2022屆市高級中學高三1月調(diào)研考試數(shù)學（理）試題（解析版）

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2022屆市高級中學高三1月調(diào)研考試數(shù)學（理）試題一、單項選擇題1．已知復數(shù)與為共軛復數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，那么（）

A．1B．C．D．【答案】D【解析】由共軛復數(shù)的概念可以得到，解方程即可得到，進而可以求出.【詳解】由題意得，，解得，，那么，.故答案為D.【點睛】此題測驗了共軛復數(shù)的學識，測驗了復數(shù)的模，屬于根基題．2．已知集合，那么（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】求出直線與的交點，即可得到答案。

【詳解】由題意，解得，，故.故答案為A.【點睛】此題測驗了集合的交集，兩直線的交點，屬于根基題。

3．已知單位向量的夾角為，且，若向量，那么（）

A．9B．10C．3D．【答案】C【解析】先由夾角正切值得余弦值，然后利用數(shù)量積公式得到，再利用向量模的公式計算即可得到答案.【詳解】向量夾角，由可得，向量為單位向量即,可得，那么，應選：C.【點睛】此題測驗向量的模的計算方法，屬于根基題.4．以下說法正確的是()A．若命題均為真命題，那么命題為真命題B．“若，那么”的否命題是“若”C．在，“”是“”的充要條件D．命題“”的否決為“”【答案】D【解析】利用復合命題的真假四種命題的逆否關系以及命題的否決，充要條件判斷選項的正誤即可．【詳解】對于A：若命題p，￢q均為真命題，那么q是假命題，所以命題p∧q為假命題，所以A不正確；

對于B：“若，那么”的否命題是“若，那么”，所以B不正確；

對于C：在△ABC中，“”?“A+B=”?“A=-B”?sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不確定成立，∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要條件，所以C不正確；

對于D：命題p：“?x0∈R，x02-x0-5＞0”的否決為￢p：“?x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正確．應選：D．【點睛】此題測驗命題的真假的判斷與應用，涉及充要條件，四種命題的逆否關系，命題的否決等學識，是根本學識的測驗．5．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，那么A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正項等比數(shù)列的前項和公式、通項公式，列出方程組，求出，，由此能求出的值。

【詳解】正項等比數(shù)列的前項和為，，，易知時不成立，所以.，解得，，．應選：B．【點睛】此題測驗等比數(shù)列的前項和公式的運用，測驗了等比數(shù)列的性質(zhì)等根基學識，測驗運算求解才能，是根基題。

6．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為，那么的取值范圍是（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】對舉行變形，得到，令，，即的整數(shù)個數(shù)為3，再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案【詳解】，即設，其中時，時，即符合要求，所以時，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，為微小值.有三個整數(shù)解，那么還有一個整數(shù)解為或者是①當解集包含時，時，所以需要得志即，解得②當解集包含時，需要得志即整理得，而，所以無解集，即該處境不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為應選D項.【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個函數(shù)圖像的位置關系與解析式大小之間的關系，數(shù)形結合的數(shù)學思想，題目較綜合，測驗內(nèi)容對比多，屬于難題.7．已知程序框圖如圖，那么輸出i的值為A．7B．9C．11D．13【答案】D【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)布局計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【詳解】當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，不得志退出循環(huán)的條件，故，當時，得志退出循環(huán)的條件，故輸出應選【點睛】此題主要測驗的學識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答。

8．曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，那么外接圓面積的最小值為A．B．C．D．【答案】C【解析】設直線l與曲線的切點坐標為（），求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率和方程，聯(lián)立直線y＝x求得A的坐標，與y軸的交點B的坐標，運用兩點距離公式和根本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圓的半徑，進而得到所求面積的最小值．【詳解】設直線l與曲線的切點坐標為（），函數(shù)的導數(shù)為．那么直線l方程為，即，可求直線l與y＝x的交點為A（），與y軸的交點為，在△OAB中，，當且僅當2＝2時取等號．由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為，那么△OAB外接圓面積，應選：C．【點睛】此題測驗導數(shù)的運用：求切線方程，測驗導數(shù)的幾何意義，同時測驗正弦定理的運用，根本不等式的運用：求最值，以及化簡整理的運算才能，屬于中檔題．9．已知為實數(shù)，，若，那么函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A．B．C．D．【答案】B【解析】對函數(shù)求導，由求出a,然后解不等式即可得到答案.【詳解】，那么又那么，解得a=-2,解得,那么函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為應選：B.【點睛】此題主要測驗導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，是根基題．10．定義在上的函數(shù)，且，那么方程在區(qū)間上的全體實數(shù)根之和最接近以下哪個數(shù)（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，∵g（x）=，∴g（x）關于直線x=2對稱．分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[﹣5，9]上的圖象，由圖象可知兩個函數(shù)的交點個數(shù)為8個，設8個交點的橫坐標從小到大為x1，x2，x3，x4，x5，x6，且這8個交點接近點（2，0）對稱，那么（x1+x8）=2，x1+x8=4，所以若x1+x2+x3+x4+x5+x6=4（x1+x8）=4×4=16，但是不都是對稱的，由圖象可知，x1+x8＞4，x2+x7＞4，，第五個交點為空心的，跟等于3∴x1+x2+x4+x5+x6最接近14．應選A．點睛：這個題目測驗了導數(shù)在研究函數(shù)的極值和零點問題中的應用；

對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以彼此轉化；

在轉化為兩個函數(shù)交點時，假設是一個常函數(shù)一個分外函數(shù)，留神讓分外函數(shù)式子盡量簡樸一些。留神函數(shù)的圖像畫的要切實一些。

