高三一輪數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)-2.12　定積與微積基本定理【系列四】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺(tái)——教育因你我而變好教育云平臺(tái)——教育因你我而變2．12定積分與微積分基本定理[知識(shí)梳理]1．定積分的概念2．定積分的幾何意義3．定積分的性質(zhì)4．微積分基本定理5．定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)陰影部分的面積為S.6．定積分應(yīng)用的兩條常用結(jié)論(1)當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值為正；當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值為負(fù)；當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相等時(shí)，定積分的值為零．(2)加速度對(duì)時(shí)間的積分為速度，速度對(duì)時(shí)間的積分是路程．[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx.()(2)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．教材衍化答案D(2)(選修A2－2P67T7)直線y＝3x與曲線y＝x2圍成圖形的面積為()A.eq\f(27,2)B．9C.eq\f(9,2)D.eq\f(27,4)答案C解析由已知，聯(lián)立直線與曲線方程得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝9，))則圍成圖形的面積為eq\i\in(0,3,)(3x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2－\f(1,3)x3))|eq\o\al(3,0)＝eq\f(3,2)×3×3－eq\f(1,3)×3×3×3＝eq\f(1,6)×3×3×3＝eq\f(9,2).故選C.3．小題熱身答案B答案D題型1定積分的計(jì)算eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2017·廣州質(zhì)檢)定積分eq\i\in(－2,2,)|x2－2x|dx＝()A．5B．6C．7D．8被積函數(shù)中含有絕對(duì)值，可表示為分段函數(shù)后再求積分．答案D解析∵|x2－2x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，－2≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤2，))∴eq\i\in(－2,2,)|x2－2x|dx＝eq\i\in(－2,0,)(x2－2x)dx＋eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－x2))|eq\o\al(0,－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2))|eq\o\al(2,0)＝8.故選D.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))求和的積分，可轉(zhuǎn)化為求積分的和．答案eq\f(2,3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例3))本題應(yīng)用轉(zhuǎn)化法．答案eq\f(π,2)方法技巧求定積分的常用方法1．微積分基本定理法：其一般步驟為：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的和、差、積或商．(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分．(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)．(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值．(5)計(jì)算原始定積分的值．2．用定積分的幾何意義求：將待求定積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)易求平面圖形的面積，進(jìn)而求值．如典例3.3．用定積分的基本性質(zhì)求：對(duì)絕對(duì)值函數(shù)，分段函數(shù)，可利用定積分的基本性質(zhì)將積分區(qū)間分解為若干部分求解．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，則eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．1答案B解析令eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝m，則f(x)＝x2＋2m，所以eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x2＋2m)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2mx))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)＋2m＝m，解得m＝－eq\f(1,3)，故選B.2．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,)\f(1,x)dx)，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1答案B題型2利用定積分求平面圖形的面積角度1求平面圖形的面積eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2017·葫蘆島模擬)如圖所示，正弦曲線y＝sinx，余弦曲線y＝cosx與兩直線x＝0，x＝π所圍成的陰影部分的面積為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)本題采用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法．答案D角度2已知曲邊梯形面積求參數(shù)eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2017·北京東城區(qū)檢測(cè))如圖，已知點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等，則x0＝________.本題應(yīng)用方程思想．答案eq\f(\r(6),4)角度3與其他知識(shí)的交匯命題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·遼寧高考)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________．本題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法．答案eq\f(2,3)方法技巧1．利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形．(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限．(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和．(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．2．知圖形的面積求參數(shù)．求解此類題的突破口是畫圖，一般是先畫出它的草圖，然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值．見角度2典例．3．與概率相交匯問(wèn)題．解決此類問(wèn)題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計(jì)算．見角度3典例．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2018·河北衡水中學(xué)三模)由曲線y＝2－x2，直線y＝x及x軸所圍成的封閉圖形(圖中的陰影部分)的面積是()A.eq\f(9,2) B.eq\f(4\r(2),3)＋eq\f(7,6)C.eq\f(7,6) D.eq\r(2)＋1答案B2．(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)若eq\i\in(0,n,)|x－5|dx＝25，則(2x－1)n的二項(xiàng)展開式中x2的系數(shù)為________．答案180①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C答案A3．(2017·和平區(qū)期末)物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5m處，同時(shí)以v＝10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為()A．3B．4C．5D．6答案C4．(2017·江西聯(lián)考)eq\i\in(0,1,)(2x＋eq\r(1－x2))dx＝________.答案1＋eq\f(π,4)解析eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的eq\f(1,4)，∴eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4).又∵eq\i\in(0,1,)2xdx＝x2eq\o\al(1,0)＝1，∴eq\i\in(0,1,)(2x＋eq\r(1－x2))dx＝eq\i\in(0,1,)2xdx＋eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝1＋eq\f(π,4).

