概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布課件

本資料來源本資料來源第二章

隨機(jī)變量及其分布第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量例

電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X來描述：X=0，1，2，…隨機(jī)變量的概念§2.1隨機(jī)變量例電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，例檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來描述:例考慮“測試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以

X記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：X=t，(t≥0)例檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，例考慮“測試燈泡壽設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，或小寫希臘字母，，，表示設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實(shí)隨機(jī)變量是上的映射，

此映射具有如下特點(diǎn):

定義域

事件域S

；

隨機(jī)性

隨機(jī)變量X的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值；

概率特性

X以一定的概率取某個(gè)值或某些值。隨機(jī)變量是上的映射，此映射具有如下特點(diǎn):定

引入隨機(jī)變量的意義

有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來。如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X

表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。{

收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}引入隨機(jī)變量的意義有了隨機(jī)變量，隨機(jī)

可見，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)。也可以說，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣?？梢?，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量隨機(jī)變量分類所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉。隨機(jī)變量分類所有取值可以逐個(gè)全部可能取值不僅無窮多，而且還不例

有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元?？疾斓锚?jiǎng)金額X

?！?.2離散型隨機(jī)變量及其分布律例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金400例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元。考察得獎(jiǎng)金額X。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000

若隨機(jī)變量X的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。定義描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或若隨機(jī)變量X的可能取值是

概率分布的性質(zhì)

非負(fù)性

正則性概率分布的特征概率分布的性質(zhì)非負(fù)性正則性概率分布的特征例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件進(jìn)行檢驗(yàn)，令寫出X的分布律.X的分布律為:

X

p

概率分布圖:

0.0801

xy0.92

解：例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件X的分布律為:兩點(diǎn)分布(0–1分布)只取兩個(gè)值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0<p<1或兩點(diǎn)分布(0–1分布)只取兩個(gè)值的概應(yīng)用場合凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超標(biāo)等。應(yīng)用場合凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0–1分布描述，10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。X

可能取值為0，1，2。例2解：10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注例3

上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p，某人每天買1張，若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買1張，直至中獎(jiǎng)為止。求該人購買次數(shù)X的分布律。X=k表示購買了k張，前k-1張都未中獎(jiǎng)，第k張中了獎(jiǎng)。幾何分布適用于試驗(yàn)首次成功的場合解：123…k-1

k×××…×√例3上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p，某人每天買1張，例4一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X

表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。Ai={第i個(gè)路口遇紅燈}，i=1，2，3解:設(shè)依題意，X可取值0，1，2，3。例4一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口

P{X=0}

=P(A1)=路口3路口2路口1路口3路口2路口1p=1/2，P{X=0}=P(A1)=路口3路口2路路口3路口2路口1路口3路口2路口1路口3路口2路口1路口3路口2路口1X0123p1/21/41/81/8概率分布：X0123p1/21/41/81/8概率分布：二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)。我們來求X的概率分布。二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例設(shè)生男孩的概率為p，生女孩X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和，記:將

E獨(dú)立地重復(fù)

n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為

n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)，簡稱為貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和，記:在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,

1,2,…n

次稱

X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布(binomial)。記作：當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1即0-1分布在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,1,2,…n次（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；且P(A)=p，；（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，二項(xiàng)分布的分布特點(diǎn)：X~B(n,p)

當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1

處達(dá)到最大值；當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值。計(jì)算二項(xiàng)分布的分布特點(diǎn)：例5

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。解:依題意，p=0.05設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)。則X~B(3,0.05),于是，所求概率為：計(jì)算例5已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概X=第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；Ai

：第i人維護(hù)的20臺(tái)故障不能及時(shí)維修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一種方法。而X～b（20，0.01），故有80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算X=第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；解：按第設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。<0.0169第二種方法優(yōu)于第一種方法此時(shí)Y～b（80，0.01）

，故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。<0街頭賭博高爾頓釘板試驗(yàn)街頭賭博高爾頓釘板試驗(yàn)Poission分布

