人力資源問題的數學模型

人力資源問題的數學模型人力資源問題的數學模型人力資源問題的數學模型V:1.0精細整理，僅供參考人力資源問題的數學模型日期：20xx年X月人力資源問題的數學模型【摘要】本篇論文解決的是一家大型軟件公司關于人力資源分配問題以及最佳經濟效益問題。在不同的目標任務下，解決軟件公司特殊的人力資源配置問題，并對此做出了具體的分析，并得出了不同優(yōu)化方案。本論文通過對問題進行了合理的假設，通過題目中的已知限定條件和內在限定條件，對函數進行限定及約束，建立函數模型；根據運籌學的整數線性規(guī)劃知識，采用優(yōu)化思想和方法對公司人力資源建立數學模型并創(chuàng)造更好的規(guī)劃方案?？紤]到公司各崗位職工的變動有一定限制，培訓有潛力員工使其升級；降等使用低潛力員工，增加自然離去概率；辭退多余勞動力，減小公司開支。對于問題1：公司的目標是盡量減少辭退職員，因此要充分合理利用公司的內部職員，比如對員工進行培訓、降職措施。但當出現傷病意外等特殊事件，必要時可以額外招聘或是找臨時工。對于問題2：公司的政策是盡量減少支出，設置獎金福利等激勵措施來提高員工工作積極性，進而創(chuàng)造更多利潤，利用培訓低級員工成為高級員工以及對能力欠佳的高級員工進行降等處理，從而達到公司利潤最大化。而我隊對于上述問題將采用單純形法以及MATLAB軟件對其求解?！娟P鍵字】整數線性規(guī)劃優(yōu)化思想和方法人力資源規(guī)劃單純形法一、問題的提出人力資源管理在我國還剛剛起步，為此，我們要進一步轉變觀念，堅持以人為本，重視人力資源開發(fā)，完善激勵機制，堅強企業(yè)文化建設和人力資源管理隊伍建設，以實現從傳統人事管理到現代人力資源管理的轉變，適應社會和經濟發(fā)展的要求。搞好人力資源開發(fā)管理工作已成為我國企業(yè)提高核心競爭力的一個重要方面。本軟件公司擁有以下三類職員：系統分析員，高級程序員，程序員。在當前構成的各類員工前提下，并考慮為滿足今后三年公司對各類職員的需求，見表格：類

別程序員高級程序員系統分析員當前擁有200150100第一年100140100第二年50200150第三年0250200公司會出現跳槽特殊事件等變動，會通過辭退，降等，定期招聘，雇傭臨時工，額外招聘，培訓的方式進行調整公司出于對企業(yè)不同目標的追求，提出如下問題：問題一：如果公司的目標是盡量減少辭退職員。試提出相應的招聘和培訓計劃。問題二：如果公司的政策是盡量減少費用，這樣額外的費用與上面的政策相比，可以減少而辭退的職員將會增加多少二、問題的分析根據市場調研得知，IT行業(yè)諸如軟件公司，其人才流動性很強，造成了公司內部職員流動等現象，因此公司推出相應的招聘和培訓計劃；并制定了減少費用的政策。通過對公司內部職員的流動方式的分析可以得出如下關系：公司職員的流動方式包括三個途徑：1.內部調整2.職員增加3.職員減少。其中內部調整方式包括：培訓、降等；增加方式有：定期招聘、額外招聘、雇用臨時工；減少方式包括：跳槽、辭退、特殊情況。只要企業(yè)能夠合理的采取人力調動措施，該企業(yè)就會發(fā)展壯大，并保持其活力。對于問題一，我們的目標是盡量減少辭退職員，但是由于一些職員中途會有跳槽，所以在年初公司統籌的時候就會考慮適當的多招聘一些職員或者少辭掉一些職員，這樣當人數確實大于需要的人數時就會進行進一步辭退；另一方面，公司還可以通過降職增加職員的自然離去率；為了應對特殊情況所出現的職位空缺現象，公司還要采用額外招聘方案。根據公司對各類職員的需求表可以看出，人員沒有大幅度的變化，可以盡量使用內部員工；額外招聘具有附加費用、效率高等特征，而臨時工費用低、工作量也為正常工作員工的一半；所以第一問中不考慮臨時工。對于問題二：公司的政策是盡量減少費用，不再考慮辭退員工數，即目標函數是總費用的最小值；根據要求，由于辭退職工要付相應的辭退費用，當將要棄用某員工時，盡可能對其進行降等處理，使其有50%的可能性離開公司，相當于變相辭退，且不用付辭退費從而節(jié)省了費用。由于額外招聘費用高，根據對題目中培訓費用和額外招聘附加費數據分析可知：盡量招聘下級職員，再對其進行培訓從而達到公司的人員需求量，這樣會減少相應費用。綜合問題1，2分析：公司各崗位職工的變動有一定限制，培訓有潛力員工使其升級，降等使用低潛力員工，增加自然離去概率；對能力較差的員工進行辭退或降等使用。