有限元復(fù)習(xí)重點(diǎn)

?有限元起源于20世紀(jì)50年代中期航空工程中飛機(jī)結(jié)構(gòu)的矩陣分析。?有限元基本思想：在力學(xué)模型上將一個(gè)原來連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的單元， 這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。對于每個(gè)單元 ，根據(jù)分塊近似的思想，選擇一種簡單的函數(shù)來表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理 （或用變分原理）建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后，把所有單元的這種關(guān)系式集合起來，就得到一TOC\o"1-5"\h\z組以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移。 “一分一合”，化整為零，集零為整，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體。單元、節(jié)點(diǎn)、邊界：采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元把受力體劃分成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格稱為單元；網(wǎng)格間互相連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)；網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線稱為邊界。節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)目是有限的。有限元法的優(yōu)點(diǎn)：（1）理論基礎(chǔ)簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。 （2）具有靈活性和適用性，應(yīng)用范圍極為廣泛。 （3）該法在具體推導(dǎo)運(yùn)算中，廣泛采用了矩陣方法，便于實(shí)現(xiàn)程序設(shè)計(jì)的自動(dòng)化。有限單元法分為三類：位移法（以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量）、力法（以節(jié)點(diǎn)力為基本未知量）和混合法（一部分以節(jié)點(diǎn)位移，另一部分以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量） 。有限元法分析計(jì)算的基本步驟可歸納如以下五點(diǎn)。1.結(jié)構(gòu)的離散化（將某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計(jì)算模型）在平面問題用三角形、矩形或任意四邊形單元。在空間問題用四面體、長方體或任意六面體單元2.單元分析①選擇位移模式（位移模式是表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移隨位置變化的函數(shù)式， 由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實(shí)的位移分布）位移模式或位移函數(shù)：nydi②建立單元?jiǎng)偠确匠蘫eeFe,e為單元編號； e為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量； Fe為單元的節(jié)點(diǎn)力向量；ke為單元?jiǎng)偠染仃?③計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力：用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。 3.整體分析：整體的有限元方程KFoK為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣； 為整體節(jié)點(diǎn)位移向量； F為整體載荷向量。4.求解方程，得出節(jié)點(diǎn)位移5.由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變與應(yīng)力?有限元中得一個(gè)基本近似性是幾何近似性?有限元中的變量：應(yīng)力、應(yīng)變、變形。基本方程有：平衡方程、物理方程、幾何方程。 邊界條件：力邊界、位移邊界。?彈性力學(xué)的任務(wù)是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態(tài)下產(chǎn)生的應(yīng) 力、應(yīng)變和位移狀態(tài)及其相互多宏箋?外力：體力（分布在物體體積內(nèi)的力---重力、慣性力、電磁力）、面力（分布在物體表面上的力---流體壓力、接觸力、風(fēng)力）?應(yīng)力：物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力。

?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)力分量x,y,z,xy,yz, ZX來表示。應(yīng)力的矩陣:?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)變分量x,y,Z,xy,yz,zx來表示。應(yīng)變的矩陣:?位移：彈性體在載荷作用下，不僅會發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移，即彈性體位置的移動(dòng)。?彈性力學(xué)方程：幾何方程、物理方程、平衡方程?變形協(xié)調(diào)條件：在變形前，把彈性體分為許多微小立方單元體，變形后，每個(gè)單元體都產(chǎn)生任意變形而不能組合成一個(gè)連續(xù)的變形體。為了保證這些六面體仍能組合成一個(gè)連續(xù)體，每一個(gè)小單元體的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件的關(guān)系。?拉伸彈性模量e：r岳應(yīng)力和應(yīng)變的比值；剪切彈性模量g一/、 剪應(yīng)力和對應(yīng)的剪應(yīng)變比值。 為泊松比。?平面問題變形協(xié)調(diào)條件?平面問題變形協(xié)調(diào)條件222xyxy22xyyx物理方程：三維情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 ---廣義虎克定律。平衡狀態(tài)：當(dāng)物體在外力作用下保持靜止或等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)。泛函：如果對某一類函數(shù) y(x)它的每一個(gè)函數(shù)值都有一個(gè)n值與之對應(yīng)，則變量n稱為自變函數(shù)y(x)的泛函。李茲法的方法和步驟 ：①把所求泛函n[y(x)]的極值問題的解，表達(dá)成一系列可能解的線性組合y= %軌②把這個(gè)線性組合式帶入所討論問題的泛函式n[y(x)]中去，并計(jì)算出此泛函式的變分sn③由泛函極值條件sn=0,算出線性組合式中的待定系數(shù) ，使之滿足基本微分方程④把算得的待定系數(shù) %值代入設(shè)定的式，即求得所討論問題的解。?平面問題：指彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移只和兩個(gè)坐標(biāo)方向的變量有關(guān)。代入設(shè)定的式，即求得所討論問題的解。?平面問題：指彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移只和兩個(gè)坐標(biāo)方向的變量有關(guān)。平面應(yīng)力物理方程:2(1 )平面應(yīng)力物理方程:2(1 )xyexy彈性矩陣：1E1~~20彈性矩陣：1E1~~20?彈性力學(xué)問題的有限元法主要步驟離散化[D](離散后才能使結(jié)構(gòu)變成有限個(gè)單元的綜合體)---單元分析---整體分析?連續(xù)彈性體離散化：將連續(xù)體劃分為有限個(gè)互不重疊、互不分離的三角形單元，這些三角形在其頂點(diǎn)處互相較接。

