高三數(shù)學復習資料-第十二章 選講部分

第十二章選講部分選修4－1幾何證明選講最新考綱：1.了解平行截割定理．理解相似三角形的定義與性質(zhì)；2.會證明并應用直角三角形射影定理；3.會證明并應用圓周角定理、圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；4.會證明并應用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理．1．平行線等分線段定理定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．問題探究1：平行線分線段成比例定理推論的逆命題正確嗎？提示：正確．如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三條邊．該命題正確．2．平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．3．相似三角形的判定及性質(zhì)(1)相似三角形的判定定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫作相似三角形．相似三角形對應邊的比值叫作相似比(或相似系數(shù))．判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．(2)相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)定理：①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；②相似三角形周長的比等于相似比；③相似三角形面積的比等于相似比的平方；④相似三角形外接圓(或內(nèi)切圓)的直徑比、周長比等于相似比，外接圓(或內(nèi)切圓)的面積比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項．問題探究2：射影定理的應用條件是什么？提示：必須在直角三角形內(nèi)．5．圓周角定理(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．6．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．(2)判定判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．7．圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點．推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心．(2)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．8．弦切角的性質(zhì)定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．9．與圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．(4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．問題探究3：直線與圓的位置關(guān)系中，有哪些常見添加輔助線的方法？提示：若證明直線與圓相切，則直線與連接圓的公共點和圓心的直線垂直；遇到直徑時，一般要引直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在直角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AD，則BC2＝BD·AB.()(2)若兩個三角形的相似比等于1，則這兩個三角形全等．()(3)若一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角，則這個四邊形的四個頂點共圓．()(4)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．()(5)弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角的一半．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．如圖，E是?ABCD邊BC上一點，eq\f(BE,EC)＝4，AE交BD于F，eq\f(BF,FD)等于()A.eq\f(4,5) B．eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D．eq\f(4,10)[解析]在AD上取點G，使AG∶GD＝1∶4，連接CG交BD于H，則CG∥AE，∴eq\f(BF,FH)＝eq\f(BE,CE)＝4，eq\f(DH,FH)＝eq\f(DG,GA)＝4，∴eq\f(BF,FD)＝eq\f(4,5).故選A.[答案]A3．如圖所示，已知圓O的直徑AB＝eq\r(6)，C為圓O上一點，且BC＝eq\r(2)，過點B的圓O的切線交AC延長線于點D，則DA等于()A．1 B．2C.eq\r(6) D．3[解析]∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又AB＝eq\r(6)，BC＝eq\r(2)，得AC＝2.BD是圓O的切線，則AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.故選D.[答案]D4．如圖，⊙O與⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN＝3，NQ＝15，則PN＝()A．3 B．eq\r(15)C．3eq\r(2) D．3eq\r(5)[解析]由切割線定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3eq\r(5).故選D.[答案]D5．(2015·重慶卷)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，則BE＝__________．[解析]由切割線定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.[答案]2考點一相似三角形的判定與性質(zhì)判定兩個三角形相似的幾種方法：(1)兩角對應相等，兩三角形相似．(2)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．(3)三邊對應成比例，兩三角形相似．(4)相似三角形的定義．通過添加輔助線，構(gòu)造三角形相似的常見圖形．(1)(2016·廣州綜合測試)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)＝________．(2)(2015·湖北卷)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC＝3PB，則eq\f(AB,AC)＝__________．[解題指導]切入點：相似三角形的判定與性質(zhì)；關(guān)鍵點：確定兩三角形的邊和角的數(shù)量關(guān)系．[解析](1)在平行四邊形ABCD中，因為EB＝2AE，所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)＝eq\f(AE,CD)，故eq\f(CD,AE)＝3.因為AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以eq\f(S△CDF,S△AEF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))eq\s\up12(2)＝9.(2)因為PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，由切割線定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因為BC＝3PB，所以PA2＝4PB2，即PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).[答案](1)9(2)eq\f(1,2)證明兩個三角形相似的關(guān)鍵是根據(jù)判定定理找(證)兩個三角形的邊和角之間的數(shù)量關(guān)系．有的證明起來比較簡單方便，但有的找邊角關(guān)系比較困難，這就要求我們必須提高讀圖、識圖、添加必要輔助線的能力．對計算問題則要靈活使用有關(guān)定理，掌握相似三角形的性質(zhì)定理．對點訓練(2015·長春模擬)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC的延長線于點D.