因此，得出這樣一個關系：下一年的總工作職員數=除去跳槽的年初的所有職員中+除去跳槽的招聘的新員工-本級培訓到上一級職員的人數+下一級職員培訓到本級的人數-辭退職員的人數-本級降等到下一級的職員人數+上級降等到本級的職員人數+臨時工人數。三．模型假設1.在每年的年初進行招聘、辭退、降等以及確定培訓的人數，額外招聘和臨時招聘可以在任意時期進行。2.培訓職員：假設被培訓的人員依舊在自己的崗位上工作，當年終的時候他們屬于高一級的員工，且培訓員工當年年初不再進行辭退和降等，在培訓中可以進行辭退，不可以降等。3.跳槽問題：假設跳槽員工在任何時候都可以跳槽不受時間限制，且額外招聘人員屬于公司正式員工，臨時人員不屬于公司，跳槽包括招聘的人員。4.降等處理：假設降等是為了部分員工跳槽而設的一種管理方案，且降等可以跨級降等使用使用職員，不受鄰級限制，且降等使用的都是一年以上的職員沒有剛晉升的職員，剛招聘的職員不可以降等。5.薪酬假定：假設同等級的正式員工工資相同，且工資都在年末發(fā)放，及跳槽人員一年內沒有工資相映的也不用給公司違約金。6.額外招聘的職員只要經過一次年終結算就變成工齡大于一年的正式員工。四．模型設計符號說明：ai招聘人員（i=1,2,3此時分別表示程序員，高級程序員，系統分析員）bi培訓員工（只限程序員和高級程序員即b1b2）ci辭退員工數di額外招聘員工數ei招聘臨時工數fi降等使用員工數（分別表示由高級程序員到程序員，系統分析員到程序員和系統分析員到高級程序員）An第n年程序員的3人數（n=0,1,2其中n=0時表示初始值）Bn第n年高級程序員的數目Cn第n年系統分析員的數目Fi(c)第i年為公司辭退的職員時辭退員工的總數Mi(c)表示第i年為公司減少的費用1、盡量減少辭退員工方案對問題分析得，公司的目的是為了盡量減少辭退員工，而減少的員工數為三類職員辭退的總和,所以目標函數為:MinFi(c)=c1+c2+c3從公司人員調配中解到，影響到費用增減的主要因素有招聘、培訓、辭退、額外招聘、降等五種。依題意，招聘新程序員、高級程序員和系統分析員最多為50，80，50。培訓的程序員不能超過20人，培訓高級程序員不能超過年初系統分析員職員的四分之一。公司總共可以額外招聘15人；辭退和降等使用員工數不能超過原有員工數減去培訓員工數。招聘的新人和額外招聘的三類職員的跳槽概率分別為25%、20%、10%，老員工的跳槽概率分別為10%、5%、5%；辭退和降等的人數不能超過原有各崗位的人數，額外招聘人數等于跳槽人數和發(fā)生特殊事件人數之和。綜合以上各種條件，得到在盡量減少費用情況下的約束條件為：0≤a1≤500≤a2≤800≤a3≤500≤b1≤200≤b2≤1／4Cn0≤c1≤An-b10≤c2≤Bn-b20≤c3≤Cn0≤f1≤Bn-c2-b20≤f2+f3≤Cn-c30≤d1+d2+d3≤15An+1=(An-b1-c1)(1-10%)+a1(1-25%)+f1*50%+f2*50%+d1(1-25%)Bn+1=(Bn-b2-c2)(1-5%)+a2(1-20%)+b1-f1+f3*50%+d2(1-20%)Cn+1=(Cn-c3)(1-5%)+a3(1-10%)+b2-f2-f3+d3(1-10%)2、盡量減少費用方案通過對問題的分析得知公司的目的是盡量減少費用，因為無論采用哪種方案，對每類員工都要開出同種基本工資，而費用的總數=培訓費+辭退費+額外招聘附加費+臨時工工資。所以可以得到本方案的目標函數為：MinMi(x)=b1*4000+b2*5000+c1*2000+c2*5000+c3*5000+d1*15000+d2*20000+d3*30000+e1*5000+e2*4000+e3*4000從公司人員調配中解到，影響到費用增減的主要因素有招聘、培訓、辭退、額外招聘、臨時工、降等六種。招聘新程序員、高級程序員和系統分析員最多為50，80，50。培訓的程序員不能超過20人，培訓高級程序員不能超過年初系統分析員職員的四分之一。公司總共可以額外招聘15人；辭退和降等使用人數不超過原有員工數減去培訓員工數；對每類員工，最多可招收5名臨時工。招聘的新人和額外招聘的三類職員的跳槽概率分別為25%、20%、10%，老員工的跳槽概率分別為10%、5%、5%；辭退和降等的人數不能超過原有的各崗位的人數。