數(shù)學(xué)極值思維變化技巧探討(含解析)

數(shù)學(xué)極值思維變化技巧探討(含解析)數(shù)學(xué)極值思維變化技巧探討(含解析)數(shù)學(xué)極值思維變化技巧探討(含解析)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)極值思維變化技巧探討(含解析)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：數(shù)學(xué)有關(guān)中考軸對(duì)稱變式擴(kuò)展技巧探索在一平直的河岸l同側(cè)有A、B兩村莊，A、B到l的距離分別為3km、2km。AB=akm(a＞1)現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水。方案設(shè)計(jì)DC圖2ABPlABlP圖1（案例1）某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：如圖1設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為且（其中BP⊥l于點(diǎn)P）、如圖2設(shè)計(jì)方案中管道長(zhǎng)度為且（其中點(diǎn)DC圖2ABPlABlP圖1觀察計(jì)算：在方案一中=________km(用含a的式子表示)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖2所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算=___________________km(用含a的式子表示)探索歸納：（１）①當(dāng)a=4時(shí)，比較大小:____(填“＞”“=”或“＜”)②當(dāng)a＝６時(shí)，比較大小:____(填“＞”“=”或“＜”)（２）請(qǐng)你參考方程中的方法指導(dǎo)，就a(當(dāng)a＞1時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？

（３）若是考慮△ＡＢＰ周長(zhǎng)最短又是如何呢？

２、條件如下圖１：A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，問題在直線l上確定一點(diǎn)P；使圖1ABPl圖2ＢＡＥＰ圖1ABPl圖2ＢＡＥＰＤＣ 模型應(yīng)用：如圖２正方形ＡＢＣＤ的邊長(zhǎng)為２，Ｅ為AB的中點(diǎn)，P是ＡＣ上一動(dòng)點(diǎn)，連接ＢＤ，由正方形對(duì)稱性可知，Ｂ與Ｄ關(guān)于直線ＡＣ對(duì)稱，連接ＥＤ交ＡＣ于點(diǎn)P，直接寫出ＰＢ＋ＰＥ的最小值ＰＢＡＥＤ圖4圖3ACBOP.如圖３ＰＢＡＥＤ圖4圖3ACBOP.如圖４已知ＡＢ＝５，ＤＥ＝１，ＢＤ＝８，ＰＤ＝ｘ，請(qǐng)構(gòu)造圖形并求出代數(shù)式的最小值CMNDBA３、（靈活運(yùn)用）在銳角△ABC中，AB=,∠BAC=CMNDBA數(shù)學(xué)有關(guān)中考軸對(duì)稱變式擴(kuò)展技巧探索（附分析）在一平直的河岸l同側(cè)有A、B兩村莊，A、B到l的距離分別為3km、2km。AB=akm(a＞1)現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水。方案設(shè)計(jì)DC圖2ABPlABlP圖1（案例1）某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案圖1：設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為且（其中BP⊥l于點(diǎn)P）、圖2：設(shè)計(jì)方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中點(diǎn)DC圖2ABPlABlP圖1觀察計(jì)算：在方案一中=a+2km(用含a的式子表示)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖2所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算=km(用含a的式子表示)探索歸納：（１）①當(dāng)a=4時(shí)，比較大小:﹤(填“＞”“=”或“＜”)②當(dāng)a＝６時(shí)，比較大小:﹥(填“＞”“=”或“＜”)（２）請(qǐng)你參考方程中的方法指導(dǎo)，就a(當(dāng)a＞1時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？

（３）若是考慮△ＡＢＰ周長(zhǎng)最短又是如何呢？

解析:（2）當(dāng)+2﹤當(dāng)+2=當(dāng)+2﹥﹤=﹥﹤=﹥﹤20=20﹥20﹤5=5﹥5故當(dāng)1﹤﹤5時(shí)選擇方案一當(dāng)=5時(shí)兩種方案均可當(dāng)﹥5時(shí)選擇方案二（3）△ＡＢＰ周長(zhǎng)=AB+PA+PB=+PA+PB即PA+PB的值要最短，才能使△ＡＢＰ周長(zhǎng)最短，利用軸對(duì)稱性加上兩點(diǎn)之間線段最短，所以應(yīng)選擇方案二。（應(yīng)注意（2）、（3）之間的區(qū)別和聯(lián)系）以下進(jìn)一步探索應(yīng)用２、條件如下圖１：A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，問題在直線l上確定一點(diǎn)P；使ＰＡ＋ＰＢ的值最小，方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，則ＰＡ＋ＰＢ＝的值最小（不必證明）圖2Ｂ圖2ＢＡＥＰＤＣ圖1ABPl 模型應(yīng)用：如圖２正方形ＡＢＣＤ的邊長(zhǎng)為２，Ｅ為AB的中點(diǎn)，P是ＡＣ上一動(dòng)點(diǎn)，連接ＢＤ，由正方形對(duì)稱性可知，Ｂ與Ｄ關(guān)于直線ＡＣ對(duì)稱，連接ＥＤ交ＡＣ于點(diǎn)P，直接寫出ＰＢ＋ＰＥ的最小值（注ＰＢ＋ＰＥ的最小值=）圖3OACBPDＰＢＡＥＤ圖4MN.如圖３⊙Ｏ的半徑為２，點(diǎn)Ａ、Ｂ、Ｃ在⊙Ｏ上，ＯＡ⊥ＯＢ，圖3OACBPDＰＢＡＥＤ圖4MN.如圖４已知ＡＢ＝５，ＤＥ＝１，ＢＤ＝８，ＰＤ＝ｘ，請(qǐng)構(gòu)造圖形并求出代數(shù)式的最小值解析：（構(gòu)造圖形）延長(zhǎng)線段ED到M，使ED=DM,得到E關(guān)于直線DB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM交BD于P點(diǎn)，過M點(diǎn)作MN∥DB交AB延長(zhǎng)線于N點(diǎn)。 ∵DE=DM=1,PD=x,∴在Rt△PDM中PM=.