組合選擇理論課件

章賢軍

xjunzh@126.com

zufehz2009@126.com組合選擇理論金融學(xué)院1章賢軍

xjunzh@126.com

zufeh

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets2PortfolioSelectionBetweenri在無風(fēng)險和有風(fēng)險資產(chǎn)之間配置

Capitalallocationbetweenrisk-freeandriskyassets無風(fēng)險資產(chǎn)risk-freeassets,指無違約風(fēng)險.不排除利率風(fēng)險，但由于持有期短，這些風(fēng)險都可以忽略不計。風(fēng)險資產(chǎn)：股票，長期債券，不動產(chǎn)等3在無風(fēng)險和有風(fēng)險資產(chǎn)之間配置

Capitalallocat

無風(fēng)險資產(chǎn)F的收益率為rf=7%風(fēng)險資產(chǎn)P的期望收益為E(rP)=15%,標準差為P=22%.P的風(fēng)險溢價為E(rP)-rf=15%-7%=8%令資產(chǎn)組合C的收益率為rC有：組合C的期望收益為：組合C的風(fēng)險：Riskypositionc=yP=22y4無風(fēng)險資產(chǎn)F的收益率為rf=7%Riskypo

根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=7+(8/22)σc

從式中知，組合的期望收益作為組合風(fēng)險的函數(shù)是一條直線，其截距為rf，斜率S=[E(rp)-rf]

/p

。5根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望可行集

PossibleCombinationsE(r)E(rp)=15%rf=7%22%0PFcE(rc)CCAL8%6可行集

PossibleCombinationsE(r)E

由F點引出，穿過P點的直線就是資本配置線（Capitalallocationline，CAL）,它表示所有可行的風(fēng)險-收益組合。它的斜率為S＝表示對資產(chǎn)組合，單位風(fēng)險增加對應(yīng)的預(yù)期收益增加。因此，該斜率又稱為報酬－波動性比率，Reward-to-variabilityratio。一般認為這個值較大為好.因為它越大，資本配置線就越陡，即增加一單位風(fēng)險可以增加更多的期望收益。7由F點引出，穿過P點的直線就是資本配置線（Capita

如果投資者能以無風(fēng)險利率rf＝7％借入，那么P點右邊的資產(chǎn)組合也是可行的。假定投資預(yù)算為30,000元,另外借入12,000元，投入到風(fēng)險資產(chǎn)中,建立風(fēng)險資產(chǎn)的杠桿頭寸(Leveragedposition),y=42,000/30,000=1.41-y=1-1.4=-0.4

反映出無風(fēng)險資產(chǎn)是空頭(Shortposition),

E(rc)=7%+1.4×8%=18.2%處于P點右邊的點是什么？8如果投資者能以無風(fēng)險利率rf＝7％借入，那么P點右邊

非政府部門不能以無風(fēng)險利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險使得貸款者要求更高的利率。因此非政府投資者的借款成本高于7％.

假設(shè)為9％，則在借入資金的條件下，酬報與波動性比率，也就是CAL的斜率將為（15％－9％）/22％＝6/22=0.27。因此，CAL在P點處被“彎曲”。9非政府部門不能以無風(fēng)險利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險CALwithHigherBorrowingRateE(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%10CALwithHigherBorrowingRate

面對CAL，也即所有可行的風(fēng)險-收益組合，投資者需要從中選擇一個最優(yōu)組合，這個選擇需要對風(fēng)險和收益進行權(quán)衡trade-off。不同的風(fēng)險偏好類型，選擇的組合就會不同。一般來說，投資者越厭惡風(fēng)險，越將選擇風(fēng)險少的資產(chǎn)組合，持有較多的無風(fēng)險資產(chǎn)。11面對CAL，也即所有可行的風(fēng)險-收益組合，投資者需要

投資者將通過選擇風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般意義上解決效用最大化問題，我們使用如下形式：12投資者將通過選擇風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般

最大化問題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險溢價成正比。13最大化問題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險

如例中：具有風(fēng)險厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將以投資預(yù)算的41％投資于風(fēng)險資產(chǎn)，59％投資于無風(fēng)險資產(chǎn)。14如例中：具有風(fēng)險厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將資產(chǎn)組合選擇的幾何表達E(r)7PCALp=22U＝9.4U＝8.65U＝79.0210.2815資產(chǎn)組合選擇的幾何表達E(r)7PCALp=22U＝CALwithRiskPreferencesE(r)7PLenderBorrowerp=22

ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrowerA1A216CALwithRiskPreferencesE(r)E(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%