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2017·涼山州模擬)eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝()A．e2B.eq\f(e2＋1,2)C.eq\f(e2－1,2)D.eq\f(e2＋3,2)答案B解析eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))|eq\o\al(e,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e2＋1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋0))＝eq\f(e2＋1,2)，故選B.答案C3．(2017·撫州期中)曲線y＝eq\f(2,x)與直線y＝x－1及直線x＝1所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,2)C．4－2ln2D．2ln2－eq\f(1,2)答案D解析畫圖得三個(gè)交點(diǎn)分別為(1,0)，(1,2)，(2,1)，故曲線y＝eq\f(2,x)與直線y＝x－1及直線x＝1所圍成的封閉圖形的面積為S＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－x＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lnx－\f(1,2)x2＋x))|eq\o\al(2,1)＝2ln2－2＋2＋eq\f(1,2)－1＝2ln2－eq\f(1,2)，故選D.4．(2018·南昌一模)若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln2(a>1)，則a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由題意可知eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋lnx)|eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.故選A.5．(2017·鄭州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}，且a6＋a8＝eq\i\in(0,4,)eq\r(16－x2)dx，則a8(a4＋2a6＋a8)的值為()A．π2B．4π2C．8π2D．16π答案D解析因?yàn)閍6＋a8＝eq\i\in(0,4,)eq\r(16－x2)dx＝eq\f(1,4)×π×42＝4π，所以a8(a4＋2a6＋a8)＝a8a4＋2a6a8＋aeq\o\al(2,8)＝aeq\o\al(2,6)＋2a6a8＋aeq\o\al(2,8)＝(a6＋a8)2＝16π2，故選D.6．(2017·河南模擬)已知eq\f(1,sinφ)＋eq\f(1,cosφ)＝2eq\r(2)，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則eq\i\in(－1,tanφ,)(x2－2x)dx＝()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)答案C7．設(shè)a＝eq\i\in(0,π,)sinxdx，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A．－160B．160C．－20D．20答案A解析依題意得，a＝－cosx|eq\o\al(π,0)＝－(cosπ－cos0)＝2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)－\f(1,\r(x))))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(2eq\r(x))6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,6)·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝0，得r＝3.因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,6)·23·(－1)3＝－160，故選A.8．如圖，設(shè)拋物線y＝－x2＋1的頂點(diǎn)為A，與x軸正半軸的交點(diǎn)為B，設(shè)拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的區(qū)域?yàn)镸，隨機(jī)往M內(nèi)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△AOB內(nèi)的概率是()A.eq\f(5,6)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)答案C解析因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)拋物線與坐標(biāo)軸所圍區(qū)域的面積為eq\i\in(0,1,)(－x2＋1)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋x)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)，△AOB的面積為S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以P點(diǎn)落在△AOB內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,2),\f(2,3))＝eq\f(3,4).故選C.9．(2018·棗莊模擬)一輛汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝2＋sint(t的單位：h，v的單位：km/h)，那么它在0≤t≤1這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是()A．3－cos1 B．3＋cos1C．1＋cos1 D．1－cos1答案A解析由v(t)＝2＋sint>0，故這輛車行駛的路程s＝eq\i\in(0,1,)v(t)dt＝eq\i\in(0,1,)(2＋sint)dt＝(2t－cost)eq\o\al(1,0)＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故選A.10．由曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝eq\f(π,2)所圍成的平面圖形(如圖中的陰影部分所示)的面積是()A．1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(2\r(2),3) D．2eq\r(2)－2答案D二、填空題答案eq\r(2)12．(2017·南開區(qū)二模)由曲線y＝x2，y＝eq\r(x)圍成的封閉圖形的面積為________．答案eq\f(1,3)13．(2017·金版原創(chuàng))若m>1，則f(m)＝eq\i\in(1,m,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))dx的最小值為________．答案－1解析f(m)＝eq\i\in(1,m,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))|eq\o\al(m,1)＝m＋eq\f(4,m)－5≥4－5＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2時(shí)等號(hào)成立．14．(2017·山西大學(xué)附中模擬)曲線y＝2sinx(0≤x≤π)與直線y＝1圍成的封閉圖形的面積為________．答案2eq\r(3)－eq\f(2π,3)三、解答題15