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人教版初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)測試題及答案一、選擇題VABCOABAB4CDAD分別平分ACB和CABD點,則OD的最小值為().A.1【答案】D【解析】【分析】
B. 222
1 D.2 2根據(jù)三角形角平分線的交點是三角形的內(nèi)心,得到DO最小時,DO為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑,結(jié)合切線長定理得到三角形為等腰直角三角形,從而得到答案.【詳解】解CD,AD分別平分ACB和CAB,交于D點,∴D為的內(nèi)心,ODOD為的內(nèi)切圓的半徑,DOAB,過D作DEAC,DFBC,垂足分別為E,F,DEDFDO,四邊形DFCE為正方形,QO為AB的中點,AB4,AOBO2,由切線長定理得:AOAE2,BOBF2,CECFr,ACBCABsin452 2,2CEACAE2 2,2Q DFCE為正方形,CEDE,222ODCE222故選D.
2,【點睛】本題考查的動態(tài)問題中的線段的最小值,三角形的內(nèi)心的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的計算,掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.如圖,在AC4ABCADBCD,ABCADEAE的長為()2A.2 2
223 2
423 23 D.223 2【答案】C【解析】【分析】在Rt△ADC中,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AD的長度,在Rt△ADB中,由AD的長度及∠ABD的度數(shù)可求出BD的長度,在Rt△EBD中,由BD的長度及∠EBD的度數(shù)可求出DE的長度,再利用AE=AD?DE即可求出AE的長度.【詳解】∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90在Rt△ADC中,AC=4,∠C=4522∴AD=CD=2222 6Rt△ADB中,AD2 6
,∠ABD=603∴BD=3
3 AD= 3 .∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°.Rt△EBD中,BD=236,∠EBD∴DE=
3 2 23 BD= 32 2 4 2∴AE=AD?DE=2 2- 3 = 3故選:C【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),以及利用特殊角三角函數(shù)解直角三角形.如圖,△ABC5,圓心OBC3的正切值等于()3434A.5B.5C.4D.3【答案】C【解析】試題分析:如答圖,過點O作OD⊥BC,垂足為D,連接OB,OC,∵OB=5,OD=3,∴根據(jù)勾股定理得BD=4.1∵∠A=2∠BOC,∴∠A=∠BOD.BD 4∴tanA=tan∠BOD=OD 3.故選D.考點:1.垂徑定理;2.圓周角定理;3.勾股定理;4.銳角三角函數(shù)定義.△ABC中,∠C=90°,DBC△ABCAD重合,EF為折痕,則的值是( )535A.3 B.5
222 D.32【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到AEF,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得到BEDCDF,設(shè)CD1CFx,則CACB2,再根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】解:∵△DEF是△AEF翻折而成,∴△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠EDF=45°,由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°=∠BED+45°,∴∠BED=∠CDF,設(shè)CD=1,CF=x,則CA=CB=2,∴DF=FA=2﹣x,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF2+CD2=DF2,即x2+1=(2﹣x)2,3解得:x4,sinBEDsinCDF故選:B.【點睛】
CF 3 .DF 5本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì),涉及面較廣,但難易適中.如圖,在x繞原點O.若∠BOA的兩邊分別與y
1 2、y 的圖象交于A兩點,則大小的變化趨勢為()x x【答案】D【解析】【分析】
逐漸變大 C.時大時小 D.保持不變BE OE 1 如圖,作輔助線;首先證得到OF AF;設(shè)B為(a,a),A為(,),得到b 2 (,),得到b
,OF=b,AF= ,進(jìn)而得到a2b22,此為解決問題的關(guān)21ab21a2鍵性結(jié)論;運用三角函數(shù)的定義證明知tan∠OAB=22【詳解】
為定值,即可解決問題.解:分別過BABE⊥x軸于點E,AF⊥x軸于點F,則BE OE∴OFAF,設(shè)點B為(a,1 A b 2a),為(,b),OE=-a,EB=1,OF=b,AF=2,a b2b可代入比例式求得a2b22,即a2 ,ba2a21a2OF2AF2b24b2OE2OE2EB2
,OA= ,OB∴tan∠OAB=OA
= =a21aa21a2b24b2b22b22b24b221(4b2)2b2b24b2∴∠OAB大小是一個定值,因此∠OAB的大小保持不變.故選D【點睛】該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識點及其應(yīng)用問題;解題的方法是作輔助線,將分散的條件集中;解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定等知識點來分析、判斷、推理或解答.”.制作方法如下:如圖,設(shè)OA1,以O(shè)0.05,0.1,0.15,0.2,…,0.9,0.95銳角余弦值速查卡可以讀出相應(yīng)銳角余弦的近似值.例如:cos300.87cos450.71.下列角度中余弦值最接近0.94的是()A.【答案】D【解析】【分析】