CALwithHigherBorrowingRate17E(r)9%)S=.36)S=.27Pp=小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無風(fēng)險資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險的最簡單的方式，其他方法還包括分散化。2、資產(chǎn)組合的特征可以由S來表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于貸出利率，CAL在P點被“彎曲”3、風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)頭寸y*與風(fēng)險厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險溢價成正比。用圖形表示，這個資產(chǎn)組合處于無差異曲線與CAL的切點。18小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無風(fēng)險資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險的最簡單的方式，

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets19PortfolioSelectionBetweenri兩種風(fēng)險資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個風(fēng)險資產(chǎn)：債券D和股票E。投資于股票的份額為WE，剩下部分WD

＝1-WE

投資于債券。20兩種風(fēng)險資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個風(fēng)險資產(chǎn)：債券D和

假定債券的預(yù)期收益8％，標準差為12％；股票的預(yù)期收益為13％，標準差為20％。21假定債券的預(yù)期收益8％，標準差為12％；股票的預(yù)期收WEE(r)08％債券股票13％12-0.5WD-1011.522WEE(r)08％債券股票13％12-0.5WD-1011.WE標準差012％11.5-0.50.5

23WE標準差012％11.5-0.50.523在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值標準差ρ=1ρ=0ρ=-124在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值2525命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得26命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。26兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風(fēng)險σp27兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重w1從1減少到0時可以得到兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有

28兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有28命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：29命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相3030兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險σp31兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險σp31兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險資產(chǎn)組合的可行集32兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險資產(chǎn)組合的可行集32在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集

Erpσpρ=1ρ=0ρ=-133在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集Er3種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風(fēng)險σp123343種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資投資學(xué)第6章35收益rp風(fēng)險σp不可能的可行集AB35投資學(xué)第6章35收益rp風(fēng)險σp不可能的可行集AB35風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險和收益兩個角度來評價，會明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點是在同種風(fēng)險水平下，提供最大預(yù)期收益率；在同種收益水平下，提供最小風(fēng)險。我們把滿足這兩個條件（均方準則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。36風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險和收益整個可行集中，G點為最左邊的點。從G點沿可行集右上方的邊界直到整個可行集的最高點S，這一邊界線GS即是有效集。例如：Ｐ點與Ａ點比較起來，在相同風(fēng)險水平下，可以提供更大的預(yù)期收益率；而與Ｂ點比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點承擔(dān)的風(fēng)險又是最小的。37整個可行集中，G點為最左邊的點。從G點沿可行集右上方的邊界直最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險厭惡，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以排除。2.雖然投資者都是風(fēng)險厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險規(guī)避程度。3.度量投資者風(fēng)險偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。38最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險厭惡，因此，最PortfolioSelection&RiskAversionE(r)EfficientfrontierofriskyassetsMorerisk-averseinvestorU’’’U’’U’St.DevLessrisk-averseinvestor39PortfolioSelection&RiskAve

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets40PortfolioSelectionBetweenri一種無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無風(fēng)險資產(chǎn)的情形。將無風(fēng)險資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成的風(fēng)險資產(chǎn)組合（風(fēng)險基金）中，形成了一個無風(fēng)險資產(chǎn)+風(fēng)險基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線41一種無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險資產(chǎn)

E(r)FrfP

St.Dev不可行非有效風(fēng)險組合的有效邊界42E(r)FrfPSt.Dev不可行非有效風(fēng)險組合的有效加入無風(fēng)險資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALSt.Dev43加入無風(fēng)險資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALS

期望收益標準差股票13％20％債券8％12％相關(guān)系數(shù)：0.3無風(fēng)險資產(chǎn)收益率：5％首先找出權(quán)重w1和w2，使CAL的斜率S最大44期望收益標準

約束條件：求最大化問題：45約束條件：求最大化問題：45

代入數(shù)值得：46代入數(shù)值得：46

已經(jīng)構(gòu)造了一個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合P，在這個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合與國庫券產(chǎn)生的CAL下，我們根據(jù)投資者的類型A來計算投資于完整資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險頭寸。一個風(fēng)險厭惡相關(guān)系數(shù)A＝4的投資者，他的最優(yōu)風(fēng)險頭寸為：47已經(jīng)構(gòu)造了一個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合P，在這個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合與

