(北京專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例課件理

第三節(jié)平面向量的數(shù)量(shùliàng)積與平面向量應(yīng)用舉例第一頁，共35頁。第三節(jié)平面向量的數(shù)量(shùliàng)積與平面向量應(yīng)用舉總綱(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀1.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積考點(diǎn)突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題第二頁，共35頁?？偩V(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀1.平教材(jiàocái)研讀1.平面向量的數(shù)量積(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a,b,過O點(diǎn)作?=a,?=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做(jiàozuò)向量a與b的夾角.當(dāng)①

θ=90°

時(shí),a與b垂直,記作a⊥b;當(dāng)②

θ=0°

時(shí),a與b同向;當(dāng)③

θ=180°

時(shí),a與b反向.第三頁，共35頁。教材(jiàocái)研讀1.平面向量的數(shù)量積第三頁，共35(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則把數(shù)量|a|·|b|·cosθ叫做(jiàozuò)a和b

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b=④|a|·|b|·cosθ

.(3)規(guī)定0·a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)θ是a與b的夾角,則|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做b在a

的方向上的投影.一個向量在另一個向量方向上的投影是一個實(shí)數(shù),而

不是向量.(5)a·b的幾何意義a·b等于a的長度(chángdù)|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.第四頁，共35頁。(2)a與b的數(shù)量積(4)一個向量在另一個向量方向上的投影第2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,則(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b?⑤

a·b=0

.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|.當(dāng)a與b反向(fǎnxiànɡ)時(shí),a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2.(4)cosθ=⑥

?

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.第五頁，共35頁。2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)第五頁，共35頁。3.向量(xiàngliàng)的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.第六頁，共35頁。3.向量(xiàngliàng)的數(shù)量積的運(yùn)算律第六頁，共34.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=⑦

x1x2+y1y2

.(2)若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑧

?

.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|?|=⑨

?

,這就是平面(píngmiàn)內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則a⊥b?⑩

x1x2+y1y2=0

.第七頁，共35頁。4.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示第七頁，共1.(2017北京東城一模,5)已知向量(xiàngliàng)a,b滿足2a+b=0,a·b=-2,則(3a+b)·(a-b)=

?()A.1

B.3

C.4

D.5B答案(dáàn)

B∵2a+b=0,∴a與b的夾角為π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.第八頁，共35頁。1.(2017北京東城一模,5)已知向量(xiàngliàn2.已知向量(xiàngliàng)a與向量(xiàngliàng)b的夾角為60°,|a|=|b|=1,則|a-b|=?()A.3

B.?

C.2-?

D.1D答案(dáàn)

D|a-b|2=a2-2a·b+b2=2-2×1×1×cos60°=1,∴|a-b|=1,故選D.第九頁，共35頁。2.已知向量(xiàngliàng)a與向量(xiàngli3.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m

·n<0”的?()A.充分而不必要條件(bìyàotiáojiàn)

B.必要而不充分條件C.充分必要條件(bìyàotiáojiàn)

D.既不充分也不必要條件(bìyàotiáojiàn)A答案

A由存在負(fù)數(shù)λ,使得(shǐde)m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,

則m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故

必要性不成立.故選A.第十頁，共35頁。3.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)4.已知等邊△ABC的邊長為3,D是BC邊上(biānshànɡ)一點(diǎn),若BD=1,則?·?的值是6

.答案(dáàn)6解析(jiěxī)由題意知?·?=?·(?+?)=?+?·?=9+3×2×cos?π=6.第十一頁，共35頁。4.已知等邊△ABC的邊長為3,D是BC邊上(biānsh5.在平面向量(xiàngliàng)a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果a·b=5,那么y=1

;如果|a+

b|=|a-b|,那么y=-?

.答案(dáàn)1;-?解析(jiěxī)因?yàn)閍·b=1×2+3y=5,所以y=1.因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,即1×2+3y=0,所以y=-?.第十二頁，共35頁。5.在平面向量(xiàngliàng)a,b中,已知a=(16.(2017北京(běijīnɡ)海淀期中)已知正方形ABCD的邊長為1,E是線段CD的中點(diǎn),

則?·?=

?

