材料力學計算題庫

第一章緒論【例1-1】鉆床如圖1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面m-m上的內力?！窘狻浚?）沿m-m截面假想地將鉆床分成兩部分。 取m-m截面以上部分進行研究（圖1-6b）,并以截面的形心0為原點。選取坐標系如圖所示。（2）為保持上部的平衡，m-m截面上必然有通過點0的內力N和繞點0的力偶矩M。（3） 由平衡條件EF-0^-A7-C三叫二Q戸口一M=0...|卍■.. .pp作用，已知邊長弋=4OOmm,受力【例1-2】 圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力后沿x方向均勻伸長 =0.05mm。試求板中a點沿x方向的正應變。

【解】由于矩形截面薄板沿x方向均勻受力，可認為板內各點沿x方向具有正應力與正應變，且處處相同，所以平均應變即 a點沿x方向的正應變。0.05~400=125X10'0.05~400=125X10'6x方向【例1-3】圖1-9b所示為一嵌于四連桿機構內的薄方板， b=250mm。若在p力作用下CD桿下移△b=0.025，試求薄板中J點的剪應變?！窘狻坑捎诒》桨遄冃问芩倪B桿機構的制約， 可認為板中各點均產生剪應變， 且處處相第二章拉伸、壓縮與剪切【例題2.1]一等直桿所受外力如圖 2.1(a所示，試求各段截面上的軸力，并作桿的軸力圖。解：在AB段范圍內任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體 (如圖2.1(b)所示)，假定軸力卩川為拉力(以后軸力都按拉力假設)，由平衡方程Fx0,FN130 0得 Fn130kN結果為正值，故FN1為拉力。同理，可求得BC段內任一橫截面上的軸力 (如圖2.1(c)所示)為FN23040 70(kN)在求CD段內的軸力時，將桿截開后取右段為脫離體 (如圖2.1(d)所示)，因為右段桿上包含的外力較少。由平衡方程11Fx0, Fn330200得 FN3 3020 10(kN)結果為負值，說明Fn3為壓力。同理，可得DE段內任一橫截面上的軸力 Fn4為FN420kN30kN(a)(b)30kN 20kN40kN 80kN30kN40kN0BNA(a)30kNC40kN30kN40kN(a)30kN(a)30kN30kN30kND80kNE30kN20kN20kN20kNE(a)(b)(c)(d)(e)(f)(b)30kN30kN30kN(c)30kN(d)(e)(f)(cA40kN I30kNBb)30kN40kN(e)40kN0kN(c)(f)(d)(e)30kN(f)8QbN 30kA40kN) 30kNCC30kN(a)(b)30kN 20kN40kN 80kN30kN40kN0BNA(a)30kNC40kN30kN40kN(a)30kN(a)30kN30kN30kND80kNE30kN20kN20kN20kNE(a)(b)(c)(d)(e)(f)(b)30kN30kN30kN(c)30kN(d)(e)(f)(cA40kN I30kNBb)30kN40kN(e)40kN0kN(c)(f)(d)(e)30kN(f)8QbN 30kA40kN) 30kNCC40kN0kND80krNb40kNE(申30kN30kNBFn2F20kNC卜N1E30kN20kNFN220kN(d)30kN(e)7dkN30kN30kN(d)N2N3F(c)FN340kN720kN13(e)Fn340kN30kN(f)70kNFN430kN20kN20kN20kN0kN30kN 30kN20kN卜N270kN20kNFN4(d)FN430kN70kN2粼20NN30kN(e)20kNFN4FN420kN10kN20kN20kN20kN20kN20kN20kN —10kN(f)圖2.1例題2.1圖【例題2.2]一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖2.8(a)所示。已知P40kN。試求荷載引起的最大工作應力。解：首先作柱的軸力圖，如圖 2.8(b)所示。由于此柱為變截面桿，應分別求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。I兩段柱橫截面上的正應力，分別由已求得的軸力和已知的橫截面尺寸算得FN140103FN140103NA(240mm) (240mm)0.69(MPa)(壓應力)0.88(MPa)(壓應力)Fn20.88(MPa)(壓應力)2A (370mm)(370mm)由上述結果可見，磚柱的最大工作應力在柱的下段，其值為 0.88MPa，是壓應力?！纠}2.3】一鉆桿簡圖如圖2.9(a所示，上端固定，下端自由，長為I，截面面積為A，材料容重為。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應力沿桿長的分布規(guī)律。解：應用截面法，在距下端距離為 x處將桿截開，取下段為脫離體 (如圖2.8(b)所示)，設下段桿的重量為G(x)，則有(a)G(x)xA(a)設橫截面上的軸力為 Fn(x)，則由平衡條件AIIISOkN(a) (b)圖2.8例題2.2圖?■A(a)(b) (c)AIIISOkN(a) (b)圖2.8例題2.2圖?■A(a)(b) (c)圖2.9例題2.3圖Fx0，Fn(x)G(x)0(b)將(a)式值代入(b)式，得Fn(x)Ax(c)即Fn(x)為X的線性函數。當X0時，Fn(0) 0當Xl時，Fn(I) FN,max A l式中FNmax為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖2.9(C)所示。那么橫截面上的應力為(X)Fn(x)(d)(時圖2.10(X)Fn(x)(d)(時圖2.10例題2.4圖A即應力沿桿長是x的線性函數。當X0時，(0) 0當Xl時，(I)maxI式中max為應力的最大值，它發(fā)生在上端截面，其分布類似于軸力圖?！纠}2.4】氣動吊鉤的汽缸如圖2.10(a所示，內徑D180mm，壁厚8mm，氣壓p2MPa，活塞桿直徑d10mm，試求汽缸橫截面B—B及縱向截面C—C上的應力。解：汽缸內的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產生拉應力。求橫截面B—B上的應力。取B—B截面右側部分為研究對象(如圖2.10(c)所示)，由平衡條件22Fx0,—(Dd)pFn04當Dd時，得B—B截面上的軸力為FnD“4PB—B截面的面積為A(D)(D2)D那么橫截面B—B上的應力為FnXA-D2p4DDp418024811.25(MPa)X稱為薄壁圓筒的軸向應力。求縱截面C—C上的應力。取長為I的半圓筒為研究對象(如圖2.10(d)所示)，由平衡條件Fy 0,0p-dlsin2Fni0得C—C截面上的內力為2FN1plDC—C截面的面積為Ai21當D>20時，可認為應力沿壁厚近似均勻分布，那么縱向截面 C—C上的應力為2Fni2FniAplD￡D18022l2 2822.5(MPa)y稱為薄壁圓筒的周向應力。計算結果表明：周向應力是軸向應力的兩倍?！纠}2.7]螺紋內徑d15mm的螺栓，緊固時所承受的預緊力為 F22kN。若已知螺栓的許用應力[]150MPa,試校核螺栓的強度是否足夠。解：(1)確定螺栓所受軸力。應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力，有FnF22kN(2)計算螺栓橫截面上的正應力。根據拉伸與壓縮桿件橫截面上正應力計算公式(2-1)，螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力為F3422103.14F3422103.1415124.6(MPa)4應用強度條件進行校核。已知許用應力為[]150(MPa)螺栓橫截面上的實際應力為124.6MPav[] 150(MPa)所以，螺栓的強度是足夠的?！纠}2.8] 一鋼筋混凝土組合屋架，如圖 2.25(a)所示，受均布荷載q作用，屋架的上弦桿AC和BC由鋼筋混凝土制成，下弦桿AB為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。已知：q10kN/m,l8.8m,h1.6m，鋼的許用應力[]170MPa，試設計鋼拉桿AB的直徑。解:(1)求支反力Fa和Fb，因屋架及荷載左右對稱，所以1FaFb一ql-108.8 44(kN)2