因此，這個投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險組合P，25.61%的預(yù)算投資于國庫券。風(fēng)險資產(chǎn)組合P中包括40％的債券，債券的總比例為yW2=0.4×0.7439=29.76%;同樣，股票的權(quán)重yW1=0.6×0.7439=44.63%.E(rc)=0.2561×0.05+0.7439×0.11=9.46%=0.7439×14.2%=10.56%48因此，這個投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險組合PPortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)險資產(chǎn)的有效邊界C無差異曲線11％14.2％9.46%10.56%F49PortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風(fēng)險收益率借出但無借入情況下的資產(chǎn)組合選擇更多風(fēng)險忍耐的投資者更少風(fēng)險忍耐的投資者50E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風(fēng)險收益率借出但無E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險忍耐的投資者中風(fēng)險忍耐的投資者低風(fēng)險忍耐的投資者利率不相等條件下的CAL：三段曲線。例如，經(jīng)紀人索要的保證金貸款利率就高于國庫券利率。51E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險忍耐的投資者中風(fēng)

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets52PortfolioSelectionBetweenri分離定理分離定理（Separationtheorem）：投資者的風(fēng)險規(guī)避程度與其持有的風(fēng)險資產(chǎn)組合的最優(yōu)構(gòu)成是無關(guān)的。無論投資者的偏好如何，P點就是最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合。形象地說，F(xiàn)P直線將無差異曲線與風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效邊界分離了。風(fēng)險厭惡較低的投資者可以多投資風(fēng)險基金M，少投資無風(fēng)險證券F，反之亦反。53分離定理53分離定理對組合選擇的啟示由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資產(chǎn)選擇決策（Assetallocationdecision）和資本配置決策（Capitalallocationdecision）。資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風(fēng)險證券中選擇適當?shù)娘L(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合。資本配置決策：考慮資金在無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險組合之間的分配。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風(fēng)險組合。54分離定理對組合選擇的啟示由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問題可以分為資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點首次對風(fēng)險和收益進行精確的描述，解決對風(fēng)險的衡量問題，使投資學(xué)從藝術(shù)邁向科學(xué)。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個資產(chǎn)風(fēng)險的重點是相對于組合的風(fēng)險。從單個證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析55資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點首次對風(fēng)險和收益進行精確的描述，解決對風(fēng)險資產(chǎn)組合理論的缺點當證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學(xué)生夏普尋求改進的方法，這就是CAPM。56資產(chǎn)組合理論的缺點當證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應(yīng)

假定需要分析n種股票，則按照均值－方差模型的要求需要估計：n個期望收益n個方差

(n2-n)/2個協(xié)方差若n＝50，總共為1325個若n＝100，總共為5150個若n＝3000，總共要估計超過450萬個變量57假定需要分析n種股票，則按照均值－方差模型的要求需

r1r2r3….…..….rnr1σ21σ21σ31….….….σn1r2σ21σ22σ23…..….….σn2r3σ31σ32σ23σn3……….….….….rnσn1σn2σn3σ2n58r1r2r3….…..….rnr1σ21σ21σ31….…

現(xiàn)代投資理論的產(chǎn)生以1952年3月HarryMarkowitz發(fā)表的《投資組合選擇》為標志1962年，WilliamSharpe對資產(chǎn)組合模型進行簡化，提出了資本資產(chǎn)定價模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定價模型（Arbitragepricingtheory，APT）。上述的幾個理論均假設(shè)市場是有效的。1965年，EugeneFama在其博士論文中提出了有效市場假說（Efficientmarkethypothesis，EMH）

59現(xiàn)代投資理論的產(chǎn)生以1952年3月HarryMarko

1990年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者馬科維茨（H.Markowitz,1927～）

《證券組合選擇理論》601990年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者60

1976年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者弗里德曼(M.Friedman,1912～2006)貨幣主義學(xué)派領(lǐng)袖611976年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者61

楊小凱（1948～

2004）超邊際經(jīng)濟學(xué)創(chuàng)始人62楊小凱（1948～2004）超邊際經(jīng)濟學(xué)創(chuàng)始人62章賢軍

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zufehz2009@126.com組合選擇理論金融學(xué)院63章賢軍

xjunzh@126.com

zufeh

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets64PortfolioSelectionBetweenri在無風(fēng)險和有風(fēng)險資產(chǎn)之間配置

Capitalallocationbetweenrisk-freeandriskyassets無風(fēng)險資產(chǎn)risk-freeassets,指無違約風(fēng)險.不排除利率風(fēng)險，但由于持有期短，這些風(fēng)險都可以忽略不計。風(fēng)險資產(chǎn)：股票，長期債券，不動產(chǎn)等65在無風(fēng)險和有風(fēng)險資產(chǎn)之間配置

