第一節(jié)不定積分概念及其線(xiàn)性法則

第一節(jié)不定積分的概念及其線(xiàn)性法則一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的線(xiàn)性運(yùn)算法則四、小結(jié)定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念1.原函數(shù)設(shè)

f(x)在區(qū)間

I內(nèi)有定義，若存在可導(dǎo)函數(shù)

F(x)使對(duì)每一個(gè)

xI有

F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

，則稱(chēng)

F(x)為

f(x)在區(qū)間

I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).關(guān)于原函數(shù)有以下三個(gè)問(wèn)題：1)f(x)滿(mǎn)足什么條件,其原函數(shù)一定存在？2)若f(x)有原函數(shù),原函數(shù)是否唯一？3)f(x)的全體原函數(shù)如何表示?原函數(shù)存在定理：

若f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)

,則在區(qū)間I內(nèi)一定存在f(x)的原函數(shù).簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

(證明見(jiàn)第六節(jié)).（2）若，則對(duì)于任意常數(shù)，（3）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）

若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)的全體原函數(shù)可表示為F(x)+C.(C為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量2.不定積分的定義：例1

求例2

求例3

求例1

求解解例2

求解例3

求例4

設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)方程.解設(shè)曲線(xiàn)方程為根據(jù)題意知由曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線(xiàn)方程為注：在求f(x)的所有原函數(shù)中,有時(shí)需要確定一個(gè)滿(mǎn)足條件y(x0

)=y0

的積分曲線(xiàn).即求通過(guò)點(diǎn)(x0

,y0)的積分曲線(xiàn).這個(gè)條件一般稱(chēng)為初始條件,它可以唯一確定積分常數(shù)C的值.結(jié)論：求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的.4.不定積分與微分(導(dǎo)數(shù))的關(guān)系由此根據(jù)微分公式可得積分公式.實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表⑴(k

是常數(shù));例求積分解根據(jù)積分公式（2）證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算例1

求積分解

根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本函數(shù)的積分公式,可計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.例2

求積分解例3

求積分解例4

求積分解例5

求積分解例6

求積分解例7

求積分解例8

求積分解例9

求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.解所求曲線(xiàn)方程為例11

已知解例12

設(shè)解注意:1)導(dǎo)數(shù)是唯一的,但原函數(shù)不唯一.2)任一初等函數(shù)都可求導(dǎo)數(shù),且導(dǎo)數(shù)一般也為初等函數(shù),但一些初等函數(shù)的不定積分就不能用初等函數(shù)來(lái)表示.這些不定積分的原函數(shù)存在,但不能用初等函數(shù)來(lái)表示.3)不定積分與變量符號(hào)有關(guān).基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)

原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題解答不存在.