廠]OkNAn圖2.25例題2.8圖用截面法求拉桿內力 Fnab，取左半個屋架為脫離體，受力如圖2.25(b)所示。由Me0，Fa4.4Fnab1.60Fnab 廠]OkNAn圖2.25例題2.8圖用截面法求拉桿內力 Fnab，取左半個屋架為脫離體，受力如圖2.25(b)所示。由Me0，Fa4.4Fnab1.60Fnab Fa4.4￡q|2/1.68444.4-1081.68.82——60.5(kN)⑶由強度條件設計Q235鋼拉桿的直徑。Fnab4Fnabd》4Fnab 4一60.5一10317021.29(mm)【例題2.9】 防水閘門用一排支桿支撐著，如圖2.26(a)所示，AB為其中一根支撐桿。各桿為d100mm的圓木，其許用應力[]10MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個實際問題，在設計計算過程中首先需要進行適當地簡化， 畫出簡化后的計算簡圖，然后根據強度條件進行計算。(1)計算簡圖。防水閘門在水壓作用下可以稍有轉動， 下端可近似地視為鉸鏈約束。 AB桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有轉動，故亦可簡化為鉸鏈約束。于是AB桿的計算簡圖如圖2.26(b)所示。何(b) (c)圖2.26例題2.9圖(2)計算AB桿的內力。水壓力通過防水閘門傳遞到AB桿上，如圖2.26(a中陰影部分所示，每根支撐桿所承受的總水壓力為Fp1h2b2其中為水的容重，其值為10kN/m3；h為水深，其值為3m；b為兩支撐桿中心線之間的距離。于是有3 2 3Fp 10103b4510b2根據如圖2.26(c)所示的受力圖，由平衡條件Me0，FP1 FNABCD0其中CD3sin342.4(m)32 42得3Fp4510b3Fnab18.7510b2.42.4(3)根據AB桿的強度條件確定間距b的值。由強度條件FNABA3418.7510b/d2 W[]得[]d2101063.140.12bw334.19(m)418.7510418.7510【例題2.10]三角架ABC由AC和BC兩根桿組成.,如圖2.34(a所示。桿AC由兩根No.14a的槽鋼組成,許用應力[]160MPa；桿BC為「根No.22a的工字鋼，許用應力為[]100MPa。求荷載F的許可值[F]。

(1)求兩桿內力與力F的關系?！橙」?jié)點C為研究對象，其受力如圖 2.34(b)所示。節(jié)點C的平衡方程為Fx0,fnbccos—FNACcos—066Fy0,FNBCsin—FNACsin—F066解得解:FNBCFnacF(a)圖2.34(b)例題2.10圖(a)(2)計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿AC和BC的橫截面面積分別為4Aac18.5110 24 237.0210m，(a)圖2.34(b)例題2.10圖(a)(2)計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿AC和BC的橫截面面積分別為4Aac18.5110 24 237.0210m，Abc4 24210m。根據強度條件得兩桿的許可軸力為[Fn]AC(1606 4 310)(37.0210) 592.3210(N) 592.32(kN)[FN]BC(1006 4 310)(4210) 42010(N) 420(kN)(3)求許可荷載。將[Fn]ac和[Fn]bc分別代入(a)式，便得到按各桿強度要求所算出的許可荷載為[F]ac[Fn]ac592.32kN[F]bc[FN]BC420kN所以該結構的許可荷載應取[F]420kN?！纠}2.5】 已知階梯形直桿受力如圖 2.37(a)所示，材料的彈性模量E200GPa,桿各段的橫截面面積分別為 Aab=ABc=1500mm2,AcD=1000mm2。要求：(1)作軸力圖；(2)計算桿的總伸長量。JOCnun300lmm. .100mmBCd3(XJkN 1<JCkN300kN(a)3001Nmum3001NJOOkN(b)圖2.37例題2.5圖解：畫軸力圖。因為在A、B、C、D處都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段桿的軸力各不相同。應用截面法得Fnab300100300 100(kN)Fnbc300100 200(kN)Fncd300(kN)軸力圖如圖2.37(b)所示。求桿的總伸長量。因為桿各段軸力不等，且橫截面面積也不完全相同，因而必須分段計算各段的變形，然后求和。lAB各段桿的軸向變形分別為FNABlAB100310 3000.1(mm)eaab2001031500lFnbc1bc2001033000.2(mm)IbcEAbc2001031500lFncdIcd3001033000.45(mm)ICDeacd2001031000桿的總伸長量為3li 0.10.20.450.55(mm)i1【例題2.6］如圖2.38(a)所示實心圓鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點作用有鉛垂向下的力F。已知F30kN,dAB=10mm,dAc=14mm，鋼的彈性模量E200GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。

圖2.38例題2.6圖圖2.38例題2.6圖忽略不計。以節(jié)點a為研究對象，受力如圖A點有位移，為求出在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化2.38(b)所示，由節(jié)點A忽略不計。以節(jié)點a為研究對象，受力如圖A點有位移，為求出在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化2.38(b)所示，由節(jié)點A的平衡條件，有Fx 0，FncSin30°Fnbsin45° 0Fy0，Fnccos30°Fnbcos45°F0解得各桿的軸力為FnbFnb 0.518F15.53(kN)，Fnc0.732F 21.96kN⑵計算桿AB和AC⑵計算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有15.53103 2Fnb1bEAblCFn」cEAc1.399(mm)9 220010-(0.01)4321.9610 0.821.142(mm)200109—(0.014)24(3)利用圖解法求a點在鉛垂方向的位移。如圖 2.38(c)所示，分別過AB和AC(3)利用圖解法求的點A1和A2作二桿的垂線，相交于點 A，再過點A作水平線，與過點A的鉛垂線交于點a，貝yaa便是點a的鉛垂位移。由圖中的幾何關系得1baacos(451baacos(451Ccos(30° )aa可得tan0.12，tan0.12，6.87°AA1.778(mm)所以點A的鉛垂位移為AAcos 1.778cos6.87°1.765(mm)從上述計算可見，變形與位移既有聯系又有區(qū)別。 位移是指其位置的移動， 而變形是指

構件尺寸的改變量。變形是標量，位移是矢量?！纠}2.11］兩端固定的等直桿AB，在C處承受軸向力F(如圖2.37(a所示)，桿的拉壓剛度為EA，試求兩端的支反力。解：根據前面的分析可知，該結構為一次超靜定問題，須找一個補充方程。為此，從下列3個方面來分析。圖2.38例題2.11圖靜力方面。桿的受力如圖 2.38(b)所示?？蓪懗鲆粋€平衡方程為Fy0，FraFrbF0 (a)幾何方面。由于是一次超靜定問題，所以有一個多余約束，設取下固定端 B為多余約束，暫時將它解除，以未知力 Frb來代替此約束對桿AB的作用，則得一靜定桿(如圖2.38(c)所示)，受已知力F和未知力Frb作用，并引起變形。設桿由力F引起的變形為If(如圖2.38(d)所示)，由Frb引起的變形為Ib(如圖2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移動，由此應有下列幾何關系1F 1B0(b)(3)物理方面。由胡克定律，有, Fa, FrbIIfEAIbEA(c)將式(c)代入式(b)即得補充方程

