2023年廣東省專升本高等數(shù)學知識點考點大綱復習資料

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第一節(jié)函數(shù)考點1:判斷函數(shù)是否為同一函數(shù)方法：定義域和對應法則都相同的函數(shù)為同一函數(shù)。.下列函數(shù)/(X)與g(x)為同一函數(shù)的是( )A./(x)=|x|,g(x)=x b./(x)=x,g(x)=V?C./(^)=^= D./(x)=lnx3,g(x)=31nx【答案】D【考點】函數(shù)的三要素：定義域、值域、解析式【解析】解：判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)，需要定義域與解析式一樣，D選項定義域和解析式都一樣，是同一函數(shù)。A選項解析式不一樣?？键c2：求函數(shù)定義域—,x*0X(1)具體函數(shù)求定義域,出,X20logx,x>0arcsinx,arccos尤,-1<x<l(2)抽象函數(shù)求定義域：/[g(x)],/[/z(x)],要使得g(x)"(x)值域要相同，求出x的范圍即可。1.函數(shù)y=Vx2+x-12的定義域為.【答案】(-oo,-4]U[3,+oo)【考點】考察函數(shù)的定義域。【解析】解：x2+x-12>0,(x-3)(x+4)>0,xg(-oo,-4]U[3,+oo)2.設函數(shù)y=/(x)的定義域為[—2,2],求函數(shù)/(2x-4)的定義域.【答案】xe[l,3]【考點】考察函數(shù)的定義域?！窘馕觥拷猓?242x-442,14xW3,xe[l,3]考點3：函數(shù)的解析式'反函數(shù)的求法函數(shù)的解析式：配湊法，換元法反函數(shù)：解出x=e(y).已知〃x)=l—g則/[/(x)]=( )A.x-1 B. C.1—x D. x-1 1-x【答案】D【考點】求函數(shù)的解析式?！窘馕觥拷猓?[/(x)]=l--1T=1一々=：?? X—11—XX.已知函數(shù)^=后三，求反函數(shù)【答案】廣(x)=N【考點】求解反函數(shù)。第二節(jié)極限考點1：數(shù)列的極限如果當〃無限增大時,數(shù)列｛x“｝無限趨近于確定的常數(shù)a,那么a就叫做數(shù)列｛x“｝當〃->8時的極限,記作lim=a或X”. 78).1.根據(jù)題意填空：1111-61-5.......其通項為 .【答案】x?=(-l)n-n【考點】求數(shù)列的通項公式?！窘馕觥拷猓和棡榫?(-1)"!n(2)設數(shù)列1,—,—,—,—…，則數(shù)列的前〃項和S”=24816limSn=.n—>oo【答案】見解析【考點】求數(shù)列的極限。2.計算極限lim2.計算極限lim2〃3+6/-5

3〃'+2〃+12【答案】-3【考點】求數(shù)列的極限。，初+匚*初r2〃3+6〃2-5r2+〃“3 2【解析】解：hm =lim _\=一〃t°°3〃+2〃+1〃T8q人3rrA?0,m<n■乂「q/"+Q“，…+4am【總結］：hm。 吧一： ! -=m=n"hnxn+b"?+???++d hnoo,m>n考點2：函數(shù)的極限【總結】計算極限的常用方法：有7種未定式：^，―,00-00,0-00,I00,00°,0°1.求下列函數(shù)的極限（,，2型，又稱基本型）方法有：①約去零因式法（此法適用于X7%，￡）；②除以適當無窮大（適用于X700（〃一>8）時，?）；③分子或分母有理化（適用于帶有根號的極限問題）：④通分（適用于8-8）;⑤利用基本極限公式（適用于，,產）；⑥等價無窮小替換；⑦無窮小量的性質（無窮小?無窮小=無窮小，無窮小?有界量=無窮?。?；⑧利用夾逼原理（進行適當放縮）：⑩洛必達法則(—,—).000.求下列極限arctanx-x gsinx-exhm —— (2)lim-Ax—ox ioxsin"x【答案】見解析【考點】求函數(shù)的極限?！窘馕觥拷猓篲_](l)limarCtan^=liml±^—=1加嗎=」XT。X5XT。3x2 A—>03x2 3esint-exr sinx-xrcosx-11(2Him =lim--- =lim ——=lim =——xsiirxa。x3xx—03x6考點3：無窮小■的階設lima(x)=0,lim(3(x)=0.(1)如果lim2=0,就說夕是比a高階的無窮小，記作尸=o(a),a(2)如果Iim2=8,就說夕是比a低階的無窮小.a(3)如果lim2=c#0,就說尸是比a同階無窮小.特別地，當c=l時，a即lim2=l,此時稱夕與a是等價無窮小，記作a?/?.a1.當Xf0時，下列( )是x的高階無窮小量.4-—1B.Vl+x-1C.xsin—D.1-cosx

