材料力學(xué)-壓桿穩(wěn)定問題

§1

引言

§2

兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

§3

兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

§4

中小柔度桿的臨界應(yīng)力

§5

壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)壓桿穩(wěn)定問題問題的提出:強(qiáng)度條件是否適用于下列拉壓桿？回顧：拉壓桿的強(qiáng)度條件§1

引言FFFF短粗桿FFFF細(xì)長(zhǎng)桿壓桿工程實(shí)例：壓桿工程實(shí)例：左圖：隋朝建成的趙州橋右圖：Tacoma海峽大橋1940年破壞Euler(1707-1783)首先從理論上研究了壓桿穩(wěn)定問題(Euler理論）

工程實(shí)例：石橋、鋼橋與穩(wěn)定問題剛體與變形體的穩(wěn)定性

（1）剛性面上，剛性球受微干擾a.合力FR指向平衡位置穩(wěn)定平衡b.FR為0c.FR偏離平衡位置不穩(wěn)定平衡臨界(隨遇)平衡（2）剛桿－彈簧系統(tǒng)受微干擾穩(wěn)定平衡臨界(隨遇)平衡不穩(wěn)定平衡臨界載荷驅(qū)動(dòng)力矩恢復(fù)力矩（3）受壓彈性桿受微干擾F<Fcr

穩(wěn)定平衡F＝Fcr

臨界狀態(tài)壓桿在微彎位置不能平衡,要恢復(fù)直線壓桿微彎位置不能平衡,要繼續(xù)彎曲,導(dǎo)致失穩(wěn)F>Fcr

不穩(wěn)定平衡壓桿在任意微彎位置均可保持平衡臨界載荷－Fcr:壓桿直線形式的平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定時(shí)的軸向壓力值。桁架的穩(wěn)定性為什么桁架要盡可能設(shè)計(jì)成各桿受拉？

其他形式的穩(wěn)定問題窄高梁彎曲薄壁件受外壓薄壁圓筒軸向受壓左側(cè)為風(fēng)速低于顫振速度，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；右側(cè)為風(fēng)速等于顫振速度，結(jié)構(gòu)振動(dòng)發(fā)散。風(fēng)洞顫振試驗(yàn)照片飛機(jī)顫振問題研究§2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷兩端鉸支壓桿臨界載荷實(shí)驗(yàn)測(cè)定

一、臨界載荷的歐拉公式兩端受壓簡(jiǎn)支桿FM(x)xFFFFF臨界平衡狀態(tài)驅(qū)動(dòng)與恢復(fù)內(nèi)力矩驅(qū)動(dòng)內(nèi)力矩恢復(fù)內(nèi)力矩驅(qū)動(dòng)內(nèi)力矩恢復(fù)內(nèi)力矩壓桿穩(wěn)定微分方程FF通解：位移邊界條件：

存在非零解的條件：設(shè)：

n=1臨界載荷歐拉公式FF注意到：臨界載荷（歐拉臨界載荷)與截面抗彎剛度成正比，與桿長(zhǎng)的平方成反比。

二、臨界載荷的歐拉公式的幾點(diǎn)討論壓桿在臨界狀態(tài)時(shí)的平衡是一種有條件的隨遇平衡——可有任意的微彎程度,但軸線形狀一定。兩端簡(jiǎn)支壓桿的撓曲軸高階解的意義：當(dāng)n=2時(shí)，得到：FF（中間支撐不受力）

歐拉公式的適用范圍：Q

壓力沿桿件軸線Q

小撓度(小變形)Q

線彈性Q

理想均質(zhì)材料,細(xì)長(zhǎng)桿FF問題：結(jié)構(gòu)在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)？臨界載荷等于多少？解：臨界載荷例：確定圖示壓桿的臨界載荷(h>b)bhyzxaFFOxyz例：確定圖示壓桿的臨界載荷(h>b)bhFFOxyzyzxa壓桿在x-z平面內(nèi)，壓桿在x-y平面內(nèi)，其中m=0.5～1，Iy<Iz

需要判斷，桿件總沿臨界載荷最小的方向失穩(wěn)小結(jié)1．壓桿的穩(wěn)定性的概念2、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定微分方程3、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷線彈性/小變形桿件總是首先沿著桿件抗彎剛度最小的方向首先失穩(wěn)失穩(wěn)時(shí)，彎曲撓曲線為半個(gè)正弦波歐拉公式的適用范圍：§3兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷

類比法確定臨界載荷

相當(dāng)長(zhǎng)度與長(zhǎng)度因素例題FFF1.