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)由題意可得?·?=0,AD=AB=1,∴?·?=?·(?-?)=?-??·?-?=1-0-?=?.第十三頁，共35頁。6.(2017北京(běijīnɡ)海淀期中)已知正方形A考點(diǎn)一平面(píngmiàn)向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)(kǎodiǎn)突破典例1(1)(2017北京(běijīnɡ)石景山一模,7)如圖,在矩形ABCD中,AB=?,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若?·?=?,則?·?的值是?()

A.2-?

B.1

C.?

D.2(2)(2017北京(běijīnɡ)海淀二模,13)在四邊形ABCD中,AB=2.若?=?(?+?),則?·?=2

.C第十四頁，共35頁。考點(diǎn)一平面(píngmiàn)向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)(kǎo答案(dáàn)(1)C(2)2解析(1)解法一:以A為原點(diǎn),AB所在(suǒzài)直線為x軸,AD所在(suǒzài)直線為y軸建立

平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(?,0),E(?,1),設(shè)F(x,2),則?=(x,2),又?=(?,0),∴?·?=?x=?,∴x=1,∴F(1,2),易知?=(?,1),?=(1-?,2),∴?·?=?×(1-?)+2=?.解法二:∵?·?=|?||?|cos∠BAF=?,|?|=?,∴|?|cos∠BAF=1,即|?|=1,∴|?|=?-1,∴?·?=(?+?)·(?+?)=?·?+?·?+?·?+?·?=?·?+?·?第十五頁，共35頁。答案(dáàn)(1)C(2)2解析(1)解法一:以=?×(?-1)×(-1)+1×2×1=?.(2)由題意(tíyì)可知?·?=?·(?+?)=?·?=?·?=??·?=?|?|2=2.第十六頁，共35頁。=?×(?-1)×(-1)+1×2×1第十六頁，共35頁。方法技巧向量(xiàngliàng)數(shù)量積的兩種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量(xiàngliàng)的模和夾角θ時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)當(dāng)已知向量(xiàngliàng)的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b

=x1x2+y1y2.第十七頁，共35頁。方法技巧第十七頁，共35頁。1-1

(2018北京朝陽高三期中,6)如圖,在直角(zhíjiǎo)梯形ABCD中,AB∥CD,AD

⊥DC,E是CD的中點(diǎn),DC=1,AB=2,則?·?=?()A.?

B.-?

C.1

D.-1

答案(dáàn)

D∵AB∥CD,AD⊥DC,∴AD⊥AB,∴?·?=0,∴?·?=(?+?)·?=?·?=-?×2=-1,故選D.D第十八頁，共35頁。1-1

(2018北京朝陽高三期中,6)如圖,在直角(典例2

平面向量a與b的夾角是?,且|a|=1,|b|=2,如果(rúguǒ)?=a+b,?=a-3b,D是BC的中點(diǎn),那么|?|=()A.?

B.2?

C.3

D.6考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題(mìngtí)方向一模的問題A第十九頁，共35頁。典例2

平面向量a與b的夾角是?,且|a|=1,|b|答案(dáàn)

A解析因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以(suǒyǐ)?=?(?+?).又因?yàn)?=a+b,?=a-3b,所以(suǒyǐ)?=a-b,所以(suǒyǐ)|?|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=12+22-2×1×2×cos?=5-2=3.因此|?|=?.故選A.第二十頁，共35頁。答案(dáàn)

A解析因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以(典例3已知非零向量(xiàngliàng)m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=?,若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為?()A.4

B.-4C.?

D.-?命題方向二垂直(chuízhí)問題B第二十一頁，共35頁。典例3已知非零向量(xiàngliàng)m,n滿足4|m答案(dáàn)

B解析(jiěxī)∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+|n|2=0,∴t|m||n|cos<m,n>+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos<m,n>=?,∴t×?|n|2×?+|n|2=0,∵n為非零向量,∴?t+1=0,解得t=-4.第二十二頁，共35頁。答案(dáàn)

B解析(jiěxī)∵n⊥(t典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b滿足(mǎnzú)a·(a+b)=0,2|a|=|b|,

則向量a,b的夾角為

.(2)已知向量a,b滿足(mǎnzú)(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為

.命題(mìngtí)方向三夾角問題第二十三頁，共35頁。典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b答案(dáàn)(1)?(2)?解析(jiěxī)(1)設(shè)a與b的夾角為θ,因?yàn)閍·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0?|a|·|a|+|a|·|b|

cosθ=0,又因?yàn)?|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,所以1+2cosθ=0,所以cosθ=-?,從而θ=?.(2)由(a+2b)·(a-b)=-6,得a2-2b2+a·b=-6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b=1,設(shè)向量(xiàngliàng)a與b

