線性代數(shù)習(xí)題四章

第四章組的線性相關(guān)性1．設(shè)v1(1,1, 0)T,v(0,21, 1)T,v(3,34,求v1v2及3v1第四章組的線性相關(guān)性1．設(shè)v1(1,1, 0)T,v(0,21, 1)T,v(3,34,求v1v2及3v12v2v3.解v1v2(1,0)T(0,1, (10,3v12v2v33(1,11,0, 1)T(3,1, 4, 0)T30210)T(31203, 31214,(0,1, 2)T2．設(shè)3(a1a2(a2a)5(a3a其中a1(2,5,1,3),T))T T3解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得a1(3a2a5a)1[3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T5(4,1,1,1)T]123663．舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的:組a1,a2,,am是線性相關(guān)的,則a1可由a2,am,線性表示.(1)若(2)0的數(shù)12,m使1a1mam1b1mbm0成立,則a1,,am線性相關(guān),b1,,bm亦線性相關(guān).(3)若只有當(dāng)12,m0時(shí),等式1a1mam1b1mbm0才能成立,則a1,,am線性無關(guān),b1,,bm亦線性無關(guān).(4)若a1,am線性相關(guān),b1,bm亦線性相關(guān),0的數(shù),12,m使1a1mam01b1mbm0同時(shí)成立.(1)設(shè)a1e1(1,0,0,,0)解a2a3am0滿足a1,a2,,am線性相關(guān),但a1不能由a2,,am,線性表示.的數(shù)12,m使mam1b1mbm0(2)有不1a1原式可化為11(a1b1)m(ambm)e1b1,a2e2取a1其中e1em為,則上式成立,而a1,amb1,bm1(a1b1)m(ambm)e1b1,a2e2取a1其中e1em為,則上式成立,而a1,amb1,bm均線性相關(guān)(3)由1a1mam1b1(僅當(dāng)1m0)a1b1,a2b2,,am取a1a2am0bm線性無關(guān)取b1bm為線性無關(guān)組滿足以上條件,但不能說是a1,a2,,am線性無關(guān)的.(4)a(1,0)T a(2,0)T b(0,3)T b(0,4)T12121a12a20122 0與題設(shè).2bb031211 22144．設(shè)b1a1a2,b2a2b1b2b3b4線性相關(guān).,證明組,, 證明設(shè)有x1b1x2b2x3b3x4b40則2)x2(a21((x1x4)a1(x1(1)若a1,a2,a3,a4線性相關(guān),則k1x1x4;k2x1x2;k3x2的數(shù)k1k2k3k4,不x3;k4x3x4;由k1k2k3k4不,知,, ,即b1b2b3b4線性相關(guān).x1xx4011x1011000111 0 xx0(2)若a,a,a,a線性無關(guān),則212x00x1 2 3 4x0323x40x31x4010110001110011由0知此齊次方程非零解00則b1b2b3b4線性相關(guān).綜合得證.25．設(shè)b1a1b2a1a2,a1a2,ar線性無關(guān),證明,且組b1b2br線性無關(guān).組證明設(shè)k1b1k2b2krbr0則(k1kr)a1(kkrar0組a1,a25．設(shè)b1a1b2a1a2,a1a2,ar線性無關(guān),證明,且組b1b2br線性無關(guān).組證明設(shè)k1b1k2b2krbr0則(k1kr)a1(kkrar0組a1,a2,ar線性無關(guān),故因k1k2kr01101k1001 k 0kk 022r 0 1kr 001kr0110因?yàn)?10故方程組只有零解01則k1k2kr0所以b1b2,br線性無關(guān)6．利用初等行變換求下列矩陣的列組的一個(gè)最大無關(guān)組:5117412130251411.0201;(1)(2)23254811322025435117431172333r3r0002 1解(1)~r53r25531r48r4323110020172101125433rr4 3~0003rr0一個(gè)最大無關(guān)組.3 21、2、3列3121302514111220211225521r12r020103 1~(2)2031rr11024 11120021202520101rr，3 2~02rr03401、2、3列一個(gè)最大無關(guān)組．7．求下列組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:2 19 100,a 121302514111220211225521r12r020103 1~(2)2031rr11024 11120021202520101rr，3 2~02rr03401、2、3列一個(gè)最大無關(guān)組．7．求下列組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:2 19 100,a 4;2,a(1) a110 1232 844 (1,2,1,3),aT(4,1,5,6),aT(1,3,4,7).aT(2)12a1,a3線性相關(guān).32a1a3解(1)aT110211901121004428204 1~a32T由9402 280Ta0 32,一組最大線性無關(guān)組為a1a2.aT12951953 1~18aT(2)02 010Ta1 32901903~018002,最大線性無關(guān)組為aTaT.1 2a1a2an是一組n維,已知n維e1,e2,,en能坐標(biāo)由它們線性表示,證明a1a2,an線性無關(guān).