7;為得到好的?離散化的注意事項(xiàng)：①對稱性的利用（單軸對稱減少二分之一，雙軸對稱減少四分之一）②節(jié)點(diǎn)的選擇和單元的劃分（節(jié)點(diǎn)選?。和ǔ＜休d荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突破點(diǎn)，分布載荷與分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等.單元的劃分：單元各內(nèi)角和各邊長不應(yīng)相差太大。對于三角形單元，應(yīng)使其盡量接近等邊或等腰三角形，以提高計(jì)算精度。為得到較好的位移結(jié)果，單元細(xì)長比不應(yīng)超過應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長比不超過3.內(nèi)角不應(yīng)大于150小于307;為得到好的小，一邊縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)的存儲）?單元分析的主要任務(wù)：推導(dǎo)基本未知量單元節(jié)點(diǎn)位移與其對應(yīng)量單元節(jié)點(diǎn)力F?單元分析的主要任務(wù)：推導(dǎo)基本未知量單元節(jié)點(diǎn)位移與其對應(yīng)量單元節(jié)點(diǎn)力Fc之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。?單元分析的步驟:?位移模式：將結(jié)構(gòu)離散為許多小單元的集合體，用較簡單的函數(shù)來描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移的變化規(guī)律?？捎绊懹邢拊ǖ挠?jì)算精度和收斂性。W影響有限元法的計(jì)算精度和收斂性。W外,N為形函數(shù)矩陣?形函數(shù)的求解計(jì)算：設(shè)節(jié)點(diǎn)i,j,m的坐標(biāo)分別為x,y,,Xj,yj,xm,ym，節(jié)點(diǎn)為qm,Uj,Vj,Vm。將它們代入式（2—6）,有%」。聲,十巧士%+%巧十=4+We+聯(lián)立求解上述公式左邊的 3個(gè)方程，可以求出待定系數(shù) a1,a2,a3為?丁)1］1)1］1II式中，A為三角形單元i,j,m的面積要注意的是，為了使得出的面積的值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i,j,m要注意的是，為了使得出的面積的值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i,j,m的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i,則沒有關(guān)系。整理后:=門［(a=門［(a+囪］++＜丐+包2A-T+勺尸）/十（計(jì)一+6工+J了）血中]同理可得0「（口，+九工+r（y）T\+（a-+%工+廣崩）打+（%+兒父+七J

