塞繆爾森中級(jí)微觀習(xí)題

平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案目錄第一講偏好、效用與消費(fèi)者的基本問(wèn)題.....................................................................................2第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù).................................................................................................9第三講價(jià)格變化對(duì)消費(fèi)者配置效應(yīng)與福利效應(yīng).......................................................................18第四講VNM效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水............................................................................................25第五講風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)投資和跨期決策...................................................................................32第六講生產(chǎn)函數(shù)與規(guī)模報(bào)酬.......................................................................................................45第七講要素需求函數(shù)、成本函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)與供給函數(shù).......................................................57第八講完全競(jìng)爭(zhēng)與壟斷...............................................................................................................68第九講Cournot均衡、Bertrand均衡與不完全競(jìng)爭(zhēng)..................................................................80第十講策略性博弈與納什均衡...................................................................................................93第十一講廣延型博弈與反向歸納策略.....................................................................................100第十二講子博弈與完美性.........................................................................................................105第十三講委托–代理理論初步.................................................................................................110第十四講信息不對(duì)稱、逆向選擇與信號(hào)博弈.........................................................................118第十五講工資、尋找工作與勞動(dòng)市場(chǎng)中的匹配.....................................................................125第十六講一般均衡與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的兩個(gè)基本定理.................................................................134第十七講外在性、科斯定理與公共品理論.............................................................................14012221221111papppapappaypq=??????????=???=22222121221papyppypaappaypq?=??=???=與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致．2.某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是22121,(xxxxu=，商品1和2的價(jià)格分別是1p和2p，此消費(fèi)者的收入為m，求馬歇爾效用函數(shù)和支出函數(shù)．解：解線性規(guī)劃：yxpxptsxxxx=+2211221,..max21其拉格朗日函數(shù)為：(,;(221122121xpxpyxxxxL??+=λλ使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件021211=?=??pxxxLλ102212=?=??pxxLλ202211=??=??xpxpyLλ31式除以2式，得：2112211222pxpxppxx=?=4代4入3式，得1x的需求函數(shù)：111132023pyxxpy=?=?5代5入4式，得2x的需求函數(shù)：223pyx=6代5、6兩式入效用函數(shù)中，得到當(dāng)效用最大化時(shí)有間接效用函數(shù)：22122121332,(,(pypyxxxxuypv????????===又消費(fèi)者效用最大化意味著((ypvpey,,=即可得到支出函數(shù)：(((3122131221223108,(,(,uppuppyypvpeupe====3.考慮下列間接效用函數(shù)(2121,,ppmmppv+=這里m表示收入，問(wèn)：什么是該效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù),,(21*1mppx與,,(21*2mppx解iii：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)：2121221111ppmppppmypx+=++??=???=2121221121ppmppppmypx+=++??=???=4.考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地．假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為21xxu=，這里(221,+∈Rxx．已知北京的物價(jià)為(aapp21,，上海的物價(jià)為(bbpp21,，并且bbaapppp2121=，但babapppp2211,≠≠．又知廣州的物價(jià)為(((??????++=babaccpppppp22112121,21,．若該退休老人是理智的，他會(huì)選擇哪個(gè)城市去生活？iv解：設(shè)老人在北京、上海、廣州的效用分別為cbauuu,,，設(shè)老人的收入為m．有??????+=?+=?+ccbbaaccbbaacb因?yàn)閎baapppp2121=，所以??????=?+ccaacbappppmuuu212121142（*）又babapppp2211,≠≠，有aabbaababaccpppppppppppp2121212211211282=<++=（**）由*與**，得02<?+cbauuu又bauu=，所以有0<?cauu，0<?cbuu即老人將選擇在廣州生活．15.5.1.設(shè)21xxu=，這里(221,+∈Rxx，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)(uppe,,21．解：解線性規(guī)劃：xxtsxpxpxx=+212211,..min21其拉格朗日函數(shù)為：((.,;21221121xxxpxpxxL?++=λλ使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件0211=?=??xpxLλ10122=?=??xpxLλ2021=?=??xxLλ31該題解答的修正得益于網(wǎng)友caidb在中心論壇上的帖子．