【答案】D【考點】考察無窮小量。-X2【解析】解：limC°S-=lim^—=0,可判斷D正確。xtO% x—>0x2.當x-0時，In(cosx)與Zx*是等價無窮小，則常數(shù)力=,常數(shù).【答案】A=~,k=2【考點】考察無窮小量。【解析】解：limlnC°f-=limC°Sy1=limJ=--,k=2i。Axki。Axk7Axk2考點4：用極限解決參數(shù)問題1.已知lim2A*一ax-b=2.求常數(shù)a,6的值.X+1 ,【答案】a=2/=—4【考點】考察無窮小量。2x?+1—(x+1)(ax+b)

x+1]=lim(4x—2ax-b—a)=2,「I2x]=lim(4x—2ax-b—a)=2,=lim 18I X+1a=2,—a—b=2,b=—4第三節(jié)連續(xù)考點1:函數(shù)的連續(xù)性判斷函數(shù)在某一點是否連續(xù)遵循以下步驟：①/(X)在點X。處是否有定義：②左右極限是否都存在；③左右極限是否相等并且等于函數(shù)在這一點的值.1.若函數(shù)/(x)(1+》尸，》二°在》=0處連續(xù)，試確定a的值[a,x=O【答案】 A=-^,k=2【考點】考察無窮小量?！窘馕觥?源/(工)=1岬(1+工尸欲/*)在工=0處連續(xù)，必須使lim/(x)=/(0),故a=e3.x->0考點2：求函數(shù)的間斷點及其類型①第一類間斷點(/(x()-),/(x()+)存在)可去間斷點：/(x0-)=/(x0+)：跳躍間斷點：/(x0-)*/(x0+)：②第二類間斷點(/(Xo-),/(Xo+)至少有一個不存在)無窮間斷點：lim/(x)=8或lim/(x)=8x->x0- x—>x01.設函數(shù)/(x)=] 「則x=O是/(X)的間斷點.【答案】跳躍【考點】函數(shù)間斷點類型的判斷?！窘馕觥拷猓簂im/(x)=lim————r=2,limf(x]=lim/~~r=-2左右極…八，，5傘2一])限都存在，但不相等。x=0是跳躍間斷點?？键c3：求漸近線.水平漸近線如果Jimf(x)=A,就稱直線y=/為曲線y=/(x)的水平漸近線.注：有時需要考察x->+8或xf-oo時的單側水平漸近線..垂直漸近線如果lim/(x)=oo,就稱直線x=x0為曲線y=/(x)的斜漸近線.工一與卜丁).斜漸近線如果曲線存在漸近線，且既不是水平漸近線，又不是垂直漸近線，就稱之為斜漸近線.斜漸近線的求法。設直線y="+6(。工0)是曲線y=/(x)的漸近線，則有l(wèi)im[/(x)-ax-Z)]=0從而得到lim-X-=a>limFf(x)-ox]=bx—>00X X->00L\， 」y=ax+b為斜漸近線.1,求歹=』+111(1+產)的漸近線?！敬鸢浮恳娊馕?。【考點】求函數(shù)的漸近線?！窘馕觥拷猓簂imy=8,limy=0,y=0為水平漸近線：li卑歹=00,x=o為鉛直漸近線；lim2=lim[+lim +e）=lim——=1,XT0°X0cXT°° X X—>00]+e'lim（y-x）=lim—+lnH■土]=0+0=0,y=x為斜漸近線?！癟+8' ,XT+8X QXI考點4零點定理介值定理相關證明考點4：零點定理、介值定理相關證明1.證明方程/-4x2+1=0在區(qū)間（0,1）內至少有一根.【答案】見解析【考點】零點定理證明題?！窘馕觥拷猓涸O/（力=/-4丫2+1,/（0）=1,/（1）=—2,由零點定理知，在區(qū)間（0,1）內至少有一點4使得/值）=0,即方程d一4》2+1=。在區(qū)間（0,1）內至少有一根.，即證。第二章一元函數(shù)微分學第一節(jié)導數(shù)的概念考點1:導數(shù)的定義（記住兩個公式），左導數(shù)、右導數(shù)仆。）=螞:/仆。）=螞:/'(xo+Ar)-/(X。)

Ax或者/‘（X。）飛出于TOC\o"1-5"\h\z1./（X）在X=Xo處可導，則/'（X。）（ ）4"（/）-.）（/+2力 b."卜。一〃）一/（與十"）D X hfO 2hchmfM-f（x0-2^ Dlim/⑹-/優(yōu)…）2Ax ax->+=o Ax【答案】C【考點】導數(shù)的定義。【解析】解：八%）=1加,（止/（/）,廣義化后，C符合定義。XT/X-X0/'（X。）存在o￡'（%）和￡（x0）都存在，且￡'（%）=￡（%）.考點2：導數(shù)的幾何意義，求斜率、切線方程相關問題1,曲線y=2x+lnx在點（1,2）處的切線方程是.【答案】y=3x-\【考點】求函數(shù)的切線。