例單位時(shí)間內(nèi)某電話總機(jī)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。X=0，1，…其中，λ為常數(shù)稱X服從參數(shù)為λ

的Poisson分布，記為：計(jì)算Poission分布例單位時(shí)間內(nèi)某電話總機(jī)收Poisson分布的機(jī)理：

平穩(wěn)性

獨(dú)立增量性

普通性Poisson分布的機(jī)理：平穩(wěn)性獨(dú)立增量性普通性二項(xiàng)分布的Poisson近似泊松定理其中

設(shè)λ是一個(gè)正整數(shù)，，則有：二項(xiàng)分布的Poisson近似泊松定理其中設(shè)λ是一個(gè)正n≥100，np≤10時(shí)近似效果就很好：定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很小時(shí)有以下近似式：其中

計(jì)算n≥100，np≤10時(shí)近似效果就很好：定例7

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來處理.問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)

設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.可見，X~B(n，p)，n=300，p=0.01設(shè)需配備N個(gè)維修人員，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我們求滿足的最小的N.P(X>N)n大，p小，np=3，我們求滿足的最小查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8個(gè)維修人員.計(jì)算查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8x定義

設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為X

的分布函數(shù)。幾何意義：Xx§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

x定義設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為分布函數(shù)的基本性質(zhì)

單調(diào)性

有界性

右連續(xù)性鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。分布函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性有界性右連續(xù)性鑒別一個(gè)函數(shù)是否x由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：bax由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的ax]aa-Δxxax]aa-Δxx用分布函數(shù)表示概率請?zhí)羁沼梅植己瘮?shù)表示概率請解：X的分布律為

X012p7/157/151/15例1

求例2中的分布函數(shù)并作圖.

解：X的分布律為X012p7/157/151/15012x

分布函數(shù)為xxxx012x分布函數(shù)為xxxx012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，B;（2）X落在（-1，1）內(nèi)的概率解：由性質(zhì)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，——柯西分布函數(shù)——柯西分布函數(shù)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度pk離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是分段階梯函xyy=f(x)§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度幾何意義xX返回xyy=f(x)§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度幾何

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)可寫成：定義2.3其中，則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度。

記為:對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若隨機(jī)概率密度f(x)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。1.2.概率密度f(x)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否3.在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處有4.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X有：1.2.3.圖形3.在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有4.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：(1)求常數(shù)c；

(2)計(jì)算(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管，每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立，求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率。例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連(1)求常數(shù)解：(1)令c=1000(2)

解：(1)令c=1000(2)(3)設(shè)A表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y(3)設(shè)A表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最例2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:(2)f(x)=注意到F(x)在x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值。例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:(2)f若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布。記作均勻分布幾個(gè)重要的連續(xù)性分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱X服例4若，求F(x)。解：xf(x)abx例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：xf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：即X的取值在(a，b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)，只與其長度成正比。即X的取值在(a，b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記為：正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)

正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量,在正常條件下0μμ-σμ+σxy正態(tài)分布密度函數(shù)0μμ-σμ+σxy正態(tài)分布密度函數(shù)μ00.20.40.60.811.21.4動(dòng)態(tài)演示μ00.20.40.60.811.21.4動(dòng)態(tài)演示稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。例：0.8413記為：稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：的函數(shù)值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有：0x-x對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有：0x-x引理：引理：于是：于是：例3：例3：概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布課件這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）?？梢哉J(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”可以認(rèn)為，Y的取值幾分位點(diǎn)則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。

0分位點(diǎn)則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282常用值：0.0010.0050.010.0250.05§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知t=t0時(shí)刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

的分布§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題的提出在實(shí)際

設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X的分布求出Y

的分布？

這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的。下面進(jìn)行討論。設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，Y=g(X)(例

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y

1=2X–1與Y2=X

2的分布律解:X-1012p1/81/81/41/2Y1-3-113p1/81/81/41/2Y

1=2X–1的分布律:例離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y1=2X–解:Y2014p1/83/81/2X-1012p1/81/81/41/2Y2=X