B.50 C.40 D.20根據(jù)“銳角余弦值速查卡”解答即可.【詳解】從“銳角余弦值速查卡”可以讀出cos200.94,0.94的是20,【點睛】此題考查“銳角余弦值速查卡”,正確讀出“銳角余弦值速查卡”是解題的關(guān)鍵.如圖,在RtVABC中,,30,AD是BAC的角平分線,,則點D到AB的距離( )3A.3
B.3 C.2 3 D.33【答案】C【解析】【分析】如圖,過點DDE⊥ABEAD為∠BACDE=CD的正切CD的值即可得答案.【詳解】∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=60°,∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,DE=CD,∵AC=6,∴CD=AC·tan∠DAC=6×
33 =2 3,即DE=2 3,∴點D到AB的距離為2 3,故選:C.【點睛】本題考查解直角三角形及角平分線的性質(zhì),在直角三角形中,銳角的正弦是角的對邊比斜邊;余弦是鄰邊比斜邊;正切是對邊比鄰邊;余切是鄰邊比對邊;角平分線上的點到角兩邊的距離相等;熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.2AO=5,sinB=5AC的長為()A.1【解析】【分析】
B.2 C.4 D.5首先連接CO并延長交⊙O于點D,連接AD,由CD是⊙O的直徑,可得∠CAD=90°,又由2⊙O的半徑是5,sinB=5,即可求得答案.【詳解】解:連接CO并延長交⊙O于點D,連接AD,由CD是⊙O的直徑,可得∠CAD=90°,∵∠B和∠D所對的弧都為弧AC,2∴∠B=∠D,即sinB=sinD=5,∵半徑AO=5,∴CD=10,∴sinD∴AC=4,故選:C.【點睛】
AC AC 2CD105,本題考查了同弧所對的圓周角相等,以及三角函數(shù)的內(nèi)容,注意到直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.c a在、、c分別為角、、Cabcb的值為( )1A.2 【答案】C【解析】【分析】
2C.1 D.223 1先過點AAD⊥BC于,利用sin601 3
2=2,DB
c,AD cRt△ADC的勾股定理表達(dá)式中,2 2化簡可得即a2+c2=b2+ac,再把此式代入通分后所求的分式中,可求其值等于1.【詳解】解:過AAD⊥BC于DRt△BDA∴DB1c,AD 3c,2 2在Rt△ADC中,DC2=AC2﹣AD2, 1 2 3∴a2c b24c2, 即a2+c2=b2+ac,c a c2cba2ab
a2c2ab
b2acab
1.∴ab cb bcb故選C.
acabbcb2
acabbcb2【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理的內(nèi)容.在直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.注意作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的好方法.如圖,在扇形OAB中,AOB120,點P是弧AB上的一個動點(不與點A、B重合),C、D分別是弦AP,BP的中點.若CD3 3,則扇形AOB的面積為(A.12 B.2 C.D.【答案】A【解析】【分析】OH⊥ABHABOB解決問題.【詳解】解:如圖作OH⊥AB于H.∵C、D分別是弦AP、BP的中點.∴CD是△APB的中位線,∴AB=2CD=6 3,∵OH⊥AB,∴BH=AH=33,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠AOH=∠BOH=60°,AH在Rt△AOH中,AO3 33AH 3 33sinAOH ,2∴扇形AOB的面積為:120gg6212,360故選:A.【點睛】本題考查扇形面積公式,三角形的中位線定理,解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,屬于中考??碱}型.11.AB11.AB的坡比是BC=10mAB的長度是A.15mA.15mB.C.20mD.【解析】【分析】解:解:∵Rt△ABC中,BC=10m,tanA=,∴AC===m∴AC===m.∴AB=m.【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用(坡度坡角問題),銳角三角函數(shù),特殊角的三角函數(shù)值及勾股定理,熟練掌握相關(guān)知識點正確計算是本題的解題關(guān)鍵.如圖,有一個邊長為2cm片,則這個圓形紙片的半徑是()【答案】A【解析】【分析】2cm C.2 D.4cm根據(jù)題意畫出圖形,再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出∠AOB的度數(shù),最后根據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:如圖所示,正六邊形的邊長為2cm,OG⊥BC,∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠BOC=360°÷6=60°,∵OB=OC,OG⊥BC,1∴∠BOG=∠COG=2∠BOC=30°,∵OG⊥BC,OB=OC,BC=2cm,1 1∴BG=2BC=2×2=1cm,∴OB=
BGsin
=2cm,∴OG= OB2BG2 22 3,∴圓形紙片的半徑為3cm,故選:A.【點睛】本題考查的是正多邊形和圓,根據(jù)題意畫出圖形,利用直角三角形的性質(zhì)及正六邊形的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵.111 1 1 △ABC的頂點C與平面直角坐標(biāo)系的原點O重合,頂點A111 1 1 11 111 11x軸與y軸上,且CA=1,∠CAB11 111 11BC ABC ABC 222 333 20193A.(2018+67234035
,0)
B.(2019+673
,0)3C.(3
2
,2
D.(2020+674
,0)333【答案】B333【解析】【分析】根據(jù)題意可知三角形在x軸上的位置每三次為一個循環(huán),又因為20193673,那么.C 相當(dāng)于第一個循環(huán)體的673個C即可算出.2019 3【詳解】C
1,CA
