計算方法-第3章數(shù)據(jù)擬合法

問題的提出：插值法與數(shù)據(jù)擬合函數(shù)插值問題回設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系yf(x在某些離散點上的xxyx0y0xnynxnyn

yf(x),xxi,i,的函數(shù)值f(x)，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)（曲線）擬和的概數(shù)據(jù)擬合法不要求曲線通過所有的節(jié)點，而是根生物：青蛙的腿的粗細和眼睛大小有什么關(guān)化學：反應(yīng)物的量和生成物的量有什么關(guān)。。例1某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表表3-123456789數(shù)據(jù)散9876強度y43210

6拉伸倍數(shù)

12設(shè) 這時各坐標值大體滿足方程a1.9ba2b

選ab使到的程與際合最簡單法就3.2中任意出兩個方 ，例a2ba10ba=-0.4，b=0.85i

構(gòu)造擬合曲線可以采用下列三種準則(1)使誤差的最大絕根據(jù)最小二乘原理，(2)使誤差的絕對值之和為小Q為最小，由此代

(3)使誤差的平方和為分析以上三種準則1)(2)兩種由于含有絕對值運算,不便于實際應(yīng)用。最常用的是(3)，稱(a,b)

242

( (abx

24(a,b)

2( (abx

24a對a，b求偏微商，使偏微商等24a

（值點的階導(dǎo)數(shù)為

(yiabxi)

即即

方程方程

(yiabxi)xi

xiax2bx 解上述方程組得，a=0.15，b=0.859，推出直線y*0.15由此得本問題計第一步：計算x2i及xiyi，列成表3-224a127.5b第四步：解方程組求出a，b由此得直線擬合問題計算步觀察數(shù)據(jù)散點圖，大致呈直線關(guān)系，用直線進行擬合計

x,

,x

x i i i i寫出正規(guī)方程組，求出bxi axix2ix 寫出擬合直線方程y*=ax+b最小二乘法計算步驟（1）由觀測數(shù)據(jù)表中的數(shù)值點畫出函數(shù)粗略的圖形從粗略圖形中確定近似公式的函數(shù)類通過最小二乘原理，確定函數(shù)中的未知參數(shù)注：其中函數(shù)類型包括：直線型、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)。。

(x)xi,yi)處的偏差,即ixi)yi

i=1,2,…,m)嚴格為零,2為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化,需對偏差有所2mm

|||i

最小,此即稱為最小二乘原很多實際問題中影響變量y的因素多于一個，如k個因x1，x2，…，xk.，做N次試驗得數(shù)據(jù)表,…y1…2………………N…若變量y與k個因素的每一個都是線性關(guān)系，選y*aaxax...a 通常實驗次數(shù)大于因素個數(shù)N>k,N個條件，k個待定量， 用直線擬合的最小二乘原理求擬合方最小二乘法：使誤差的平方和每次試驗的誤

ye eeyy*y(aa a

...akxki按最小二乘法,作直線擬合

e2

iiiN(a,a...a)( (a a a ...a ))2 2i i1為最小，極小值點一階導(dǎo)數(shù)為0得方程

... akN(a,a...a)( (a a a ...a ))2N 2i i1

2(y

a

a1x1

a

x2

... a

xki) 求偏微分：

iN

(y a a1x1 a2x2 ... akxki)x1 ...

iNkk

2( ...

) 整理

i

1 2 ki kiNNNaNx 1ia1NaNx

x2ia

...

xkia yNNNNNNN1 i i i iNNNNNNN1x 1ia x

x1i2

x1ix2ia

...

x1

xkia

x1iyi...

i

i

i

iN

...

x2 N k N

ki 1 ki 2

ki

ki NiN

i i

i

iNa0x1ia1x2ia2NNi1i1...xkiakNNi1i1xN i1Nx2a1i1Nx 2 xa...Nx1ixkiakx1iyii1N...i1i1NNi1xkia0xkix1ia1xkix2ia2N...NNxkiak2xkiyii1i1i1i1解出a0,aa，y*aaxax...a 可化簡整理為另一形式先解出a1,a2,…,ak,然后解其中例1.兩個因素，假設(shè)兩個因素，選擬合方兩個因素擬合方

y*0.0740.0999x ….. ….. …..設(shè)函數(shù)y=f(x)在n個互異點的觀測數(shù)非線性數(shù)據(jù)擬合:變量之間的關(guān)系不呈線性關(guān)系。例如解決途 根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗來確定經(jīng)驗曲線的畫散點圖,根據(jù)散點圖的分布形狀及特點來選擇適當常見非多項式的非線性關(guān)系冪函數(shù)φ(x指數(shù)函數(shù)：φ(x)=對數(shù)函（2）將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系A(chǔ).通過變量替換將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程,冪函數(shù)φ(x指數(shù)函數(shù)：φ(x對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)φ(x)abx‘=xc，φ(xabxc=a指數(shù)函數(shù)：φ(x)ab令x’=ecxφ(xabecx=a對數(shù)函數(shù)：φ(x)ab令xlnxφ(xablnxa均均可通過變量替換轉(zhuǎn)換為φ(x’=a然后用直線擬合的最小二乘法進行數(shù)據(jù)此方法可推廣解決其它可化為線性的非線性擬合問例（（）散點圖1根據(jù)散點圖， 曲y

abx1ab 做變量

y'1 x' 得線性關(guān)系 y'abx'針對數(shù)據(jù)x’，y’的正規(guī)方程 bii 'iix'y' bx' a

bx'2

x' 表3-6，計算x’，y’，及正規(guī)方程的寫出正規(guī)方程2.050883a b

a0.008966,by'*0.008966 x變量替換回原變量x和y* 0.008966x冪函數(shù):y=axb指數(shù)函數(shù)：ya則通常會對近似方程兩邊取對冪函數(shù)lnylna+b指數(shù)函數(shù)：lnylnay’=lny，x’=lny’=lny’=lny，x’=lny’=lnlnylny=lna+blny=lna例求一經(jīng)驗函數(shù)形如y=aebx的公式，a，b為常數(shù)，使與數(shù)據(jù)相擬合x12345678y 解：先對經(jīng)驗公式兩邊取常用lgy=lga+bxlg變量替換得

y’=lgy，A==lga，B=blgy’=A+B變量替換后正規(guī)

B A Bx2 正規(guī)方 B

8A36B13.0197 36A204B63 解A Bx2

A1.0583, B0.1265從而算出a和a11.44, b0.2913得出經(jīng)驗公式y(tǒng)11.44e0.2913x多項式數(shù)據(jù)擬合除前面所講直接用最小也可以用轉(zhuǎn)換為多變量線性關(guān)系做多變量直線擬合的設(shè)函數(shù)y=f(x)在n個互異點的觀 ….. …..用n次多項式做變量替換：z1=x,z2=x2z3=x3變?yōu)榫€

y=anzn+an-1zn-z1=x,擬擬擬擬多項式線性線性關(guān) 定理：x*是Ax=b的最小二乘解的充要條件為：x*是ATAx=ATbx1x2x1x2 x 12的最小二乘解

5x 解：方程組可記為Ax=b，其中A 1x

xx1,b4 2

2 解ATAx=ATb，得最小二

6x1

29

x

6x2

2