(1)求證：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．[解](1)證明：因為∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，所以△DPC∽△DBA，所以eq\f(PC,AB)＝eq\f(PD,BD).又AB＝AC，所以eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD).(2)因為∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC.又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AD)，所以AP·AD＝AC2＝9.考點二圓周角、弦切角、切線的性質(zhì)1．圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?．由于“相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理”與圓有關(guān)，且其結(jié)論是線段的關(guān)系，因而在與圓有關(guān)的問題中，常結(jié)合三角形及其相似等知識來證明線段相等或等比例線段問題．圓周角定理和弦切角定理進行角的轉(zhuǎn)化，相交弦定理和切割線定理使線段間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．(2015·新課標全國卷Ⅱ)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點．(1)證明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四邊形EBCF的面積．[解題指導]切入點：圓的切線和相交弦的性質(zhì)；關(guān)鍵點：結(jié)合條件與結(jié)論合理選擇定理與性質(zhì)．[解](1)證明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線．又因為⊙O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF.從而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線．又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上．連接OE，OM，則OE⊥AE.由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形．因為AE＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因為OM＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以O(shè)D＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(16\r(3),3).已知圓的切線時，第一要考慮過切點和圓心的連線得直角；第二應考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時要考慮切割線定理．對點訓練(2014·新課標全國卷Ⅱ)如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[證明](1)連接AB，AC.由題設(shè)知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因為∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，從而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割線定理得PA2＝PB·PC.因為PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.考點三圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及四點共圓的判定圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是探求圓中角相等或互補關(guān)系的常用定理，使用時要注意觀察圖形，要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置．其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù)，解題時要注意與圓周角定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及垂徑定理的聯(lián)系與綜合．四點共圓問題主要研究角，特別是圓周角及其補角．(2015·湖南卷)如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F.證明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.[解題指導]切入點：過弦的中點的半徑垂直于弦；關(guān)鍵點：證明O，M，E，N四點共圓．[證明](1)如圖所示．因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四邊形的內(nèi)角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得FE·FN＝FM·FO.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)主要用于角的轉(zhuǎn)換，另外，證明四點共圓往往也通過角的相等或互補關(guān)系證得．對點訓練如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H.求證：(1)C，D，F(xiàn)，E四點共圓；(2)GH2＝CE·GF.[證明](1)如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓．(2)∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，∴GH2＝GC·GD.由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD，∴eq\f(GC,GE)＝eq\f(GF,GD)，即GC·GD＝GE·GF，∴GH2＝GE·GF.————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．相似三角形的判定主要是依據(jù)三個判定定理，結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對應邊或?qū)堑年P(guān)系．相似三角形的性質(zhì)主要解決與相似三角形相關(guān)的元素間的關(guān)系．2．與切線有關(guān)的角或線段成比例問題，應考慮應用弦切角的性質(zhì)定理求解．3．涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用相交弦定理、切割線定理證明．在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理．[易錯點睛]應用定理時條件要完整，對應關(guān)系應準確．課時跟蹤訓練(五十八)一、填空題1．如圖，F(xiàn)為?ABCD的邊AD延長線上的一點，DF＝AD，BF分別交DC、AC于點G、E，EF＝16，GF＝12，則BE的長為__________．[解析]∵DF＝AD，∴D為AF中點，又AB∥CD，∴G為BF中點，∴FG＝GB＝12，又EF＝16，∴EG＝4，∴BE＝8.[答案]82．AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為__________．[解析]連接AC，BD.∵PC是⊙O的切線，∴∠BDC＝∠PCB＝25°，又∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.[答案]115°3．如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝30°，BC為半圓的切線，且BC＝4eq\r(3)，則點O到AC的距離OD＝__________．[解析]由已知得∠CBA＝90°，因為BC＝4eq\r(3)，∠BAC＝30°，所以AB＝eq\f(BC,tan30°)＝eq\f(4\r(3),\f(\r(3),3))＝12，故AO＝6，由于∠ODA＝90°，所以O(shè)D＝3.