固體物理思考題

緒論二十世紀(jì)物理學(xué)的三大前沿領(lǐng)域是什么？［解答］微觀領(lǐng)域（把包括分子、原子和各種基本粒子（一般線度小于億分之一米）的粒子稱為微觀粒子，而微觀粒子和它們現(xiàn)象的總稱就是微觀世界或微觀領(lǐng)域。）、宇宙起源（許多科學(xué)家認(rèn)為，宇宙是由大約137億年前發(fā)生的一次大爆炸形成的）和演化復(fù)雜性問題（研究重點(diǎn)是探索宏觀領(lǐng)域的復(fù)雜性及其演化問題）。還原論的思維特點(diǎn)是什么？他對(duì)人們思想有何影響？［解答］將復(fù)雜還原為簡單，然后從簡單再建復(fù)雜。它對(duì)人們認(rèn)識(shí)客觀世界有重要的積極的意義，并取得許多重要的成果，但這種思維特點(diǎn)不能強(qiáng)調(diào)過分，因?yàn)閷诱拐撘彩钦J(rèn)識(shí)客觀世界的一種重要思維方法。固體物理學(xué)的范式是什么？結(jié)合所學(xué)內(nèi)容談?wù)勀闶窃鯓永斫膺@種范式的。［解答］是周期性結(jié)構(gòu)中波的傳播。不同類型的波，不管是德布羅意波還是經(jīng)典波，彈性波還是電磁波，橫波還是縱波,在波的傳播問題上具有共性。固體物理學(xué)主要是探討具有周期結(jié)構(gòu)特征的晶態(tài)物質(zhì)的結(jié)構(gòu)與性能的關(guān)系。彈性波或晶格波在周期結(jié)構(gòu)中的傳播導(dǎo)致了點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)，它主要由Born及其合作者建立起來的;短波長電磁波在周期結(jié)構(gòu)中的傳播導(dǎo)致了晶體中X射線衍射問題，其動(dòng)力學(xué)理論系由Ewald與Laue所表述的;德布羅意波（電子）在周期結(jié)構(gòu)中的傳播導(dǎo)致了固體電子結(jié)構(gòu)的能帶理論,它是由Bloch、A.C.Wilson,Brillouin等所表述的。這些理論有其共同的特征:為了借助于平移對(duì)稱（周期性）引入的簡化，都采用Bloch的表示方式，也都強(qiáng)調(diào)了波矢（或倒）空間（即實(shí)空間的富利葉變換）的重要性。隨后對(duì)這些領(lǐng)域進(jìn)行加固并開發(fā)應(yīng)用成為固體物理學(xué)家的主要任務(wù)。值得注意，即使時(shí)至今日,這一范式還存在生機(jī)，到80年代末及以后關(guān)于光子能帶與聲子能帶的研究又為它注入新的活力。層展論的思維方法是什么？怎樣理解實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、理論洞見和實(shí)際應(yīng)用三者之間的關(guān)系。層展論的思維特點(diǎn)是從簡單到復(fù)雜，每個(gè)層次都有自己獨(dú)特的研究對(duì)象、研究內(nèi)容、研究方法和客觀規(guī)律;實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、理論洞見和實(shí)際應(yīng)用三者間關(guān)系非常復(fù)雜，在固體物理研究中，有時(shí)是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在前，有時(shí)是實(shí)際應(yīng)用在前，也有時(shí)是理論洞見在先，盡管這種情況較少。第一章解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？［解答］晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大.因?yàn)槊骈g距大的晶面族的指數(shù)低，所以解理面是面指數(shù)低的晶面.與晶列【旱也］垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？［答］正格子與倒格子互為倒格子。正格子晶面岫炬)與倒格式1-1-1-■■處=岫+也&+翊垂直，則倒格晶面(但)與正格矢W皿+,漁+，3電正交。即晶列職烏］與倒格面以剛性原子球堆積模型，計(jì)算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為:簡立方，n/6；(2)體心立方，8；(3)面心立方，6；(4)y￡—.?化六角密積，?。?5)金剛石結(jié)構(gòu)，康。［答］設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成。一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。設(shè)n為一個(gè)晶胞中剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示晶胞體積，則致密度(1)對(duì)簡立方晶體，任一個(gè)原子有6個(gè)最近鄰，若原子以剛球堆積，如圖1?2所示，中心在1,2,3,4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲?。因?yàn)閍=2r，V=a3，晶胞內(nèi)包含1個(gè)原子，所以對(duì)體心立方晶體，任一個(gè)原子有8個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1-2所示，體心位置O的原子與處在8個(gè)角頂位置的原子球相切。因?yàn)榫О臻g對(duì)角線的長為右”二4二礦二/?，晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以對(duì)面立方晶體，任一個(gè)原子有12個(gè)最近鄰，若以剛性球堆積，如圖1.4所示,中心位于角頂?shù)脑优c相鄰的3個(gè)面心原子球相切。因?yàn)橐舱娑二、1個(gè)晶胞內(nèi)包含4個(gè)原子，所以對(duì)六角密積結(jié)構(gòu)，任一個(gè)原子有12個(gè)最近鄰，若以剛性球堆積，如圖1.5所示，中心在1的原子與中心在2,3,4的原子相切，中心在5的原子與中心在6,7,8的原子相切，晶胞內(nèi)的原子O與中心在1，3,4,5,7,8處的原子相切，即O點(diǎn)與中心在5，7,8處的原子分布在正四面體的頂上。因?yàn)樗拿骟w的高：晶胞體積:V=co2sinSO"=—w一個(gè)晶胞內(nèi)包含兩個(gè)原子，所以:2x—覽對(duì)金剛石結(jié)構(gòu)，任一個(gè)原子有4個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對(duì)角線四分之一處的O原子與中心在1,2,3,4處的面心原子相切。因?yàn)榫Оw積2x—覽一個(gè)晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子，所以試證面心立方晶格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方.［答］設(shè)與晶軸d平行的單位矢量分別為面心立方正格子的原胞基矢可取為由倒格矢公式TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"rrrrrr廠_2宿［代責(zé)噸］訂■［電乂保］］訂_2垣［尊］責(zé)知］以-5—'2~5—"烏-―5—'可得其倒格矢為I"二統(tǒng)（T+】+止）上3二巫（AJ+工）”冬二火（，+jT>aaa設(shè)與晶軸"平行的單位矢量分別為'"#，體心立方正格子的原胞基矢可取為—----r占-—-—---"矽-E*幻化二矽-J廿\電二彩*J-氐\以上三式與面心立方的倒格基矢相比較，兩者只相差一常數(shù)公因子，這說明面心立方的倒格子是體心立方。將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式

則得其倒格子基矢為四(W+M再=竺Q+j).則得其倒格子基矢為四(W+M再=竺Q+j).aa求晶格長數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面族（"1奶板1的面間距.［答］面心立方正格子的原胞基矢為街二割+志s二：（￡+，）（；二;（‘+力?由TOC\o"1-5"\h\zIIIIII廠_It［的乂豹］訂_2網(wǎng)［電乂皿］］廠_2富［的乂約］以-5'2-5北-5'可得其倒格基矢為IM=—(-i+y+^),耳=—(s~j+^)A=—C1aaa倒格矢根據(jù)《固體物理教程》（1.16）式得面心立方晶體晶面族飽境格）的面間距5=m=十/十（知-知十杼+5-富產(chǎn)體心立方正格子原胞基矢可取為-----—--電二+二5《-」+止），沔=5。+」-用）其倒格子基矢為：二竺◎+￡),%=竺(￡+以她=aa二竺◎+￡),%=竺(￡+以她=aa岫屈’同=［庵十處尸十成玷尸HR十知吁門第2章晶體的結(jié)合是否有與庫侖力無關(guān)的晶體結(jié)合類型？［答］共價(jià)結(jié)合中，電子雖然不能脫離電負(fù)性大的原子，但靠近的兩個(gè)電負(fù)性大的原子可以各出一個(gè)電子，形成電子共享的形式，即這一對(duì)電子的主要活動(dòng)范圍處于兩個(gè)原子之間，通過庫侖力，把兩個(gè)原子連接起來.離子晶體中，正離子與負(fù)離子的吸引力就是庫侖力.金屬結(jié)合中，原子實(shí)依靠原子實(shí)與電子云間的庫侖力緊緊地吸引著.分子結(jié)合中，是電偶極矩把原本分離的原子結(jié)合成了晶體.電偶極矩的作用力實(shí)際就是庫侖力.氫鍵結(jié)合中，氫先與電負(fù)性大的原子形成共價(jià)結(jié)合后，氫核與負(fù)電中心不在重合，迫使它通過庫侖力再與另一個(gè)電負(fù)性大的原子結(jié)合.可見，所有晶體結(jié)合類型都與庫侖力有關(guān).如何理解庫侖力是原子結(jié)合的動(dòng)力？［答］晶體結(jié)合中，原子間的排斥力是短程力，在原子吸引靠近的過程中，把原本分離的原子拉近的動(dòng)力只能是長程力，這個(gè)長程吸引力就是庫侖力.所以，庫侖力是原子結(jié)合的動(dòng)力.晶體的結(jié)合能，晶體的內(nèi)能，原子間的相互作用勢能有何區(qū)別？［答］自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量，或者把晶體拆散成一個(gè)個(gè)自由粒子所需要的能量，稱為晶體的結(jié)合能.原子的動(dòng)能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能.在0K時(shí)，原子還存在零點(diǎn)振動(dòng)能.但零點(diǎn)振動(dòng)能與原子間的相互作用勢能的絕對(duì)值相比小得多.所以，在0K時(shí)原子間的相互作用勢能的絕對(duì)值近似等于晶體的結(jié)合能.原子間的排斥作用取決于什么原因？［答］相鄰的原子靠得很近，以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時(shí)，相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力.