證明n維e1e2,en線性無關(guān)4不妨設(shè):e1k11a1k12a2k1nane2k21a1k22a2k2nanenkn1a1kn2a2knnaneTak11k12k22kkT 1n11T2eTk21a2不妨設(shè):e1k11a1k12a2k1nane2k21a1k22a2k2nanenkn1a1kn2a2knnaneTak11k12k22kkT 1n11T2eTk21a22n所以 k TTkkean1nnnnn2兩邊取行列式，得eTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnaTeTaT1111eTaTeTaT002222由eTaTeTaTnnnn即n維組a1a2,an所矩陣的秩為n故a1a2an線性無關(guān).9．設(shè)a1a2an是一組n維,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維都可由它們線性表示.設(shè)12,n為一組n維，對(duì)于任意n維證明a(k1k2,kn)則有akkk即任一n維T11 22 nn都可由線性表示.必要性a1a2,an線性無關(guān)，且a1a2,an能由線性表示，即12k111k122k211k222k1nnk2nnnkn11kn22knnnTaTkkkkk1nT 111211aTk221222n2故 k TTkkan1nnnn2n兩邊取行列式，得5aTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnT1T21aT2aTTnnaTk11k21kn1k12k22k12k1nk2nknn1aTk22200由aTkn2nk11k1naTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnT1T21aT2aTTnnaTk11k21kn1k12k22k12k1nk2nknn1aTk22200由aTkn2nk11k1nk21k2n則Annknnkk n1n2aTaTTT 1111aT TaT T1 2由 A 22 2A TTTTaannn n即12,n都能由a1a2,an線性表示，因?yàn)槿我籲維能由單都可以由a1a2an線性表示.位線性表示，故任一n維充分性已知任一n維都可由a1a2an線性表示，則組：12,n可由a1a2,an8題知a1a2,an線性無關(guān).10．設(shè)Aa1a2,as的秩為r1,組Bb1b2,bt的秩r2組C:a1a2,asb1b2,br的秩r3,證明r1r2證明設(shè)ABCABC,含有的個(gè)數(shù)(秩)分別為r1r2r2,ABCABC等價(jià),AB均可由C線性表示,則秩C秩A),秩C秩B)，即max{r1r2r3AB中的D,ABD線性表共同示,即CD線性表示,從而CD線性表示，所以秩C秩(D),D為r1r2階矩陣，所以秩Dr1r2即r311.證明RABRARB.r1r2.6證明:A(aa,a)TB(b,b,,b)T1 2n1 2n組的最大無關(guān)組分別為,,,T TTrAB行顯然,, ,,TTTs1 212AB,使得aT bTTT 1111aT bTTT證明:A(aa,a)TB(b,b,,b)T1 2n1 2n組的最大無關(guān)組分別為,,,T TTrAB行顯然,, ,,TTTs1 212AB,使得aT bTTT 1111aT bTTT AB2222, TTTTabn sn saTbTTT 1111aTbTTT A BAB2222 TbTTTan n s s因此RABRARB12．設(shè)組Bb1,br能由Aa1,as線性表示為(b1,,br)(a1,,as)K，K為srA組線性無關(guān)。證明B組線性無關(guān)的充分必要條K的秩R(K)r.證明若B組線性無關(guān)令B(b1br)A(a1as則有BAKR(B)RAK)minRAR(K)}R(K)由B組b1b2,brR(B)r，故R(K)r.又知K為rsR(K)min{rs}B:b1b2br能由A:a1a2as線性表示則由于rsmin{r,s}r綜上所述知rRK)rR(K)r．R(k)rx1b1x2b2xrbr0,xi為實(shí)數(shù)i1,2,rx1 則有(b1b2,br)0x r7x1 又(b1,br)(a1,as)K,則(a1,as)K0x rx1 又(b1,br)(a1,as)K,則(a1,as)K0x rx1 由于aa,a線性無關(guān),Kx20 1 2s x rk21x2kr1xr0k11x1kxk xk x0121 222r2r即k（1）xk xkx01r 1 2r 2rr rkxk xkx01s1 2s 2rs r由于R(K)r則(1)式等價(jià)于下列方程組:k21x2kr1xr0k11x1kxk xk x0121 222r2rk1rx1k2rx2krrxr0k11k21k22k2rkr1kr2krrk12由于0k1r0所以b1b2,br線性無關(guān),所以方程組只有零解證畢.rV1{V2{問V1,V2是不是nR滿足nR滿足0}1}2,,2,,nn空間？為什么？證明 集合V成為空間只需滿足條件：若VV，則V若VR，則VV1是空間，因?yàn)椋?(1,2,,n) 0T1 2 n(1,2,,n) (1,2,,n) 0T1 2 n(1,2,,n) 0T1 2 n(, ,, )T11 22nn且(11(22(nn)(12n)(12n)0故V1R,(1,2,,n)12n(12n00故V1V2不是空間，因?yàn)椋?11)(22)(nn)(12n(12n112故V2R,(1,2,,n)12n(12n)1故當(dāng)1V2由),a(1,0,1),a(1,1,0)所生成的T T T2 3就R3.證明 設(shè)A(a1,a2,a3)空間01110111011010(1)11A120a1,a2,a301于是RA)3故線性無關(guān).由于a1a2a3均為三維,3,的一組基,故由a1a2a3所生成的所以a1a2a3為此三R3.空間空間記作V,由121a(0,1,1,1)T所生成的空間記作V,試證122V1V2.證明 設(shè)Vxkakak,kR111 221 1,R21 1 2 21 1,可寫成k1a1k2a2,任取V1中一要證k1a1k2a2V2,從而得V1V2由k1a1k2a21122得9k221k1k2kk1 2 11 1 2kk31 2 1 22k2312上式中,把k1,k2看成已知數(shù),把k221k1k2kk1 2 11 1 2kk31 2 1 22k2312上式中,把k1,k2看成已知數(shù),把1,2看成未知數(shù)2020有唯一解D11 21 1V1V2110)同理可證:VV (D21210故V1V2R3的一個(gè)基,并把16．