對(duì)數(shù)的概念陳瑩終稿

對(duì)數(shù)的概念教師：陳瑩教學(xué)目標(biāo)：理解對(duì)數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義，理解對(duì)數(shù)恒等式并能運(yùn)用于有關(guān)對(duì)數(shù)計(jì)算通過轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想觀念及邏輯思維能力重點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)的概念2.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化難點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)概念的理解2.指對(duì)互化一．回顧和引入（一）先回顧指數(shù)函數(shù)（且），為后面學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)作鋪墊①當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)（邊講邊畫圖）②函數(shù)圖像無限靠近軸上方，即函數(shù)值可取遍所有的正實(shí)數(shù)，③對(duì)于，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)；反之，由函數(shù)圖像可以得到：對(duì)于，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)（二）引入①細(xì)胞分裂：某種細(xì)胞每分鐘分裂一次（一分為二），如何用指數(shù)函數(shù)描述細(xì)胞數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系？若已知有4096個(gè)細(xì)胞，該細(xì)胞分裂了多長時(shí)間？（顯然，前一問學(xué)生可以很快回答：細(xì)胞數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系式為；但后一問，要知道細(xì)胞的分裂時(shí)間，也就需要求解方程，多數(shù)學(xué)生難以求出）因此，為了使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到引入對(duì)數(shù)的必要性，緊接著拋出第二個(gè)問題②解方程：，（對(duì)于方程，學(xué)生可以根據(jù)，得到；而方程，學(xué)生難以下手）此時(shí)可以追問：使方程這樣的存在嗎？并請(qǐng)同學(xué)起來回答（由引入③可知，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，因此這樣的是存在的）類比之前解決方程時(shí)，引入三次根號(hào)的符號(hào)：，使得，在此，引入對(duì)數(shù)符號(hào)：，則的解可表示成簡(jiǎn)單介紹對(duì)數(shù)的發(fā)明：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計(jì)算作參考的對(duì)數(shù)，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。二．對(duì)數(shù)的定義（一）定義：一般的，如果（且），那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：其中，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)(讓學(xué)生齊讀對(duì)數(shù)的定義，之后詢問學(xué)生在讀的過程中是否發(fā)現(xiàn)了問題，即引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題)（二）思考1在對(duì)數(shù)的定義中，為什么要規(guī)定且？解釋：分類討論當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，則中的值不存在當(dāng)時(shí)，由于的正數(shù)次方等于，的負(fù)數(shù)次方和次方?jīng)]有意義，因此若，中的值不存在若，中可以是任意正實(shí)數(shù)，但不唯一，即有無數(shù)個(gè)值當(dāng)時(shí)，由于的任意次方都為，因此若，中的值不存在若，中可以是任意實(shí)數(shù)，但不唯一所以，為了使存在且唯一，規(guī)定且思考2根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)和指數(shù)之間有什么關(guān)系？（指對(duì)互化）思考3真數(shù)，你能解釋一下嗎？（由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，（且），因此）由此可知，零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)（三）特殊的對(duì)數(shù)（1）把以為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作：（2）把以為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作：（3），（且）解釋：因?yàn)?，所以?），（且）解釋：因?yàn)?，所以（四）牛刀小試?yán)?判斷下列哪些是對(duì)數(shù)：（1）（且）；（2）；（3）（）；（4）答案：不是，因?yàn)檎鏀?shù)不能為負(fù)數(shù)不是，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)不能為負(fù)數(shù)是，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)3大于零且不等于一，真數(shù)大于零不是，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)不能為1例2將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）；（2）（3）；（4）（五）對(duì)數(shù)恒等式例3試計(jì)算下列式子；答案：利用指對(duì)互化，設(shè)即所以，利用指對(duì)互化，設(shè)所以，總結(jié)規(guī)律：關(guān)于對(duì)數(shù)的問題，可抓住指對(duì)互化的方法，將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解思考4能否運(yùn)用指對(duì)互化的方法計(jì)算和（且）？令所以，令所以，總結(jié)：上述等式為對(duì)數(shù)恒等式，即：其中，且例4你能運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式再次計(jì)算例3的和嗎？答案：（1）（2）三．小結(jié)（一）對(duì)數(shù)的底數(shù)：且，真數(shù)：（二）指對(duì)互化：其中，且（三）特殊對(duì)數(shù)在書寫時(shí)注