高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計問題的題型與方法

高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計問題的題型與方法第一部分：高二數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計的問題與方法2第110-113課時概率統(tǒng)計的題型和方法一、評審目標(biāo)：1.了解典型分布列表：0~1分布，二項分布，幾何分布。2.理解離散型隨機變量的期望值和方差的含義，根據(jù)離散型隨機變量的分布表計算期望值和方差。3.在實踐中，期望值通常用于比較兩個相似事件的水平。當(dāng)水平相似時，方差用于比較兩個相似事件的穩(wěn)定性。4.理解正態(tài)分布的含義，借助正態(tài)曲線的形象理解正態(tài)曲線的本質(zhì)。5.理解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的含義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體n(？2)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)公式F(x)？(x？？)及其應(yīng)用。6.通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖了解假設(shè)檢驗的基本思想。7.理解相關(guān)、回歸分析、散點圖等概念。求回歸線性方程。8.了解相關(guān)系數(shù)的計算公式及其意義，利用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計算。了解相關(guān)性檢驗的方法和步驟，運用相關(guān)性檢驗方法進(jìn)行檢驗。了解隨機變量和離散隨機變量的含義，有助于你找出一些簡單的離散隨機變量的分布列表。Understanding離散型隨機變量的期望值和方差的意義根據(jù)離散型隨機變量的分布列表，會找出期望值和方差。會使用常見的抽樣方法如抽取抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等從總體中抽取樣本。樣本頻率分布將用于估計總體分布。了解正態(tài)分布的意義和主要性質(zhì)。[6]了解假設(shè)檢驗的基本思想?？傮w將根據(jù)樣本的特征數(shù)進(jìn)行估計。懂得線性回歸的方法。三。教學(xué)過程：(一)基礎(chǔ)知識的詳細(xì)分析隨機事件和統(tǒng)計的知識結(jié)構(gòu)：隨機事件和統(tǒng)計的執(zhí)行摘要1.主要內(nèi)容有分布表，離散型隨機變量的期望和方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布和線性回歸。2.隨機變量的概率分布(1)離散隨機變量分布表：兩個基本性質(zhì)pi？0(我？1,2,);P1P2？=1。(2)連續(xù)隨機變量的概率分布：從頻率分布直方圖估計總體分布密度曲線y=f(x);人口分布密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì)：f(x)0(xR)；曲線y=f(x)與X軸圍成的面積為1。3.隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望：e？x1p1？x2p2？反映隨機變量值的平均水平。(2)離散隨機變量的方差：d？(x1？e？)2p1？(x2？e？)2p2？(xn？e？)pn？反映隨機變量的穩(wěn)定和波動程度、集中和分散程度。(3)基本性質(zhì)：E(a？b)？aE？b；D(a？b)？a2D？4.三種采樣方法。5.二項式分布和正態(tài)分布(1)記住是一個事件在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)，那么~b(n，p)；kkn？k概率Pn(k)？Cnpq(q？1?p，k？0,1,2,(名詞).期望E=np，方差D=npq。(2)正態(tài)分布密度函數(shù)：f(x)？212?e？(x？)22?2期望E=，方差d？(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果？~N(？2)，然后呢？p(？b)？(?~N(0，1)，b？？),P(a？b)？(b？？)?(a？？)。6.線性回歸：當(dāng)變量X的值為常數(shù)時，如果對應(yīng)變量Y的值是隨機的，則稱變量Y與X具有相關(guān)性，對于它們的一組觀測值，如果平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點一般集中在一條直線附近，則稱變量Y與X具有線性相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)用于檢驗線性相關(guān)的顯著水平。通常，0.05自由度n-2的顯著水平的r0.05是通過查表得到的。如果R？R0.05顯著；否則無足輕重。(三)離散隨機變量分布表隨機變量：如果隨機實驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量稱為隨機變量。兩種最常見的隨機變量是離散隨機變量和連續(xù)隨機變量。如果隨機變量的可能值能按一定的順序一一列出，這樣的隨機變量稱為離散隨機變量；如果一個隨機變量可以取一定范圍內(nèi)的所有值，這樣的隨機變量稱為連續(xù)隨機變量。離散隨機變量的分布列表：如果離散隨機變量呢？的可能值是Xi(I=1，2，)，因為實驗的結(jié)果有一定的概率，所以隨機變量？也有一定概率p(？=Xi)=圓周率分發(fā)列表的表達(dá)方式可以是：(1)表格形式；(2)一組方程；(3)壓縮成一個帶“我”的方程。1.在實際問題中，人們往往關(guān)心隨機變量的特征，而不是隨機變量的具體值。離散隨機變量的期望和方差是隨機變量的特征數(shù)。期望值反映了隨機變量的平均值，方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機變量的穩(wěn)定程度、波動程度、集中程度和分散程度。標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身具有相同的單位。2.離散隨機變量的期望和方差的計算公式設(shè)置離散隨機變量？分發(fā)列表是p(？=Xi)=，i=1，2，然后：e？=?x我？1?ipi，D？=?(xi-E？)pi=？xi2pi-(E？)2=E(？2)-(E？)2。2?我？1i？一個3.離散隨機變量的期望和方差的性質(zhì)E(a？+b)=aE？+b，D(a？+b)=a2D？4.二項分布的期望和方差如果？~b(n，p)，那么e？=np，D？=np(1-p).取樣方法三種常見的采樣方法：1.簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的數(shù)目為n，如果從中逐個抽取一個樣本，每次抽取每個個體的概率相等，這樣的抽樣稱為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。2.系統(tǒng)抽樣：當(dāng)群體中有大量時，可以將群體分成若干個平衡的部分，然后按照預(yù)定的規(guī)則，從每個部分抽取一個個體，得到所需的樣本。這種抽樣稱為系統(tǒng)抽樣(也稱為機械抽樣)。系統(tǒng)取樣的步驟可以總結(jié)如下：（1）將總體中的個體編號；（2）將整個的編號進(jìn)行分段；（3）確定起始的個體編號；（4）抽取樣本。3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。㈤總體分布的估計總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布?？傮w密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。㈥正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：f(x)?12??e?