Capitalallocat

無風(fēng)險資產(chǎn)F的收益率為rf=7%風(fēng)險資產(chǎn)P的期望收益為E(rP)=15%,標準差為P=22%.P的風(fēng)險溢價為E(rP)-rf=15%-7%=8%令資產(chǎn)組合C的收益率為rC有：組合C的期望收益為：組合C的風(fēng)險：Riskypositionc=yP=22y66無風(fēng)險資產(chǎn)F的收益率為rf=7%Riskypo

根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=7+(8/22)σc

從式中知，組合的期望收益作為組合風(fēng)險的函數(shù)是一條直線，其截距為rf，斜率S=[E(rp)-rf]

/p

。67根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望可行集

PossibleCombinationsE(r)E(rp)=15%rf=7%22%0PFcE(rc)CCAL8%68可行集

PossibleCombinationsE(r)E

由F點引出，穿過P點的直線就是資本配置線（Capitalallocationline，CAL）,它表示所有可行的風(fēng)險-收益組合。它的斜率為S＝表示對資產(chǎn)組合，單位風(fēng)險增加對應(yīng)的預(yù)期收益增加。因此，該斜率又稱為報酬－波動性比率，Reward-to-variabilityratio。一般認為這個值較大為好.因為它越大，資本配置線就越陡，即增加一單位風(fēng)險可以增加更多的期望收益。69由F點引出，穿過P點的直線就是資本配置線（Capita

如果投資者能以無風(fēng)險利率rf＝7％借入，那么P點右邊的資產(chǎn)組合也是可行的。假定投資預(yù)算為30,000元,另外借入12,000元，投入到風(fēng)險資產(chǎn)中,建立風(fēng)險資產(chǎn)的杠桿頭寸(Leveragedposition),y=42,000/30,000=1.41-y=1-1.4=-0.4

反映出無風(fēng)險資產(chǎn)是空頭(Shortposition),

E(rc)=7%+1.4×8%=18.2%處于P點右邊的點是什么？70如果投資者能以無風(fēng)險利率rf＝7％借入，那么P點右邊

非政府部門不能以無風(fēng)險利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險使得貸款者要求更高的利率。因此非政府投資者的借款成本高于7％.

假設(shè)為9％，則在借入資金的條件下，酬報與波動性比率，也就是CAL的斜率將為（15％－9％）/22％＝6/22=0.27。因此，CAL在P點處被“彎曲”。71非政府部門不能以無風(fēng)險利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險CALwithHigherBorrowingRateE(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%72CALwithHigherBorrowingRate

面對CAL，也即所有可行的風(fēng)險-收益組合，投資者需要從中選擇一個最優(yōu)組合，這個選擇需要對風(fēng)險和收益進行權(quán)衡trade-off。不同的風(fēng)險偏好類型，選擇的組合就會不同。一般來說，投資者越厭惡風(fēng)險，越將選擇風(fēng)險少的資產(chǎn)組合，持有較多的無風(fēng)險資產(chǎn)。73面對CAL，也即所有可行的風(fēng)險-收益組合，投資者需要

投資者將通過選擇風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般意義上解決效用最大化問題，我們使用如下形式：74投資者將通過選擇風(fēng)險資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般

最大化問題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險溢價成正比。75最大化問題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險

如例中：具有風(fēng)險厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將以投資預(yù)算的41％投資于風(fēng)險資產(chǎn)，59％投資于無風(fēng)險資產(chǎn)。76如例中：具有風(fēng)險厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將資產(chǎn)組合選擇的幾何表達E(r)7PCALp=22U＝9.4U＝8.65U＝79.0210.2877資產(chǎn)組合選擇的幾何表達E(r)7PCALp=22U＝CALwithRiskPreferencesE(r)7PLenderBorrowerp=22

ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrowerA1A278CALwithRiskPreferencesE(r)E(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%

CALwithHigherBorrowingRate79E(r)9%)S=.36)S=.27Pp=小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無風(fēng)險資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險的最簡單的方式，其他方法還包括分散化。2、資產(chǎn)組合的特征可以由S來表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于貸出利率，CAL在P點被“彎曲”3、風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)頭寸y*與風(fēng)險厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險溢價成正比。用圖形表示，這個資產(chǎn)組合處于無差異曲線與CAL的切點。80小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無風(fēng)險資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險的最簡單的方式，

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets81PortfolioSelectionBetweenri兩種風(fēng)險資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個風(fēng)險資產(chǎn)：債券D和股票E。投資于股票的份額為WE，剩下部分WD

＝1-WE

投資于債券。82兩種風(fēng)險資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個風(fēng)險資產(chǎn)：債券D和

