全程高分零基礎(chǔ)課-2020獲取第一講義

—、基礎(chǔ)階段任務(wù)（１）熟記基本概念、定理、公（２）掌握基本方法與技（３）培養(yǎng)基本計算能力：求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分二、目標(biāo)：（１）建成基礎(chǔ)知識結(jié)（２）形成基礎(chǔ)數(shù)學(xué)素養(yǎng)三、內(nèi)容安排：（１）極（２）一元微分（３）一元積分（４）多元微分（５）二重積（６）微分方

高數(shù)高數(shù)烎１第一 極考點：（１）定（２）性（３）計（４）應(yīng)—、極限定１函數(shù)極犳（狓）→犳（狓）→犳（狓）＋∞犳（狓）→－狓→狓ε＞０δ＞０使當(dāng)０＜狘狓－狓０＜δ時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，＜δ時即有狘犳（狓）狘０犕犕＞０δ＞０使當(dāng)０＜狘狓－狓０＜δ時即有犳（狓）＞犕犕＞０δ＞０使當(dāng)０狘狓－狓０＜δ時即有犳（狓）＜－犕狓→狓０ε＞０δ＞０使當(dāng)０＜狓－狓０＜δ時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，０＜狓－狓０＜即有狘犳（狓）狘時犕，·０＜即犕＞０δ＞０狓－狓０＜δ有犳（狓）＞犕，犕＞０δ＞００＜狓－狓０＜δ時即有犳（狓）＜－犕狓→狓ε＞０δ＞００＜狓０－狓＜δ時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，０＜狓０－狓＜δ即有狘犳（狓）狘＞時犕，·０＜即犕＞０δ＞０狓０－狓＜δ時有犳（狓）＞犕，犕＞０δ＞００＜狓０－狓＜δ時即有犳（狓）＜－犕２續(xù)犳（狓）→犳狓）→＋犳（狓）→－狓→ε＞０犡＞０狘狓狘＞犡時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡時即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡時即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡時即有犳（狓）＜－犕狓→＋ε＞０犡＞０狓＞犡時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狓＞犡時即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狓＞犡時即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狓＞犡時即有犳（狓）＜－犕狓→－ε＞０犡＞０狓＜－犡時即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狓＜－犡時即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狓＜－犡時即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狓＜－犡時即有犳（狓）＜－犕【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１６第１０題證明：若狓→＋∞及狓→∞時，函數(shù)犳狓）的極限都存在且都等于犃，則ｌｉｍ犳狓）＝犃狓→【分析３【例２】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１７第１１題根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：函數(shù)犳狓）當(dāng)狓→狓０時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等．【分析４【例３】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１７第１２題試給出狓→∞時函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明【定理】若ｌｉｍ犳狓）存在，則存在犡＞０及犕＞０，使 狘狓狘狓→犡均有狘犳狓）狘≤犕【分析５２數(shù)列極狀為自然數(shù)狀→ 專指狀→＋∞，而略去“＋”不ｌｉｍ狓狀＝ ε＞０ 犖＞０，當(dāng)狀＞犖時，有狘狓 犃狘＜狀→【例４】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１４第６題若ｌｉｍ狌狀＝犪，證明ｌｉｍ狘狌狀狘＝狘犪狘．并舉例說明：如果數(shù)列狘狓狀狀→∞ 狀→∞狘｝有極限，但數(shù)列狓狀｝未必有極限【分析６【例５】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１４第８題對于數(shù)列狓狀｝，若狓２犽１→犪犽→∞），狓２犽→犪犽→∞），證明：狓狀→犪狀→∞）．【分析７二、極限三大性１唯一若ｌｉｍ犳狓）＝犃，則犃唯一狓→狓【分析８【例６】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１５第４題求犳狓）＝狓

狓

當(dāng)狓→０時的左、右極限，并說明們在狓→０時的極限是否存在【分析９【例７】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ４４例６（１當(dāng)狓→

