sin2 cos2 sincossin2cos2

sin2cos22

sin2cos2sin2 cos2 sincos12tan2121 12tan2121 tan22 tan 2tan ，tan2 tan

tan

tan注意到tan0，解得tan

25（舍負，進一步解得tan4或3．tan 12 3 4P在ABCABAB4APPMN與ABC的外接圓交MNAMN△ABNANP；BMBN2MN．AANMPBCJC2016T10解析（1）AMN的中點，所以AMNANM又AMNABN，所以ABNANP，又因為BANNAPABNANP．AB（2）由（1）知，

BN

，又AB4AP，AN AP NPAN2APBN2BN2NP，NPBM2MPBMBN2MN． x2 在平面直角坐標系xOy中雙曲線C: 1的右焦點為F過點F的直線l與雙曲線Ca2 b2交于A,B兩點．若OFABFAFB，求雙曲線C的離心率e．解析解法一（參數(shù)方程法因為雙曲線C的右焦點F的坐標為c,0，設(shè)直線l的傾斜角為，xctcos則直線l的方程即為ytsin （t為參數(shù)．c2cos2a2

t22b2ccostb40，b2 c2b2 c2co2c2cosa2c2cos2a2

2ab2則有tt12

c2cos2a2

，tt ，c2c2cos2a2因為OFABFAFB，則有

2ab2c b4 ，c2cos2a2c2c2cos2a2c2cos2a2

2e10，因為e1，故e1 ．

22b2 b222解法二（普通計算法①當AB斜率不存在時，由OFABFAFB得c ，a a2故2acb2c2a2，因為e1，故e1 ．2②當AB斜率存在時，設(shè)斜率為k，記Ax,y1 1

，Bx,y，2 21k2則由OFABFA1k2

xx 1 2

cx11k21k2

cx，2即cx1

x2

c2cx11k2

xxx ．2 12ykxc b2x2

a2y2

a2b2

y

b2a2k

x22a2ck2xa2c2k

a2b2

0，故2a2ck22

b2a2k2

a2c2k2a2b24a2b2c2k2a4b2k2a2b4

4

a2b4k2a2b4 2a2ck2 且1 2 a2k2且1 2 a2k2xxa2c2k2a2b2

，由cx1

x2

c2cx11k2

xxx ，2 1212a2a2b4k2a2b4b2b2a2k2

a2k