[答案]34．(2016·邯鄲質(zhì)檢)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一點，E是BC上一點，若AB＝eq\f(1,2)BD，CE＝eq\f(1,4)EB，∠BDE＝120°，CD＝3，則BC＝__________．[解析]由AB＝eq\f(1,2)BD可知∠ADB＝30°，又∠BDE＝120°，所以∠CDE＝30°，過點E作AC的垂線，垂足為F，則EF∥AB，且eq\f(EF,AB)＝eq\f(CF,CA)＝eq\f(CE,CB)＝eq\f(1,5)，設(shè)EF＝x，則AB＝5x，AD＝5eq\r(3)x，F(xiàn)D＝eq\r(3)x，所以CF＝3－eq\r(3)x，AC＝5(3－eq\r(3)x)，AD＝5(3－eq\r(3)x)－3.所以5(3－eq\r(3)x)－3＝5eq\r(3)x，解得x＝eq\f(2\r(3),5)，所以AB＝2eq\r(3)，AC＝9，則BC＝eq\r(93).[答案]eq\r(93)5．如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝__________．[解析]由三角形相似可得DE2＝DF·DB，連接AD，則DE2＝AE·EB＝1×5＝5.所以DF·DB＝5.[答案]56．如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，點M，N分別是邊AB，AC的中點，直線MN與△ABC的外接圓的交點為P，Q，則線段PM＝__________．[解析]因為點M，N分別是邊AB，AC7的中點，所以MN是△ABC的中位線，且MN＝eq\f(1,2)BC＝1.設(shè)PM＝x，則QN＝x，MQ＝x＋1，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA，即x·(x＋1)＝1，解得x＝eq\f(\r(5)－1,2)或x＝eq\f(－\r(5)－1,2)(舍去)．[答案]eq\f(\r(5)－1,2)7．(2015·廣東卷)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝__________．[解析]由題意得OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，OA＝2，于是PA＝CP＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),2).因為∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故eq\f(PD,PA)＝eq\f(PC,PO)，即PD＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(15,2)，所以O(shè)D＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)＝8.[答案]88．(2016·武漢調(diào)研)如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE＝AC，DE交AB于點F.若AB＝4，BP＝3，則PF＝__________．[解析]連接OE，則易知△FOE∽△FDP，eq\f(PF,EF)＝eq\f(DF,OF)，即DF·EF＝OF·PF，而DF·EF＝AF·FB，可得OF·PF＝AF·FB.設(shè)FB＝x，有(2－x)(x＋3)＝(4－x)x，解得x＝eq\f(6,5)，則PF＝eq\f(21,5).[答案]eq\f(21,5)9．(2015·惠州調(diào)研)如圖，點A，B，C都在圓O上，過點C的切線交AB的延長線于點D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，則線段AC的長為__________．[解析]由切割線定理知DC2＝DB·DA，設(shè)BD＝x，結(jié)合題中數(shù)據(jù)得36＝x(x＋5)，解得x＝4，即BD＝4，根據(jù)弦切角定理易知△ADC∽△CDB，故eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)，故AC＝eq\f(9,2).[答案]eq\f(9,2)10．如圖，AB是圓O的直徑，且長為4，E為OB的中點，過E作AB的垂線交圓O的任意弦AC的延長線于D，BC與DE交于點F，則DE·EF＝__________．[解析]由ME⊥AB，AB為圓O的直徑，所以∠B＝90°－∠BFE＝90°－∠DFC＝∠D，所以Rt△AED∽Rt△FEB，即AE∶ED＝FE∶EB，所以AE·EB＝ED·EF.根據(jù)相交弦定理得ME2＝EA·EB＝3.所以ED·EF＝EM2＝3.[答案]311．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為__________．[解析]在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10eq\r(3).∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq\r(3).由切割線定理得DC2＝DE·DB，即(5eq\r(3))2＝15DE，∴DE＝5.[答案]512．如右圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號是__________．[解析]由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DBC.∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正確；由切割線定理知，∴②正確；由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正確；∵△ABF∽△BDF，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AF,BF).∴AF·BD＝AB·BF，∴④正確．[答案]①②④二、解答題13．(2015·陜西卷)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.(1)證明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直徑．[解](1)證明：因為DE為⊙O的直徑，則∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，從而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，則eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，從而AB＝3eq\r(2).所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3.由切割線定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.14．(2016·貴陽監(jiān)測)如圖，點C在圓O的直徑BE的延長線上，CA切圓O于點A，∠ACB的平分線CD交AE于點F，交AB于點D.(1)求∠ADF的度數(shù)；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.[解](1)∵AC為圓O的切線，∴∠B＝∠EAC，又DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，又BE為圓O的直徑，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB).連接OA，又∵AB＝AC，OA＝OB，∴∠B＝∠BAO＝∠ACB，∴∠B＋∠ACB＋∠BAO＋90°＝180°，解得∠B＝30°，(∠ABC＋∠BCD＝∠ADC＝45°，即3∠BCD＝45°，解得∠BCD＝15°，∠ABC＝30°)∴在Rt△ABE中，eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)＝tanB＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).15．(2015·新課標全國卷Ⅰ)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E.(1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大?。