(d)Fa FrbI(d)EAEA最后，聯立解方程（a）和（d）得FraFbFFraFbFrbFa求出反力后，即可用截面法分別求得AC段和BC段的軸力?！纠}2.12］有一鋼筋混凝土立柱,受軸向壓力P作用，如圖2.39所示。Ei、Ai和【例題2.12］有一鋼筋混凝土立柱,A，分別表示鋼筋和混凝土的彈性模量及橫截面面積，試求鋼筋和混凝土的內力和應力各為多少？解：設鋼筋和混凝土的內力分別為 Fni和Fn2，利用截面法，根據平衡方程(a)Fy 0, Fni Fn2 P(a)這是一次超靜定問題，必須根據變形協調條件再列出一個補充方程。 由于立柱受力后縮短I，剛性頂蓋向下平移，所以柱內兩種材料的縮短量應相等，可得變形幾何方程為11l11l2(b)由物理關系知l1Fn1IE1A,Fn2Il2E2A2l1Fn1IE1A,Fn2Il2E2A2將式（cM弋入式（b）得到補充方程為Fn1I Fn2IE1A1 E2A2聯立解方程(a)和(d)得Fn1E1AE1A1 E2A21摯E1A1Fn2E2民E1A1 E2A2E1A1E2A2可見FN1 E1A1(c)(d)圖2.39例題2.12圖FN2 E2A2即兩種材料所受內力之比等于它們的抗拉 （壓）剛度之比。又FN11AE1 fE1A1PE2A2Fn2E22PAE1A1E2A2可見1 E12 E2即兩種材料所受應力之比等于它們的彈性模量之比?！纠}2.14］如圖2.42（a）所示，①、②、③桿用鉸相連接，當溫度升高 t20°C時,求各桿的溫度應力。已知：桿①與桿②由銅制成,E1求各桿的溫度應力。已知：桿①與桿②由銅制成,E1E2 100GPa,30°,線膨脹系33數1 2 16.5106/(°C),A1A200mm2;桿③由鋼制成，其長度I1m,E3200GPa,2A100mm,3 12.5106/(°C)。解：設Fn1、數1 2 16.5106/(°C),A1A200mm2;桿③由鋼制成，其長度I1m,E3200GPa,2A100mm,3 12.5106/(°C)。解：設Fn1、Fn2、FN3分別代表三桿因溫度升咼所產生的內力， 假設均為拉力，考慮A鉸的平衡（如圖2.42（b）所示），則有例題2.14圖FN20，得FN1圖2.42FxFNiSinFN2Sin(a)Fy2FN1cosFN30，得Fn1FN32cos(b)物理關系（溫度變形與內力彈性變形）為l1l3lt_

cosFN113tlE3A3Fn1 -cosE1A(d)(e)變形幾何關系為(c)l3cos(c)將（d）、（e）兩式代入（c）得l1t-cosFN1l1t-cosFN1I

EtAcostlFn3IcosE3A3(f)聯立求解（a）、（b）、（f）三式，得各桿軸力Fn31492NFn1Fn22cos桿①與桿②承受的是壓力，桿③承受的是拉力,860Fn1Fn22cos桿①與桿②承受的是壓力，桿③承受的是拉力,860200860N各桿的溫度應力為Fn3FN1A114921004.3(MPa)14.92(MPa)【例題2.13】兩鑄件用兩鋼桿1、2連接，其間距為I200mm（【例題2.13】兩鑄件用兩鋼桿1、制造的過長e0.11mm的銅桿3（如圖2.41（b）所示）裝入鑄件之間，并保持三桿的軸線平行且有間距a。試計算各桿內的裝配應力。已知：鋼桿直徑d10mm,銅桿橫截面為20mm30mm的矩形，鋼的彈性模量E210GPa,銅的彈性模量E3lOOGPa。鑄鐵很厚,其變形可略去不計。解：本題中三根桿的軸力均為未知， 但平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程， 故為一次超靜定問題。因鑄鐵可視為剛體，其變形協調條件是三桿變形后的端點須在同一直線上。 由于結構對稱于桿3,故其變形關系如圖2.41(c)所示。從而可得變形幾何方程為l3 e11 (a)3 LJ 如也&簡3 LJ 如也&簡(d)圖2.41例題2.13圖物理關系為1iFN11iFN1IEAFN3IE3A(b)(c)(c)中的I在理論上應是桿 3(d)在建立平衡方程時，由于上面已判定1、2(c)中的I在理論上應是桿 3(d)在建立平衡方程時，由于上面已判定1、2兩桿伸長而桿3縮短，故須相應地假設桿1、2的軸力為拉力而桿3的軸力為壓力。于是，鑄鐵的受力如圖2.41(d)所示。由對稱關系可知FN1 FN2(e)以上兩式中的A和A3分別為鋼桿和銅桿的橫截面面積。式的原長I e，但由于 e與I相比甚小，故用I代替。將(b)、(c)兩式代入式(a)，即得補充方程旦e血E3A3 EA

另一平衡方程為Fx 0,FN3FN1FN2另一平衡方程為(f)FN1 FN2eEA1E3A3FN3eE3(f)FN1 FN2eEA1E3A3FN3eE3A3lE3A32EA所得結果均為正，說明原先假定桿各桿的裝配應力為1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。FN12A所得結果均為正，說明原先假定桿各桿的裝配應力為1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。FN12AeEl1”門EA12E3A3(0.11103 9m)(21010Pa)0.2m2(210109Pa) (10103m)21 (100kPa)(2010^) (30Em)74.53106Pa74.53(MPa)FN3AFN3A3eE3 1l 1E3A32EA19.51(MPa)【例題3.6]兩塊鋼板用三個直徑相同的鉚釘連接，如圖2.44(a所示。已知鋼板寬度b100mm【例題3.6]兩塊鋼板用三個直徑相同的鉚釘連接，如圖2.44(a所示。已知鋼板寬度b100mm,厚度t10mm，鉚釘直徑d20mm，鉚釘許用切應力[]100MPa，許用擠壓應力[bs]300MPa，鋼板許用拉應力[]160MPa。試求許可荷載F。(忖

圖2.44例題3.6圖解：按剪切強度條件求F。由于各鉚釘的材料和直徑均相同，且外力作用線通過鉚釘組受剪面的形心，可以假定各鉚釘所受剪力相同。因此，鉚釘及連接板的受力情況如圖 2.44(b)所示。每個鉚釘所受的剪力為FFs3根據剪切強度條件式(3-17)FS<[]As可得22d 3.1420Fw3[] 3100 94200N 94.2kN4 4按擠壓強度條件求F。由上述分析可知，每個鉚釘承受的擠壓力為根據擠壓強度條件式(3-19)bs甩w[bs]Abs可得Fw3bsAbs 3bsdt33002010180000N 180(kN)按連接板抗拉強度求F。由于上下板的厚度及受力是相同的， 所以分析其一即可。如圖2.44(b)所示的是上板的受力情況及軸力圖。1—1截面內力最大而截面面積最小，為危險截面，則有Fn1Fn11A1Pw[A11由此可得Fw[](bd)t160(10020)10128000N 128kN根據以上計算結果，應選取最小的荷載值作為此連接結構的許用荷載。故取[F] 94.2kN【例題3.7【例題3.7】兩塊鋼板用鉚釘對接，如圖2.47(a所示。已知主板厚度ti15mm，蓋板厚度t2厚度t210mm，主板和蓋板的寬度b150mm，鉚釘直徑d25mm。鉚釘的許用切應力lOOMPa，試對此鉚接進行校核。解：校核鉚釘的剪切強度。此結構為對接接頭。鉚釘和主板、蓋板的受力情況如圖2.47(b)、圖2.47(c)所示。每個鉚釘有兩個剪切面，每個鉚釘的剪切面所承受的剪力為Ff2n6圖2.47圖2.47例題3.7圖3300106-253300106-2524101.9(MPa)>[]FsF/6as-d24超過許用切應力1.9%，這在工程上是允許的，故安全。校核擠壓強度。由于每個鉚釘有兩個剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度相同，所受擠壓力也相同。而主板厚度為蓋板的 1.5倍，所受擠壓力卻為蓋板的 2倍，故應該校核中段擠壓強度。根據擠壓強度條件式 (3-19)3竺30010 266.67(MPa)V[bs]dt1 32515剪切、擠壓強度校核結果表明，鉚釘安全。校核連接板的強度。 為了校核連接板的強度，分別畫出一塊主板和一塊蓋板的受力圖及軸力圖，如圖2.47(b和圖2.47(c)所示。主板在1—1截面所受軸力FN1主板在1—1截面所受軸力FN11F,為危險截面，即有FN1111X7(bF"djt；330010160(MPa)[](15025)15主板在2—主板在2—2截面所受軸力Fn222F,但橫截面也較1—1截面為小，所以也應校核,3FN22 2F/3223230010A>2 FN22 2F/3223230010A>2 (b2d)t1蓋板在3—3截面受軸力FN3133.33(MPa)v3(150225)15匸，橫截面被兩個鉚釘孔削弱，應該校核，有2Fn3333A33F/2(b2d)t23300102(150225)10 150(MPa)*[]結果表明，連接板安全。第三章扭轉【例題結果表明，連接板安全。第三章扭轉【例題3.1］傳動軸如圖3.9(a)所示，其轉速n200r/min，功率由A輪輸入，B、C兩輪輸出。若不計軸承摩擦所耗的功率，已知:500kW輪輸出。若不計軸承摩擦所耗的功率，已知:500kW，F2 150kW，F3 150kW及F4 200kW。試作軸的扭矩圖。TOC\o"1-5"\h\z'C2 ]A3(b)心-一廠? 片￡ T2(c)FF圖(kN-m)1432(d)圖3.9例題3.1圖解：(1)計算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為