(x??)22?，x?(??,??)①式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個總體是有無限容2量的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(μ，σ)。①的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)①中，當(dāng)μ=0，σ=1時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是f(x)?12?e?x22，x?(??,??)，②相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個總體的分布時，往往總是從總體中抽取一個樣本，并用樣本的頻率分布去估計總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖就會演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線?？梢灾?，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。1．正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測量的誤差；炮彈落點的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述，另外，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。2．正態(tài)曲線及其性質(zhì)對于正態(tài)分布函數(shù)：f(x)?12??e?(x??)22?2，x∈（-∞，+∞）由于中學(xué)知識范圍的限制，不必去深究它的來龍去脈，但對其函數(shù)圖像即正態(tài)曲線可通過描點（或計算機中的繪圖工具）畫出課本圖1-4中的圖（1）、（2）、（3），由此，我們不難自己總結(jié)出正態(tài)曲線的性質(zhì)。3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，它是本小節(jié)的重點。由于它具有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。對于抽像函數(shù)??(x0)?p(x?x0)，課本中沒有給出具體的表達(dá)式，但其幾何意義非常明顯，即由正態(tài)曲線N（0，1）、x軸、直線x?x0所圍成的圖形的面積。再由N（0，1）的曲線關(guān)于y軸對稱，可以得出等式??(x0)?1??(x0)，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率P??(b)??(a)。4．一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體N(?,?2)其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，所以，研究其在某個區(qū)間(x1,x2)的概率時，無法利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行計算。這時我們自然會思考：能否將一般的正態(tài)總體N(?,?2)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)總體N（0，1）進(jìn)行研究。人們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：對于任一正態(tài)總體N(?,?2)，其取值小于x的概率F(x)??(x???)。對于這個公式，課本中不加證明地給出，只用了“事實上，可以證明”這幾個字說明。這表明，對等式F(x)??(x???)的來由不作要求，只要會用它求正態(tài)總體N(?,?2)在某個特定區(qū)間的概率即可。5．“小概率事件”和假設(shè)檢驗的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，因為對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗20次，才能發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點。關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認(rèn)識：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，因為試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，我們也有5%的犯錯誤的可能。就是說，這里在概率的意義上所作的推理與過去確定性數(shù)學(xué)中的“若a則b”式的推理有所不同。課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗的基本思想。進(jìn)行假設(shè)檢驗一般分三步：第一步，提出統(tǒng)計假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計假設(shè)是這個工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布N(?,?)。第二步，確定一次試驗中的取值a是否落入范圍（μ-3σ，μ+3σ）。第三步，作出推斷。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受統(tǒng)計假設(shè)；如果a?(??3?,??3?)，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè)。上面這種拒絕統(tǒng)計假設(shè)的推理，與我們過去學(xué)習(xí)過的反證法有類似之處。事實上，用反證法證明一個問題時，先否定待證命題的結(jié)論，這本身看成一個新的命題，從它出發(fā)進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)了矛盾，就把這個矛盾歸因于前述新命題不正確，從而將它否定。否定了新命題，也就等于證明了原命題的結(jié)論。2㈦線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系?；貧w直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點??a?bx。y大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：其中篇二：概率與統(tǒng)計問題的題型與方法第7講概率與統(tǒng)計問題的題型與方法（4課時）一、考試內(nèi)容離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的期望值和平方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計，線性回歸。二、考試要求⑴了解隨機變量、離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列。⑵了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。⑶會用抽機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。⑷會用樣本頻率分布去估計總體分布。⑸了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。⑹了解假設(shè)檢驗的基本思想。⑺會根據(jù)樣本的特征數(shù)估計總體。⑻了解線性回歸的方法。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1．了解典型分布列：0～1分布，二項分布，幾何分布。2．了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差3．