湖南省二校聯(lián)考2023屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖象向左平移的單位后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（）A. B.C. D.2．函數(shù)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是A B.C. D.3．設(shè)命題：，則的否定為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)則的值為（）A. B.C.0 D.15．已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件6．直線與曲線有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7．“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足對(duì)任意的,有=且當(dāng)時(shí),=,若函數(shù)=在(0,+上恰有六個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9．命題：，命題：（其中），那么是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，，，是三個(gè)邊長為1的等邊三角形，且有一條邊在同一直線上，邊上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則__________12．已知，則___________.（用含a的代數(shù)式表示）13．已知集合，，則集合________.14．已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)；④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.15．已知符號(hào)函數(shù)sgn（x），則函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為_____16．梅州城區(qū)某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米，勻速運(yùn)行一周大約18分鐘.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第12分鐘時(shí)，他距地面大約為___________米.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍18．已知函數(shù)f(x)＝2asin＋b的定義域?yàn)?，函?shù)最大值為1，最小值為－5，求a和b的值19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域及的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明20．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求所在直線的方程.21．已知函數(shù)，.（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：是增函數(shù)；（2）若，則當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？并求出其最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由題意可得，再根據(jù)平移得到的函數(shù)為偶函數(shù)，利用對(duì)稱軸即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以，其圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，而圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以其為偶函數(shù)，于是，即，又，所以的最小值是故選：C.2、D【解析】由題意得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為設(shè)方程的解為，則必有，由圖象可得是平行于x軸的直線，它們與函數(shù)的圖象必有交點(diǎn)，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得的兩個(gè)解要關(guān)于直線對(duì)稱，故可得；同理方程的兩個(gè)解也要關(guān)于直線對(duì)稱，同理從而可得若關(guān)于的方程有一個(gè)正根，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；若關(guān)于的方程有兩個(gè)正根，則方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根綜合以上情況可得，關(guān)于的方程的解集不可能是．選D非選擇題3、B【解析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因?yàn)槊}：，所以的否定：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式及指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：D5、C【解析】在中，由求出角A，再利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】因角是的內(nèi)角，則，當(dāng)時(shí)，或，即不一定能推出，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C6、A【解析】如圖所示，直線過點(diǎn)，圓的圓心坐標(biāo)直線與曲線相切時(shí)，，直線與曲線有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：直線與圓相交，相切問題7、B【解析】利用充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.8、C【解析】因?yàn)?,且是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，令,則，解得，所以有=，所以是周期為2的偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，=，其圖象為開口向下，頂點(diǎn)為(3,0)的拋物線，因?yàn)楹瘮?shù)=在(0,+上恰有六個(gè)零點(diǎn)，令，因?yàn)樗?，所以，要使函?shù)=在(0,+上恰有六個(gè)零點(diǎn)，如圖所示：只需要,解得.故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)與方程，解答本題時(shí)要注意先根據(jù)函數(shù)給出的性質(zhì)對(duì)稱性和周期性，畫出函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)和圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求得實(shí)數(shù)的取值范圍.9、A【解析】根據(jù)充分性、必要性的定義，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以由能推出，當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，滿足，但是不成立，因此是的充分不必要條件，故選：A10、C【解析】根據(jù)給定圖象求出函數(shù)的解析式，再平移，代入計(jì)算作答.【詳解】觀察圖象得，令函數(shù)周期為，有，解得，則，而當(dāng)時(shí)，，則有，又，則，因此，，將的圖象向左平移個(gè)單位得：，所以將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加法、向量的數(shù)量積運(yùn)算；考查平面幾何坐標(biāo)法的思想方法.由于題目給定三個(gè)全等的三角形，而的位置不確定，故考慮用坐標(biāo)法來解決.在利用坐標(biāo)法解題時(shí)，首先要選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，建立后用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，最后根據(jù)題目的要求計(jì)算結(jié)果.12、【解析】利用換底公式化簡，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?13、【解析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故答案為：.14、①②③④【解析】分別作出，和的函數(shù)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時(shí)函數(shù)的圖象，對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，，圖象如圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對(duì)于②：由三個(gè)圖知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值；故②正確；對(duì)于③：如圖和圖中存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象與沒有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確對(duì)于④：如圖，對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).15、【解析】根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，得到等價(jià)函數(shù)后分別求出其零點(diǎn)，然后可得所求集合【詳解】①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是；②當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）=0，故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是0；③當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是綜上可得函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣x的零點(diǎn)的集合為：故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是基礎(chǔ)題16、55【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，第分鐘時(shí)所在位置的高度為，設(shè)出其三角函數(shù)的表達(dá)式，由題意，得出其周期，求出解析式，然后將代入，可得答案.【詳解】如圖設(shè)為地面，圓為摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米.則摩天輪的最低點(diǎn)離地面10米，即以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第分鐘時(shí)所在位置的高度為則由題意，,則，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：55三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由（1）及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)榧础?，∴，∴，∴，故的取值范圍為【小?詳解】解：∵，∴由（1）知，∵有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象可知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是18、a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1.若a>0，則，解得，若a<0，則，解得，綜上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.19、（1）(2)偶函數(shù)（3）在上是減函數(shù),證明見解析.【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f(x）的定義域及的值；(2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性;(3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?（2）由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù).（3）在上是減函數(shù).設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，第一步設(shè)且，第二步做差，變形，判斷差的符號(hào)，第三步根據(jù)差的符號(hào)作出結(jié)論.20、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)AC和BH的垂直關(guān)系可得到直線的方程為，再代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得到直線的方程為，聯(lián)立CM直線可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，將兩個(gè)點(diǎn)分別帶入BH和CM即可求出，結(jié)合第一問得到BC的方程解析：（1）因?yàn)?，的方程為，不妨設(shè)直線的方程為，將代入得，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立直線的方程，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，點(diǎn)在上，所以，解得，所以,所以直線的方程為，