甗解](1)如圖，連接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.連接OE，則∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切線．(2)設(shè)CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(12－x2).由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝eq\r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0.可得x＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°.16.如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點．連接OD交圓O于點M.求證：(1)O，B，D，E四點共圓；(2)2DE2＝DM·AC＋DM·AB.[證明](1)如圖，連接BE，OE，則BE⊥EC.又D是BC的中點，所以DE＝BD.又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四點共圓．(2)延長DO交圓O于點H.因為DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH＝DM·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))＋DM·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))，所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.選修4－4坐標系與參數(shù)方程最新考綱：1.了解坐標系的作用．了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標的基本概念．會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化；3.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標方程；4.了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別；5.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；6.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程．1．平面直角坐標系中的伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0）,y′＝μy（μ>0）))的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．坐標系(1)極坐標系的概念在平面上取一個定點O叫作極點；自點O引一條射線Ox叫作極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系．設(shè)M是平面上任一點，極點O與點M的距離|OM|叫作點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫作點M的極角，記為θ．有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．(2)直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))3．簡單曲線的極坐標方程(1)直線的極坐標方程若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．幾個特殊位置的直線的極坐標方程①直線過極點：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直線過點M(a，0)且垂直于極軸：ρcos_θ＝a；③直線過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸：ρsin_θ＝b．(2)圓的極坐標方程若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,0)－r2＝0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程①當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；②當圓心位于M(a，0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ；③當圓心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半徑為a：ρ＝2asin_θ．問題探究1：平面內(nèi)的點與點的直角坐標的對應關(guān)系是什么？與點的極坐標呢？提示：平面內(nèi)的點與點的直角坐標是一一對應關(guān)系，而與點的極坐標不是一一對應關(guān)系，當規(guī)定ρ≥0，0≤θ<2π后點的極坐標與平面內(nèi)的點就一一對應了．4．參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫作參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫作普通方程．5．幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)直線經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．問題探究2：在直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))中，t的幾何意義是什么？如何利用t的幾何意義求直線上任兩點P1、P2的距離？提示：t表示在直線上過定點P0(x0，y0)與直線上的任一點P(x，y)構(gòu)成的有向線段P0P的數(shù)量．|P1P2|＝|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2).(2)圓以O(shè)′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα，))其中α是參數(shù)．當圓心在(0，0)時，方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosα，,y＝rsinα.))(3)橢圓中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓的參數(shù)方程有以下兩種情況：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))其中φ是參數(shù)．問題探究3：對于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))，θ是橢圓上的點與原點連線的傾斜角嗎？提示：不是，如圖，θ是離心角．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在伸縮變換下，直線仍然變成直線，圓仍然變成圓．()(2)過極點，作斜角為α的直線的極坐標方程可表示為θ＝α或θ＝π＋α.()(3)圓心在極軸上的點(a，0)處，且過極點O的圓的極坐標方程為ρ＝2asinθ.()(4)直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos30°，,y＝1＋tsin150°))(t為參數(shù))的傾斜角α為30°.()(5)參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝5sinθ))(θ為參數(shù)且θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))表示的曲線為橢圓．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．若直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t，))(t為參數(shù))，則直線l的傾斜角的余弦值為()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t))(t為參數(shù))得直線方程為4x＋3y－10＝0，且斜率為k＝－eq\f(4,3)，令直線l的傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(4,3)，所以cosα＝－eq\f(3,5).