60,11 1 1 1則CBA
30,A
A
2,C
CB
CB
3,1 1 1
11 2
11 2 2 3 3結(jié)合圖形可知,三角形在x軸上的位置每三次為一個循環(huán),Q 20193673,OC2019
2 3)20196733,C (20196733,0),2019故選B.【點睛】.ABAD斜靠在墻CE上,量得BAC60,則竹ABAD的長度之比為().A.2sin70【答案】B【解析】【分析】
B.2cos70 C.2tan70 D. 2tan70直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別表示出AB,AD的長,即可得出答案.【詳解】解:∵∠BAC=60°,∠DAC=70°,AC1∴cos60°=
AB 2,則AB=2AC,AC∴cos70°=
AD,∴AC=AD?cos70°,ACAD=cos70,AB∴AD
2ACAC cos70故選:B.【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確表示出各邊長是解題關(guān)鍵.如圖,點M是正方形ABCD邊CD上一點,連接AM,作DE⊥AM于點E,BF⊥AM于點F,連接BE,若AF=1,四邊形ABED的面積為6,則∠EBF的余弦值是( )1321313
3 2131313 C.3 D.131313【答案】B【解析】【分析】首先證明△ABF≌△DEA得到BF=AE;設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=1,利用四邊形ABED的面1積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到2?x?x+?x×1=6,解方程求出x得到AE=BF=3,則EF=x-1=2,然后利用勾股定理計算出BE,最后利用余弦的定義求解.【詳解】∵四邊形ABCD為正方形,∴BA=AD,∠BAD=90°,∵DE⊥AM于點E,BF⊥AM于點F,∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,在△ABF和△DEA中BFADEAABFEADABDA∴△ABF≌△DEA(AAS),∴BF=AE;設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=1,∵四邊形ABED的面積為6,1 1∴2xx2x16,解得x1=3,x2=﹣4(舍去),∴EF=x﹣1=2,2213在Rt△BEF中,BE221313313∴cosEBFBF 3 .13313BE 13故選B.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì):正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).會運用全等三角形的知識解決線段相等的問題.也考查了解直角三角形.ABCD4,點、FAB、BCAE=BF=1,CE、DF交4四于點O,下列結(jié)論:①∠DOC=90°,②OC=OE,③CE=DF,④tan∠OCD=3四中,正確的有( )邊形EOFB
,⑤S△DOC=S個【答案】D【解析】
B.2個 C.3個 D.4個分析:由正方形ABCD的邊長為4,AE=BF=1,利用SAS易證得△EBC≌△FCD,然后全等三角形的對應(yīng)角相等,易證得①∠DOC=90°正確,③CE=DF正確;②由線段垂直平分線的性質(zhì)與正方形的性質(zhì),可得②錯誤;易證得∠OCD=∠DFC,即可求得④正確;由①易證得⑤正確.詳解:∵正方形ABCD的邊長為4,∴BC=CD=4,∠B=∠DCF=90°.∵AE=BF=1,∴BE=CF=4﹣1=3. BCCD在△EBC和△FCD中,BDCF, BECF∴△EBC≌△FCD(SAS),∴∠CFD=∠BEC,CE=DF,故③正確,∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°,∴∠DOC=90°;故①正確;連接DE,如圖所示,若OC=OE.∵DF⊥EC,∴CD=DE.∵CD=AD<DE(矛盾),故②錯誤;∵∠OCD+∠CDF=90°,∠CDF+∠DFC=90°,∴∠OCD=∠DFC,∴tan∠OCD=tan∠DC 4SDFC=S
FC=3④正確;∵△EBC≌△FCD,∴S正確;
△EBC=S
,∴S△FCDS
﹣S△EBCS
△FOC=S
﹣△FCD
,即S△FOCS
△ODC=S
.故⑤四邊形BEOF⑤故正確的有:①③④⑤.故選D.點睛:本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.此題綜合性較強(qiáng),難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.8ABCDDDF為半徑ADECDG()A.18C【解析】【分析】
B.18 C.
16 D.18
933由菱形的性質(zhì)得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函數(shù)求出菱形的高DF,圖中陰影部分的面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積,根據(jù)面積公式計算即可.33【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,∵DF是菱形的高,∴DF⊥AB,33∴DF=AD?sin60°=8 4 ,3323ABCD的面積DEFG的面積33=843故選:C.【點睛】
120120(4 3)2
16.本題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形和扇形面積的計算;由三角函數(shù)求出菱形的高是解決問題的關(guān)鍵.3是⊙OCD⊥ABEADCD23
.則BC
的長( )A.3
23
33
2 3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理得到CEDE即可利用弧長公式計算解答.【詳解】如圖:連接OD,
3,?
?
,∠A=30°,再利用三角函數(shù)求出OD=2,∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于E點,ADCD2 3,∴CEDE
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