【解析】解：y=2+pA:=y（1）=3,7-2=3（x-l）,j；=3x-l.考點3：連續(xù)可導的關系函數(shù)在某一點可導，則函數(shù)在此點一定連續(xù)；函數(shù)在某一點連續(xù)則函數(shù)在此點不一定可導第二節(jié)函數(shù)的求導法則基本求導公式（1）（cy=o（C為任意常數(shù)）；=(ax=(ax\=axIna；⑸(log"x)'=」；xlna(7)(sinx)'=cosx；(9)(tanx)r=sec2x；(11)(secx)r=secxtanx；(13)(arcsinx)r= ——一；(15)(arctanx)r= 2；考點3：顯函數(shù)求導、反函數(shù)、1.求函數(shù)y=2x3+4--6x-/x,(x)x-,(4)(exY=ex；(6)(Inx)F=—；X(cosx)r=-sinx；(cotx)1=-csc2x；(cscx)r=-cscxcotx；(14)(arccosx)f=--y=L=；(16)(arccotx)r= .參數(shù)方程求導b4+7的導數(shù)12【答案】/=6^2+8%-6+—U2&【考點】求函數(shù)的導數(shù)。【解析】解：y'=6x2+8x-6h 產2yjX.設y=x2+2x-l(x>0),則其反函數(shù)x=(p(y)在y=2處導數(shù)是【答案】B【考點】反函數(shù)求導數(shù)?！窘馕觥拷猓篢OC\o"1-5"\h\zy=2,則x?+2x-l=2,x=l,x'(y)=,,\尸R)= :x=t-sin(, Jr.求曲線《, 、在f=一處的切線方程為 .y=a(l—cosr) 2【答案】 y=ax-1萬-2%【考點】參數(shù)方程確定的函數(shù)求導。【解析】解：方力一公一力

=

方力一公一力

=考點4：隱函數(shù)求導、對數(shù)求導法、海指函數(shù)求導和高階導數(shù)隱函數(shù)求導：方程兩邊同時對自變量求導：對數(shù)求導法：方程兩邊同時取對數(shù)，然后再求導：募指函數(shù)求導；取e法；或方程兩邊同時取對數(shù)，然后再求導；高階導數(shù)：求出一階、二階、三階導數(shù)，找規(guī)律總結..方程產+歹2-3k=0所確定的隱函數(shù)歹=y(x),求y'.(隱函數(shù)求導)【答案】3y-e【答案】3y-ey2y-3x【考點】隱函數(shù)求導。【解析】解：方程兩邊同時對x求導，得e'+2力/一3y-3q/=0,y'__仁.2y—3x.已知函數(shù)y=(cosx)i"",求了.(幕指函數(shù)求導),/xi+sinv sinxfl4-sinx)【答案】y=(cosx) cosxIncosx cosx3占】寡指樂熱關導【考點】暴指函數(shù)求導?！窘馕觥拷猓悍匠虄蛇呁瑫r對X求導，得(!4sinx)lncosx,(1+sin.rIncosx i SinX(l+SinX)y=ev'9y=e{尸cosxIncosx -cosx/wsinj, sinx(l+sinx)=(cosx) cosxIncosx cosx.設y=21則y(")=.【答案】j(B)=2x(ln2)".【考點】高階導數(shù)。

【解析】解：y'=2Un2,y,=2,(In2)2,…，產=2I(ln2)\第三節(jié)函數(shù)的微分考點1：微分1.微分計算公式d(C)=O(C為任意常數(shù))；d(C)=O(C為任意常數(shù))；d(x")="x""dx,d&=~^j=d=ax\nadx；(5)d(k)g“x)=J—dx；x\na(7)d(sinx)=cosxt/r；(9)d(tanx)=sec2xdx；(11)d(secx)=secxtanxdx；(13)d(arcsinx)=dx；(15)d(arctanx)=-^-2dx；2.復合函數(shù)微分(微分形式不變性)設函數(shù)y=/(〃)和〃=/(%)都(4)d^ex)=exdx；(6)J(lnx)=—t/x；(8)d(cosx)=-sinMr；(10)d(cotx)=—esc2xdx；(12)t/(cscx)=-cscxcotxt/r；(14)d(arccos7dx；(16)d(arccotx)=-^ 2dx.，則復合函數(shù)歹二/(夕(x))的微分為dy=或方二.第四節(jié)中值定理考點1:羅爾定理、拉格朗日中值定理及推論1.羅爾定理設函數(shù)y=/(x)滿足：(1)在閉區(qū)間［凡可上連續(xù)；⑵在開區(qū)間(a,6)內可導：(3)〃a)=〃b)；那么，則至少存在一點Je(a,b),使得八9=0.2.拉格朗日定理設函數(shù)y=/(x)滿足：⑴在閉區(qū)間［a,可上連續(xù)；⑵在開區(qū)間(a,6)內可導：那么，則至少存在一點&w(a,6),使得/'?)=/(?一"")..下列函數(shù)在給定區(qū)間滿足羅爾定理條件的有( )B.y-I—g[0,2]如T)D.y=x2—l,xeB.y-I—g[0,2]如T)D.y=x2—l,xe[—1,1]C.y=xe*,xe［0,1］【答案】D【考點】羅爾定理的驗證條件?！窘馕觥拷猓翰?/一1在卜［J］上滿足羅爾定理的三個條件。2.函數(shù)= 在［0,3］上滿足羅爾定理，則4=( )A.2 8.3 C.O D.\【答案】A【考點】羅爾定理的驗證條件。