也就是說，原子間的排斥作用來自相鄰原子內(nèi)層閉合殼層電子云的重疊.原子間的排斥作用和吸引作用有何關(guān)系？起主導(dǎo)的范圍是什么？［答］在原子由分散無規(guī)的中性原子結(jié)合成規(guī)則排列的晶體過程中，吸引力起到了主要作用.在吸引力的作用下，原子間的距離縮小到一定程度，原子間才出現(xiàn)排斥力.當(dāng)排斥力與吸引力相等時(shí)，晶體達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài).可見，晶體要達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài)，吸引力與排斥力缺一不可.設(shè)此時(shí)相鄰原子間的距離為％,當(dāng)相鄰原子間的距離尸＞七時(shí)，吸引力起主導(dǎo)作用；當(dāng)相鄰原子間的距離嚴(yán)＜『口時(shí)，排斥力起主導(dǎo)作用.共價(jià)結(jié)合為什么有“飽和性”和“方向性”？［答］設(shè)N為一個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目，對(duì)于IVA、VA、VIA、VIIA族元素，價(jià)電子殼層一共有8個(gè)量子態(tài)，最多能接納(8-N)個(gè)電子，形成(8-N)個(gè)共價(jià)鍵.這就是共價(jià)結(jié)合的“飽和性”.共價(jià)鍵的形成只在特定的方向上，這些方向是配對(duì)電子波函數(shù)的對(duì)稱軸方向，在這個(gè)方向上交迭的電子云密度最大.這就是共價(jià)結(jié)合的“方向性”.共價(jià)結(jié)合，兩原子電子云交迭產(chǎn)生吸引，而原子靠近時(shí)，電子云交迭會(huì)產(chǎn)生巨大的排斥力，如何解釋？［答］共價(jià)結(jié)合，形成共價(jià)鍵的配對(duì)電子，它們的自旋方向相反，這兩個(gè)電子的電子云交迭使得體系的能量降低，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定.但當(dāng)原子靠得很近時(shí)，原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭，量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的排斥力，使得系統(tǒng)的能量急劇增大.試解釋一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子一定要放出能量的現(xiàn)象.［答］當(dāng)一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子變成負(fù)離子，這個(gè)電子能穩(wěn)定的進(jìn)入原子的殼層中，這個(gè)電子與原子核的庫侖吸引能的絕對(duì)值一定大于它與其它電子的排斥能.但這個(gè)電子與原子核的庫侖吸引能是一負(fù)值.也就是說，當(dāng)中性原子吸收一個(gè)電子變成負(fù)離子后，這個(gè)離子的能量要低于中性原子原子的能量.因此，一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子一定要放出能量.如何理解電負(fù)性可用電離能加親和能來表征？［答］使原子失去一個(gè)電子所需要的能量稱為原子的電離能，電離能的大小可用來度量原子對(duì)價(jià)電子的束縛強(qiáng)弱.一個(gè)中性原子獲得一個(gè)電子成為負(fù)離子所釋放出來的能量稱為電子親和能.放出來的能量越多，這個(gè)負(fù)離子的能量越低，說明中性原子與這個(gè)電子的結(jié)合越穩(wěn)定.也就是說，親和能的大小也可用來度量原子對(duì)電子的束縛強(qiáng)弱.原子的電負(fù)性大小是原子吸引電子的能力大小的度量.用電離能加親和能來表征原子的電負(fù)性是符合電負(fù)性的定義的.為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)？［答］金屬結(jié)合中，受到最小能量原理的約束，要求原子實(shí)與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低(絕對(duì)值盡可能的大).原子實(shí)越緊湊，原子實(shí)與共有電子電子云靠得就越緊密，庫侖能就越低.所以，許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu).第三章晶格振動(dòng)與晶體熱學(xué)性質(zhì)引入玻恩卡門條件的理由是什么？［答］(1)方便于求解原子運(yùn)動(dòng)方程.由本教科書的(3.4)式可知，除了原子鏈兩端的兩個(gè)原子外，其它任一個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)都與相鄰的兩個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)相關(guān).即除了原子鏈兩端的兩個(gè)原子外，其它原子的運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成了個(gè)聯(lián)立方程組.但原子鏈兩端的兩個(gè)原子只有一個(gè)相鄰原子，其運(yùn)動(dòng)方程僅與一個(gè)相鄰原子的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，運(yùn)動(dòng)方程與其它原子的運(yùn)動(dòng)方程迥然不同.