假定債券的預(yù)期收益8％，標準差為12％；股票的預(yù)期收益為13％，標準差為20％。83假定債券的預(yù)期收益8％，標準差為12％；股票的預(yù)期收WEE(r)08％債券股票13％12-0.5WD-1011.584WEE(r)08％債券股票13％12-0.5WD-1011.WE標準差012％11.5-0.50.5

85WE標準差012％11.5-0.50.523在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值標準差ρ=1ρ=0ρ=-186在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值8725命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得88命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。26兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風(fēng)險σp89兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當權(quán)重w1從1減少到0時可以得到兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有

90兩種資產(chǎn)完全負相關(guān)，即ρ12=-1，則有28命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：91命題2：完全負相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相9230兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險σp93兩種證券完全負相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險σp31兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險資產(chǎn)組合的可行集94兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險資產(chǎn)組合的可行集32在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集

Erpσpρ=1ρ=0ρ=-195在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的可行集Er3種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風(fēng)險σp123963種風(fēng)險資產(chǎn)的組合二維表示當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資投資學(xué)第6章97收益rp風(fēng)險σp不可能的可行集AB97投資學(xué)第6章35收益rp風(fēng)險σp不可能的可行集AB35風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險和收益兩個角度來評價，會明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點是在同種風(fēng)險水平下，提供最大預(yù)期收益率；在同種收益水平下，提供最小風(fēng)險。我們把滿足這兩個條件（均方準則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。98風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險和收益整個可行集中，G點為最左邊的點。從G點沿可行集右上方的邊界直到整個可行集的最高點S，這一邊界線GS即是有效集。例如：Ｐ點與Ａ點比較起來，在相同風(fēng)險水平下，可以提供更大的預(yù)期收益率；而與Ｂ點比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點承擔(dān)的風(fēng)險又是最小的。99整個可行集中，G點為最左邊的點。從G點沿可行集右上方的邊界直最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險厭惡，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以排除。2.雖然投資者都是風(fēng)險厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險規(guī)避程度。3.度量投資者風(fēng)險偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。100最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險厭惡，因此，最PortfolioSelection&RiskAversionE(r)EfficientfrontierofriskyassetsMorerisk-averseinvestorU’’’U’’U’St.DevLessrisk-averseinvestor101PortfolioSelection&RiskAve

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets102PortfolioSelectionBetweenri一種無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無風(fēng)險資產(chǎn)的情形。將無風(fēng)險資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成的風(fēng)險資產(chǎn)組合（風(fēng)險基金）中，形成了一個無風(fēng)險資產(chǎn)+風(fēng)險基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線103一種無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險資產(chǎn)

E(r)FrfP

St.Dev不可行非有效風(fēng)險組合的有效邊界104E(r)FrfPSt.Dev不可行非有效風(fēng)險組合的有效加入無風(fēng)險資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALSt.Dev105加入無風(fēng)險資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALS

期望收益標準差股票13％20％債券8％12％相關(guān)系數(shù)：0.3無風(fēng)險資產(chǎn)收益率：5％首先找出權(quán)重w1和w2，使CAL的斜率S最大106期望收益標準

約束條件：求最大化問題：107約束條件：求最大化問題：45

代入數(shù)值得：108代入數(shù)值得：46

已經(jīng)構(gòu)造了一個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合P，在這個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合與國庫券產(chǎn)生的CAL下，我們根據(jù)投資者的類型A來計算投資于完整資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險頭寸。一個風(fēng)險厭惡相關(guān)系數(shù)A＝4的投資者，他的最優(yōu)風(fēng)險頭寸為：109已經(jīng)構(gòu)造了一個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合P，在這個最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合與

因此，這個投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險組合P，25.61%的預(yù)算投資于國庫券。風(fēng)險資產(chǎn)組合P中包括40％的債券，債券的總比例為yW2=0.4×0.7439=29.76%;同樣，股票的權(quán)重yW1=0.6×0.7439=44.63%.E(rc)=0.2561×0.05+0.7439×0.11=9.46%=0.7439×14.2%=10.56%110因此，這個投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險組合PPortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)險資產(chǎn)的有效邊界C無差異曲線11％14.2％9.46%10.56%F111PortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風(fēng)險收益率借出但無借入情況下的資產(chǎn)組合選擇更多風(fēng)險忍耐的投資者更少風(fēng)險忍耐的投資者112E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風(fēng)險收益率借出但無E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險忍耐的投資者中風(fēng)險忍耐的投資者低風(fēng)險忍耐的投資者利率不相等條件下的CAL：三段曲線。例如，經(jīng)紀人索要的保證金貸款利率就高于國庫券利率。113E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險忍耐的投資者中風(fēng)

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets114PortfolioSelectionBetw