2的分布律:解:Y2014p1/83/81/2X-1012p1/81/8結(jié)論設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：由已知函數(shù)g(x)可求出隨機(jī)變量Y的所有可能取值，則Y的概率分布為：結(jié)論設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：由已知函數(shù)g(x)可求出連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法——問題：方法：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法——問題：方法：例2

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：yx[yy[][例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：yx[yy[][概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布課件x0π1y例3設(shè)X的概率密度函數(shù)為:求的概率密度函數(shù)解:yyy<00arcsinyπ-arcsiny1yx0π1y例3設(shè)X的概率密度函數(shù)為:求的概率密度0y<010y<010y<010y<010y<010y<010y<010y<01概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布課件

定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有（或有），則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：h(y)是g(x)的反函數(shù)。定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度xyy證明：設(shè)01xyy證明：設(shè)01設(shè)設(shè)yx設(shè)y01+—1－yx設(shè)y01+—1－－綜合之，得到定理。－綜合之，得到定理。例4設(shè)證：證明：Y也服從正態(tài)分布。例4設(shè)證：證明：Y也服從正態(tài)分布。特別，當(dāng)特別，當(dāng)本資料來源本資料來源第二章

隨機(jī)變量及其分布第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量例

電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量X來描述：X=0，1，2，…隨機(jī)變量的概念§2.1隨機(jī)變量例電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，例檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來描述:例考慮“測試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以

X記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：X=t，(t≥0)例檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，例考慮“測試燈泡壽設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實(shí)值函數(shù)X()為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，或小寫希臘字母，，，表示設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實(shí)隨機(jī)變量是上的映射，

此映射具有如下特點(diǎn):

定義域

事件域S

；

隨機(jī)性

隨機(jī)變量X的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值；

概率特性

X以一定的概率取某個(gè)值或某些值。隨機(jī)變量是上的映射，此映射具有如下特點(diǎn):定

引入隨機(jī)變量的意義

有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來。如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X

表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。{

收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}引入隨機(jī)變量的意義有了隨機(jī)變量，隨機(jī)

可見，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)。也可以說，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣?？梢姡S機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量隨機(jī)變量分類所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉。隨機(jī)變量分類所有取值可以逐個(gè)全部可能取值不僅無窮多，而且還不例

有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元。考察得獎(jiǎng)金額X

?！?.2離散型隨機(jī)變量及其分布律例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金400例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬名，獎(jiǎng)金4元。考察得獎(jiǎng)金額X。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006例有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬戶為一開獎(jiǎng)組，設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000

若隨機(jī)變量X的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。定義描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或若隨機(jī)變量X的可能取值是

概率分布的性質(zhì)

非負(fù)性

正則性概率分布的特征概率分布的性質(zhì)非負(fù)性正則性概率分布的特征例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件進(jìn)行檢驗(yàn)，令寫出X的分布律.X的分布律為:

X

p

概率分布圖:

0.0801

xy0.92

解：例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件X的分布律為:兩點(diǎn)分布(0–1分布)只取兩個(gè)值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0<p<1或兩點(diǎn)分布(0–1分布)只取兩個(gè)值的概應(yīng)用場合凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超標(biāo)等。應(yīng)用場合凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0–1分布描述，10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。X

可能取值為0，1，2。例2解：10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注例3

上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p，某人每天買1張，若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買1張，直至中獎(jiǎng)為止。求該人購買次數(shù)X的分布律。X=k表示購買了k張，前k-1張都未中獎(jiǎng)，第k張中了獎(jiǎng)。幾何分布適用于試驗(yàn)首次成功的場合解：123…k-1

k×××…×√例3上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p，某人每天買1張，例4一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X

表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。Ai={第i個(gè)路口遇紅燈}，i=1，2，3解:設(shè)依題意，X可取值0，1，2，3。例4一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口

P{X=0}

=P(A1)=路口3路口2路口1路口3路口2路口1p=1/2，P{X=0}=P(A1)=路口3路口2路路口3路口2路口1路口3路口2路口1路口3路口2路口1路口3路口2路口1X0123p1/21/41/81/8概率分布：X0123p1/21/41/81/8概率分布：二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)。我們來求X的概率分布。二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例設(shè)生男孩的概率為p，生女孩X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和，記:將