一端固支一端自由：類比法確定臨界載荷觀察：受力與變形與兩端鉸支壓桿左半部分相同類比：一端固支一端自由長(zhǎng)l的壓桿的臨界載荷等于長(zhǎng)2l的對(duì)應(yīng)鉸支壓桿的臨界載荷。2.一端固支、一端鉸支FcrABFcr0.7lFcrBCFcr拐點(diǎn)ABC變形曲線觀察：與B端相距約0.7l處有一拐點(diǎn)C類比：拐點(diǎn)C處彎矩為零，將C點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)到變形前位置，BC段類比鉸支壓桿。近似性討論：由于變形后拐點(diǎn)C離開軸線，B處有約束反力，小變形條件下很小。3.兩端固支壓桿：拐點(diǎn)拐點(diǎn)三、歐拉公式的統(tǒng)一表達(dá)式：ml——相當(dāng)長(zhǎng)度：相當(dāng)?shù)膬啥算q支壓桿的長(zhǎng)度m——長(zhǎng)度因數(shù):支持方式對(duì)臨界載荷的影響歐拉公式可以寫成統(tǒng)一形式：解：為求，先求作用F時(shí)例：剛性梁，兩大柔度桿EI

求失穩(wěn)21剛性梁AD繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)由剛性梁AD的平衡§4中、小柔度桿的臨界應(yīng)力問題：歐拉公式適用范圍？如何研究此范圍之外的壓桿的失效？歐拉公式一般表達(dá)式一、臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力定義——截面的慣性半徑，只與截面形狀相關(guān)——壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，無(wú)量綱量

歐拉公式可以寫成

綜合反映了壓桿長(zhǎng)度l，支撐方式與截面幾何性質(zhì)i對(duì)臨界應(yīng)力的影響。二、Euler公式的適用范圍令Euler公式的適用條件：

p

的壓桿，稱為大柔度桿p：材料常數(shù)，僅與材料彈性模量E及比例極限p有關(guān)三、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式的壓桿－非細(xì)長(zhǎng)桿，屬于超過材料比例極限的穩(wěn)定問題，通常用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。（I）直線型經(jīng)驗(yàn)公式(合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等)

式中a,b為材料常數(shù)，單位MPa,可查表。

常用材料的a、b及l(fā)p值臨界應(yīng)力不能大于材料的極限應(yīng)力，令:lp

ll0

，中柔度桿的壓桿－非細(xì)長(zhǎng)桿p，大柔度桿；lp

ll0

，中柔度桿；

<0，小柔度桿小柔度桿屬于強(qiáng)度問題小柔度桿中柔度桿大柔度桿下述表述正確的是______。中柔度桿采用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力，結(jié)果可能不安全。中柔度桿采用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力，結(jié)果安全，偏于保守。大柔度桿采用中柔度桿公式計(jì)算臨界應(yīng)力，結(jié)果可能不安全。大柔度桿采用中柔度桿公式計(jì)算臨界應(yīng)力，結(jié)果安全，偏于保守。答：A、C大柔度桿中柔小柔

適用于結(jié)構(gòu)鋼與低合金結(jié)構(gòu)鋼等（II）拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式

a1,b1為材料常數(shù)例材料為Q235鋼的圓截面壓桿，兩端鉸支，長(zhǎng)l=1.5m，直徑d=50mm，E=200GPa，

λp=60.試確定其臨界壓力和臨界應(yīng)力。解：1.計(jì)算壓桿的柔度m

=1

圓截面的慣性半徑柔度2.計(jì)算壓桿橫截面的慣性矩3.計(jì)算壓桿的臨界壓力4.計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力例：求臨界壓力。已知：壓桿材料為Q235鋼，E=200GPa，AB桿為矩形截面，BC桿為環(huán)形截面，尺寸如圖所示。解：1.計(jì)算壓桿的柔度AB桿：矩形截面，m