綜合以上各種條件，得到在盡量減少費用情況下的約束條件為：0≤a1≤500≤a2≤800≤a3≤500≤b1≤200≤b2≤1／4Cn0≤c1≤An-b10≤c2≤Bn-b20≤c3≤Cn0≤f1≤Bn-c2-b20≤f2+f3≤Cn-c30≤d1+d2+d3≤150≤e1≤50≤e2≤50≤e3≤5An+1=(An-b1-c1)(1-10%)+a1(1-25%)+f1*50%+f2*50%+d1(1-25%)Bn+1=(Bn-b2-c2)(1-5%)+a2(1-20%)+b1-f1+f3*50%+d2(1-20%)Cn+1=(Cn-c3)(1-5%)+a3(1-10%)+b2-f2-f3+d3(1-10%)五．模型解法與結果問題一目標函數：MinFi(c)=c1+c2+c3約束條件:0≤a1≤500≤a2≤800≤a3≤500≤b1≤200≤b2≤1／4Cn0≤c1≤An-b10≤c2≤Bn-b20≤c3≤Cn0≤f1≤Bn-c2-b20≤f2+f3≤Cn-c30≤d1+d2+d3≤15An+1=(An-b1-c1)(1-10%)+a1(1-25%)+f1*50%+f2*50%+d1(1-25%)Bn+1=(Bn-b2-c2)(1-5%)+a2(1-20%)+b1-f1+f3*50%+d2(1-20%)Cn+1=(Cn-c3)(1-5%)+a3(1-10%)+b2-f2-f3+d3(1-10%)單純形法：將a1、a2、a3、b1、b2、c1、c2、c3、d1、d2、d3、e1、e2、e3、f1、f2、f3分別用xj(j=1、2……17)表示。即原目標函數可化為:minFi(x)=x6+x7+x8約束條件:0≤x1≤500≤x2≤800≤x3≤500≤x4≤200≤x5≤1／4Cn0≤x60≤x70≤x8≤Cn0≤x15x4+x6≤Anx5+x7≤Bnx5+x7+x15≤Bn-x16-x17≤0x16+x17+x8≤Cn–x9-x10-x11≤0x9+x10+x11≤15C(n+1)由以上條件根據matlab得出以下結果：第一年（n=0）第二年（n=1）第三年（n=2）x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17Fi(x)由上表可知：高級程序員和系統分析員三年中都不辭退，而程序員在三年中分別要辭退60、20、25人，共計105人。問題二目標函數：MinMi(x)=b1*4000+b2*5000+c1*2000+c2*5000+c3*5000+d1*15000+d2*20000+d3*30000+e1*5000+e2*4000+e3*4000約束條件：0≤a1≤500≤a2≤800≤a3≤500≤b1≤200≤b2≤1／4Cn0≤c1≤An-b10≤c2≤Bn-b20≤c3≤Cn0≤f1≤Bn-c2-b20≤f2+f3≤Cn-c30≤d1+d2+d3≤150≤e1≤50≤e2≤50≤e3≤5An+1=(An-b1-c1)(1-10%)+a1(1-25%)+f1*50%+f2*50%+d1(1-25%)Bn+1=(Bn-b2-c2)(1-5%)+a2(1-20%)+b1-f1+f3*50%+d2(1-20%)Cn+1=(Cn-c3)(1-5%)+a3(1-10%)+b2-f2-f3+d3(1-10%)單純形法：將a1、a2、a3、b1、b2、c1、c2、c3、d1、d2、d3、e1、e2、e3、f1、f2、f3分別用xj(j=1、2……17)表示。即原目標函數可化為:minM(x)=4000x4+5000x5+2000x6+5000x7+5000x8+15000x9+20000x10+30000x11+5000x12+4000x13+4000x14約束條件:0≤x1≤500≤x2≤800≤x3≤500≤x4≤200≤x5≤1／4Cn0≤x60≤x70≤x8≤Cn0≤x12≤50≤x13≤50≤x14≤50≤x15x4+x6≤Anx5+x7≤Bnx5+x7+x15≤Bn-x16-x17≤0x16+x17+x8≤Cn-x9-x10-x11≤0x9+x10+x11≤15C(n+1)由以上條件根據matlab得出以下結果：第一年（n=0）第二年（n=1）第三年（n=2）x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17Mi(x)160000156000169500根據第一問得出的結果可求出在辭員數最少的條件下，三年的支出分別為505000、535000、510000，共計1550000；而由第二問得出數據顯示三年的支出分別為160000、156000、169500，共計485500；因此與上面的政策相比，可減少1064500。