關(guān)于caidb的個(gè)人信息在上由1式、2式，得(uppe,,21λ12px=，λ21px=4代4入3，得pppp212210=?=?λλ5代5入4，得212px=，121px=于是可以得到對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)(ppxpxpuppe212211212,,=+=5.2.又設(shè)21lnlnxxu+=′，同樣(221,+∈Rxx，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)(uppe′′,,21解：解法與5.1完全相同，得到(ueppuppe′=′′21212,,5.3.證明：((uppeuppe,,,,2121=′′證明：uppeppeppuuxxuxxuuu21ln21212121222lnlnln==?=′????+=′=′((uppeuppe,,,,2121=′′6.設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為(?=12121,,ppmmppv，這里10<<α．什么是該消費(fèi)者對(duì)物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？解：若消費(fèi)束x是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系((mpvpem,,=1由該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)，得到αα?=121pm，其中,,(21mppv=2由1式和2式，得到((αα?=121,,pmpvpe因此，由Shepard引理，得到12111?????????=??=αpppexh，α??????=??=2122pppexh7.考慮含n種商品的Cobb-Douglass效用函數(shù)∏==niiixAxu1(α這里，0>A，∑==nii11α7.1.求馬歇爾需求函數(shù)解：解線性規(guī)劃：ypxtsxAniixi=∏=..max1α其拉格朗日函數(shù)為：((pxyxAxLniii?+=∏=λλα1;使(?L最大化要求λ,,21xx滿足一階條件01=?=?=??∏≠?jjjjjiijjjpxupxAxxLijλαλααα，nj,...,3,2,1=10=?=??pxyLλ2由1式，得jjjpuxλα=，nj,...,3,2,1=3代3入2，得yuuyuypupyniniiiii=?=?=?=?∑∑==λλλαλα1104代4入3，得?？怂剐枨蠛瘮?shù)jjjpyxα=，nj,...,3,2,1=7.2.求間接效用函數(shù)解：根據(jù)7.1的結(jié)果(iiniiiniiiniiiniiipAypAypyAxuypvααααααα∏∏∏===????????=????????∑=????????===1111(,其中x為消費(fèi)者的需求量．7.3.計(jì)算支出函數(shù)（同第6題的解法．不過(guò)這樣的寫(xiě)法可能會(huì)好些?）解：令iniiipAyypvαα∏=????????==1,(得到iniiipyαα?=?∏????????=11又由(,,(ypvpey=，得到(iniiippeαα∏=?????????=11,7.4.計(jì)算?？怂剐枨蠛瘮?shù)解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)∏≠??????????=??=jiiijjhjijpppexααα11，nj,...,3,2,1=8.以Cobb-Douglass效用函數(shù)為例說(shuō)明求解效用最大化問(wèn)題和求解支出最小化問(wèn)題可以得到同一需求函數(shù)．解：令效用函數(shù)形式為∏==niiixAxu1(α，預(yù)算約束為ypx=*************************************************************求解效用最大化問(wèn)題得到的需求函數(shù)為（見(jiàn)7.1題）jjjpyxα=，nj,...,3,2,1=*************************************************************求解支出最小化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)為(?????????′+=′∏=niiixAupxxL1;αλλ使(?L最大化要求λ′,x滿足一階條件jjjpuxαλ′=1代入1=?∏=niiixAuα，得∏∏=?=????????=′?=????????′?niiiniiiiipApuAu1110αααλαλ2代2入1得到希克斯需求函數(shù)：jjniiijjhjpupApuxiαααλα∏=?????????=′=11，nj,...,3,2,1=3代∏==niiixAxu1(α入3得到∏=????????=nijjiiihjpxpxi1ααα，nj,...,3,2,1=4代4入預(yù)算約束ypx=得????????????????=????????????????????????=????????????????=∏∑∏∑∏=====iiiniiiinjjniiiinjjjniiiijxpxppxppyαααααααα111115代5入4得∏==????????=nijjjjiiihjpypxpxi1αααα，nj,...,3,2,1=6由3式與6式知，求解支出最小化與效用最大化得到的需求函數(shù)是一樣的．9.下列說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？函數(shù)21(,(upupxxxhj+=可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)．答：不對(duì)．由于該需求函數(shù)僅與該商品的價(jià)格相關(guān)，因此可以令所有其它商品的消費(fèi)量為零．根據(jù)Shepard引理，支出函數(shù)是該希克斯需求函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．又((Cupdpupxxx++=+∫232132其中，無(wú)論C取什么值，(Cupx++2332都不是xp的一次齊次函數(shù)，因此該函數(shù)不可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)．10.下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？(222,,yxxyxppIpyppx+=這里，x與y是兩種商品，I為收入．答：假設(shè)該函數(shù)是一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)．由>?I可知，x是正常商品，它的需求量在任何情況下隨收入上升而上升．又當(dāng)xypp>時(shí)，0>?xp，因此在xypp>時(shí)，x的需求量隨價(jià)格上升而上升．綜上所述，當(dāng)xypp>時(shí)，該商品的替代效應(yīng)為正．而任何商品價(jià)格變化對(duì)該商品需求量所起的替代效應(yīng)為非正．因此，該函數(shù)不是一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)．第五講，第4題第一問(wèn)，第二問(wèn)基本上的圖就是這樣，A點(diǎn)為將財(cái)富全部投入到風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)的狀態(tài)，B點(diǎn)為全部投入到安全資產(chǎn)時(shí)的狀態(tài)，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段表示的就是投資者所有可能的資產(chǎn)組合．第三問(wèn)見(jiàn)第5題的解答．第五講，第5題設(shè)投資者的效用函數(shù)為(wu．設(shè)gw為投資者在好的狀態(tài)下的財(cái)富，bw為壞狀態(tài)下的財(cái)富．設(shè)投資者認(rèn)為有P的概率出現(xiàn)好的狀態(tài)．設(shè)]1,0[∈λ為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在投資組合中所占比例．由題意知，投資者決定λ是以u(píng)的最大化為標(biāo)準(zhǔn)．即：,(maxarg*]1,0[λλλwu∈∈7因此，λ必須滿足0·(=λdu*又7事實(shí)上，很明顯這個(gè)集合里面至多只有一個(gè)元素．[][]*****1(1(1(1(1(1(1((1((,(wrwruPwrwrPuwuPwPuwuggbg+?++?++?++=?+=λλλλλ代入（*）得，krrrrPPwduwdugbbg=????=1((**現(xiàn)在證明wduwdubg((是λ的單調(diào)函數(shù)．若0(>′wu，0(<′′wu***那么，如果有ijλλ>則有]([]([igjgwuwuλλ>，]([]([ibjbw