=0.7慣性矩慣性半徑柔度BC桿：環(huán)形截面，m=22.計(jì)算壓桿的臨界壓力AB桿：因?yàn)锳B桿是大柔度桿，所以BC桿：因?yàn)锽C桿是中柔度桿，所以由直線公式計(jì)算因?yàn)锳B桿的臨界壓力小于BC桿，為使結(jié)構(gòu)能夠安全工作（即兩根桿都不失穩(wěn)），結(jié)構(gòu)的臨界壓力應(yīng)取小的值，即FPcr=4.66kN。解:

(1)、計(jì)算鋼管臨界柔度鋼管實(shí)際柔度：Dd例：，，，，，，求不失穩(wěn)允許的溫升。大柔度桿，用Euler公式

(2)計(jì)算臨界失穩(wěn)時(shí)溫升設(shè)溫度增加溫度應(yīng)力令Dd§5壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)一、穩(wěn)定條件：穩(wěn)定許用壓力：穩(wěn)定許用應(yīng)力

：穩(wěn)定安全因數(shù)

選擇穩(wěn)定安全因數(shù)時(shí)，除了遵循確定強(qiáng)度安全因數(shù)的一般原則外，還應(yīng)考慮加載偏心與壓桿初曲等因素。一般：穩(wěn)定安全因數(shù)>強(qiáng)度安全因數(shù)。強(qiáng)度安全系數(shù)取值1.2~2.5，有時(shí)可達(dá)3.5穩(wěn)定安全系數(shù)取值2~5,有時(shí)可達(dá)8~10例：梁，長(zhǎng)l=2m,截面正方形，邊長(zhǎng)b=150mm，經(jīng)驗(yàn)公式，，兩端鉸支，求許可載荷。柱AD截面圓形、直徑d=36mm,長(zhǎng)l’=0.8m,lp=99.3,l0=57，ABPCdbbD求解思路：對(duì)梁AB進(jìn)行強(qiáng)度分析，對(duì)壓桿CD進(jìn)行穩(wěn)定性分析，取兩許可載荷較小者。解：(1)對(duì)梁的強(qiáng)度分析ABPCdbbD(2)對(duì)柱AD的穩(wěn)定性分析對(duì)柱采用中柔度桿公式計(jì)算ABPCdbbD(2)對(duì)柱采用中柔度桿公式計(jì)算注意：對(duì)壓桿，必須先判斷是大柔度、中柔度、還是小柔度桿，才能選用合適的公式計(jì)算。三根圓截面壓桿，直徑為d=160mm，A3鋼，E=200GPa，ss=240MPa，sp=200MPa，兩端均為鉸支，長(zhǎng)度分別為l1、l2、l3，且l1=

2l2=

4

l3=

5m。求各桿的臨界壓力。a=304MPa，b=1.12MPa。例l1=—=125

ml1ii=d/4=40mml2=—=62.5

ml2il3=—=31.25

ml3ilp=

——=99

p2Espls=——=57a-ssbscr

=a-blscr

=——

p2El2scr

=ss例：如圖所示一托架，承受載荷F=10kN,

斜撐桿的外徑D=50mm,內(nèi)徑d=40mm,材料為Q235鋼，若[n]st=3。問：BD桿是否穩(wěn)定。解：1.計(jì)算撐桿內(nèi)力(即工作壓力)以托架ABC為研究對(duì)象，分析受力，由平衡條件，可得SMA=0，F(xiàn)BD=25.71kN2.計(jì)算撐桿的臨界壓力計(jì)算慣性半徑利用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力臨界壓力3.校核撐桿的穩(wěn)定性撐桿是穩(wěn)定的１、選擇合理的截面形狀二提高壓桿穩(wěn)定性的措施二、改變壓桿的約束條件端部約束中間支承三、材料選擇問題E較高的材料，

scr

也高，各種鋼材（或各種鋁合金）的E基本相同大柔度壓桿：高強(qiáng)度鋼一般不提高E，從而不提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性鋁合金:E=70~72GPa中柔