12v1(5,0,7),v(9,8,13)用這個(gè)基線性表示.T T211021331260解由于a1a2a3即矩陣(a1a2a333故a1a2a3R的一個(gè)基.k1a1k2a2k3a3，則設(shè)v12k23k352k1k1kkk 0k 31 2 323k2k 7k1 233故v12a13a2a3設(shè)v21a12a23a3，則3393k122 8k 313232 13k2 233故線性表示為v23a13a22a317．求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:1082110232x021xxx(1)(2)5422x013213x0268312xn1321(3)nx1(n1)xn.11056x124x348解(1)3所以原方程組等價(jià)于4482110232x021xxx(1)(2)5422x013213x0268312xn1321(3)nx1(n1)xn.11056x124x348解(1)3所以原方程組等價(jià)于444x31,x43x14x20x30x44x10x2140 0 1,因此基礎(chǔ)解系為 0121 3 4 32462(2)A387所以原方程組等價(jià)于219141911971913231,x42x10,x20x3x30x419x11x2701 因此基礎(chǔ)解系為0,71012 2 19 (3)原方程組即為xnnx1(n1)x22xnxn10xnn取3取 ,1 0xn(n1)n12 ,1 21x0xn2010n1取n11000)所以基礎(chǔ)解系為(,,,n11 201nxn10xnn取3取 ,1 0xn(n1)n12 ,1 21x0xn2010n1取n11000)所以基礎(chǔ)解系為(,,,n11 201n225212318A,求一個(gè)42矩陣BAB0,且98R(B)2.101則由0BR(B)2,所以可設(shè)x解x12x3x4102523001201AB98 x0可得x021x3x40x121010230800 3x22,解此非齊次線性方程組可得唯一解0x2903 8x4511 012 1x11 x02 ，B111．2x3522 x 215 41 2221219．求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為1(0,1,2,3),1(3,2,1,0).T T解顯然原方程組的通解為x103 x2k1k19．求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為1(0,1,2,3),1(3,2,1,0).T T解顯然原方程組的通解為x103 x2k1k2,(k,kR)x1221123 3 0x4即去k,k得1 232 0此即所求的齊次線性方程組.023齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1,2,3是它．且的三個(gè)解21 3，24312 3 5 4 求該方程組的通解． 解由于矩陣的秩為，且由于1,2,3均為方程組的解，方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得123)21(齊1332 xk43，(kR)為其基礎(chǔ)解系54 6 5 32 xk43，(kR)為其基礎(chǔ)解系54 6 5 21．設(shè)A,B都是n階方陣，且AB0，證明R(A)R(B)n．證明 設(shè)A的秩為r1，B的秩為r2，則由AB0知，B的每一列都是以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解．當(dāng)r1n時(shí),該齊次線性方程組只有零解,故此時(shí)B0,當(dāng)r1n時(shí),該齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有nr1個(gè),從而B的列組的秩nr1,即r2nr1,此時(shí)r2nr1,結(jié)論成立。RAR(B)n．22．設(shè)nAA2AE為n階R(A)R(AE)n(提示:1121的結(jié)論)矩陣,證明A(AE)A2AA證明21題所證可知RARAEn又RAE)R(EA)11題所證可知R(A)R(AE由此RARAE)n．23．求下列非齊次方程組的一個(gè)系：對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解x15,3x4x23(2)52x1,x2(1)343 453;4 2xx23 411130120222解(1)51481 13,110021262(2)5249 11281 13,110021262(2)5249 112 11 ,, 120702 0024．設(shè)是非齊次線性方程組Axb的一個(gè)解,,, 是對(duì)應(yīng)的齊1 nr次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:(1),,, 線性無關(guān)；1 nr(2,,, 線性無關(guān)。1 nr證明(1)反證法,假設(shè),,, 線性相關(guān),則1 nrC0C1,Cnr使得下式成立:著不全為0CCC 0(1)nrnr011C00否則,1,,nr線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生。由于為特解，,, 為基礎(chǔ)解系，故得1 nrA(CCC011而由(1)式可得A(CCC 011故b0，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得b0,假設(shè)不成立,故,,, 線性無關(guān).1 nr產(chǎn)生(2)反證法,假使,,, 線性相關(guān).1 nr的數(shù)C0,C1,,Cnr使得下式成立:則著不CC()（2）011即(C0C1Cnr)1C0C1Cnr0,由于1,,nr是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解152C0C1Cnr0,由(2)式得