遼寧省大連市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第17頁/共17頁大連市2021~2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的定義直接求解【詳解】因為，，所以，故選：A2.以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的70%分位數(shù)是（）A.86 B.87 C.88 D.89【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義直接得出.【詳解】因為，所以這15人的70%分位數(shù)為第11位數(shù)：88.故選：C.3.已知函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由零點存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.【詳解】由零點存在性定理，可知充分性成立；反之，若函數(shù)在上滿足，但其有零點，故必要性不成立；所以“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點”的充分不必要條件故選：A4.在中，、分別是邊、上的點，且，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘和加減法法則即可求解.【詳解】如圖所示：.故選：A.5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有以下問題：“今有人合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢.問合伙人數(shù)?羊價各是多少.”由此可推算，羊價為（）A.24錢 B.165錢 C.21錢 D.150錢【答案】D【解析】【分析】設(shè)合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程即可解得.【詳解】設(shè)合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程得：，解得：n=21，羊價為：.故選：D6.拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個面上分別表以數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體玩具.設(shè)事件A為“向上一面點數(shù)為偶數(shù)”，事件B為“向上一面點數(shù)為6的約數(shù)”，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式直接計算.【詳解】由題意得：拋擲結(jié)果有6種可能的結(jié)果，事件即為向上一面的點數(shù)為2或4或6，事件即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或6，事件即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或4或6，所以，故選：D.7.神舟十二號載人飛船搭載3名宇航員進入太空，在中國空間站完成了為期三個月的太空駐留任務(wù)，期間進行了很多空間實驗，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)過濾的次數(shù)為，原來水中雜質(zhì)為1，則，即，所以，所以，所以，因為，所以的最小值為14，則至少要過濾14次．故選：C.8.已知冪函數(shù)與的部分圖像如圖所示，直線，與，的圖像分別交于A，B，C，D四點，且，則（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】表示出，由冪函數(shù)的圖象可得，從而得，，再由，代入化簡計算，即可求解出答案.【詳解】由題意，，，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，，，因，所以，因為，可得.故選：B二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，則下列不等式中恒成立的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以恒成立，B：當(dāng)時，顯然成立，但不成立，C：因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號），所以本選項符合題意；D：因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即或時取等號），所以本選項符合題意，故選：ACD10.下列說法不正確的是（）A.若A，B為兩個事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件B.若A，B為兩個事件，則C.若事件A，B，C兩兩互斥，則D.若事件A，B滿足，則A與B相互對立【答案】BCD【解析】【分析】A.“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.,所以該選項錯誤；C.舉反例說明不一定成立，所以該選項錯誤；D.舉反例說明A與B不對立，所以該選項錯誤.【詳解】解：A.若A，B為兩個事件，“A與B互斥”則“A與B不一定相互對立”；“A與B相互對立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.若A，B為兩個事件，則,所以該選項錯誤；C.若事件A，B，C兩兩互斥，則不一定成立，如：擲骰子一次，記向上的點數(shù)為1，向上的點數(shù)為2，向上的點數(shù)為3，事件A，B，C兩兩互斥，則.所以該選項錯誤；D.拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是，擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足，但是A與B不對立，所以該選項錯誤.故選：BCD11.如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）A.(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B.對于平面α內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個C.若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得D.若實數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合平面向量基本定理可選出正確答案.【詳解】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對于B，由平面向量基本定理可知，若一個平面的基底確定，則該平面內(nèi)的任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的，B錯誤.對于C，當(dāng)兩個向量均為零向量時，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時，這樣的λ有無數(shù)個，或當(dāng)為非零向量，而為零向量(λ2=μ2=0)，此時λ不存在.故選:BC.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù).例如：，.已知函數(shù)，，則下列說法中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.在R上是增函數(shù) C.是偶函數(shù) D.的值域是【答案】BD【解析】【分析】對于A：利用函數(shù)奇偶性定義直接判斷；對于B：利用單調(diào)性的四則運算即可判斷；對于C：取特殊值，即可判斷；對于D：直接求出的值域即可判斷.【詳解】對于A：因為函數(shù)，所以函數(shù)，所以，所以是奇函數(shù).故A錯誤；對于B：因，而為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為增函數(shù).故B正確；對于C：因為，而.所以，所以不是偶函數(shù).故C錯誤；對于D：因為，所以，所以的值域為.故D正確.故選：BD【點睛】（1）對函數(shù)奇偶性的證明只能用定義：或；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法：①定義法；②圖像法；③四則運算法；④導(dǎo)數(shù)法.