E獨(dú)立地重復(fù)

n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為

n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)，簡稱為貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：Ａ和，記:在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,

1,2,…n

次稱

X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布(binomial)。記作：當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1即0-1分布在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0,1,2,…n次（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；且P(A)=p，；（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，二項(xiàng)分布的分布特點(diǎn)：X~B(n,p)

當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1

處達(dá)到最大值；當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值。計(jì)算二項(xiàng)分布的分布特點(diǎn)：例5

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。解:依題意，p=0.05設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)。則X~B(3,0.05),于是，所求概率為：計(jì)算例5已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概X=第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；Ai

：第i人維護(hù)的20臺(tái)故障不能及時(shí)維修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一種方法。而X～b（20，0.01），故有80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算X=第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；解：按第設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。<0.0169第二種方法優(yōu)于第一種方法此時(shí)Y～b（80，0.01）

，故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。<0街頭賭博高爾頓釘板試驗(yàn)街頭賭博高爾頓釘板試驗(yàn)Poission分布

例單位時(shí)間內(nèi)某電話總機(jī)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。X=0，1，…其中，λ為常數(shù)稱X服從參數(shù)為λ

的Poisson分布，記為：計(jì)算Poission分布例單位時(shí)間內(nèi)某電話總機(jī)收Poisson分布的機(jī)理：

平穩(wěn)性

獨(dú)立增量性

普通性Poisson分布的機(jī)理：平穩(wěn)性獨(dú)立增量性普通性二項(xiàng)分布的Poisson近似泊松定理其中

設(shè)λ是一個(gè)正整數(shù)，，則有：二項(xiàng)分布的Poisson近似泊松定理其中設(shè)λ是一個(gè)正n≥100，np≤10時(shí)近似效果就很好：定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很小時(shí)有以下近似式：其中

計(jì)算n≥100，np≤10時(shí)近似效果就很好：定例7

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來處理.問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)

設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.可見，X~B(n，p)，n=300，p=0.01設(shè)需配備N個(gè)維修人員，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我們求滿足的最小的N.P(X>N)n大，p小，np=3，我們求滿足的最小查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8個(gè)維修人員.計(jì)算查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8x定義

設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為X

的分布函數(shù)。幾何意義：Xx§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

x定義設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為分布函數(shù)的基本性質(zhì)

單調(diào)性

有界性

右連續(xù)性鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。分布函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性有界性右連續(xù)性鑒別一個(gè)函數(shù)是否x由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：bax由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的ax]aa-Δxxax]aa-Δxx用分布函數(shù)表示概率請?zhí)羁沼梅植己瘮?shù)表示概率請解：X的分布律為

X012p7/157/151/15例1

求例2中的分布函數(shù)并作圖.

解：X的分布律為X012p7/157/151/15012x

分布函數(shù)為xxxx012x分布函數(shù)為xxxx012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，B;（2）X落在（-1，1）內(nèi)的概率解：由性質(zhì)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，——柯西分布函數(shù)——柯西分布函數(shù)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度pk離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是分段階梯函xyy=f(x)§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度幾何意義xX返回xyy=f(x)§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度幾何

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)可寫成：定義2.3其中，則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度。

記為:對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若隨機(jī)概率密度f(x)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。1.2.概率密度f(x)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否3.在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處有4.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X有：1.2.3.圖形3.在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有4.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：(1)求常數(shù)c；

(2)計(jì)算(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管，每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立，求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率。例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連(1)求常數(shù)解：(1)令c=1000(2)

解：(1)令c=1000(2)(3)設(shè)A表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y(3)設(shè)A表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最例2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:(2)f(x)=注意到F(x)在x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值。例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解:(2)f若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布。記作均勻分布幾個(gè)重要的連續(xù)性分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱X服例4若，求F(x)。解：xf(x)abx例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：xf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：即X的取值在(a，b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)，只與其長度成正比。即X的取值在(a，b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記為：正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)

正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和