在實際中經(jīng)常用期望來比較兩個類似事件的水平，當(dāng)水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩(wěn)定程度。4．了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。5．了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體N(?,?)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式F(x)??(2x???)及其應(yīng)用。6．通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗的基本思想。7．了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點圖等概念，會求回歸直線方程。8．了解相關(guān)系數(shù)的計算公式及其意義，會用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計算。9．了解相關(guān)性檢驗的方法與步驟，會用相關(guān)性檢驗方法進(jìn)行檢驗。四、雙基透視㈠隨機事件和統(tǒng)計的知識結(jié)構(gòu)：㈡隨機事件和統(tǒng)計的內(nèi)容提要1．主要內(nèi)容是離散型隨機變量的分布列、期望與方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布和線性回歸。2．隨機變量的概率分布（1）離散型隨機變量的分布列：兩條基本性質(zhì)①pi?0(i?1,2,?)；②P1+P2+?=1。（2）連續(xù)型隨機變量概率分布：由頻率分布直方圖，估計總體分布密度曲線y=f(x)；總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：①f(x)≥0(x∈R)；②由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。3．隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差（1）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：E??x1p1?x2p2??；反映隨機變量取值的平均水平。（2）離散型隨機變量的方差：2D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)pn??；反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。（3）基本性質(zhì)：E(a??b)?aE??b；D(a??b)?a2D?。4．三種抽樣方法。5．二項分布和正態(tài)分布（1）記ε是n次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則ε～B（n，p）；kkn?k其概率Pn(k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2,?,n)。期望Eε=np，方差Dε=npq。（2）正態(tài)分布密度函數(shù)：f(x)?12??e?(x??)22?2期望Eε=μ，方差D???。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：2若?~N(?,?)，則?????~N(0,1)，?P(??b)??(b???)，P(a???b)??(b???)??(a???)。6．線性回歸：當(dāng)變量x取值一定時，如果相應(yīng)的變量y的取值帶有一定的隨機性，那么就說變量y與x具有相關(guān)關(guān)系。對于它們的一組觀測值來說，如果與之相應(yīng)的在平面直角坐標(biāo)系中的點大體上集中在一條直線的附近，就說變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)用來檢驗線性相關(guān)顯著水平，通常通過查表取顯著水平0.05自由度n-2的r0.05，若r?r0.05為顯著；否則為不顯著。㈢離散型隨機變量的分布列隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量最常見的兩種類型，即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的分布列：如果離散型隨機變量?的可能取值為xi（i＝1，2，?），由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，于是隨機變量?取每一個值也有一定的概率P（?＝xi）＝pi分布列的表達(dá)式可有如下幾種：（1）表格形式；（2）一組等式；（3）壓縮為一個帶“i”的等式。1．在實際問題中，人們常關(guān)心隨機變量的特征，而不是隨機變量的具體值。離散型隨機變量的期望和方差都是隨機變量的特征數(shù)，期望反映了隨機變量的平均取值，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位。2．離散型隨機變量期望和方差的計算公式設(shè)離散型隨機變量?的分布列為P（?＝xi）＝pi，i＝1，2，?，則：E?＝?xp，D?＝?(x－E?)p＝?xiii2i???2ipi－(E?)2＝E(?2)－(E?)2。i?1i?1i?13．離散型隨機變量期望和方差的性質(zhì)E(a?＋b)＝aE?＋b，D(a?＋b)＝a2D?。4．二項分布的期望與方差若?～B(n，p)，則E?＝np，D?＝np(1－p)。㈣抽樣方法三種常用抽樣方法：1．簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（1）將總體中的個體編號；（2）將整個的編號進(jìn)行分段；（3）確定起始的個體編號；（4）抽取樣本。3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。㈤總體分布的估計總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布?？傮w密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。㈥正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：f(x)?12e?(x??)22?2，x?(??,??)①式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個總體是有無限容量2的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(μ，σ)。①的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)①中，當(dāng)μ=0，σ=1時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是f(x)?12?e?x22，x?(??,??)，②相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個總體的分布時，往往總是從總體中抽取一個樣本，并用樣本的頻率分布去估計總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖就會演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線?？梢灾?，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。1．正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測量的誤差；炮彈落點的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述，另外，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。2．