與其它原子的運(yùn)動(dòng)方程不同的這兩個(gè)方程，給整個(gè)聯(lián)立方程組的求解帶來了很大的困難.(2)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得較好.對(duì)于原子的自由運(yùn)動(dòng)，邊界上的原子與其它原子一樣，無時(shí)無刻不在運(yùn)動(dòng).對(duì)于有N個(gè)原子構(gòu)成的的原子鏈，硬性假定巧=°工河的邊界條件是不符合事實(shí)的.其實(shí)不論什么邊界條件都與事實(shí)不符.但為了求解近似解，必須選取一個(gè)邊界條件.晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測定是對(duì)晶格振動(dòng)理論的最有力驗(yàn)證(參見本教科書§3.2與§3.4).玻恩卡門條件是晶格振動(dòng)理論的前提條件.實(shí)驗(yàn)測得的振動(dòng)譜與理論相符的事實(shí)說明，玻恩卡門周期性邊界條件是目前較好的一個(gè)邊界條件.什么叫簡正振動(dòng)模式？簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是否是一回事？［答］為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動(dòng)時(shí)，將原子間互作用力的泰勒級(jí)數(shù)中的非線形項(xiàng)忽略掉的近似稱為簡諧近似.在簡諧近似下，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動(dòng)，可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng).每個(gè)諧振子的振動(dòng)模式稱為簡正振動(dòng)模式，它對(duì)應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動(dòng)，它是晶格振動(dòng)模式中最簡單最基本的振動(dòng)方式.原子的振動(dòng)，或者說格波振動(dòng)通常是這3N個(gè)簡正振動(dòng)模式的線形迭加.簡正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是一回事，這個(gè)數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等于3N.長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別？［答］長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻率較高，它包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對(duì)位移，原胞做整體運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，它包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式，波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波.晶體中聲子數(shù)目是否守恒？［答］頻率為叫的格波的（平均）聲子數(shù)為戒瑪）=產(chǎn)脆_］,即每一個(gè)格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān)，因此，晶體中聲子數(shù)目不守恒，它是溫度的變量.按照德拜模型，晶體中的聲子數(shù)目N’為作變量代換其中咚是德拜溫度.高溫時(shí)，aN'=*3Y物％七；,即高溫時(shí)，晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.低溫時(shí)，（虬⑴Too,,即低溫時(shí)，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.溫度一定，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？［答］頻率為中的格波的（平均）聲子數(shù)為因?yàn)楣鈱W(xué)波的頻率兇凸比聲學(xué)波的頻率少點(diǎn)高，儼切/"-1）大于（盧渺―）,所以在溫度一定情況下，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目.對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式，溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多呢，還是溫度低時(shí)的聲子數(shù)目多？［答］設(shè)溫度TH>TL,由于（廣'皿-1）小于（"我^-1）,所以溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多于溫度低時(shí)的聲子數(shù)目.高溫時(shí)，頻率為少的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系？［答］溫度很高時(shí)，產(chǎn)'踞工服-1,頻率為少的格波的（平均）聲子數(shù)為愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么？