500M19550Nm23.88103Nm23.88kNm200M2M39550150Nm7.16103Nm7.16kNm200m49550200Nm9.55310Nm9.55kNm200(2)由軸的計算簡圖(如圖3.9(b)所示)，計算各段軸的扭矩。先計算 CA段內任一橫截面2—2上的扭矩。沿截面2—2將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖 3.9(c)可知Mx0，T2M2M3 0得 T2 M2M3 14.32kNm同理，在BC段內 T1 M2 7.16kNm在AD段內 T3M49.55kNm(3)根據以上數據，作扭矩圖(如圖3.1(d)所示)。由扭矩圖可知，Tmax發(fā)生在CA段內，其值為14.32kNm。316(1.5106Nmm)V3.1450MPa【例題3.2］316(1.5106Nmm)V3.1450MPa按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。(1)實心圓截面軸的直徑d1。(2)空心圓截面軸，其內、外徑之比為d/D0.9解：(1)確定實心圓軸的直徑。由強度條件(3-13)式得Wp>Tmax[]而實心圓軸的扭轉截面系數攵為Wp3d116那么，實心圓軸的直徑為53.5mm616(1.510616(1.510Nmm)3.14(10.94)50MPa76.3(mm)d0.9D 0.976.3mm68.7mm⑶重量比較。上述空心與實心圓軸的長度與材料均相同，所以，二者的重量之比

于其橫截面之比，即(D2d2) 44 "d?上述數據充分說明，空心軸遠比實心軸輕。2276.3 68.72 0.38553.52【例題3.3于其橫截面之比，即(D2d2) 44 "d?上述數據充分說明，空心軸遠比實心軸輕。2276.3 68.72 0.38553.52【例題3.3]階梯形圓軸如圖3.18(a所示，AB段直徑d1100mm,BC段直徑d?80mm。扭轉力偶矩Ma14kNm，Mb22kNm，Me8kNm。已知材料的許用切應力[]85MPa，試校核該軸的強度。解：作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖3.18(b)所示。強度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強度。AB段T11,maxWp114106Nmm71.34(MPa)v[](100mm)16【例題3.4】一汽車傳動3軸簡圖如圖3.19(a)所示，轉動時輸入的力偶矩Me9.56kNm，軸的內外直徑之比1-。鋼的許用切應力[]40MPa，切變模量G80GPa，2許可單位長度扭轉角[]0.3(°)/m。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。圖3.19例題3.4圖解：(1)求扭矩T。用截面法截取左段為脫離體 (如圖3.19(b)所示)，根據平衡條件得

Me9.56kN(2)根據強度條件確定軸的外徑。Wp3—(1164)3-P-1163D1615Me9.56kN(2)根據強度條件確定軸的外徑。Wp3—(1164)3-P-1163D161516Tmax耳W[]16T4

(1)[]■ 33'16(9.5610Nm)1615(40106Pa)310910m109mm⑶根據剛度條件確定軸的外徑。4DIp (1324D164D1532 16Tmax180三GlpD>D>'G32(1「)1801[]32(9.561032(9.56103Nm)16180 10.3(°)/m” (80109Pa)__15-0.3(°)/m310m125.5mm所以，空心圓軸的外徑不能小于 125.5mm,內徑不能小于62.75mm。第四章彎曲內力【例題4.1］試求圖4.5(a所示連續(xù)梁的支反力。解：靜定梁的AC段為基本梁或主梁， CB段為副梁。求支反力時，應先取副梁為脫離體求出支反力Fb;然后，取整體為研究對象，求出 A處的支反力Fax,FAy,Ma。(a)A/-=5kN-iT]Ej-2ritN/m圖4.5例題4.1圖(1)取CB梁為脫離體，如圖4.5(b)所示，由平衡方程MC0,FB5Meq32.5 0得Fb29kN(2)取整體為脫離體，如圖 4.5(a)所示，由平衡方程Fx0,Fax0Fy0,FAyFbFq30得FAy81kNMA0,MRA96.5kNm上述求得的約束反力為正值， 說明假定的約束反力方向與實際情況一致。 為了校核所得支反力是否正確，也可取 AC梁為脫離體，驗證所求的支反力是否滿足平衡條件?！纠}4.2］梁的計算簡圖如圖4.8(a所示。已知F1、F?，且F?h，以及尺寸a、b、l、c和d。試求梁在E、F點處橫截面上的剪力和彎矩。解：為求梁橫截面上的內力——剪力和彎矩， 首先求出支反力Fa和Fb(如圖4.8(a所示)。由平衡方程Ma0,FbIFiaF2b0和Mb0,FaIFi(la)F2(lb)0解得匚 Fi(lFAa)F2(lb)FbFiaF2bll圖4.8例題4.2圖當計算橫截面E上的剪力Fse和彎矩Me時，將梁沿橫截面E假想地截開，研究其左段梁，并假定Fse和Me均為正向，如圖4.8(b)所示。由梁段的平衡方程Fy0,FaFse°可得Fse Fa由 ME0，MEFAc0可得MEFAc結果為正，說明假定的剪力和彎矩的指向和轉向正確， 即均為正值。讀者可以從右段梁(如圖4.8(c)所示)來計算Fse和ME以驗算上述結果。計算橫截面F上的剪力Fsf和彎矩Mf時，將梁沿橫截面F假想地截開，研究其右段梁,并假定Fsf和Mf均為正向，如圖4.8(d)所示。由平衡方程Fy0，Fsf Fb0可得Fsf FbMf0，Mf FBd 0可得MF FBd