【解析】解：=【解析】解：=2a/3^x5知，(x)=0,微=2.b—u8.設 證明不等式arctanb-arctana< 2ah【答案】見解析。【考點】拉格朗日定理相關的證明題。【解析】解:證明：設/'(x)=arctanx,故/'(x)滿足拉格朗日定理條件,在(a,6)在(a,6)上至少存在一點多使得/(b)-/(a)b-aanarctanb-arctananarctanb-arctana即 b-a r< r< < ,即1+&2l+a22a2ab. b-aarctanb-arctana< 2ah第五節(jié)導數(shù)的應用考點1:單調性、極值、最值函數(shù)單調性的判定：設函數(shù)歹=/(x)在［a,可上連續(xù)，在(a,6)內可導，且(1)若在(a,b)內-(X)>0,則y=/內)在［a,b］上單調增加；(a,b)內可導稱為單調遞增區(qū)間：(2)若在(a,6)內/,(x)<0,則.=/(x)在［a,可上單調減少.(a,6)內可導稱為單調遞減區(qū)間；求函數(shù)極值的步驟：(1)求出導數(shù)/'(X);(2)求駐點，即方程f'(x)=O的根,并求使/'(X)不存在的點；(3)檢查/'(X)在(2)中求出的點左右符號變化，對于/"(x)存在但不等于零的駐點，還可由/"(X)正負判定這些點是否極值點，是極大(小)值點；求函數(shù)最值的步驟如下：(1)求駐點與不可導的點；(2)求區(qū)間端點、駐點和不可導點處的函數(shù)值，比較這些值的大小，哪個值最大就是最大值，哪個值最小就是最小值..下列函數(shù)在(0,+8)上單調減少的是( )A.y=ex-1 B.y=4x-3x2C.y=arctanx-x D.y=2sinx【答案】C【考點】函數(shù)導數(shù)的應用?！窘馕觥拷猓簓=—一一J<o.+x2 1+x22.求函數(shù)/(x)=x，2x2+2的極值.【答案】見解析【考點】極值的求法。【解析】/'(x)=4x3-4x=4x(x2-1),令/'(x)=0,得駐點X1=0,x2=-l,x3=1./"(x)=12x2-4=4(3x2-1).18/"（o）=-4<o,r（-i）=r（i）=8>o,所以由第二充分條件知，點玉=0為極大值點，極大值為/（0）=2：點苫2=-1/3=1,為兩個極小值點，極小值為/（_1）=/（1）=2.考點2：拐點及凹凸區(qū)間及拐點凹凸區(qū)間：根據(jù)二階導數(shù)符號判定；函數(shù)的拐點：若函數(shù)/（X）在點x=x0左右鄰近二階導數(shù)存在且符號相反，則點（Xo，/（X0））稱為函數(shù)曲線/（X）的拐點.拐點存在的必要條件若點（Xo，/（xo））稱為函數(shù)曲線/（X）的拐點，貝!|廣（力0或廣（%）不存在：拐點存在的充分條件若/（X）在點x=x0的左右鄰域二階導數(shù)存在且符號相反，則點（Xo，/（X。））為曲線/（X）的拐點，若符號相同，則點（Xo，/（xo））不是拐點..討論下列函數(shù)圖形的凹凸性：y=ex\ （2）j=x34-3x2+5;【答案】見解析?！究键c】導數(shù)的應用?！窘馕觥拷猓孩舮'=2xex\,/=2（1+2x2）Z>0;,所以歹=e「在（-oo,+oo）內是凹的.y'=3x2+6x;.y"=6x+6=6（x+l）;.當x>-l時，y>0y">0;：當x<-l時，y*<0.由定理，曲線在（一8,-1］上是凸的，在［一1,+00）上是凹的.2.已知點（1,3）是曲線y=axy+bx2y=ax3+hx2的一個拐點，試求a,6的值及曲線的凹凸區(qū)間.【答案】見解析。【考點】導數(shù)的應用?！窘馕觥看?=3ax2+2bx,y"=6ax+2b.y'=3ax2+2bx,y"=6ax+2b.因點（1,3）為拐點，故 滿足a+b=3,6a+26=0,從中解得：a=—|,6=g.于是=9（l-x）,因此在（一8,1）內y〃>0,曲線為凹的；在（l,+oo）內y〃<0,曲線為凸的，所以（-8,1）為其凹區(qū)間，（1,+8）為其凸區(qū)間.第三章一元函數(shù)積分學第一節(jié)不定積分考點1:原函數(shù)、不定積分的定義及其性質.原函數(shù)：Ff(x)=/(x).不定積分的性質⑴聞=/(x),dJ〃x協(xié)=/(x)★⑵“(xg=/(x)+C,J"(x)=/(x)+C;⑶J[/(x)土g(x)]<Zr=J/(xg土Jg(x)公;^ltf[x\lx=k\f[x}dx(左為常數(shù)).3.不定積分基本公式⑴J"Odx=C(C為常數(shù))；(2)Jxkdx=—!—x*"+C；左+1⑶j—Jx=ln|x|+C(4)[axdx= ax4-CJ Ina⑸Jexdx=er+C(6)Jsinxdx=-cosx+C⑺JcosxtZx=sinx+C(8)jsec2xdx=tanx+C(9)\tanxdx=-ln|cosx|+C(10)Jcotxdx=In|sinx|+C(11)jcscx4/r=ln|cscx-cotx|+C(12)Jsecxdx=In|secx+tanx|+C(13)jesc2xdx=-cotx+C(14)Jcscxcotx4/r=-cscx+C(15)Jsecxtanxdx=secx+C(16)(——dx=arcsinx+CJV1-X221.已知函數(shù)/(X)為可導函數(shù)，且尸(X)為了(X)的一個原函數(shù)，則下列關系式不成立的是( )A.t/[jf =f B.(jf(xylx)'=/(x)C.jF(x>Zx=F(x)+C ￡>.J/(x)dr=F(x)+C【答案】D【考點】不定積分的性質?！窘馕觥拷猓簀/,(x>Zx=/(x)+C2.若/(x)的導函數(shù)是cosx,則/(x)有一個原函數(shù)為( )l+sinx1-sinxl+sinx1-sinxl+cosx1-cosx【答案】D【考點】導函數(shù)與原函數(shù)之間的關系?！窘馕觥拷?/(x)=sinx為cosx的一個原函數(shù),J/(x)=—cosx+C.C=1【答案】見解析【考點】求不定積分。［解析］解：原式=f(乃e)'公蟲=(gx_J_］nk|+C八，2Jxin(^-e)2門