［答］按照愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1。"也，屬于光學(xué)支頻率.但光學(xué)格波在低溫時(shí)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)非常小，低溫下對(duì)熱容貢獻(xiàn)大的主要是長聲學(xué)格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源.在甚低溫下，不考慮光學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)合理嗎？［答］參考本教科書（3.119）式，可得到光學(xué)波對(duì)熱容貢獻(xiàn)的表達(dá)式If膈丫產(chǎn)『或既（劍命%W［兵J&山"項(xiàng).在甚低溫下，對(duì)于光學(xué)波，廣帝》\,上式簡化為.以上兩式中"或是光學(xué)波的模式密度，在簡諧近似下，它與溫度無關(guān).在甚低溫下"）5,即光學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)可以忽略.也就是說，在甚低溫下，不考慮光學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)是合理的.從聲子能量來說，光學(xué)波聲子的能量*山白很大（大于短聲學(xué)波聲子的能量），它對(duì)應(yīng)振幅很大的格波的振動(dòng)，這種振動(dòng)只有溫度很高時(shí)才能得到激發(fā).因此，在甚低溫下，晶體中不存在光學(xué)波.在甚低溫下，德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符？［答］在甚低溫下，不僅光學(xué)波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā)，得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波.長聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).因此，在甚低溫下，德拜模型與事實(shí)相符，自然與實(shí)驗(yàn)相符.在絕對(duì)零度時(shí)還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎？［答］頻率為叫的格波的振動(dòng)能為耳=Ji+;了俱其中"拼吒是由％個(gè)聲子攜帶的熱振動(dòng)能，忡"'）是零點(diǎn)振動(dòng)能，聲子數(shù)絕對(duì)零度時(shí)，巧=0.頻率為T的格波的振動(dòng)能只剩下零點(diǎn)振動(dòng)能.格波間交換能量是靠聲子的碰撞實(shí)現(xiàn)的.絕對(duì)零度時(shí)，聲子消失，格波間不再交換能量.四電子能帶理論具體說明能帶理論是在哪兩個(gè)近似和一個(gè)假設(shè)下的近似理論？答：能帶理論是在絕熱近似、平均場近似和晶格周期性勢場假定下，得出了單電子定態(tài)問題，建立在單電子近似基礎(chǔ)上的固體電子理論就是能帶理論。對(duì)一維近自由電子近似，在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？畫出簡約布里淵區(qū)能帶的圖像。答：對(duì)一維近自由電子近似，電子的能帶依賴于波矢的方向，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶會(huì)出現(xiàn)禁帶.使能量低更低，能量高的更高，出現(xiàn)的能隙或禁帶的寬度為」七二是周期勢場的付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。能帶理論是在什么情況下得出的？波矢空間與倒格子空間有何關(guān)系？畫出一維擴(kuò)展布里淵區(qū)能帶的圖像。答：能帶理論是在絕熱近似、平均場近似和周期性勢場假定情況下，把多電子體系問題簡化為在晶格周期勢場的單電子定態(tài)問題，能帶理論就是建立在單電子近

似基礎(chǔ)上的固體電子理論，是近似的理論。波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間，倒格空間的基矢分別為關(guān),土-良，而波矢空間的基矢分別為"打恥"*"a，N1、N2、N3分別是沿正格子基矢""%方向晶體的原胞數(shù)目.倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為力「（力2倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為力「（力2x=￡2波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為1-■即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積，是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積的1/N.由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積相比是極其微小的.也就是說，波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的.因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí)，可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的.