故選D.[答案]D3．在極坐標系中，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，且過極點的圓的方程是()A．ρ＝2sinθ B．ρ＝－2sinθC．ρ＝2cosθ D．ρ＝－2cosθ[解析]由極坐標與直角坐標方程的關(guān)系可知圓心為(0，1)，r＝1，則x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝2y，即ρ＝2sinθ，故選A.[答案]A4．(2016·合肥檢測)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為()A.eq\r(14) B．2eq\r(14)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)[解析]由題意得直線l的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.則圓心到直線的距離d＝eq\r(2)，故弦長＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).故選D.[答案]D5．在以O(shè)為極點的極坐標系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點，若△AOB是等邊三角形，則a的值為________．[解析]由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y.所以圓的直角坐標方程為x2＋y2＝4y，其圓心為C(0，2)，半徑r＝2；由ρsinθ＝a，得直線的直角坐標方程為y＝a，由于△AOB是等邊三角形，所以圓心C是等邊三角形OAB的中心，若設(shè)AB的中點為D(如圖)．則CD＝CB·sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，即a－2＝1，所以a＝3.[答案]3考點一極坐標方程與直角坐標方程的互化1．極坐標與直角坐標的互化條件(1)極點與原點重合；(2)極軸與x軸正方向重合；(3)取相同的單位長度．2．若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)))是極坐標與直角坐標互化的依據(jù)．(2015·新課標全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．[解題指導]切入點：直角坐標化極坐標；關(guān)鍵點：極坐標系中的距離公式．[解](1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).在極坐標系中，判斷曲線的形狀，研究曲線的性質(zhì)，最常用的方法是化極坐標方程為直角坐標方程，使不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．對一些簡單的直線、圓的有關(guān)問題，也可直接用極坐標知識解決．對點訓練⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．[解]以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．(1)ρ＝4cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐標方程分別為x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，①,x2＋y2＋4y＝0.②))①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0為所求直線方程．考點二參數(shù)方程與普通方程的互化將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ā⒓訙p消參法，平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參如sin2θ＋cos2θ＝1等．在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x，y的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中，一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．(2016·西寧統(tǒng)一測試)已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．[解題指導]切入點：參數(shù)方程與普通方程的互化；關(guān)鍵點：參數(shù)方程化普通方程的關(guān)鍵是消去參數(shù)，普通方程化參數(shù)方程的關(guān)鍵點恰當?shù)倪x取參數(shù)．[解](1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).(1)參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等．在參數(shù)方程化為普通方程時，要保持同解變形和分類討論的數(shù)學思想；(2)參數(shù)方程思想的應用，不僅有利于曲線方程的表達，也成為研究曲線性質(zhì)的有力工具，如在求軌跡方程、求最值的問題中有廣泛的應用．對點訓練(2015·沈陽質(zhì)檢)已知直線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，曲線C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))．(1)當α＝eq\f(π,3)時，求C1與C2的交點坐標；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．[解](1)當α＝eq\f(π,3)時，C1的普通方程為y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,x2＋y2＝1，))解得C1與C2的交點坐標為(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).(2)C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0，A點坐標為(sin2α，－sinαcosα)，故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)sin2α，,y＝－\f(1,2)sinαcosα))(α為參數(shù))，P點軌跡的普通方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,16).故P點軌跡是圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，半徑為eq\f(1,4)的圓．考點三極坐標方程、參數(shù)方程的綜合應用對于同時含有極坐標方程和參數(shù)方程的題目，可先同時將它們轉(zhuǎn)化成直角坐標方程后再求解．(2015·湖南卷)已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設(shè)點M的直角坐標為(5，eq\r(3))，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值．[解題指導]切入點：極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化；關(guān)鍵點：正確的利用參數(shù)的幾何意義解決問題．[解](1)ρ＝2cosθ等價于ρ2＝2ρcosθ.①將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.②(2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入②，得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0，設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.(1)過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為eq\f(1,2)(t1＋t2)；(2)對于形如eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題．