同樣由上表可知：高級程序員和系統分析員三年中都不辭退，而程序員在三年中分別要辭退80、27、37人，共計144人，辭退的職員將會增加39人。六．模型結果的分析檢驗誤差分析1、盡量減少辭退員工方案結果分析與檢驗第一問的結果是高級程序員和系統分析員三年中都不辭退，而程序員在三年中分別要辭退60、20、25人，共計105人，由此可見，公司是比較喜歡高級人員的，公司在發(fā)展的過程中，必然會經歷一個由低級到高級的進化，其對人員的需求也同樣會是一個由低級到高級的轉變，而在其過程中公司會培養(yǎng)一些忠誠的職員使其成為高級職員，因此，要使辭掉的人最少，培養(yǎng)的人數（20,20,20,；3,11,16）比較多，也表明了公司培養(yǎng)人員的決心；同時如果想辭退員工可以采用降等的變相手法，而其結果63,5,13人也是較為合理的人數；因此經檢驗，結果處在誤差范圍內，處于合理水平。2、盡量減少總費用方案結果分析與檢驗第二問的結果是三年的支出分別為160000、156000、169500，共計485500；因此與上面的政策相比，可減少1064500；高級程序員和系統分析員三年中都不辭退，而程序員在三年中分別要辭退80、27、37人，共計144人，辭退的職員將會增加39人。由此可見人力資源調度在公司中的重要地位，他可以使公司減少巨額開支。80,27,37的辭退人員數目也可以體現出該公司是盡量減少不必要的員工工資開支；而培訓的人數0,13,8；0,10,13相對于第一問比較少，是因為培訓會增大開支；以上結果也比較符合實際。而與此同時公司還可以通過一些激勵手段來鼓勵員工以提高工作效率，甚至能夠自費的去培訓使其變?yōu)楦呒壖夹g人員，也能夠減少開支。綜上所述，本論文的結果與實際結果的誤差在誤差范圍內，而造成辭退人數和公司開支誤差有以下幾種因素：第一，意外事故（如，傷病，交通擁堵）導致的離職；第二，本計算方法涉及到matlab的迭代運算，而其參數有17個之多，因此，只能采用，整數規(guī)劃的第一步結果作為近似結果；第三，沒有考慮每個員工的實際能力不盡相同，其工作的完成程度也不同。 七．模型的評價 模型的優(yōu)點：第一，對于本題的諸多條件有一個良好的梳理，思路清晰，條理，約束條件雖然比較多，但是能夠對其有一個較為適當的把握；第二，本題充分運用了單純形法進行求解，過程也比較規(guī)范，容易理解；第三，求解的結果也比較符合常理；第四，matlab運用的較為熟練。模型的缺點：第一，由于本題是一個關于整數規(guī)劃的問題，而其參數比較繁多，使用matlab運算過于龐大以致無法進行迭代，所以用其第一步的結果作為大致結果；第二，本題限于隊員水平以及時間問題沒能具體采用獎金制度在運算中體現，只是定性的進行分析；第三，本題也沒有把意外事故導致的離職進行運算，也只是略作分析。改進的方向：采用更有效的整數規(guī)劃方法（如，lingo）、考慮意外事故以及獎勵等因素。八．參考文獻【1】馬莉，數學實驗與建模，北京:清華大學出版社，.【2】FrankMauricWilliam由葉其孝和姜啟源等譯，AFirstCourseInMathematicalModeling，beijing：ChainMachinePress，。【3】肖華勇，實用數學建模與軟件應用，西安:西安工業(yè)大學出版社，【4】蔡鎖章，數學建模原理與方法，北京:海軍出版社，九．附錄計算的中間結果和必要的計算程序：第一問：n=0第一年f=[0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0];B=[200;150;150;0;100;0;15];Ae=[,0,0,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,0,,;0,,0,1,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,-1,0,;0,0,,0,1,0,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,-1];Be=[-80;;5];xm=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];xM=[50,80,50,20,25,Inf,Inf,100,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