11．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形，是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于的小路．已知某人從沿走到用了2分鐘，從沿著走到用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，那么該扇形的半徑的長度為A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：設該扇形的半徑為r米，連接CO．由題意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．【考點】1．扇形面積公式；

2．余弦定理求三角形邊長12．是定義在上的奇函數(shù)，對，均有，已知當時，，那么以下結論正確的是（）

A．的圖象關于對稱B．有最大值1C．在上有5個零點D．當時，【答案】C【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函數(shù)的周期為2，那么f（x）的圖象關于（1，0）點對稱，故A錯誤；

f（x）∈（-1，1），無最大值，故B錯誤；

整數(shù)均為函數(shù)的零點，故f（x）在[-1，3]上有5個零點，故C正確；

當x∈[2，3）時，x-2∈[0，1），那么f（x）=f（x-2）=2x-2-1，當x=3時，f（x）=0，故D錯誤；

應選C.點睛:此題是函數(shù)性質(zhì)的綜合應用,已知對稱中心,周期能推出另一個對稱中心,根據(jù)某區(qū)間上的解析式,結合周期性,對稱性可以得到一個周期中的函數(shù)圖象,從而關于最值,零點等問題都可以解決.二、填空題13．在中，已知，若，那么周長的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題中條件先求出，然后由余弦定理可得，利用根本不等式可得到，再由三角形中兩邊之和大于第三邊可得，從而可得到的取值范圍，即周長的范圍。

【詳解】由題意，，即，可化為，即，由于，所以，即，設的內(nèi)角的對邊分別為，由余弦定理得，，由于，（當且僅當時取“=”），所以，即，又由于，所以，故，那么，又由于，所以，即.故周長的取值范圍為.【點睛】此題測驗了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理在解三角形中的運用，利用根本不等式求最值，三角形的性質(zhì)，測驗了學生分析問題、解決問題的才能，及計算才能，屬于中檔題。

14．曲線在點（0,0）處的切線方程為______________；

【答案】【解析】通過求導得切線斜率，再由點斜式可得切線方程.【詳解】，那么，故．【點睛】此題主要測驗了導數(shù)的幾何意義，屬于根基題.15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，,那么______.【答案】10【解析】根據(jù)等比數(shù)列和項性質(zhì)列方程解得結果.【詳解】由題意得，成等比數(shù)列，那么，所以,或90，由于各項均為正數(shù)，所以，因此.【點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、裁減運算量”的方法.16．已知且,那么______。

【答案】1【解析】整理得：

由此得到，問題得解。

【詳解】由于，所以，整理得：

，又，所以，所以，所以【點睛】此題主要測驗了兩角和的正弦公式及兩角差的余弦公式，測驗計算才能，還測驗了三角恒等式，屬于根基題。

三、解答題17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．求；

若，且面積，求的值．【答案】（1）；

（2）

【解析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得tanA=，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用三角形的面積公式可求c的值，進而可求b的值，根據(jù)余弦定理可得a的值．【詳解】（1）∵，∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=（2）∵，且△ABC面積=bcsinA=2c×c×，∴解得：c=2，b=4，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2【點睛】此題主要測驗了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，測驗了計算才能和轉化思想，屬于根基題．18．在中，.(1)求角的大??；

(2)若，垂足為，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由，兩邊平方，整理可得，即，從而可得；

（2）在直角與直角中中，，，從而可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得面積的最小值.試題解析：（1）由，兩邊平方，即，得到，即。

所以.（2）在直角中，，在直角中，，又，所以，所以，由得，，故，當且僅當時，，從而.19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，，三邊成等比數(shù)列，且面積為1，在等差數(shù)列中，，公差為.（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列得志，設為數(shù)列的前項和，求的取值范圍.【答案】（1），（2）

【解析】（1）由，，解得從而得到數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得，利用裂項相消法得到前項和，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）∵，，，∴，.（2）∵，∴∵是關于n的增函數(shù)，∴.【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其理由是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的布局特點，常見的裂項技巧：

(1)；

（2）

；

（3）；

（4）

；

此外，需留神裂項之后相消的過程中輕易展現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.20．某地擬規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域Ⅰ）設計成半徑為的扇形，中心角．為便當參觀，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃參觀區(qū)（區(qū)域Ⅱ）和休閑區(qū)（區(qū)域Ⅲ），并將外圍區(qū)域按如下圖的方案擴建成正方形，其中點，分別在邊和上．已知種植區(qū)、參觀區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元．（1）要使參觀區(qū)的年收入不低于5萬元，求的最大值；

（2）試問：當為多少時，年總收入最大？【答案】（1）（2）

【解析】（1）由，，，所以與全等.可得，根據(jù)面積公式，可求得參觀區(qū)的面積為，要使得參觀區(qū)的年收入不低于5萬元，那么要求，解不等式即可求出結果.（2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設年總收入為萬元，那么，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，即可求出結果.【詳解】（1）∵，，，所以與全等.所以，參觀區(qū)的面積為，要使得參觀區(qū)的年收入不低于5萬元，那么要求，即，結合可知，那么的最大值為.（2）種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設年總收入為萬元，那么，其中，求導可得.當時，，遞增；

當時，，遞增.所以當時，取得最大值，此時年總收入最大.【點睛】題主要測驗了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，測驗了數(shù)形結合思想，以及導數(shù)在求最值的應用.21．已知函數(shù).(1)當時求函數(shù)的最小值；

(2)若函數(shù)在上恒成立求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)4.(2).【解析】試題分析：

（Ⅰ）結合題意利用根本不等式求解即可．（Ⅱ）由題意得在上恒成立，轉化為在上恒成立．構造函數(shù)，求得函數(shù)的最值后可得結論．試題解析：

（Ⅰ）當時，，當且僅當，即時等號成立，所以．（Ⅱ）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在