勾股定理的驗證-課件

勾股定理的驗證勾股定理的驗證1勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a+b=c即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。222abc勾弦股勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c22002年，在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)2002年，在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)3趙爽的“弦圖”早在公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家趙爽就用左邊的圖形驗證了“勾股定理”思考:你能驗證嗎？趙爽的“弦圖”早在公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家趙爽4(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2－4×ab=a2+b2=c2可得：a2+b2－2ab=c2－2abbCa想一想：這四個直角三角形還能怎樣拼？(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a5babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?(a+b)2C2+4×a·b=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2

=c2babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?6bacbac美國第十七任總統(tǒng)的證法bacbac美國第十七任總統(tǒng)的證法7請你欣賞。。。請你欣賞。。。8c2c29勾股定理的驗證-課件10勾股定理的驗證-課件11a2b2a2b212a2+b2=c2a2b2a2c2a2+b2=c2a2b2a2c213a印度婆什迦羅的證明cc2=b2+a2ba印度婆什迦羅的證明cc2=b2+a2b14美麗的勾股樹（一）美麗的勾股樹（一）15美麗的勾股樹（二）美麗的勾股樹（二）16人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一：

勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘

、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達哥拉斯（右圖）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在巨著《幾何原本》中給出一個很好的證明。（左圖為歐幾里得和他的證明圖）人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一：

勾股定理勾股17

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩‘得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊’股‘等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。"

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比18

如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百年其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)?。在《九章算術(shù)》一書中（右圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。

19你學(xué)會了嗎？

在從“面積到乘法公式”一章的學(xué)習(xí)中，我們把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算得到了許多有用的式子。這節(jié)課同樣地我們用多種方法拼圖驗證了勾股定理，你有什么感受？你學(xué)會了嗎？在從“面積到乘法公式”一章的學(xué)習(xí)20

例：如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的距離，一個觀測者在點C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為三角形。通過測量，得到AC長160米，BC長128米。問從點A穿過湖到點B有多遠(yuǎn)？例題分析ABC?160m128m例：如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的距離，一個觀211、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144想一想1、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母22ABCD7cm2．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2。49ABCD7cm2．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形23以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？ABCDEF

議一議以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等24如圖，分別以直角三角形三邊為直徑作三個半圓這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系？為什么？如圖，分別以直角三角形三邊為直徑作三個半圓25１如圖：小方格都是邊長為１的正形，求四邊形ABCD的面積與周長。

練習(xí)ＡＢＣＤ２、假期中，王強和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖（如圖）他們登陸后先往東走８千米，又往北走２千米，遇到障礙后又往西走了３千米，再折向北走到６千米處往東一拐，僅走１千米就找到寶藏，問登陸點Ａ到寶藏埋藏點Ｂ的直線距離是多少千米？ＡＢ８２３６１１如圖：小方格都是邊長為１的正形，求四邊形ABCD的面積與周26作業(yè):P531、2P553、4、5作業(yè):P531、2P553、4、527再見再見28勾股定理的驗證勾股定理的驗證29勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a+b=c即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。222abc勾弦股勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c302002年，在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)2002年，在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)31趙爽的“弦圖”早在公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家趙爽就用左邊的圖形驗證了“勾股定理”思考:你能驗證嗎？趙爽的“弦圖”早在公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家趙爽32(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2－4×ab=a2+b2=c2可得：a2+b2－2ab=c2－2abbCa想一想：這四個直角三角形還能怎樣拼？(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a33babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?(a+b)2C2+4×a·b=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2

=c2babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?34bacbac美國第十七任總統(tǒng)的證法bacbac美國第十七任總統(tǒng)的證法35請你欣賞。。。請你欣賞。。。36c2c237勾股定理的驗證-課件38勾股定理的驗證-課件39a2b2a2b240a2+b2=c2a2b2a2c2a2+b2=c2a2b2a2c241a印度婆什迦羅的證明cc2=b2+a2ba印度婆什迦羅的證明cc2=b2+a2b42美麗的勾股樹（一）美麗的勾股樹（一）43美麗的勾股樹（二）美麗的勾股樹（二）44人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一：

勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘

、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達哥拉斯（右圖）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在巨著《幾何原本》中給出一個很好的證明。（左圖為歐幾里得和他的證明圖）人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一：

勾股定理勾股45

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩‘得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊’股‘等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵。"

中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比46

如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百年其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)?。在《九章算術(shù)》一書中（右圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。

47你學(xué)會了嗎？

在從“面積到乘法公式”一章的學(xué)習(xí)中，我們把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算得到了許多有用的式子。這節(jié)課同樣地我們用多種方法拼圖驗證了勾股定理，你有什么感受？你學(xué)會了嗎？在從“面積到乘法公式”一章的學(xué)習(xí)48

例：如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的距離，一個觀測者在點C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為三角形。通過測量，得到AC長160米，BC長128米。問從點A穿過湖到點B有多遠(yuǎn)？例題分析ABC?160m128m例：如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的距離，一個觀491、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144想一想1、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母50ABCD7cm2．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2。49ABCD7cm2．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形51以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？ABCDEF

議一議以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等52如圖，分別以直角三角形三邊為直徑作三個半圓這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系？為什么？