對點訓練已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解](1)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1與C2交點的極坐標分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．2．參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，一要熟練掌握常用技巧(如整體代換)，二要注意變量取值范圍的一致性．[易錯點睛]1．參數(shù)方程與普通方程互化時，不能忽略參數(shù)的范圍．2．利用參數(shù)的幾何意義解決距離問題時，直線方程應化為參數(shù)方程的標準形式．課時跟蹤訓練(五十九)一、填空題1．在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為__________．[解析]點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為直角坐標為(1，eq\r(3))，方程ρ＝2cosθ化為普通方程為x2＋y2－2x＝0，故圓心為(1，0)，則點(1，eq\r(3))到圓心(1，0)的距離為eq\r(3).[答案]eq\r(3)2．直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t為參數(shù))上與點A(－2，3)的距離等于eq\r(2)的點的坐標是__________．[解析]設(shè)P(－2－eq\r(2)t，3＋eq\r(2)t)，則|PA|＝eq\r(（－2－\r(2)t＋2）2＋（3＋\r(2)t－3）2)，令|PA|＝eq\r(2)，解得t＝±eq\f(\r(2),2)，故所求點的坐標是(－3，4)或(－1，2)．[答案](－3，4)或(－1，2)3．(2015·廣東卷)已知直線l的極坐標方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，點A的極坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，則點A到直線l的距離為__________．[解析]由2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)得2ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)，所以y－x＝1，故直線l的直角坐標方程為x－y＋1＝0，而點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))對應的直角坐標為A(2，－2)，所以點A(2，－2)到直線l：x－y＋1＝0的距離為eq\f(|2＋2＋1|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).[答案]eq\f(5\r(2),2)4．(2015·北京卷)在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到直線ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的距離為__________．[解析]點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))的直角坐標為(1，eq\r(3))，直線ρ(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝6的直角坐標方程為x＋eq\r(3)y－6＝0，所以點(1，eq\r(3))到直線的距離d＝eq\f(|1＋\r(3)×\r(3)－6|,\r(1＋3))＝1.[答案]15．如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為__________．[解析]由題意得圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在x軸上，半徑為eq\f(1,2)，則它的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(1,2)cosα，,y＝\f(1,2)sinα))(α為參數(shù))，注意α為圓心角，θ為同弧所對的圓周角，則有α＝2θ，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(1,2)cos2θ，,y＝\f(1,2)sin2θ))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù))．[答案]eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù))6．在以O(shè)為極點的極坐標系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點．若△AOB是等邊三角形，則a的值為__________．[解析]由于圓和直線的直角坐標方程分別為x2＋y2＝4y和y＝a，它們相交于A，B兩點，△AOB為等邊三角形，所以不妨取直線OB的方程為y＝eq\r(3)x，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4y，,y＝\r(3)x，))消去y，得x2＝eq\r(3)x，解得x＝eq\r(3)或x＝0，所以a＝3.[答案]37．(2015·安徽卷)在極坐標系中，圓ρ＝8sinθ上的點到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值是__________．[解析]圓ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化為直角坐標方程為x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝eq\f(π,3)，則tanθ＝eq\r(3)，化為直角坐標方程為eq\r(3)x－y＝0，圓心(0，4)到直線的距離為eq\f(|－4|,\r(4))＝2，所以圓上的點到直線距離的最大值為2＋4＝6.[答案]68．已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ＝2，則C1與C2交點的直角坐標為________．[解析]由曲線C1的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))得y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，①曲線C2的極坐標方程為ρ＝2，可得方程x2＋y2＝4，②由①②聯(lián)立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，))故C1與C2交點的直角坐標為(eq\r(3)，1)．[答案](eq\r(3)，1)9．在平面直角坐標系中，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與直線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))交于A，B兩點，且|AB|＝2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線l的極坐標方程是________．[解析]由題意得曲線C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.又|AB|＝2，故直線l過曲線C的圓心(2，1)，則直線方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0，故直線l的極坐標方程為ρ(cosθ－sinθ)＝1.[答案]ρ(cosθ－sinθ)＝110．(2015·重慶卷)已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ>0，\f(3π,4)<θ<\f(5π,4)))，則直線l與曲線C的交點的極坐標為__________．[解析]由題意得直線l的普通方程為x－y＋2＝0，曲線C的直角坐標方程為x2－y2＝4(x≤－2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x2－y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝0，))所以直線l與曲線C的交點的極坐標為(2，π)．[答案](2，π)11．