的夾角為θ,則cosθ=?=?,又0≤θ≤π,故θ=?.第二十四頁，共35頁。答案(dáàn)(1)?(2)?解析(jiěxī)方法(fāngfǎ)技巧平面向量數(shù)量積的應(yīng)用類型及求解策略(1)求兩向量的夾角:cosθ=?,要注意θ∈[0,π].(2)兩向量垂直的應(yīng)用:a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法(fāngfǎ)有①a2=a·a=|a|2或|a|=?.②|a±b|=?=?.③若a=(x,y),則|a|=?.第二十五頁，共35頁。方法(fāngfǎ)技巧第二十五頁，共35頁。2-1

(2014北京,10,5分)已知向量(xiàngliàng)a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),

則|λ|=

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=?,∴|λ|=?.第二十六頁，共35頁。2-1

(2014北京,10,5分)已知向量(xiàn2-2已知平面向量a,b滿足(mǎnzú)a=(1,-1),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,∴|a|=|b|.又∵a=(1,-1),∴|b|=|a|=?=?.第二十七頁，共35頁。2-2已知平面向量a,b滿足(mǎnzú)a=(1,-1)典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈

R,函數(shù)f(x)=a·(b-c).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減(dìjiǎn)區(qū)間;(2)若f?=?,求sinα的值.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)的綜合問題第二十八頁，共35頁。典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(s解析(1)因?yàn)?yīnwèi)b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),則f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=?sin?.當(dāng)2kπ+?≤2x-?≤2kπ+?,k∈Z,即kπ+?≤x≤kπ+?,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是?,k∈Z.第二十九頁，共35頁。解析(1)因?yàn)?yīnwèi)b=(sinx,-cos(2)由(1)知f(x)=?sin?,因?yàn)?yīnwèi)f?=?,所以?sin?=?,所以sin?=?.又sin2?+cos2?=1,所以cos?=±?.又sinα=sin?=sin?cos?+cos?sin?.所以當(dāng)cos?=?時(shí),sinα=?×?+?×?=?;第三十頁，共35頁。(2)由(1)知f(x)=?sin?,第三十頁，共35頁。當(dāng)cos

=-

時(shí),sinα=

×

+

×

=

.綜上,sinα的值為

或

.第三十一頁，共35頁。當(dāng)cos?=-?時(shí),第三十一頁，共35頁。方法技巧求解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的一般思路(1)求三角函數(shù)值,一般利用向量的相關(guān)運(yùn)算得出三角函數(shù)關(guān)系式.利用

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及三角函數(shù)中的常用公式求解.(2)求角時(shí)通常將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,先求三角函數(shù)值再求

角.(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題所用的主要思想(sīxiǎng)方法是轉(zhuǎn)化與化歸

的數(shù)學(xué)思想(sīxiǎng),即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.第三十二頁，共35頁。方法技巧第三十二頁，共35頁。3-1已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量(xiàngliàng)m=(a,b),

n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)若m⊥p,邊長c=2,角C=?,求△ABC的面積.第三十三頁，共35頁。3-1已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,解析(jiěxī)(1)證明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·?=b·?,其中R是△ABC外接圓的半徑,∴a=b.∴△ABC為等腰三角形.(2)由題意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去),∴△ABC的面積(miànjī)S=?absinC=?×4×sin?=?.第三十四頁，共35頁。解析(jiěxī)(1)證明:∵m∥n,∴asinA=即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去),∴△ABC的面積(miànjī)S=?absinC=?×4×sin?=?.第三十五頁，共35頁。即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去),第三節(jié)平面向量的數(shù)量(shùliàng)積與平面向量應(yīng)用舉例第一頁，共35頁。第三節(jié)平面向量的數(shù)量(shùliàng)積與平面向量應(yīng)用舉總綱(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀1.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積考點(diǎn)突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題第二頁，共35頁?？偩V(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀1.平教材(jiàocái)研讀1.平面向量的數(shù)量積(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a,b,過O點(diǎn)作?=a,?=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做(jiàozuò)向量a與b的夾角.當(dāng)①