考點2：不定積分的第一換元法(湊微分法)核心思想：配對，目的主要在被積函數(shù)中找到e(x)與“(x)1.e^-1, axex-l1.【答案】見解析?！究键c】第一換元法求不定積分。【解析】解:2x_]---j-tZr=j(ex+1如=ex4-x4-C2.tan'2.tan'xdx【答案】【答案】見解析?！究键c】第一換元法求不定積分。【考點】第一換元法求不定積分。【答案】見解析?！究键c】第一換元法求不定積分?！窘馕觥拷?sin4xdx=l-cos2x2?dx=—J(1-2cos2x+cos22x.=；J(1-2cos2x4-cos22x膿=：(x一sin2x)+Jcos22xdx1/ --\rl+cos4x, 1/ .個\,1sin4x「=—(x-sin2x)+J 2辦=t(x_sin2x)+「x+--——i-C考點3：不定積分的第二換元法（主要是三角換元：cos2x=l-sin2x>sec2x-tan2x=l；根式換元）1.JX【答案】見解析?！究键c】第二換元法求不定積分?！窘馕觥拷?. . ry]4—x2令x=2cosf,ax=-2sinf力，J —dx=>/4-4cos2z

4cos21rsin/_fl」 1 =I——r—dt=-I——-dcos/= FC=J2cos'rJ2cosr2cos/-1IC2cos-22.【答案】見解析?！究键c】第二換元法求不定積分?！窘馕觥拷?. rJ.2—9=3sect.dx=3secttantdt, dxJxtanrsec/sec/tantdt=3Jtan2tdt=3f(sec2t-\^dt=3tant-3t+C設〃=w(x),v=v(x)是可微函數(shù)，且〃'(x)"(x)或〃(x)?M(x)有原函數(shù)，則有分部積分公式：jw(x)-vf(x)dx=〃(%)?v(x)-Jv(x)-u(x)dx或 judv=wv-Jvdu.1,求Jxe~xdx【答案】見解析。【考點】分部積分法求不定積分?！窘馕觥拷猓簀xe~xdx--Jxde~x--^xe~x-Je~Ydxj=-xe~x-e~x+C2.求Je，sinMx【答案】見解析?！究键c】分部積分法求不定積分?！窘馕觥拷猓涸蕉﨡sinxdex=exsinx-jexcosxdx=e'sinx—Jcosxde"=exsinx-excosx+|exdcosx=ex(sinx-cosx)-jexsinxdx.所以，jexsinxrfr=—ex(sinx-cosx)+C.2…幫分考點1：定積分的定義.定積分的值與哪些因素無關( )4積分變量 8.被積函數(shù) C積分上限 D積分下限【答案】A【考點】定積分的定義。【解析】解：定積分的數(shù)值與積分變量無關。.已知/(x)在區(qū)間［a,6］上可積，則［，/(xg=.【答案】/(%)【考點】定積分的性質。【解析】解：總］：f(x)dx=f(x)考點2：定積分的幾何意義(1)設/(x)>0,則［的值等于/(x),x=a,x=b,x軸所圍成曲邊梯形的面積.(2)設/(x)<0,則］的值等于/(x),x=a,x=6,x軸所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù).(3)設/(x)有正有負，則「/(xg的值等于/(x),x=a,x=6,x軸所圍成圖形位于X軸上方面積與位于X軸下方面積之差..利用定積分的幾何意義求定積分：JJx|iZr； (2)￡yja2—x2dx(a>0)；【答案】(1)3(2)【考點】定積分的幾何意義?！窘馕觥拷猓和ㄟ^畫圖計算面積即可?？键c3：定積分存在的充分條件1.下列說法正確的是( )4若/(x)在［a,可連續(xù)，則J/卜)公一定存在；8.若/(x)在［a,可可導，則J：/(x)a!x不一定存在：C若，/(x)公存在,則/(x)在［a,句上一定連續(xù)：。.若J：/(x)去存在，則〃x)在［a,句上一定可導.【答案】A【考點】定積分的性質?！窘馕觥拷猓汉瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，則定積分一定是存在的?？键c4：定積分的性質設/(x),g(x)可積,定積分具有以下主要性質：性質1J［/(x)±g(x)］dx=jf(x)t/x±jg.即函數(shù)線性運算的定積分等于它們的定積分的線性運算.同時,這個性質也適用于有限多個函數(shù)線性運算的情形.性質2］如⑴公=4：/(x)公.(左為常數(shù)).即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號前面.