];[x,f]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM)Optimizationterminated.x=000f=n=1第二年f=[0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0];B=[100;140;140;0;100;0;15];Ae=[,0,0,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,0,,;0,,0,1,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,-1,0,;0,0,,0,1,0,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,-1];Be=[-40;67;55];xm=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];xM=[50,80,50,20,25,Inf,Inf,100,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];[x,f]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM)Optimizationterminated.x=000f=n=2第三年f=[0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0];B=[50;200;200;0;150;0;15];Ae=[,0,0,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,0,,;0,,0,1,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,-1,0,;0,0,,0,1,0,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,-1];Be=[-45;60;];xm=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];xM=[50,80,50,20,,Inf,Inf,150,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];[x,f]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM)Optimizationterminated.x=000f=公司對各階層職員的需求每年要達到裁員最少時各階層的人員的安排情況第二問：第二問第一年f=[0,0,0,4000,5000,2000,5000,5000,15000,20000,30000,5000,4000,4000,0,0,0];A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0];B=[200;150;150;0;100;0;15];Ae=[,0,0,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,0,,;0,,0,1,-1,0,-1,0,0,,0,0,0,0,-1,0,;0,0,,0,1,0,0,-1,0,0,,0,0,0,0,0,-1];Be=[-80;;5];xm=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];xM=[50,80,50,20,25,Inf,Inf,100,Inf,Inf,Inf,5,5,5,Inf,Inf,Inf];[x,f]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM)Optimizationterminated.x=000f=+005第二問第二年:f=[0,0,0,4000,5000,2000,5000,5000,15000,20000,30000,5000,4000,4000,0,0,0];A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1