U*1同理可得式中

N*—— 4%工+。療）?形函數(shù)的性質(zhì)（1）形函數(shù)是坐標(biāo)x,y的線性函數(shù)。（2）形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i處等于1,在其他節(jié)點(diǎn)上的值等于0；對于Nj也有同樣的表達(dá)式。單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于 1,即仔二N工4M巧+乂工*,川=1（3）單元內(nèi)任意一點(diǎn)x,y有l(wèi)y=Mx+N/y」+N*%（4）在三角形單元邊界ij上一點(diǎn)x,y,有形函數(shù)公式=I-工 必（上,了）=Q7』惠 W,、什…” TyrMy=N班=士仃—（5）形函數(shù)Ni在單元上的面積分和邊界上 ij的線積分為工/ 3」邛 2ij為長度。位移函數(shù)所要滿足的條件：①位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移②位移函數(shù)必須能反應(yīng)單元的常量應(yīng)變③位移函數(shù)應(yīng)盡可能反應(yīng)位移的連續(xù)性（完備單元：滿足①②；協(xié)調(diào)單元：滿足③；完備而非連續(xù)單元：滿足①②不滿足③）常應(yīng)變?nèi)切螁卧寒?dāng)單元確定后。矩陣B是常量，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量也是常量的單元。有限元法的任務(wù)：建立和求解整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系的平衡方程。單元?jiǎng)偠染仃嚕罕磉_(dá)了單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：①單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義② Ke是對稱矢I陣③Ke的每一行或每一列元素之和為零，因此Ke為奇異矩陣④Ke不隨單元的平彳T移動(dòng)或作nn角度的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變。剛度集成法集成規(guī)律：①先對每個(gè)單元求出其單元?jiǎng)偠染仃?Ke,而且以分塊形式按節(jié)點(diǎn)編號順序排列②將單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大階數(shù)為2n*2n,并將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K按局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系，搬到擴(kuò)大后的矩陣中，形成單元貢獻(xiàn)矩陣 Ke。③將所有單元貢獻(xiàn)矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個(gè)子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣 Ko整體剛度矩陣的性質(zhì)：①整體剛度矩陣是對稱矩陣②整體剛度矩陣中每一元素的物理意義：整體剛度矩陣的第一列元素代表使第一個(gè)節(jié)點(diǎn)在 x方向有一單元位移，而其余節(jié)點(diǎn)位移皆為零時(shí)必須在節(jié)點(diǎn)上施加的里。對于K的其余各列也有類似意義③整體剛度矩陣 K的主對角線上的元素總是正的④整體剛度矩陣 K是一個(gè)稀疏陣⑤整體剛度矩陣 K是一個(gè)奇異陣。?半帶寬：在半個(gè)斜帶形區(qū)域中，每行具有的元素個(gè)數(shù)。帶形矩陣：整體剛度矩陣K的非零元素分布在以主對角線為中心的斜帶形區(qū)域內(nèi)的矩陣。半帶存儲：利用帶形矩陣的特點(diǎn)，并利用矩陣的對稱性，則在計(jì)算機(jī)中可以只存儲上半帶的元素的存儲方法。引用已知節(jié)點(diǎn)位移的方法：化1置0法、乘大數(shù)法由計(jì)算結(jié)果推出彈性體內(nèi)某一點(diǎn)接近實(shí)際的應(yīng)力值的方法 ：繞節(jié)點(diǎn)平均法、兩單元平均法。注意事項(xiàng)：①相連單元間的應(yīng)力連續(xù)性只有當(dāng)相連單元具有相同厚度和材料時(shí)才存在，平均法才有意義②位于結(jié)構(gòu)邊界或介質(zhì)間斷線上的應(yīng)力點(diǎn)是無法用兩單元平均法得到應(yīng)力值的，若用繞節(jié)點(diǎn)平均法也因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改用內(nèi)部應(yīng)力點(diǎn)外推的辦法去求它的近似值 。有限元法的具體解題過程：①將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元?jiǎng)澐?、?jié)點(diǎn)編號、單元編號、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算、位移約束條件的確定②等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算③剛度矩陣的計(jì)算④建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點(diǎn)位移⑤應(yīng)力計(jì)算。典曲典**金十1妙-平面問題幾何方程例2-1如圖2.6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元 i,j,m,直角邊長均為a,厚度為t,彈性模量為E,泊松比為 0.3,求單元?jiǎng)偠染仃嚒?]D-I1'(2)求D。1(■00.3 -L~0,3力0.350,350 —d菊-exas￡"h"StA廣00.35D.35o-a35L820.30g1 —0.3—i—10.35—0.35-Ol3 1.35A.S.-0.3一635—Q，35—1 。?的L35舊工日斤/fl.：內(nèi)喀干后例2—3已知如圖2.13(a)所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布拉力,其合力為P。采用如圖2.13(b)所示簡單網(wǎng)格，設(shè) 1/3,厚度為t,試求節(jié)點(diǎn)位移。陽△]&.徽?國■也電懦解：對于單元①,i,j,m所對應(yīng)節(jié)點(diǎn)1,2,3。Et瓦=M -1瓦=J■▼一羋一?41本題屬于平面應(yīng)力問題，k的系數(shù)為A32fl]13 22 -30 -2'一2 0.■.??????????2—17 -A—4 134 22 —1Z-z0-4-22 -12r< o0 12.單元貢獻(xiàn)矩陣1,3,4.總剛度矩陣為0」注意這兒的單元的上標(biāo)代表單元的號碼。對于單元,i,j,m對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)4 00 120 -2T-4-2 &■22-12現(xiàn)320 -Z-2 0a0 -30 1 22-1-4 2■,2 1232T72一】！-4-413好;十碎砧對解*S4*5丘嶗 a+n乳/福.蹄*r.單元貢獻(xiàn)矩陣剛度矩陣后，再形成載荷列陣，即可得整體剛度方程,載荷列陣為形成整體平衡方程uiQ13z-i一4 0 ：2 一12一3￡7 -4；-< 20 □2iiT13jZ-120 00■?-<i7 0i-3 2.402 -12jQ132 -114z；0 0-3Z17 -42-12'0 02 —1一4n「7經(jīng)約束處理后就可求解節(jié)點(diǎn)位移OV1U4V4 0（見圖理方法如下：若已知節(jié)點(diǎn)i在位移列陣為■7 0i-3 2 ■-0 -4.-4 20 13：2 —] —4 —I?-3 2j7T2 -1i-4 13-4Zi0 ◎Z-12'G 0G—4-4 2i7 g—3