時，函數(shù)狓 ｅ ｅ

狓１

的極限為 （Ａ （Ｂ（Ｃ （Ｄ）不存在但不 【分析２局部有界若ｌｉｍ犳狓）＝犃， 犕＞０，δ＞０，當(dāng)０＜狘 狓０狘＜δ時狓→狓恒有狘犳狓）狘＜犕【分析【例８犳狓）

狘狓狘ｓｉｎ狓 ２）在（ ）內(nèi)有界．狓狓 １）（狓 ２）２Ａ．（ １，０） Ｃ．（１，２ Ｄ．（２，３【分析３局部保號若ｌｉｍ犳狓）狓→狓若ｌｉｍ犳狓）狓→狓【分析

>０，則狓*狓０時犳狓） ＜０，則狓*狓０時犳狓）＜【例９】設(shè)ｌｉｍ犳狓）＝犳（０）且ｌｉｍ犳狓 ＝ ２，則狓＝０狓→ 狓→０ ｃｏｓ Ａ．極大值 Ｂ．極小值Ｃ．非極值 Ｄ．無法判【分析三、極限的計１函數(shù)極限計①七種未定式烄０，∞，∞·０ ∞，∞０，００，１∞烆 【注０不是真的０，１不是真的１②計算工（１）洛必達(dá)法狓→

犳′狓

狓→

犳狓ｂ）且ｌｉｍ ，則ｌｉｍ ＝ｌｉｍ犳′狓）狓→犵′狓 狓→犵狓 狓→犵′狓隱含條件犳狓），犵狓）都為無窮小量可導(dǎo)函數(shù)比值的極限存在．【注１】如ｌｉｍｓｉｎ

＝

ｃｏｓ１狓→

狓→ 洛必達(dá)法則能不能用，用了再說，用了若存在，則存在；用了若不存在，只能說洛必達(dá)法則失效，并不能說原極限一定不存在，如：【例１０】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９７第２題驗證極限狓→

狓＋ｓｉｎ狓

存在，但不能用洛必達(dá)法則得出【分析【例１１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９７第３題］狓２ｓｉｎ１驗證極限狓→

ｓｉｎ

存在，但不能用洛必達(dá)法則得出【分析【注２】常用等價無窮小當(dāng)狓→０時，ｓｉｎ狓～狓ａｒｃｓｉｎ狓～狓ｔａｎ狓～狓ａｒｃｔａｎ狓～狓ｅ狓１～狓ｌｎ（１＋狓）～（１＋狓）α１～α狓１ｃｏｓ狓～狓２２第一組烄０烆

，∞·烎【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９５第１（９）題

ｌｎ１烆

狓烎烄０烌狓→＋∞ａｒｃｃｏｔ狓烆０【分析【例２】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９５第１（７）題ｌｉｍｌｎｔａｎ７狓烄∞烌狓→０＋ｌｎｔａｎ２狓烆∞【分析【例３】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９５第１（１２）題］ｌｉｍ狓２ｅ１／狓２（０·∞）．狓→【分析第二組 ∞①有分母，則通【例】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１２３第１０（２）題ｌｉｍ 狓→０燀ｌｎ（１＋狓【分析

１燄（∞ ∞）．狓燅②沒有分母，創(chuàng)造分１【例】狓→＋【分析

１）狓第三組（∞０，００，１∞）犝狓）犞（狓）＝ｅ犞（狓）ｌｎ犝（狓【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９５第１（１６）題狓→