θ=90°

時(shí),a與b垂直,記作a⊥b;當(dāng)②

θ=0°

時(shí),a與b同向;當(dāng)③

θ=180°

時(shí),a與b反向.第三頁，共35頁。教材(jiàocái)研讀1.平面向量的數(shù)量積第三頁，共35(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則把數(shù)量|a|·|b|·cosθ叫做(jiàozuò)a和b

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b=④|a|·|b|·cosθ

.(3)規(guī)定0·a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)θ是a與b的夾角,則|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做b在a

的方向上的投影.一個向量在另一個向量方向上的投影是一個實(shí)數(shù),而

不是向量.(5)a·b的幾何意義a·b等于a的長度(chángdù)|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.第四頁，共35頁。(2)a與b的數(shù)量積(4)一個向量在另一個向量方向上的投影第2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,則(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b?⑤

a·b=0

.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|.當(dāng)a與b反向(fǎnxiànɡ)時(shí),a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2.(4)cosθ=⑥

?

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.第五頁，共35頁。2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)第五頁，共35頁。3.向量(xiàngliàng)的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.第六頁，共35頁。3.向量(xiàngliàng)的數(shù)量積的運(yùn)算律第六頁，共34.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=⑦

x1x2+y1y2

.(2)若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑧

?

.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|?|=⑨

?

,這就是平面(píngmiàn)內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則a⊥b?⑩

x1x2+y1y2=0

.第七頁，共35頁。4.平面(píngmiàn)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示第七頁，共1.(2017北京東城一模,5)已知向量(xiàngliàng)a,b滿足2a+b=0,a·b=-2,則(3a+b)·(a-b)=

?()A.1

B.3

C.4

D.5B答案(dáàn)

B∵2a+b=0,∴a與b的夾角為π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.第八頁，共35頁。1.(2017北京東城一模,5)已知向量(xiàngliàn2.已知向量(xiàngliàng)a與向量(xiàngliàng)b的夾角為60°,|a|=|b|=1,則|a-b|=?()A.3

B.?

C.2-?

D.1D答案(dáàn)

D|a-b|2=a2-2a·b+b2=2-2×1×1×cos60°=1,∴|a-b|=1,故選D.第九頁，共35頁。2.已知向量(xiàngliàng)a與向量(xiàngli3.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m

·n<0”的?()A.充分而不必要條件(bìyàotiáojiàn)

B.必要而不充分條件C.充分必要條件(bìyàotiáojiàn)

D.既不充分也不必要條件(bìyàotiáojiàn)A答案

A由存在負(fù)數(shù)λ,使得(shǐde)m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,

則m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故

必要性不成立.故選A.第十頁，共35頁。3.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)4.已知等邊△ABC的邊長為3,D是BC邊上(biānshànɡ)一點(diǎn),若BD=1,則?·?的值是6

.答案(dáàn)6解析(jiěxī)由題意知?·?=?·(?+?)=?+?·?=9+3×2×cos?π=6.第十一頁，共35頁。4.已知等邊△ABC的邊長為3,D是BC邊上(biānsh5.在平面向量(xiàngliàng)a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果a·b=5,那么y=1

;如果|a+

b|=|a-b|,那么y=-?

.答案(dáàn)1;-?解析(jiěxī)因?yàn)閍·b=1×2+3y=5,所以y=1.因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,即1×2+3y=0,所以y=-?.第十二頁，共35頁。5.在平面向量(xiàngliàng)a,b中,已知a=(16.(2017北京(běijīnɡ)海淀期中)已知正方形ABCD的邊長為1,E是線段CD的中點(diǎn),

則?·?=

?

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)由題意可得?·?=0,AD=AB=1,∴?·?=?·(?-?)=?-??·?-?=1-0-?=?.第十三頁，共35頁。6.(2017北京(běijīnɡ)海淀期中)已知正方形A考點(diǎn)一平面(píngmiàn)向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)(kǎodiǎn)突破典例1(1)(2017北京(běijīnɡ)石景山一模,7)如圖,在矩形ABCD中,AB=?,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若?·?=?,則?·?的值是?()

A.2-?

B.1

C.?