直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為__________．[解析]消掉參數(shù)θ，得到關(guān)于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3，0)為圓心，以1為半徑的圓；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原點為圓心的單位圓，|AB|的最小值為3－1－1＝1.[答案]112．(2015·湖北卷)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝__________．[解析]因為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)，))消去t得y2－x2＝4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y2－x2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)，))不妨令Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，由兩點間的距離公式得|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(5).[答案]2eq\r(5)二、解答題13．(2015·福建卷)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．[解](1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即eq\f(|1－（－2）＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).14．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標為(3，eq\r(5))，求|PA|＋|PB|.[解](1)由ρ＝2eq\r(5)sinθ，得ρ2＝2eq\r(5)ρsinθ.∴x2＋y2＝2eq\r(5)y，即x2＋(y－eq\r(5))2＝5.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程．得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＝5，即t2－3eq\r(2)t＋4＝0.由于Δ＝(－3eq\r(2))2－4×2＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3\r(2)，,t1·t2＝4.))又直線l過點P(3，eq\r(5))，故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3eq\r(2).15．(2016·金學導航卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sinα－cosα，,y＝2sinαcosα))(α為參數(shù))，若以原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線E的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)m.(1)若曲線C與曲線E有且只有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當m＝2時，求曲線C上的點與曲線E上的點的最小距離．[解](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sinα－cosα，,y＝2sinαcosα))?y＝1－x2(－eq\r(2)≤x≤eq\r(2))，曲線E的直角坐標方程為直線l：x－y＋2m＝0，當直線與拋物線相切時，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1－x2，,y＝x＋2m))?x2＋x＋2m－1＝0?Δ＝1－4(2m－1)＝0?m＝eq\f(5,8)，可得公共點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)))，滿足題目的條件；而曲線C的兩個端點為A(－eq\r(2)，－1)，B(eq\r(2)，－1)，當直線過點A時可求得m＝eq\f(\r(2)－1,2)，當直線過點B時可求得m＝－eq\f(\r(2)＋1,2)，結(jié)合圖象可知，當－eq\f(\r(2)＋1,2)≤m<eq\f(\r(2)－1,2)或m＝eq\f(5,8)時，直線l與拋物線有唯一的公共點．(2)當m＝2時，曲線E的直角坐標方程為直線l：x－y＋4＝0，由圖象知，曲線C上的點與曲線E上的點的最小距離即為曲線C上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)))到直線x－y＋4＝0距離，得最小值為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(3,4)＋4)),\r(12＋12))＝eq\f(11\r(2),8).16．(2015·新課標全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．[解](1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的極坐標為(2sinα，α)，B的極坐標為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當α＝eq\f(5π,6)時，|AB|取得最大值，最大值為4.選修4－5不等式選講最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法．1．含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)?－a<f(x)<a；(3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解．2．含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．問題探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.3．基本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab．當且僅當a＝b時，等號成立．定理2：如果a、b為正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立．定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數(shù)，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立．(2)若ai，bi(i∈N*)為實數(shù)，則(eq\i\su(i＝1aeq\o\al(2,i)）（\o(∑,\s\up5(n),\s\do4(i＝1))beq\o\al(2,i)）≥（∑n,i＝1,n,a)ibi)2，當且僅當bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立．(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α|·|β|≥|α·β|，當且僅當這兩個向量同向或反向時等號成立．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)對|a＋b|≥|a|－|b|當且僅當a>b>0時等號成立．()(2)對|a－b|≤|a|＋|b|當且僅當ab≤0時等號成立．()(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等價于－c≤ax＋b≤c.()(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為?.()(5)若實數(shù)x、y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．不等式|2x－1|－x<1的解集是()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2}C．{x|0<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]解法一：x＝1時，滿足不等關(guān)系，排除C、D、