性質3無論a,b,c三點的相對位置如何，恒有，J/(x)ctc=Jf(x)ctc+jf(x)dx.這表明定積分具有區(qū)間可加性.1.求定積分J］k|五【答案】見解析【考點】定積分的性質?！窘馕觥吭?0(一力公+＜［＞公=一二-1+二|；=，+2=【答案】見解析【考點】定積分的性質。【解析】原式=|V2cos2xdx=>/2j|cosx|i/x=y/2j^cosxcfx+(-COSX)(/x=V2sinx卜一sinx1)=應(1_0_0+1)=2?性質4若在區(qū)間［a,b］上，/(x)NO,貝公NO.推論1若在區(qū)間［a,b］上,/(x)<g(x),則J"g(x)rfx.推論2Jf^x^dx<j|/(x)|6/x.考點5：變限積分設函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,“上連續(xù),并且設x為［a,6］上的一點，定積分［/(/)力的上限x在區(qū)間［a,切上任意變動，則對于每一個取定的X,定積分都有一個相應的積分值與之對應.因此在［a,“上定義了?個函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù)，記作①a)如果/(x)為［a,句上的連續(xù)函數(shù)，0(X),°2(x)為可導函數(shù)，則：:;/3dt=f[(p2(x)](p；(x)-/ (x)]0'(x).[(1-cosz)dr1.求極限lim業(yè)—— X【答案】見解析【考點】變上限積分函數(shù)求導?！窘馕觥看藰O限是“9”型的未定式，利用洛必達法則和變上限積分函數(shù)J。(J。(1-cos/)d/ 丫1-cosx1.2 1 -11m-———-=lim ：—=lim =—3x~ ?103x6考點6：定積分的計算.牛頓-萊布尼茨公式設函數(shù)/(x)在句上連續(xù),尸(x)為〃x)在［a,可上的一個原函數(shù),則|V(x)c/x=F(x)|*=F(b)-F(i7)..換元積分法如果/(x)為［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，x=夕(。滿足下列條件：(1)(p(a)=a,(p(0)=b;⑵x=e(f)在［a,切(或［￡,a］)有連續(xù)導數(shù)，e⑴的值域［,c［a,Z＞］,則.分部積分法.計算定積分J：

【考點】定積分的計算?！窘馕觥拷?.求「產2dxJoJ2x+122【答案】—3【考點】定積分的計算?！窘馕觥拷猓毫頙2x+1=/,x=—(/2—1),d!x=tdt,x=0,/=l,x=4,/=3,則原定積分1 20舄公=f"Id=f62+汐=(￥+1，)I：,279、/3、26,22=( 1—)—(—I—)= F3=—.考點7：偶函數(shù)與奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分設函數(shù)/(x)在［-a,a］上連續(xù)，則0J(x)為奇函數(shù)；2j"(x“xJ(x)為偶函數(shù)1.jxye^dx=【答案】【考點】定積分的計算。【解析】de【考點】定積分的計算。【解析】de兇為奇函數(shù)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分為0.第三節(jié)廣義積分和定積分應用考點1:廣義積分的概念和計算[f(x)dx=lim[f(x)tZr;Jo b—yJa[f{x)dx=lim[f(x)dx;J-00 q->yjq,0 jf(x)dx=Jf(x)dx+J。f(x)dx..求]xe~Adx.【答案】I【考點】廣義積分的計算?！窘馕觥吭?limCxe~'dx=--lim\be~xd(-x2)=--lim(e-62-11=—.考點2：定積分的應用求面積：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,“上的定積分的數(shù)值等于由函數(shù)y=/(x),x=a,x=6和x軸所圍成的平面區(qū)域O的面積的代數(shù)和?求旋轉體體積：.由連續(xù)曲線y=/(x)與直線x=a,x=b(a<6)和x軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為匕=7T^f2(X)dx..由連續(xù)曲線x=/(y)與直線^=。/="(。<1)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為Vv=兀['g2{yyly.1.求由曲線y=》2與y=2x--所圍圖形的面積.