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.13.某校學(xué)生高一年級有400人，高二年級有300人，高三年級有200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有學(xué)生中抽取一個容量為的樣本．已知從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為10，那么=____．【答案】45【解析】【詳解】利用分層抽樣的特點，得，解得.14.已知函數(shù)（且）的圖像過點，其反函數(shù)的圖像過點，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所過的點代入列式求解.【詳解】函數(shù)（且）的圖像過點，反函數(shù)的圖像過點，可得原函數(shù)的圖像過，所以，所以的值為.故答案為：15.如圖，在正方形中，為邊上的動點，設(shè)向量,則的最大值為__________．【答案】3【解析】【詳解】以A為原點，以AB、AD分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），∴，∴∴λ+μ=，令f（x）=，（0≤x≤2）∵f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）max=f（0）=3．故答案為316.已知，若方程有四個根，，，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象知，，得，將已知轉(zhuǎn)化為求的范圍，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為方程有四個根，，，且，則由圖象可知，，，又，可得，則則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，，即即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和對勾函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力.四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知不等式的解集為，當(dāng)時，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求、；（2）當(dāng)時，求證：是的充分條件.【答案】（1），.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用絕對值不等式的解法可求得集合，利用二次不等式的解法可求得集合；（2）分析可知當(dāng)時，，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：由得，解得，即，當(dāng)時，，由得，解得，即.【小問2詳解】解：當(dāng)時，，，則，此時，是的充分條件.18.（1）已知，，三點共線，求的值；（2）在（1）的條件下求線段的兩個三等分點的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三點共線可得，寫出與，然后列方程組求解；（2）先計算出，設(shè)線段的兩個三等分點為，計算出向量和，即可得的坐標(biāo).【詳解】（1）因為，，三點共線，所以可得，又，，所以，所以的值為.（2）由（1）得，，設(shè)線段的兩個三等分點為，則，，所以，所以線段的兩個三等分點的坐標(biāo)為.19.從某學(xué)校隨機抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中x的值；（2）估計該校學(xué)生身高的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）；（3）估計該校學(xué)生身高的75%分位數(shù).【答案】（1）0.06（2）172.25（3）176.25【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中長方形面積之和為1,易求出x；（2）直接利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)；（3）可設(shè)該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為x,再利用頻率分布直方圖計算即得【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，由平均數(shù)公式可得：【小問3詳解】的人數(shù)占比為5×0.02=10%.的人數(shù)占比為5×00.4=20%.所以該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)落在.設(shè)該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為x，則,解得x=176.25.故該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為176.25.20.已知函數(shù)（a是常數(shù)，且）的圖像過定點，函數(shù).（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）解不等式【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定點坐標(biāo)，從而得函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，任取，作差并化簡，并判斷的正負(fù)，從而根據(jù)定義說明單調(diào)性；（2）先證明得函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式變形為，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】因為的圖像過定點，所以，所以定點坐標(biāo)為，則，所以函數(shù)解析式為.任取，則，因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以變形為，當(dāng)時，，所以不等式轉(zhuǎn)化為，解集為，不符合題意；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為.【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性的定義的證明題，一般需要先在區(qū)間上取值，然后作差，并且因式分解，從而判斷的正負(fù)號，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性.21.甲?乙?丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終勝利，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲?乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求比賽四場結(jié)束且丙獲勝的概率；（2）求甲最終獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲失敗的事件為,乙失敗的事件為,丙失敗的事件為,比賽四場結(jié)束且丙獲勝的事件為，根據(jù)題意列出的所有可能，再根據(jù)獨立事件公式即可求出結(jié)果.（2）設(shè)甲失敗的事件為,乙失敗的事件為,丙失敗的事件為,甲最終獲勝事件為，根據(jù)題意列出的所有可能，再根據(jù)獨立事件公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)甲失敗的事件為,乙失敗的事件為,丙失敗的事件為,比賽四場結(jié)束且丙獲勝的事件為，則；【小問2詳解】解：設(shè)甲失敗的事件為,乙失敗的事件為,丙失敗的事件為,甲最終獲勝事件為，則.22.已知函數(shù)（且）．（1）當(dāng)時，解不等式；（2），，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在滿足題意的實數(shù)，，理由見解析．【解析】【分析】（1）把代入，然后結(jié)合對