結果為負，說明與假定的指向相反 (Fsf)；結果為正(Mf)，說明假定的轉向正確。將Fa和Fb代入上述各式即可確定E、F截面的內力值。【例題4.3】如圖4.9(a所示為一在整個長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載集度q。，幾何尺寸如圖所示。試求 C、B兩點處橫截面上的剪力和彎矩。V1ql+tTV 1----VTH1L -—VAr “4圖4.9例題4.3圖則不必解：當求懸臂梁橫截面上的內力時， 若取包含自由端的截面一側的梁段來計算,則不必求出支反力。用求內力的簡便方法，可直接寫出橫截面C上的剪力F求出支反力。用求內力的簡便方法，可直接寫出橫截面C上的剪力Fsc和彎矩Me。FscFii1MeMeqe 1 qe2aaa3 6有三角形比例關系，可得q有三角形比例關系，可得qe fqo，則Me2qMe2qoa2l3qoa61【例題4.4【例題4.4】如圖4.11(a所示的懸臂梁,自由端處受一集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。TOC\o"1-5"\h\z解：為計算方便，將坐標原點取在梁的右端。利用求內力的簡便方法，考慮任意截面 x的右側梁段，則可寫出任意橫截面上的剪力和彎矩方程：(a)Fs(x) F(a)M(x)Fx (0wxwI) (b)由(a)式可見，剪力圖與x無關，是常值，即為水平直線，只需確定線上一點， 例如x0處，FsF,即可畫出剪力圖(如圖4.11(b)所示)。由式(b)可知，彎矩是x的一次函數，彎矩圖是一斜直線，因此，只需確定線上兩點，如x0處，M0,xl處，MFl，即可繪出彎矩圖(如圖4.11(c)所示)。llll卜srrn~Tn .祁圖<t)圖4.11例題4.4圖【例題4.5】如圖4.12(a所示的簡支梁，在全梁上受集度為 q的均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：對于簡支梁，須先計算其支反力。由于荷載及支反力均對稱于梁跨的中點，因此,兩支反力(如圖4.12(a所示)相等。Fa任意橫截面x處的剪力和彎矩方程可寫成Fs(x)Fa任意橫截面x處的剪力和彎矩方程可寫成Fs(x)Faqxql2qxxqlxM(x) Faxqx-222qx2(0WxWl)(0WxWl)由上式可知，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為拋物線。仿照例題 4.4中的繪圖過程，即可繪出剪力圖和彎矩圖(如圖4.12(b)和圖4.12(c)所示)。斜直線確定線上兩點，而拋物線需要確定三個點以上。(0圖4.12例題4.5圖由內力圖可見，梁在梁跨中點橫截面上的彎矩值為最大,Mmax而該截面上的(0圖4.12例題4.5圖由內力圖可見，梁在梁跨中點橫截面上的彎矩值為最大,Mmax而該截面上的Fs0;兩支座內側橫截面上的剪力值為最大,Fs,maxql2(正值，負值)。【例題4.6【例題4.6】如圖4.13(a所示的簡支梁在C點處受集中荷載力和彎矩圖。F作用。試作梁的剪力圖解：首先由平衡方程Mb0解：首先由平衡方程Mb0和Ma 0分別算得支反力(如圖4.13(a)所示)為Fa由于梁在C點處有集中荷載力F的作用，顯然，在集中荷載兩側的梁段，其剪力和彎矩方程均不相同，故需將梁分為 AC和CB兩段，分別寫出其剪力和彎矩方程。L—flxFhL_Fh耳圖(b)圖4.13例題4.6圖對于AC段梁，其剪力和彎矩方程分別為(a)M(x)F(a)M(x)Fax(0wxwa)對于CB段梁，剪力和彎矩方程為F(lb)lFaFs(x) FaFl(awxwl)M(x)FAxF(xa)空(1x)(awxwl)(b)(c)(d)F fbS,max |集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大,F fbS,max |集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大,上的剪力值不相等。MmaxFab在集中荷載作用處左、右兩側截面由(a)(c)兩式可知，左、右兩梁段的剪力圖各為一條平行于 x軸的直線。由(b)、(d)兩式可知，左、右兩段的彎矩圖各為一條斜直線。根據這些方程繪出的剪力圖和彎矩圖如圖 4.13(b)和圖4.13(c所示。由圖可見，在b>a的情況下，AC段梁任一橫截面上的剪力值為最大,【例題4.7】圖4.14(a所示的簡支梁在C點處受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：由于梁上只有一個外力偶作用， 因此與之平衡的約束反力也一定構成一反力偶,A、B處的約束反力為由于力偶不影響剪力，故全梁可由一個剪力方程表示，即而彎矩則要分段建立。AC段:Fs(x) F而彎矩則要分段建立。AC段:Fs(x) FaM(x)Fa(0wxa)(0wxa)(a)(b)Me,l(lX)由式(a)可知，整個梁的剪力圖是一條平行于 X軸的直線。由(b)、Me,l(lX)由式(a)可知，整個梁的剪力圖是一條平行于 X軸的直線。由(b)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的彎矩圖各為一條斜直線。 根據各方程的適用范圍， 就可分別繪出梁的剪力圖和彎矩圖(如圖4.14(b和圖4.14(c)所示)。由圖可見，在集中力偶作用處左、右兩側截面上的彎矩值有Meb(負值)。CB段:M(x) FaxMe(axwI)(c)突變。若b>a，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側橫截面上,MmaxA圖4.14例題4.7圖【例題4.9］圖4.19(a所示為一懸臂剛架，受力如圖所示。試作剛架的內力圖。解：計算內力時，一般應先求支反力。但對于懸臂梁或懸臂剛架， 可以取包含自由端部分為研究對象，這樣就可以不求支反力。下面分別列出各段桿的內力方程為Fn(x)BC段:Fs(x)M(x)qx2qx2BC段:Fs(x)M(x)qx2qx2Fn(X1)qlBA段:Fs(xJM(x)ql22(0wXiwI)在BA段中假定截面彎矩使外側受拉為正。在BA段中假定截面彎矩使外側受拉為正。根據各段的內力方程，即可繪出軸力、剪力和彎矩圖。如圖4.19(d)所示。4.19(b)、圖4.19(c)和圖qiFn圖（b）【例題4.20（a所示。qi(c)(d)(d)圖4.19（續(xù)）一端固定的四分之一圓環(huán)在其軸線平面內受集中荷載(qiFn圖（b）【例題4.20（a所示。qi(c)(d)(d)圖4.19（續(xù)）一端固定的四分之一圓環(huán)在其軸線平面內受集中荷載(C)4.10]試作曲桿的彎矩圖。解：對于環(huán)狀曲桿，應用極坐標表示其橫截面位置。取環(huán)的中心F作用，如圖O為極點，以OB為極Fs圖(c)軸，并用 表示橫截面的位置（如圖4.20（a所示）。對于曲桿，彎矩圖仍畫在受拉側。曲桿的彎矩方程為M（）FxFRsin （0<冬一）2在上式所適用的范圍內，對 取不同的值，算出各相應橫截面上的彎矩，連接這些點,即為曲桿的彎矩圖（如圖4.20（b）所示），由圖4.20可見，曲桿的最大彎矩在固定端處的 A截面上，其值為FR。FB(aa)圖FB(aa)圖4.20例題4.10圖第五章彎曲應力【例題5.1］受均布荷載作用的工字形截面等直外伸梁如圖 5.2(a)所示。試求當最大正應力max為最小時的支座位置。解：首先作梁的彎矩圖(如圖5.2(b)所示)，可見，支座位置a直接影響支座A或B處截面及跨度中央截面C上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，相等，因此當截面的最大正、負彎矩相等時，梁的最大彎矩的絕對值為最小,最大拉、壓應力及跨度中央截面C上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，相等，因此當截面的最大正、負彎矩相等時，梁的最大彎矩的絕對值為最小,最大拉、壓應力maxmaxWz為最小。建立Mmax|Mmax|(a)(b)圖5.2(a)(b)圖5.2例題5.1圖22ql qlaqa8 22得 a(1 .2)12由于a應為正值，所以上式中根號應取正號，從而解得a0.2071【例題5.2］跨長l2m的鑄鐵梁受力如圖 5.3(a所示。已知材料的拉、壓許用應力分別為［t］30MPa和［c］90MPa。試根據截面最為合適的要求，確定 T型截面梁橫截面的尺寸(如圖5.3(b)所示)，并校核梁的強度。(a) (b) (c)(a) (b) (c)圖5.3例題5.2圖解：要使截面最為合理，應使梁的同一危險截面上的最大拉應力與最大壓應力 (如 圖5.3（C）所示）之比t,max/c,max與相應的許用應力之比[t]/[ c]相等。由于t,maxMy5.3（C）所示）之比t,max/c,max與相應的許用應力之比[t]/[ c]相等。由于t,maxMyiIzc,max罟，并已知￡30 1，所以90 3t,maxc,maxyiiy23(a)顯然，y值與橫截面尺寸有關，根據形心坐標公式（見附錄A）及如圖5.3（b）中所示尺寸,式⑻就是確定中性軸即形心軸位置y（如圖5.3（b）所示）的條件?？紤]到yi y2280mm(如圖5.3(b)所示)，即得(b)yy2 210mm(b)并利用式（b）可列出Iz32422012224220(210110)32206012Iz32422012224220(210110)3220601222060280210260299.2106(mm)499.2106(m)42806060(28060)6022028022y(28060)60220210mm由此求得24mm(c)確定后進行強度校核。為此，由平行移軸公式（見附錄A）計算截面對中性軸的慣性矩Iz梁中最大彎矩在梁中點處，即MmaxFl80310234010(NMmaxFl80310234010(Nm)40(kNm)曰是，4 4由式（5-7a）、式（5-7b）即得梁的最大壓應力，并據此校核強度:t,maxMmax% 4010t,maxMmax% 4010370103106Iz106Pa28.2MPa [t]3 3Mmaxy2 4010 21010c,maxIzc,maxIz99.210684.7106Pa84.7MPa [C]可見，梁滿足強度條件。