【答案】-3【考點】定積分的應用?！窘馕觥拷?先畫出所圍的圖形(如下圖所示)由方程組，y=x. 1 .,、由方程組，2，得兩條曲線的交點為：0(0,0),力(1,1),取X為y=2x-x2積分變量，xe[O,l].由公式得:-x2)dx=[x2-|x3]o=1.2 22求橢圓/+本=1所圍成的圖形的面積?4 ,【答案】-7vab2.3【考點】定積分的應用。【解析】解:。繞x軸旋轉時，旋轉體可以看作是上半橢圓歹=：=4xW。)與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周所成的.2 2因此，橢圓與+方=1所圍成的圖形繞X軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為:V.第四章多元函數(shù)微分學考點1:多元函數(shù)的定義域、解析式二元函數(shù)z=/(x,y)的圖形為空間的一張曲面，二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域D就是該空間曲面在xOy平面上投影區(qū)域..求函數(shù)z=ln(y-x)+j 的定義域.【答案】{z|^>x>0,x2+/<4)【考點】多元函數(shù)的定義域?！窘馕觥亢瘮?shù)的定義域即為使得函數(shù)有意義，所以函數(shù)的定義域為:{z|j>x>O,x2+j/2<4}..設/(x+y,初)=苫2+3盯+/+5,求/(x,y).【答案】f(x,y)=x2+y+5.【考點】多元函數(shù)求解析式?！窘馕觥拷猓?(x+y,xv)=x2+3xr+^2+5=(x+^)2+ay+5/(m,v)=m2+v+5,f(x,y)=x2+y+5.考點2：多元函數(shù)的極限limf(x,力=4或岬1f(x,y)=AXTX0 (x,y)T(Xo/0)r%方法：轉化成一元函數(shù)求極限。X21.討論lim1.討論limy—>a1+— .(4H0常數(shù))xy)3.全微分dz=—dx+—dydxdy1.求函數(shù)Z=fy+2中3的偏導數(shù)更和它.oxdy【答案】見解析?！究键c】多元函數(shù)求偏導。TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：—=2xy+2y3,—=x2+4xy2.

