《數(shù)學(xué)函數(shù)逼近》課件

2.1數(shù)據(jù)擬合(最小二乘法)實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測定的24個纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)通過觀察或測量到一組離散數(shù)據(jù)序列，當(dāng)所得數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確的時候，可構(gòu)造插值函數(shù)，構(gòu)造的原則是要求插值的函數(shù)通過這些插值節(jié)點(diǎn)。但通常所測得的數(shù)據(jù)有誤差，如果數(shù)據(jù)系列無法同時滿足某特定函數(shù)，即插值無法滿足要求，在這種情況下只能通過逼近函數(shù)最優(yōu)的靠近樣點(diǎn)，即數(shù)據(jù)擬合。2.1數(shù)據(jù)擬合(最小二乘法)實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)《數(shù)學(xué)函數(shù)逼近》課件纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點(diǎn)大致分布在一條直線附近---------(1)纖維強(qiáng)度隨拉伸并且24個點(diǎn)大致分---------(1)必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。一、最小二乘法的基本概念一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。一、最小在回歸分析中稱為殘差平方和。注意(1)式是一條直線。因此將問題一般化：在回歸分析中稱為殘差平方和。注意(1)式是一條直線。因此將問仍然定義平方誤差仍然定義平方誤差我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是：---------(2)---------(3)我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是：---------(2)-------《數(shù)學(xué)函數(shù)逼近》課件二、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為由多元函數(shù)取極值的必要條件得即由多元函數(shù)取極值的必要條件得即---------(4)即---------(4)即引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內(nèi)積滿足交換律引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)-----方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)C即是的最小值所以因此即是的最小值所以因此作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為見小書79頁作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為見小書79頁例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內(nèi)積公式，可得例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸法方程組為解得平方誤差為法方程組為解得平方誤差為擬合曲線與散點(diǎn)的關(guān)系如右圖:擬合曲線與散點(diǎn)例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解解:從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解解:從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出因圖示圖示6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通過計算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)矩陣為6.7941-5.347563.25891.6用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735擬合的平方誤差為圖象如圖用Gauss列主元消去法,得-1.0410擬合的平方誤例3.在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有圖示的圖形的曲線很多，本題特提供兩種形式例3.在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時間t的t=1,2兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)三、加權(quán)最小二乘法各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的重度:即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù)定義加權(quán)平方誤差為-----(9)三、加權(quán)最小二乘法各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的重度:即權(quán)重或者使得使得由多元函數(shù)取極值的必要條件得即由多元函數(shù)取極值的必要條件得即引入記號定義加權(quán)內(nèi)積-----(10)引入記號定義加權(quán)內(nèi)積-----(10)矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-----(11)---(12)矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-----(11)平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為-----(13)平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為---2.1數(shù)據(jù)擬合(最小二乘法)實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測定的24個纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)通過觀察或測量到一組離散數(shù)據(jù)序列，當(dāng)所得數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確的時候，可構(gòu)造插值函數(shù)，構(gòu)造的原則是要求插值的函數(shù)通過這些插值節(jié)點(diǎn)。但通常所測得的數(shù)據(jù)有誤差，如果數(shù)據(jù)系列無法同時滿足某特定函數(shù)，即插值無法滿足要求，在這種情況下只能通過逼近函數(shù)最優(yōu)的靠近樣點(diǎn)，即數(shù)據(jù)擬合。2.1數(shù)據(jù)擬合(最小二乘法)實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)《數(shù)學(xué)函數(shù)逼近》課件纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點(diǎn)大致分布在一條直線附近---------(1)纖維強(qiáng)度隨拉伸并且24個點(diǎn)大致分---------(1)必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。一、最小二乘法的基本概念一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。一、最小在回歸分析中稱為殘差平方和。注意(1)式是一條直線。因此將問題一般化：在回歸分析中稱為殘差平方和。注意(1)式是一條直線。因此將問仍然定義平方誤差仍然定義平方誤差我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是：---------(2)---------(3)我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是：---------(2)-------《數(shù)學(xué)函數(shù)逼近》課件二、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為由多元函數(shù)取極值的必要條件得即由多元函數(shù)取極值的必要條件得即---------(4)即---------(4)即引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內(nèi)積滿足交換律引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)-----方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)C即是的最小值所以因此即是的最小值所以因此作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為見小書79頁作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為見小書79頁例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內(nèi)積公式，可得例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸法方程組為解得平方誤差為法方程組為解得平方誤差為擬合曲線與散點(diǎn)的關(guān)系如右圖:擬合曲線與散點(diǎn)例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解解:從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解解:從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出因圖示圖示6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通過計算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)矩陣為6.7941-5.347563.25891.6用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735擬合的平方誤差為圖象如圖用Gauss列主元消去法,得-1.0410擬合的平方誤例3.在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有圖示的圖形的曲線很多，本題特提供兩種形式例3.在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時間t的t=1,2兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)三、加權(quán)最小二乘法各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的重度:即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù)定義加權(quán)平方誤差為-----(9)三、加權(quán)最小二乘法各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的