【例題5.3】試利用附錄C的型鋼表為如圖5.4所示的懸臂梁選擇一工字形截面。已知F40kN,16m,[]150MPa。圖5.4例題5.3圖解：首先作懸臂梁的彎矩圖，懸臂梁的最大彎矩發(fā)生在固定端處，其值為MmaxFl401036 240(kNm)應用式(5-7b)，計算梁所需的抗彎截面系數3Mmax240 10 3 3 3Wz> 61.6010(m)1600(cm)[]150106由附錄C型鋼表中查得，45c號工字鋼，其Wz1570cm3與算得的Wz1600cm3最為接近，相差不到5%,這在工程設計中是允許的，故選 45c號工字鋼?！纠}5.4]一外伸鑄鐵梁受力如圖 5.5(a)所示。材料的許用拉應力為 [t]40MPa,許用壓應力為[c]100MPa，試按正應力強度條件校核梁的強度。解：(1)作梁的彎矩圖。由圖5.5(c)可知，最大負彎矩在截面B上,其值為Mb20kNm,最大正彎矩在截面EME10kNm。nivftttri 1EMNME10kNm。nivftttri 1EMNAF込E駅_4. 3? 上，其值為34.5MPa<d)圖5.5例題5.4圖(2)確定中性軸的位置和計算截面對中性軸的慣性矩(2)確定中性軸的位置和計算截面對中性軸的慣性矩Iz。橫截面形心C位于對稱軸y上，C點到截面下邊緣距離為SZ yicA| y2cA2 20030185 30170 85AA A2 20030 30170

139(mm)故中性軸距離底邊139mm(如圖5.5(b)所示)。截面對中性軸z的慣性矩，可以利用附錄 A中平行移軸公式計算。320030122320030122200304633017012230170546 410(m)(3)校核梁的強度。由于梁的截面對中性軸不對稱，且正、負彎矩的數值較大，故截面E與B都可能是危險截面，須分別算出這兩個截面上的最大拉、壓應力，然后校核強度。截面B上的彎矩Mb為負彎矩，故截面B上的最大拉、壓應力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為Mby2t,max,BI圖5.5(d)所示)，其大小為Mby2t,max,BIz201036110340.31030.3(MPa)c,max,BMby13201031391040.31069(MPa)截面E上的彎矩Me為正彎矩，故截面E上的最大壓、拉應力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為t,max,EMe%1010313910340.31034.5(MPa)圖5.5(d)所示)，其大小為t,max,EMe%1010313910340.31034.5(MPa)c,max,EMEy21010361103Iz40.31015.1(MPa)比較以上計算結果，可知，該梁的最大拉應力 t,max發(fā)生在截面E下邊緣各點，而最大壓應力c,max發(fā)生在截面B下邊緣各點，作強度校核如下。t,max t,max,E34.5MPa[t]40MPac,max c,max,B69MPa[J90MPa所以，該梁的抗拉和抗壓強度都是足夠的。【例題5.5】 如圖5.12所示兩端鉸支的矩形截面木梁，受均布荷載作用，荷載集度h3q10kN/m。已知木材的許用應力[]12MPa，順紋許用應力[]1.5MPa，設—-。試b2選擇木材的截面尺寸，并進行切應力的強度校核。1125kN(c)1125kN(c)圖5.12例題5.5圖解:⑴圖5.12例題5.5圖解:⑴作梁的剪力圖和彎矩圖。木梁的剪力圖和彎矩圖如圖5.12(b)和圖5.12(c)所示。圖可知，最大彎矩和最大的剪力分別發(fā)生在跨中截面上和支座A，B處，其值分別為Mmax11.25kNm，Fs,max 15kN(2)按正應力強度條件選擇截面。由彎曲正應力強度條件得max11.25103121060.00094(m3max11.25103121060.00094(m3)又因h32b，則有Wz2bh623b8故可求得0.135(mm)0.135(mm)h0.2m200mm(3)校核梁的切應力強度。最大切應力發(fā)生在中性層，由矩形截面梁最大切應力公(5-9)得33Fs,max 315102A20.1350.20.56(MPa) [] 1.5(MPa)故所選木梁尺寸滿足切應力強度要求。第六章彎曲變形【例題6.1】如圖6.4所示一彎曲剛度為 EI的簡支梁，在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度Wmax和最大轉角max解：由對稱關系可知梁的兩支反力為梁的彎矩方程為作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度Wmax和最大轉角max解：由對稱關系可知梁的兩支反力為梁的彎矩方程為FaFql'B2M(x)qix2122qxq(|xx)將式(a)中的M(x)代入式(6-1b)EIwM(x)q(xl2x2)(a)圖6.4例題6.1圖再通過兩次積分，可得EIwqlxEIwqlx23xTC22.34qlxxEIwCxD2612(b)(c)在簡支梁中，邊界條件是左、右兩鉸支座處的撓度均等于零，即在x0處，w0在xI處，w0將邊界條件代入式(C),可得D0和EIw|xi12EIw|xi12Cl0從而解出c船24于是，得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為w肅(|3w肅(|32 36lx4x)w宀|32lx224EI由于梁上外力及邊界條件對于梁跨中點是對稱的，X3)(d)(e)因此梁的撓曲線也應是對稱的。 由圖式(d).式(d).maxAql3B24EI6.4可見，兩支座處的轉角絕對值相等， 且均為最大值。分別以x0及xI代入可得最大轉角值為又因撓曲線為一光滑曲線， 故在對稱的撓曲線中，最大撓度必在梁跨中點x1/2處。所以其最大撓度值為WmaX Wlql2l32l.2 .3 -.4l l 5qlx工24EI4 8 384EI【例題6.2］如圖6.5所示一彎曲剛度為EI的簡支梁，在D點處受一集中荷載F作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角解：梁的兩個支反力為Fa Fb, FbIF-l(a)對于n和n兩段梁，其彎矩方程分別為M1 Fax Fbxl(0<x<a)(b)bM2F—xF(xa)l(a<x<l)(b)分別求得梁段I和n的撓曲線微分方程及其積分，見表6.1oyryr表6.1梁段I和n的撓曲線微分方程及其積分梁段I(0<x<a)梁段n(a<x<l)撓曲線微分方程：撓曲線微分方程：EIw, M, Fbx (C)lbEIw2 M2 F了xF(xa)(C)積分一次：積分一次：EIw, Fb—C,l2(d)22bx F(xa)EIw2 F C2l2 2(d)再積分一次：再積分一次：. 3bxEIWi F———GxDil6(e)bx3 F(xa)3EIw2 F C2xD2l6 6(e)圖6.5例題6.2圖在對梁段n進行積分運算時，對含有(xa)的彎矩項不要展開，而以 (xa)作為自變