dx dy考點4：復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)微分法一鏈式法則1.設函數(shù)z=/(〃#),u=w(x,y),v=v(x,y).dz dzdu dzdv dz dzdu dzdv—= 1 ；—= 1 dx dudx dvdx dy dudy dvdy2.設有連續(xù)的一階偏導數(shù)，函數(shù)〃=〃(x),y=y(x)，則du_dfdu^dfdvdxdudxdvdx考點5：隱函數(shù)的求導隱函數(shù)微分法設函數(shù)尸(x,y)=O確定y=/(x),則祟=-奈.設函數(shù)b(x,y,z)確定z=f(x,y\則叫=—亳,=一￡X 71.設二元函數(shù)z=z(x,y)是由方程士-ln￡=O所確定的隱函數(shù)，求z ydzd2zdx,dx2【答案】見解析?！究键c】復合函數(shù)的導數(shù)?！窘馕觥拷猓毫頕(x,^,z)=--ln-,F^(x,y,z)=-,F.'(x,y,z)=-zy z zzz當工'(x,y,z)wO,即zwO時，由生=一二=—兩邊同時對x求偏導dxF；x+z數(shù)，并注意到z=z(x,y)為的二元函數(shù)，…卻十:)O__jdx2 (x+z)2 (x+z)3第五章二重積分考點1:二重積分的幾何意義'性質幾何意義：二重積分是一個數(shù)值，當〃x,y)NO時，其數(shù)值等于以區(qū)域。為底，以曲面z=/(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積；當/(x,y)WO時，其數(shù)值等于前述曲頂柱體體積的相反數(shù).性質：性質1(線性性)JJ[占/(xj)土eg(x,y)]d<r=%JJ/(x,y)do■土質JJg(x,y)dcr.(4為常數(shù)).D D D性質2(區(qū)域可加性)如果區(qū)域且。與。2無公共內部交點，則JJ/(x,y)dcr=0f(x,y)da+jjf(x,y)da.性質3(保號性)在區(qū)域。上，若〃x,y)20,則fjf(x,y)da<Jjg(x,y)da.D D性質4(保序性)在區(qū)域。上，若〃x,y)4g(xj),則Jff(x,y)da<jjg(x,^)dcr.D D性質5(積分絕對值不等式)在區(qū)域性質5(積分絕對值不等式)在區(qū)域。上,f(x,y)d<T性質6(二重積分估值定理)設M、”分別是函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域。上的最大值和最小值，。為。的面積，則m(y4JJ/(x,y)d(r4A/cr.O 38性質7（二重積分中值定理）設函數(shù)/（x,y）在閉區(qū)域。上連續(xù)，b為。的面積，則在區(qū)域。上至少存在一點（乙〃），使下式成立y（x,y）db=/（M〃）cr.性質8（二重積分的奇偶對稱性）類似于一元函數(shù)的積分區(qū)間具有對稱性，二重積分的積分區(qū)域也有對稱性，這里我們介紹二重積分的奇偶對稱性.1.設區(qū)域。為44,則二重積分Jj2dcr=.【答案】8萬.【考點】二重積分的幾何意義?！窘馕觥拷猓簣A的面積為，被積函數(shù)為2,二重積分的數(shù)值等于圓的面積的2倍即24?2?=8乃.考點2：直角坐標系下的二重積分1.直角坐標系計算二重積分直角坐標系下的面積元素db=dxdy,即=f（x,y）dxdyD D①先y后x（X型）y小 y個 1 1— ?Oabx Oabx積分區(qū)域?？杀頌椋篴<x<bt工0（x）且/（蒼歹）在區(qū)域。上的二重積分存在，則有廣東專插本考點匯編積分區(qū)域?？杀頌椋翰?。）且/（工,歹）在區(qū)域0上的二重積分存在，則有JJ/(x,y)廣東專插本考點匯編積分區(qū)域。可表為：材2。）且/（工,歹）在區(qū)域0上的二重積分存在，則有JJ/(x,y)公4=J：力J：：：f(x,y)dxrrX21.設。是由直線x=2,y=x及中=1所圍成的平面區(qū)域，求］J二心力.dy【解析】解：積分區(qū)域如圖所示，聯(lián)立x=2,y=x及中=1所解得交點①畫出積分區(qū)域，判斷區(qū)域類型;②確定積分次序，把二重積分轉化為二次積分;40公力=J：成卻（不力力.②先X后y（y型）9【答案】-4【考點】直角坐標系下計算二重積分。坐標即力（1,1）,42,；）,C（2,2）所以JJJdxdy=^dx^^dy=j(_工+/故-—dy1xy1 4【總結】在直角坐標系下，一般地，二重積分的計算步驟:③計算兩次定積分，得出結果.2.極坐標系下計算二重積分根據(jù)直角坐標系中D的三種情形:(1)若極點。在區(qū)域。'之外，且。'由射線6?=a,6=/和兩條連續(xù)曲線r=q(e),r=G(。)圍成.如下圖所示,則。={(r,0)\a<0<p,ri(0)<r<弓但)},二重積分轉化為：jj/(rcos0,rsin0)rdrd0=］?？啥?(7-cos0,rs\n6>dr(2)若q(6)=0即極點。在區(qū)域。'的邊界上，且。'由射線e=a,e=。和連續(xù)曲線r=r(6)所圍成，如下圖所示,則D'={(r,0)la<e<p,Q<r<r(，)},二重積分轉化為：jjf(rcos6,rsin6)rdrd0=J'"jj：f(rcos6,rsin0>drD' °(3)若極點O在區(qū)域。'之內，且。'的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=^(^)(0<0<2/r),如下圖所示，則D'={(r,6>)|0<0<2tt,0<r<?。)}，二重積分轉化為:||/(rcos0,rsin0)rd/W0=J。可：(rcos0,rsin0>drD'22.計算JJ與辦Uy,其中。是由曲線所圍成的平面區(qū)域.DX【答案】71.【考點】極坐標系下計算二重積分?！窘馕觥拷猓悍e分區(qū)域。如圖所示,積分區(qū)域。是以點（1,0）為圓心，以1為半徑的圓域，如圖.其邊界曲線的極坐標方程為r=2cos?.于是區(qū)域。的積分限為—生W64工，0工廠W2cosO.所以2 22cosdsin20cos20=n(14-cos26?)t/0=i.【總結】在極坐標系下，一般地，二重積分的計算步驟:①畫出直角坐標系積分區(qū)域，轉換成極坐標系積分區(qū)域;42②確定積分變量的上下限，把二重積分轉化為二次積分；③計算兩次定積分，得出結果.第六章常微分方程考點1:可分離變量方程形如了=@=/（x）g（y）,可轉化為上方=/（X”X兩邊同時積分得dx g（刃f—又力=f/（x\/x+C,得出通解.考點2：齊次微分方程形如蟲二夕（"?］可令〃=—,y=ux,—=u+x—,代入方程中“+X”=如）從而有個=生,兩邊積分，得］弋=隹,dx （p\u）—ux J（p\u）-uJx求出積分后，再用上代替“，得到齊次方程通解.+C,得出通解.考點3：一階線性方程形如也+P（x）y=Q（x）通解為:1.求方程盯'+y=cosx的通解.【答案】y=-(sinx+C)【考點】求解一階線性方程。cosX【解析】解：方程可轉化為了+—y=絲一，這是一階微分方程，于是原

方程的通解為：y=方程的通解為：y=e^'cosx