2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在RtZvlBC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF,點(diǎn)、E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為BE=<2AF(2)【拓展研究】在(1)的條件下，如果正方形CQEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接8E,CE,AF,線段8E與/尸的數(shù)量關(guān)系有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明：(3)【問題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)正方形C￡>所旋轉(zhuǎn)到8,E,廠三點(diǎn)共線的時(shí)候，直接寫出線段/尸的長.解：（1）在RtZ\Z8C中，AB=AC=2,根據(jù)勾股定理得，BC=y/2AB^2y[2,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),：.AD=1BC=a/2,.?四邊形C￡>E尸是正方形，：.AF=EF=AD=V2,,:BE=AB=2,：.BE=>J2AF,故答案為BE=V2AF；（2）無變化；如圖2,在RtZiZBC中，AB=AC^2,：.ZABC=ZACB=45°,.■z.D/~,CAy[2?sin/48C=彳巨=-2~f在正方形CDEF中,NFEC=|zFED=45在RtZkC￡產(chǎn)中，sinNFEC=^=孝，.CFCA'CE~CB'ZFCE=ZACB=45°,:./FCE-NACE=NACB-NACE,:?/FCA=/ECB,：.AACFsABCE,BECBr-慌：.BE=yfZAF,，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；（3）當(dāng)點(diǎn)￡在線段4尸上時(shí)，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD=g在RtZXBCF中，CF=V2,8c=2近，根據(jù)勾股定理得，BF=巫,：.BE=BF-EF=V6-V2,由（2）知，BE=>/2AF,V3-1,當(dāng)點(diǎn)E在線段8尸的延長線上時(shí)，如圖3,由（1）知，CF=EF=CD=V2,在RtZ\8Cr中，CF=V2,BC=2位,根據(jù)勾股定理得，BF=y[6,:.BE=BF+EF=V6+V2,由（2）知，BE=\[2AF,：.AF=>fi+\.即：當(dāng)正方形COEF旋轉(zhuǎn)到8,E,尸三點(diǎn)共線時(shí)候，線段/尸的長為百-1或g+1.A.在正方形48CQ中，動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從。，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線OC,C8上移動(dòng).(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自。向C,點(diǎn)/自C向8移動(dòng)時(shí)，連接/E和。尸交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出4E與。F的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，當(dāng)E,尸分別移動(dòng)到邊OC,C8的延長線上時(shí)，連接4E和。尸，(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請(qǐng)你直接回答“是"或“否"，不須證明)(3)如圖③，當(dāng)E,尸分別在邊CO,8c的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接/E,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；(4)如圖④，當(dāng)E,尸分別在邊OC,CB上移動(dòng)時(shí)，連接4E和。尸交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,尸的移動(dòng)，使得點(diǎn)尸也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若4D=2,試求出線段CP的最小值.理由：?.?四邊形4BCQ是正方形,：.AD=DC,NZ￡>C=NC=90°.在△/￡)￡1和△OC/中，(AD=DC\z.ADC=Z.C,(DE=CF

/.^ADE^ADCF(SAS).:.AE=DF,NDAE=NCDF,由于/。。尸+/彳￡＞尸=90°,：.ZDAE+ZADF^90°..\AE±DFi(2)是；(3)成立.理由：由(1)同理可證AE=OF,NDAE=NCDF延長FD交AE于點(diǎn)G,GE則GE則NCOF+N/OGugO。，：.ZADG+ZDAE=90°.：.AE±DFi(4)如圖:BFC由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持N4P￡>=90°,/.點(diǎn)P的路徑是一段以40為直徑的弧，設(shè)力。的中點(diǎn)為。，連接。C交弧于點(diǎn)尸，此時(shí)CP的長度最小,在RtA0DC中，QC=y/CD2+QD2=y/22+l2=V5,：.CP=QC-QP=\[5-1..如圖，在RtZXZBC中，NZC8=90°,以斜邊48上的中線CD為直徑作。0,與8c交于點(diǎn)與48的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過M作“垂足為N.(1)求證：MN是。。的切線；(2)若的直徑為5,sin3=*求EZ)的長.【解答】(1)證明：連接OM,如圖1,YOC=OM,：?4OCM=/OMC,在Rt△48c中，是斜邊上的中線,:?CD=：AB=BD,:"DCB=/DBC,：./OMC=/DBC,：?0M〃BD,；MN工BD,：.OMLMN,過O,??MN是。。的切線；（2）解：連接。M,CE, 圖2??。。是OO的直徑，；?NCED=90°,ZZ）A/C=90°,BPDMVBC,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,??〃為BC的中點(diǎn)，3VsinB=引4/.cos8=耳,在 中，BM=BD?cosB=4,???8C=28M=8,Q9在RtAC￡5中，BE=BC'cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=考-5=g.4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)/,B,。。的半徑為八（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)48之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N4C8的度數(shù)；（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形4P8C為菱形，NNP8的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由：（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長（用含r的式子表示）.圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,圖1'：PA,尸8為。。的切線，:.NPAO=NPBO=90°,?.?N4P8+NHONP80+408=360°,尸8+408=180°,VZJP5=80",，NZ08=100°,AZACB=50°:(2)如圖2,當(dāng)4P8=60°時(shí)，四邊形/P8c是菱形,連接04OB,由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,VZJP5=60°,.?.408=120°,：.ZJCB=60°=NAPB,?.?點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到尸c距離最大，...PC經(jīng)過圓心，'：PA,尸8為。。的切線，：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgdBPC(SAS),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZJPC=ZJCP=30°,：.AP=AC,:?AP=AC=PB=BC,???四邊形ZP8C是菱形；(3)???。。的半徑為八：,OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-N力尸0=60°,而的長度=6：M=^r,low3...陰影部分的周長=%+PO+麗=百出+梟=(V3+l+^)r.5.如圖，均為。。的切線，PBC為。。的割線，尸于點(diǎn)O,△4OC的外接圓與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD."：OALAP,AD^OP,由射影定理可得：PA2=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割線定理可得PA2=PB'PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）NPDB=NPCO=NOBC=ZODC,NPBD=Z.COD,:.△PBDsRcOD,PDBDCDPDBDCD-OD…(15分)：.BD'CD=PD-OD=AD1,.BDAD??布=擊又NBDA=NBDP+%°=NODC+90。=/ADC,:ABDAs△ADC,:?/BAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圓的切線，:?NBAE=/ACB.6.如圖，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),4,8兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)/任作直線交拋物線y=1x2于尸，0兩點(diǎn).（1）求證：NABP=NABQ；（2）若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,且N尸8。=60°,試求所有滿足條件的直線尸0的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-/）.設(shè)直線P。的函數(shù)解析式為夕=6+3并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（.xp,yp）,Cxq,yo）.由僅=々X+tx—kx—t=0,于是Xp%q=-2 即t=-^xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2r2 2日BC yP+t /jXp2—xPXQ -Xp(xp-XQ) XpJ7-ti- =2 =2 2 =2 =-*'BD %+t -%Q24-t ^XQ2--XpXQ -xq(xq-xp) xqPC孫BCPC又因?yàn)?=——?所以 = .QDxQBDQD因?yàn)镹BCP=NBDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故N4BP=N4BQ；（2）解：設(shè)尸C=a,DQ=b,不妨設(shè)a2b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4C=8q-2,AD=2-y[3b.因?yàn)槭！ā?,所以△4CPs44O0..口PCACnay/3a—2于是=—?即―= 左一，DQADb 2-V3b所以q