量進行積分，這樣可使下面確定積分常數的工作得到簡化。利用D點處的連續(xù)條件：在xa處，ww2，ww2將式，(d)、(d)和(e)、(e)代入上邊界條件可得C1C2,D1D2如前所述，積分常數Ci和Di分別等于EI°和如前所述，積分常數Ci和Di分別等于EI°和EM。，因此有C1 C2EI0,D1D2 EIW0由于圖中簡支梁在坐標原點處是鉸支座，因此,Wo 0，故D1 D2 0。另一積分常數GC2EI0，則可利用右支座處的約束條件，即在xl處,W20來確定。根據這一邊界條件，由梁段n的式(e)可得EIw2FbIF(lEIw2FbIF(la)36C2I即可求得C1C2EI將積分常數代入程，見表6.2。C1C2EI將積分常數代入程，見表6.2。(d)、(d)、(e)、(eFb6I)四式,(I2b2)即得兩段梁的轉角方程和撓曲線方Fab(lb)6IEImax BFab(l6IEIa)Fab(lb)6IEImax BFab(l6IEIa)現確定梁的最大撓度。簡支梁的最大撓度應在w0處。先研究梁段I,令W1 0，由表6.2梁段i和梁段n的轉角方程和撓曲線方程梁段I0<x<a梁段n(awxwI)轉角方程：轉角方程：Fb1 八2 . 2、 2Fb1、2212]2、1 W1 ――--(Ib)x2W —-二(xa)x-(Ib)2IEI32IEIb3(f)(f)撓曲線方程：撓曲線方程：Fbx2W1 [I.22bx](g)FbI/W2 _(x、3 3a)x(I2b2)x(g)6IEI6IEIb將x0和xI分別代入(f)和(f)兩式，即得左、右兩支座處截面的轉角分別為22Fb(lb)06IEIFab(Ia)

6IEI其值為當ab時，右支座處截面的轉角絕對值為最大，其值為式(f)解得Xii2b2Xii2b23a(a2b)(h)當ab時，由式(h)可見x1值將小于a。由此可知，最大撓度確在梁段I中。將 X1值代入式(g)，經簡化后即得最大撓度為Wmax WWmax WXi9加廠2)3(i)由式(h)可見，b值越小，則Xi值越大。即荷載越靠近右支座，梁的最大撓度點離中點就b值甚小,b值甚小,以致b2與I2項相比可略去不計時，則從式(i)可得Fbl29住1Fbl29住1而梁跨中點C處截面的撓度為Wmax0.0642Fbl2~ET(j)wc■Fbwc■Fb- 0.062516EI3%。由此可知，在簡支梁中,3%。由此可知，在簡支梁中,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來當集中荷載F作用在簡支梁的中點處，即maxWmax【例題maxWmax【例題6.3]一彎曲剛度為EIFl216EI3FlWc48EI的簡支梁受荷載如圖 6.6(a)所示。試按疊加原理求跨中點的撓度和支座處截面的轉角 A和B?！鯦1rri1jJiIfrtUIrii

髯筑.$越空? .(cj圖6.6例題6.3圖解：梁上的荷載可以分為兩項簡單荷載，如圖 6.6(b)和圖6.6(c)所示。由附錄D可以查出兩者分別作用時梁的相應位移值，然后按疊加原理，即得所求的位移值。中點最大撓度為Wmax45ql384ElzMelWmax45ql384ElzMel216EIAqAMBqBMql3 Mel24EIz6eIql3 Mel24EIz31?【例題6.4】一彎曲剛度為El的外伸梁受荷載如圖6.7(a所示，試按疊加原理求C截面的撓度Wco圖6.7圖6.7例題6.4圖解：在附錄D中給出的是簡支梁或懸臂梁的撓度和轉角，為此，將這外伸梁沿截面截開，看成是一簡支梁和懸臂梁 (如圖6.7(b)和圖6.7(c)所示)。其中，MbFI/2,F作用在B支D可分別查出由力偶矩D可分別查出由力偶矩Mb和集中荷載2F引起的B(如圖6.7(d)和圖6.7(e)所示)，得由疊加原理得Fl由疊加原理得Fl2B18EIMbIB23EI2FlMbIBB1 B28EI3EI原外伸梁BC的C端撓度wc也可按疊加原理求得。 由圖6.7(a)、圖6.7(b)和圖6.7(c)可見,由于截面B的轉動，帶動BC段作剛性轉動，從而使C端產生撓度We?，而由AB段本身彎曲變形引起的撓度，即為懸臂梁(如圖6.7(b)所示)撓度Wei，因此，C端的總撓度為We WeiFl3We224EI將前面B的結果代入上式，得wefi324EIzFl2MBl8eT3eTT6ei【例題6.5】一彎曲剛度為EI的懸臂梁受荷載如圖 6.8(a)所示，試按疊加原理求C截面的撓度和轉角We，e。解：求e截面的撓度和轉角，可以將力 f向e點簡化，簡化結果是作用在e處的一個力F和一個力矩Mc(如圖6.8(b)所示)，MeF(如圖6.8(c)、圖6.8(d)所示)，由附錄D查得eiWde2Wc2則e截面的撓度轉角分別為eei2。c截面的撓度和轉角可以按疊加法求得Fl28EIFl324EIFl22EI3Fl8EIC2WcWciWC25Fl28EI3Fl6EItiin5￡圖6.8例題6.5圖【例題6.6】如圖6.9所示電動葫蘆的軌道擬用一根工字型鋼制作， 荷載F30kN,可沿全梁移動，已知材料[]170MPa,[]lOOMPa,E2.1105MPa；梁的許用撓度[w]15mm，不計梁的自重，試確定工字鋼的型號。解：(1)畫內力圖。當荷載F移動到梁跨中點時，產生最大彎矩 Mmax；當移動到支座附近,產生最大剪力Fs,max。這兩種最不利位置的M圖、Fs圖如圖6.9(b)和圖6.9(c)所示。MmaxFl30645kNm4 4FS,maxF30kN

圖6.9例題圖6.9例題6.6圖⑵由正應力強度條件選擇截面。梁跨中點截面的上、下邊緣各點是危險點。由Mmaxmax冬[]maxWz34510 6,3 3、6 26510(m) 265(cm)170106查型鋼表，選22a工字鋼有3Wz309cm，3Wz309cm，4Iz3400cm,I:Sz,max 18.9,d7.5mm(3)切應力強度校核。支座內側截面的中性軸上各點處切應力最大。Fs,max.Sz,maxmax3010 33010 6 33010 6Wmax ii 518.910(m)18.9(mm)[w]482.110 3.410可見，剛度條件不滿足要求，應加大工字鋼截面以減小變形。如改用25a號工字鋼號，J5020cm4，則有103010 6 3W3010 6 3Wmax 石 812.810(m)12.8(mm)[w]482.110 502010剛度條件也滿足，故可選用工字鋼 25a號。【例題6.7】試求如圖6.12所示一端固定一端簡支的梁在均布荷載作用下的約束反力。