正態(tài)曲線及其性質(zhì)對于正態(tài)分布函數(shù)：f(x)?12??e?(x??)22?2，x∈（-∞，+∞）由于中學(xué)知識范圍的限制，不必去深究它的來龍去脈，但對其函數(shù)圖像即正態(tài)曲線可通過描點（或計算機中的繪圖工具）畫出課本圖1-4中的圖（1）、（2）、（3），由此，我們不難自己總結(jié)出正態(tài)曲線的性質(zhì)。3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，它是本小節(jié)的重點。由于它具有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。對于抽像函數(shù)??(x0)?p(x?x0)，課本中沒有給出具體的表達(dá)式，但其幾何意義非常明顯，即由正態(tài)曲線N（0，1）、x軸、直線x?x0所圍成的圖形的面積。再由N（0，1）的曲線關(guān)于y軸對稱，可以得出等式??(x0)?1??(x0)，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率P??(b)??(a)。4．一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體N(?,?)其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，所以，研究其在某個區(qū)間2(x1,x2)的概率時，無法利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行計算。這時我們自然會思考：能否將一般的正態(tài)總體N(?,?)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)總體N（0，1）進(jìn)行研究。人們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：對于任一正態(tài)總體N(?,?)，其取值小于x的概率F(x)??(22x???)。對于這個公式，課本中不加證明地給出，只用了“事實上，可以證明”這幾個字說明。這表明，對等式F(x)??(x???2)的來由不作要求，只要會用它求正態(tài)總體N(?,?)在某個特定區(qū)間的概率即可。5．“小概率事件”和假設(shè)檢驗的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，因為對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗20次，才能發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點。關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認(rèn)識：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，因為試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，我們也有5%的犯錯誤的可能。就是說，這里在概率的意義上所作的推理與過去確定性數(shù)學(xué)中的“若a則b”式的推理有所不同。課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗的基本思想。進(jìn)行假設(shè)檢驗一般分三步：第一步，提出統(tǒng)計假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計假設(shè)是這個工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布N(?,?2)。第二步，確定一次試驗中的取值a是否落入范圍（μ-3σ，μ+3σ）。第三步，作出推斷。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受統(tǒng)計假設(shè)；如果a?(??3?,??3?)，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè)。上面這種拒絕統(tǒng)計假設(shè)的推理，與我們過去學(xué)習(xí)過的反證法有類似之處。事實上，用反證法證明一個問題時，先否定待證命題的結(jié)論，這本身看成一個新的命題，從它出發(fā)進(jìn)行推理，如果出現(xiàn)了矛盾，就把這個矛盾歸因于前述新命題不正確，從而將它否定。否定了新命題，也就等于證明了原命題的結(jié)論。㈦線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系?；貧w直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點大??a?bx。致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：y其中nnb??(xi?1ni?x)(yi?y)?i?xyii?1ni?nxy?nx2，a?y?bx。我們稱這個方程為y對x的回歸?(xi?1?x)2?xi?12i直線方程。1．相關(guān)關(guān)系研究兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個方面加以認(rèn)識：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長x之間的關(guān)系S?x就是函數(shù)關(guān)系。即對于邊長x的每一個確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費等等都是相關(guān)關(guān)系。（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，身高與閱讀技能有很強的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個因素——年齡，當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大身高也會高些。（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測量邊長時，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機性。而對于具有線性關(guān)系的兩個變量來說，當(dāng)求得其回歸2篇三：第7講概率與統(tǒng)計問題的題型與方法第7講概率與統(tǒng)計問題的題型與方法（4課時）一、考試內(nèi)容離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的期望值和平方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計，線性回歸。二、考試要求⑴了解隨機變量、離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列。⑵了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。⑶會用抽機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。⑷會用樣本頻率分布去估計總體分布。⑸了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。⑹了解假設(shè)檢驗的基本思想。⑺會根據(jù)樣本的特征數(shù)估計總體。⑻了解線性回歸的方法。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1．了解典型分布列：0～1分布，二項分布，幾何分布。2．了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。3．在實際中經(jīng)常用期望來比較兩個類似事件的水平，當(dāng)水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩(wěn)定程度。4．