１烌ｔａｎ狓狓

０【分析【例２】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９５第１（１５）題］ｌｉｍ狓ｓｉｎ狓（０）．＋狓→【分析【例３】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１２３第１０（４）題 ［（犪１狓＋犪２狓…＋犪狀狓）／狀］（中犪１，犪２，０狓→（１∞【析（２）泰勒公任何可導(dǎo)函數(shù)犳狓） ∑犪狀狓當(dāng)狓→０時①ｓｉｎ狓＝ １狓３＋狅狓３６②ａｒｃｓｉｎ狓＝狓＋１狓３＋狅狓３６③ｔａｎ狓＝狓＋１狓３＋狅狓３３④ａｒｃｔａｎ狓＝ １狓３＋狅狓３３⑤ｃｏｓ狓＝ １狓２＋１狓４＋狅狓４ 狓 狓 狓 （４狓

）＝ ２＋狓 狓

４＋狅（３⑦ ＝１＋狓＋２！＋３?。珷? ＝１＋狓＋狓２＋狓３＋狅狓３）（狘狓狘＜１ ⑨（１＋狓

＝１＋α狓

α １狓２＋狅狓２２【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９９第６題求函數(shù)犳狓）＝ｔａｎ狓的帶有佩亞諾型余項的３階麥克勞林式【分析【例２】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９８第３題求函數(shù)犳狓）＝槡狓按狓４）的冪展開的帶有拉格朗日型余項的３階泰勒公式．【分析槡４【例３】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ１００第１０（１）（３）題槡４（１）狓→＋

（３狓３＋３狓

槡狓

２狓３１＋１狓

槡１＋狓（２狓→【分析

２（ｃｏｓ ｅ狓）ｓｉｎ狓２２數(shù)列極限運（１）若狓狀易于連續(xù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限計算依據(jù)：若ｌｉｍ犳狓）＝犃，則ｌｉｍ犳狀）＝犃狓→＋ 狀→槡【例】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ４１第４（３）題槡求極限狀→【分析

狀（狀犪 （２）若狓狀｝不易于連續(xù)化，用“準(zhǔn)則”（或定積分定義【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊犘４４第４（１）題２求極限ｌｉｍ ＋… 烌２狀→∞烆【分析

＋狀＋ 狀２＋狀＋ 狀２＋狀＋狀２【例２】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ４１第４（１）題］求ｌｉｍ烄 ＋…＋ 烌．２狀→∞烆【分析

＋狀＋ 狀２＋狀＋ 狀２＋狀＋狀（３）若狓狀｝由遞推式狓狀＝犳狓狀１）給出，用“單調(diào)有界準(zhǔn)則”：給出狓狀｝，若 狓狀｝單增且有上界或者單減且有下界ｌｉｍ狓 狓狀｝收狀→【例】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊犘４１第４（２）題存在，并求此極限．【分析

槡６＋狓狀狀＝１，２，…），試證數(shù) 狓狀｝極四、極限的應(yīng) —— 連續(xù)與間 基任何初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)（只要見到的函數(shù)都是初等函數(shù)），故考研中只研究兩類特殊的點：分段函數(shù)的分段點（可能間斷）無定義點（必然間斷）２連續(xù)的定若ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０），則犳狓）稱在狓＝狓０處連續(xù)狓→狓【注】ｌｉｍ犳狓）＝ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０）三者相等才連續(xù)０狓→狓０３間斷的定

狓→狓設(shè)犳狓）在狓＝狓０點的某去心鄰域有定（１）ｌｉｍ犳狓 （２）ｌｉｍ犳狓 （３犳狓０＋狓→狓 狓→狓ａ）第一類間斷點（１），（２）均存在，（１）≠（２）：狓０為跳躍間斷（１） （２）≠（３）：狓０為可去間斷ｂ）第二類間斷點（１），（２）至少一個不存在（目前為止考研只考了（１）（２）均不存在）若不存在＝ 無窮間斷若不存 ＝振 振蕩間斷【注】 單側(cè)定義不討論間斷②若出現(xiàn)左右一邊是振蕩間斷，一邊是無窮間斷，則我們應(yīng)該分側(cè)討論【例１】［張宇帶你學(xué)高等數(shù)學(xué)·上冊Ｐ９７第４題］討論函數(shù)烄熿（１＋狓）１狓燄狓犳

）＝烅