解：該梁的約束反力共有四個，而獨立的平衡方程只有三個，有一個多余約束，因此是21.2106Pa21.2MPa []滿足切應力強度要求。D可得(4)D可得WmaxWmax48Elz

一次超靜定問題。首先，假設B支座為多余約束，相應的多余未知力是Fb（方向可以假設）。拆除多余約束，由相應的約束反力 Fb代替，則原結構變成懸臂梁 （如圖6.12（b）所示）。將如圖6.12（b）所示的結構叫做原超靜定梁 （如圖6.12（a所示）的基本靜定系?；眷o定系與原來的超靜定梁是等效的，即受力是等效的，變形也是等效的。因此，按疊加原理，在基本靜定系上，B點的撓度等于均布荷載與 Fb單獨作用引起撓度的代數和。 B點的變形應與原結構B點的變形相等，而原結構 B點的撓度為零。于是可得變形幾何方程wB 0WBq+WbFb=0由附錄DWBq+WbFb=0由附錄D可得力與變形間的物理關系WBqql48EIFbI(a)(b)(c)WbFb3EI圖6.12簡單超靜定梁（例題6.7圖）將式（b）、（c）代入式（a）,即得補充方程(d)ql4 FbI3(d)8EI3EI由此解得多余反力FB為Fb3ql8Fb為正號，表明原來假設的指向是正確的。求得Fb后，即可在基本靜定系上（如圖6.12（b）所示）由靜力平衡方程求出固定端處的支反

Fa5 1 28ql，Ma8ql以上是將支座B作為多余約束來求解的，其基本靜定系是懸臂梁。同樣，也可取支座AFa5 1 28ql，Ma8ql以上是將支座B作為多余約束來求解的，其基本靜定系是懸臂梁。同樣，也可取支座A處的轉動約束作為“多余”約束，即將解除轉動約束并用相應的反力偶Ma來代替，基本靜定系是一個簡支梁，如圖6.12(c)所示。變形幾何方程為或由附錄D可知AMaAq(e)AMaMaI3EIAqql*324EI代入式(e)得3ma|+q1 =03EI24EI求得Ma為MaMa18qlxy2 2'xy2所以，1max90MPa，9010xy2 2'xy2所以，1max90MPa，90108022(30)MPamin10MPa。第七章應力和應變分析強度理論【例題7.1】 試用解析法求如圖7.5(a)所示平面應力狀態(tài)的主應力和主平面方位。解法1：(1)求主應力將將o 71.6。代入斜截面應力公式(7-1)，可得31oMPa。(2)求主平面方位I1SOMPa——一^30MPa(a)圖7.5tan20(2)求主平面方位I1SOMPa——一^30MPa(a)圖7.5tan20因為tan2o是正的，說明例題7.1圖0.75802o在第一象限，故2o36.87°，0 18.4°o即為1所在截面的方位角。1和3的方向如圖7.5(b)所示。解法2:先確定主平面方位tan22(tan22(3oMPa)o.758oMPa在范圍內有兩個解71.6°71.6°F面確定哪個是哪個是由1由1的判定規(guī)則可知,o滿足這一1一定發(fā)生在o的截面上，因此在o和o中,4條件，故1o，那么3所在方位角 3o。18.4°代入斜截面應力公式(7-1),得xy xy1 cos2xsin2228080o

cos(218.4°) (30)sin(2 18.4°)2290MPa

【例題7.2］兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖 7.9(a)和圖7.9(b)所示，梁的橫截面尺寸如圖7.9(c)所示。試分別繪出截面C(如圖7.9(a)所示)上a和b兩點處(如圖7.9(c)所示)的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。M圖圖7.9ff,=l22.7MPaT>(e)例題7.2圖LJ50kN■64.6MPd(f)cr.=L365MPa(h)圖7.9(續(xù))M圖圖7.9ff,=l22.7MPaT>(e)例題7.2圖LJ50kN■64.6MPd(f)cr.=L365MPa(h)圖7.9(續(xù))解：計算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.9(d和圖7.9(e所示。然后根據截面C的彎矩Mc=80kN?m及截面C左側的剪力值Fsc=200kN，計算橫截面上a,b兩點處的應力。為此，先計算橫截面(如圖7.9(c)所示)的慣性矩Iz和求a點處切應力時需用的靜矩 sZa等。Iz3 3120300 111270 6 48810(mm)1212* 3Sza12015(1507.5) 256000(mm)ya135mm由以上各數據可算得橫截面MCa —YaIzC上a點處的應力為80103 660.135 122.7106(Pa)122.7(MPa)8810FscS；Izd20010&256弋64.6106(Pa)64.6(MPa)881069103據此，可繪出a點處單元體的選定適當的比例尺后，y兩平面上的應力，如圖 7.9(f)所示。在繪出坐標軸及(如圖7.9(g)所示)o由此X、根據單元體上的應力值即可繪出相應的應力圓圖可見，應力圓與軸的兩交點A、A,的橫坐標分別代表a點處的兩個主應力 1和3，可按選定的比例尺量得,或由應力圓的幾何關系求得1 OA1 OC CA1? 2'2x2x150.4(MPa)OA2OCCA227.7(MPa)(壓應力)64.620 arctan61.3546.4°故由x平面至1所在的截面的夾角0應為23.2。顯然,3所在的截面應垂直于在的截面(如圖7.9(f)所示)。由此確定了a點處的主應力為1=150.4MPa,2=0,對于橫截面C上b點處的應力，由yb150mm可得My 80103b-~yb 6Iz 8810b點處的切應力為零。據此，可繪出b點處所取單元體各面上的應力如圖 7.9(h)所示，其相應的應力圓如圖0.15136.4106(Pa)136.4(MPa)7.9(i所示。由此圖可見，b點處的三個主應力分別為1x136.4MPa, 2 3 0。1所在的截面就是x平面，亦即梁的橫截面 Co【例題7.3］在受力物體上得某點處夾角為的兩截面上的應力如圖 7.10(a)所示。試用應力圓法求：(1)夾角的值；(2)該點處的主應力和主平面方位。解:⑴作應力圓。選比例尺，建 坐標系。由⑴作應力圓。選比例尺，建 坐標系。由y截面上的應力繪點 Dy(20,40)，由n截面上的應力繪點面上的應力繪點Dn(45,55)。連接點Dy和Dn,作DyDn的垂直平分線EC交軸于C,以點C為圓心，CDy為半徑，作應力圓交軸于A、A2兩點(如圖7.10(b)所示)。⑵求夾角的值。在圖7.10(b)中量取DnCDy118°,則D2竺59°45MPa20MPa(a)A(b)(3)(3)求主應力和主平面方位。量取 1圖7.10例題7.3圖OA120MPa，其方向由斜截面法向n順時針轉DnDnCAl其方向與 1方向垂直； 30°52.5°; 2OA23.8MPa,2【例題7.4］單元體各面上的應力如圖切應力值及其作用面方位。7.14(a所示。試作應力圓，并求出主應力和最大圖7.14例題7.4圖Y】1°VL4■_ 4 .解：該單元體有一個已知的主應力z20MPa。因此，與該主平面正交的各截面上的圖7.14(b)應力與主應力z無關，于是，可依據X截面和y截面上的應力，畫出應力圓(圖7.14(b)所示)。由應力圓上可得兩個主應力值為 46MPa和-26MPa。將該單元體的三個主應力按其代數值的大小順序排列為146MPa， 220MPa， 326MPa依據三個主應力值，便可作出三個應力圓 (如圖7.14(b)所示)。在其中最大的應力圓上，B點的縱坐標(該圓的半徑)即為該單元體的最大切應力，其值為maxBC36MPa且2o34,據此便可確定 i主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切應力所