多元函數(shù)微分學(xué)與應(yīng)用課件

一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)1一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。隱函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有2函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性復(fù)合函數(shù)(構(gòu)32極限

極限定義的等價(jià)形式

(以為例)極限運(yùn)算法則2極限極限定義的等價(jià)形式(以4無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價(jià)無窮小:

兩個(gè)重要極限～～～～～～～～～等價(jià)無窮小代換無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價(jià)無窮小:5存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說明:定理中63.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類（左右極限存在7例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:例1.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=8例2.

若，求a與b的值。例2.若，求a與b的值。9二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)微10例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:112.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。└唠A導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記住12例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：13三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對該變量求導(dǎo)。三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合144.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連15例6.

已知解:為正常數(shù)），求例6.已知解:為正常數(shù)），求16解：設(shè)則例7.設(shè)解：設(shè)則例7.設(shè)17四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)。解：由解得得代入所求點(diǎn)為：四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平18函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),2.函數(shù)的性態(tài):注意:1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.設(shè)函數(shù)則19極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,20極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)21例9.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例9.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得22定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則23例9.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例9.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑24的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖25說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.極值必要條件函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值,則有存在多元函數(shù)極值與最值問題極值的必要條件與充分條件說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).極值必要條件函數(shù)26時(shí),具有極值

極值充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)時(shí),具有極值極值充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)27極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法28引入輔助函數(shù)則極值點(diǎn)滿足:方法2拉格朗日乘數(shù)法.解該方程組，得極值點(diǎn)。引入輔助函數(shù)則極值點(diǎn)滿足:方法2拉格朗日乘數(shù)法.解該方29一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)30一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。隱函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有31函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性復(fù)合函數(shù)(構(gòu)322極限

極限定義的等價(jià)形式

(以為例)極限運(yùn)算法則2極限極限定義的等價(jià)形式(以33無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價(jià)無窮小:

兩個(gè)重要極限～～～～～～～～～等價(jià)無窮小代換無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價(jià)無窮小:34存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說明:定理中353.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類（左右極限存在36例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:例1.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=37例2.

若，求a與b的值。例2.若，求a與b的值。38二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)微39例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:402.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。└唠A導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記住41例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：42三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對該變量求導(dǎo)。三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合434.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連44例6.

已知解:為正常數(shù)），求例6.已知解:為正常數(shù)），求45解：設(shè)則例7.設(shè)解：設(shè)則例7.設(shè)46四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)。解：由解得得代入所求點(diǎn)為：四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平47函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),2.函數(shù)的性態(tài):注意:1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.設(shè)函數(shù)則48極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,49極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)50例9.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例9.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得51定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則52例9.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例9.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑53的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為