一維擴(kuò)展布里淵區(qū)能帶的圖像如圖。即WE4CX15將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子譙G）展成付里葉級(jí)數(shù)，對(duì)于近自由電子，當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下，此級(jí)數(shù)有何特點(diǎn)？在緊束縛模型下,此級(jí)數(shù)又有什么特點(diǎn)？即WE4CX15［答］由布洛赫定理可知，晶體中電子的波函數(shù)以『）=必踞0）,對(duì)比本教科書（5.1）和（5.39）式可得虹_點(diǎn)宇阪嚴(yán)’對(duì)于近自由電子，當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界時(shí)，它的行為與自由電子近似,妃〃近似一常數(shù).因此,的展開式中，除了瓜W外，其它項(xiàng)可忽略.當(dāng)電子波矢落在與倒格矢Kn正交的布里淵區(qū)邊界時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)布洛赫波產(chǎn)生了強(qiáng)烈的反射，岫「）展開式中，除了就幻和艱）兩項(xiàng)外，其它項(xiàng)可忽略.在緊束縛模型下，電子在格點(diǎn)Rn附近的幾率〔改（劃2大，偏離格點(diǎn)Rn的幾率1%（劃2小.對(duì)于這樣的波函數(shù)，其付里葉級(jí)數(shù)的展式包含若干項(xiàng).也就是說,緊束縛模型下的布洛赫波函數(shù)要由若十個(gè)平面波來構(gòu)造.布洛赫函數(shù)滿足NE二'何以見得上式中止具有波矢的意義？［答］人們總可以把布洛赫函數(shù)財(cái)『）展成付里葉級(jí)數(shù)虹尸）="席促費(fèi)由,其中k’是電子的波矢.將財(cái)口代入知十虬）=段峰川），得到產(chǎn)及杼峰其中利用了虬此=如”（夕是整數(shù)），由上式可知，k=k’，即k具有波矢的意義.在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？［答］電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶一般會(huì)出現(xiàn)禁帶.若電子所處的邊界與倒格矢■”正交，則禁帶的寬度&叮KQ|,礦(知)是周期勢場的付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù).不論何種電子，在布里淵區(qū)邊界上，其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交.當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，其有效質(zhì)量何以與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別？［答］晶體中的電子除受外場力的作用外，還和晶格相互作用.設(shè)外場力為F,晶格對(duì)電子的作用力為Fl,電子的加速度為但Fl的具體形式是難以得知的.要使上式中不顯含F(xiàn)l,又要保持上式左右恒等,則只有m.顯然，晶格對(duì)電子的作用越弱，有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越小.相反,晶格對(duì)電子的作用越強(qiáng)，有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越大.當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)電子的散射作用最強(qiáng)烈.在晶面族的反射方向上，各格點(diǎn)的散射波相位相同，迭加形成很強(qiáng)的反射波.正因?yàn)樵诓祭餃Y區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強(qiáng)，所以其有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別.帶頂和帶底的電子與晶格的作用各有什么特點(diǎn)？［答］由本教科書的(5.88)和(5.89)兩式得.將上式分子變成能量的增量形式礦巾—尸?訕十氏州從能量的轉(zhuǎn)換角度看，上式可表述為（拒）辨局J?期電干怕的曰二（迫）那朦附電刑助財(cái)十（四）布胳辯電干誰前段跳mm■由于能帶頂是能帶的極大值，*<0，所以有效質(zhì)量?冊(cè)熊=^7就<0.說明此時(shí)晶格對(duì)電子作負(fù)功，即電子要供給晶格能量，而且電子供給晶格的能量大于外場力對(duì)電子作的功.而能帶底是該能帶的極小值，泌>0，所以電子的有效質(zhì)量炕=^7成'>0.但比m小.這說明晶格對(duì)電子作正功.m*<m的例證，不難由（5.36）式求得m'11^1<1.用能帶理論說明什么是導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體絕緣體的禁帶寬度較大，價(jià)帶頂?shù)碾娮与y以躍遷到導(dǎo)帶底成為自由電子，故電導(dǎo)率較低；導(dǎo)體的禁帶寬度較小，價(jià)帶頂?shù)碾娮尤菀总S遷到導(dǎo)帶底成為自由電子，同時(shí)在價(jià)帶頂形成空穴，故電導(dǎo)率較高；半導(dǎo)體禁帶寬度介于二者之間，故電導(dǎo)率也介于二者之間（簡單的說禁帶寬度最大的為絕緣體，較大的為半導(dǎo)體，很小的或者