三角形問題中的數(shù)學(xué)思想方法

--PAGE6-三角形問題中的數(shù)學(xué)思想方法橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的靈魂.因此，在解三角形題過程中準(zhǔn)確快捷的關(guān)鍵是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.這里對(duì)三角形解題時(shí)常用的分類討論思想、整體思想、方程思想、轉(zhuǎn).一、分類討論思想(..115cm6cm.分析:要注意等腰三角形有兩邊相等，一腰上的中線把它的腰分成的兩段相等.由于問題中未指明哪一段為15cm，哪一段為6cm，故需分類討論.1D解:設(shè)腰長為xcm，底邊為ycm，即AB=x，則AD=CD=2x，BC=y AD1 1⑴若x+2x=6時(shí)，則y+2x=15.1 1x+2x=6得x=4.把x=4代入y+2x=15y=13.B C因?yàn)?+4<13，所以不能構(gòu)成三角形.圖11 1⑵若x+2x=15時(shí)，則y+2x=6.1 1由x+2x=15得x=10.把x=10代入y+2x=15得y=1.10+1>10符合題意，所以三角形三邊分別為10cm、10cm、1cm.2ABC中，∠A=45°BDCEH，求∠BHC的度數(shù).分析:三角形的形狀不同，高的交點(diǎn)的位置也就不同.高的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)部，也可A能在三角形外部，故應(yīng)分兩種情況加以討論.解:⑴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)(圖2)E∵BDCE是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°. DH在△ABD中，∠ABD=180°－90°－45°=45°. B C圖2∵∠BHC是△BHE的外角，∴∠BHC=90°+45°=135°.AEC⑵當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)(AEC∵H是△ABC兩條高所在直線的交點(diǎn)∠A=45°，∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt△BEH中，∠BHC=180°－90°－45°=45°.∴∠BHC的度數(shù)是135°或45°.

B D H圖3注意：涉及三角形高的問題，常常會(huì)因?yàn)楦叩奈恢枚枰懻摚駝t就會(huì)漏解.二、整體思想研究某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往不是以問題的某個(gè)組成部分為著眼點(diǎn)，而是將待解決的問題看作一個(gè)整體，通過研究問題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)做整體處理后，達(dá)到解決問題的目的.34，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.分析:觀察圖形可得，圖由一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形構(gòu)成，可根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角BDBDAE和定理求度數(shù)之和.解:因?yàn)椤螦+∠C+∠E=180°，又因?yàn)椤螧+∠D+∠F+∠G=360°，G F所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°. 圖4剖析:例題中若直接求出每一角的度數(shù)再求其和顯然是做不到的.因此，設(shè)法整體求值是解題的關(guān)鍵.事實(shí)上，有些數(shù)學(xué)問題，如果從局部去考慮，拘泥于常規(guī)，則舉步維艱.如果從全局著手，突破常規(guī)，則會(huì)柳暗花明.三、方程思想..例4如圖5，在△ABC中，∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC.21EDx分析：利用三角形的外角性質(zhì)，設(shè)法建立關(guān)于21EDx解:設(shè)∠EDC=x.因?yàn)椤?是△DEC的外角，所以∠1=x+∠C.B C又因?yàn)椤?=∠2，所以∠2=x+∠C. 圖5又因?yàn)椤?是△ABD所以∠B+∠BAD=∠2+x，即∠B+40°=∠C+2x.因?yàn)椤螧=∠C，所以2x=40°，解得x=20°.剖析:四、轉(zhuǎn)化思想用簡(jiǎn)單、已學(xué)過的知識(shí)解決復(fù)雜、未知的知識(shí)，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解.這種解題思想叫轉(zhuǎn)化思想.112例5如圖6，求五角星各頂角之和.分析:因?yàn)椤?、、∠D、∠E較分散，本例中又不 B E知其度數(shù)，因此，應(yīng)設(shè)法將它們集中起來，將問題轉(zhuǎn)化為三角形C D來處.根據(jù)三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理可以求解． 圖6解:因?yàn)椤?=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，又因?yàn)椤?+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.點(diǎn)撥:此題還可以連接CD求解.當(dāng)我們求多個(gè)角之和不能直接計(jì)算時(shí)，應(yīng)考慮轉(zhuǎn)化為三角形求解.五、數(shù)形結(jié)合思想67，在△ABCAD是角平分線，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度數(shù).分析:在△ABD中，∠ADB是一個(gè)內(nèi)角，它等于180°－∠B－∠BAD，故求出∠BAD即可求出∠ADB的度數(shù)，這由已知條件不難求得;同理可求出∠ADC的度數(shù).解:在△ABC中， A∵∠B=60°，∠C=45°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－60°－45°=75°.1 B D C又∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠DAC=2∠BAC=37.5°.圖7在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°.同理∠ADC=180°－∠C－∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.點(diǎn)撥:幾何與代數(shù)是患難兄弟，密不可分.在求解幾何題中，通常數(shù)與形要結(jié)合起來才能打開思路，進(jìn)行運(yùn)算.否則，一頭舞水，撲朔迷離，茫然不知所措.數(shù)學(xué)思想方法在三角形中的應(yīng)用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周長是24cm，腰長是底邊長的2倍，求腰長.分析=+2的長為xcmx+2x+2x=24.解：(1)設(shè)底邊長xcm，則腰長為2xcmx+2x+2x=24x=4.8∴腰長=2x=2×4.8=9.6(cm)點(diǎn)撥：用設(shè)未知數(shù)，找相等關(guān)系，列方程來解，體現(xiàn)了幾何問題用代數(shù)方法解和方程思想.二、分類討論的思想方法：ABC，高BD和CE所在直線交于H的度數(shù)..EHB EHA D CEAEACD圖2H解：∵△ABC為斜三角形，∴△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，ABC為銳角三角形時(shí)（如圖1，∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.ABC為鈍角三角形時(shí)（如圖2，H為△ABC的兩條高所在直線的交點(diǎn)，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC=90°-∠ABD=90°-45°=45°.綜上所述，∠BHC的度數(shù)是135°或45°.想.此類問題的出現(xiàn)，往往會(huì)被同學(xué)們忽視，或考慮不全面，希望大家在平時(shí)就要養(yǎng)成分類..三、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法：例3、如圖3，已知五角星形的頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，請(qǐng)你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).AB M 1 2 N EC D圖3分析.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN在△AMN中，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如圖4，連結(jié)CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B