了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。5．了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體N(?,?)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式F(x)??(2x???)及其應(yīng)用。6．通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗的基本思想。7．了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點圖等概念，會求回歸直線方程。8．了解相關(guān)系數(shù)的計算公式及其意義，會用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計算。9．了解相關(guān)性檢驗的方法與步驟，會用相關(guān)性檢驗方法進(jìn)行檢驗。四、雙基透視㈠隨機事件和統(tǒng)計的知識結(jié)構(gòu)：㈡隨機事件和統(tǒng)計的內(nèi)容提要1．主要內(nèi)容是離散型隨機變量的分布列、期望與方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布和線性回歸。2．隨機變量的概率分布（1）離散型隨機變量的分布列：兩條基本性質(zhì)①pi?0(i?1,2,?)；②P1+P2+?=1。（2）連續(xù)型隨機變量概率分布：由頻率分布直方圖，估計總體分布密度曲線y=f(x)；總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：①f(x)≥0(x∈R)；②由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。3．隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差（1）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：E??x1p1?x2p2??；反映隨機變量取值的平均水平。（2）離散型隨機變量的方差：2D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)pn??；反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。（3）基本性質(zhì)：E(a??b)?aE??b；D(a??b)?a2D?。4．三種抽樣方法。5．二項分布和正態(tài)分布（1）記ε是n次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則ε～B（n，p）；kkn?k其概率Pn(k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2,?,n)。期望Eε=np，方差Dε=npq。（2）正態(tài)分布密度函數(shù)：f(x)?12??e?(x??)22?22期望Eε=μ，方差D???。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：2若?~N(?,?)，則?????~N(0,1)，?P(??b)??(b???)，P(a???b)??(b???)??(a???)。6．線性回歸：當(dāng)變量x取值一定時，如果相應(yīng)的變量y的取值帶有一定的隨機性，那么就說變量y與x具有相關(guān)關(guān)系。對于它們的一組觀測值來說，如果與之相應(yīng)的在平面直角坐標(biāo)系中的點大體上集中在一條直線的附近，就說變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)用來檢驗線性相關(guān)顯著水平，通常通過查表取顯著水平0.05自由度n-2的r0.05，若r?r0.05為顯著；否則為不顯著。㈢離散型隨機變量的分布列隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量最常見的兩種類型，即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的分布列：如果離散型隨機變量?的可能取值為xi（i＝1，2，?），由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，于是隨機變量?取每一個值也有一定的概率P（?＝xi）＝pi分布列的表達(dá)式可有如下幾種：（1）表格形式；（2）一組等式；（3）壓縮為一個帶“i”的等式。1．在實際問題中，人們常關(guān)心隨機變量的特征，而不是隨機變量的具體值。離散型隨機變量的期望和方差都是隨機變量的特征數(shù)，期望反映了隨機變量的平均取值，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位。2．離散型隨機變量期望和方差的計算公式設(shè)離散型隨機變量?的分布列為P（?＝xi）＝pi，i＝1，2，?，則：E?＝?xp，D?＝?(x－E?)p＝?xiii2i???2ipi－(E?)2＝E(?2)－(E?)2。i?1i?1i?13．離散型隨機變量期望和方差的性質(zhì)E(a?＋b)＝aE?＋b，D(a?＋b)＝a2D?。4．二項分布的期望與方差若?～B(n，p)，則E?＝np，D?＝np(1－p)。㈣抽樣方法三種常用抽樣方法：1．簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（1）將總體中的個體編號；（2）將整個的編號進(jìn)行分段；（3）確定起始的個體編號；（4）抽取樣本。3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。㈤總體分布的估計總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布?？傮w密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。㈥正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：f(x)?12??e?(x??)22?，x?(??,??)①式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個總體是有無限容量2的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(μ，σ)。①的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)①中，當(dāng)μ=0，σ=1時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是f(x)?12?e?x22，x?(??,??)，②相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個總體的分布時，往往總是從總體中抽取一個樣本，并用樣本的頻率分布去估計總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖就會演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線?？梢灾?，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。1．正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測量的誤差；炮彈落點的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述，另外，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。2．正態(tài)曲線及其性質(zhì)對于正態(tài)分布函數(shù)：f(x)?12e?(x??)22?2，x∈（-∞，+∞）3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)