D.2(2)(2017北京(běijīnɡ)海淀二模,13)在四邊形ABCD中,AB=2.若?=?(?+?),則?·?=2

.C第十四頁，共35頁。考點(diǎn)一平面(píngmiàn)向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)(kǎo答案(dáàn)(1)C(2)2解析(1)解法一:以A為原點(diǎn),AB所在(suǒzài)直線為x軸,AD所在(suǒzài)直線為y軸建立

平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(?,0),E(?,1),設(shè)F(x,2),則?=(x,2),又?=(?,0),∴?·?=?x=?,∴x=1,∴F(1,2),易知?=(?,1),?=(1-?,2),∴?·?=?×(1-?)+2=?.解法二:∵?·?=|?||?|cos∠BAF=?,|?|=?,∴|?|cos∠BAF=1,即|?|=1,∴|?|=?-1,∴?·?=(?+?)·(?+?)=?·?+?·?+?·?+?·?=?·?+?·?第十五頁，共35頁。答案(dáàn)(1)C(2)2解析(1)解法一:以=?×(?-1)×(-1)+1×2×1=?.(2)由題意(tíyì)可知?·?=?·(?+?)=?·?=?·?=??·?=?|?|2=2.第十六頁，共35頁。=?×(?-1)×(-1)+1×2×1第十六頁，共35頁。方法技巧向量(xiàngliàng)數(shù)量積的兩種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量(xiàngliàng)的模和夾角θ時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)當(dāng)已知向量(xiàngliàng)的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b

=x1x2+y1y2.第十七頁，共35頁。方法技巧第十七頁，共35頁。1-1

(2018北京朝陽高三期中,6)如圖,在直角(zhíjiǎo)梯形ABCD中,AB∥CD,AD

⊥DC,E是CD的中點(diǎn),DC=1,AB=2,則?·?=?()A.?

B.-?

C.1

D.-1

答案(dáàn)

D∵AB∥CD,AD⊥DC,∴AD⊥AB,∴?·?=0,∴?·?=(?+?)·?=?·?=-?×2=-1,故選D.D第十八頁，共35頁。1-1

(2018北京朝陽高三期中,6)如圖,在直角(典例2

平面向量a與b的夾角是?,且|a|=1,|b|=2,如果(rúguǒ)?=a+b,?=a-3b,D是BC的中點(diǎn),那么|?|=()A.?

B.2?

C.3

D.6考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題(mìngtí)方向一模的問題A第十九頁，共35頁。典例2

平面向量a與b的夾角是?,且|a|=1,|b|答案(dáàn)

A解析因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以(suǒyǐ)?=?(?+?).又因?yàn)?=a+b,?=a-3b,所以(suǒyǐ)?=a-b,所以(suǒyǐ)|?|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=12+22-2×1×2×cos?=5-2=3.因此|?|=?.故選A.第二十頁，共35頁。答案(dáàn)

A解析因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以(典例3已知非零向量(xiàngliàng)m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=?,若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為?()A.4

B.-4C.?

D.-?命題方向二垂直(chuízhí)問題B第二十一頁，共35頁。典例3已知非零向量(xiàngliàng)m,n滿足4|m答案(dáàn)

B解析(jiěxī)∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+|n|2=0,∴t|m||n|cos<m,n>+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos<m,n>=?,∴t×?|n|2×?+|n|2=0,∵n為非零向量,∴?t+1=0,解得t=-4.第二十二頁，共35頁。答案(dáàn)

B解析(jiěxī)∵n⊥(t典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b滿足(mǎnzú)a·(a+b)=0,2|a|=|b|,

則向量a,b的夾角為

.(2)已知向量a,b滿足(mǎnzú)(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為

.命題(mìngtí)方向三夾角問題第二十三頁，共35頁。典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b答案(dáàn)(1)?(2)?解析(jiěxī)(1)設(shè)a與b的夾角為θ,因?yàn)閍·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0?|a|·|a|+|a|·|b|

cosθ=0,又因?yàn)?|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,所以1+2cosθ=0,所以cosθ=-?,從而θ=?.(2)由(a+2b)·(a-b)=-6,得a2-2b2+a·b=-6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b=1,設(shè)向量(xiàngliàng)a與b

的夾角為θ,則cosθ=?=?,又0≤θ≤π,故θ=?.第二十四頁，共35頁。答案(dáàn)(1)?(2)?解析(jiěxī)方法(fāngfǎ)技巧平面向量數(shù)量積的應(yīng)用類型及求解策略(1)求兩向量的夾角:cosθ=?,要注意θ∈[0,π].(2)兩向量垂直的應(yīng)用:a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法(fāngfǎ)有①a2=a·a=|a|2或|a|=?.②|a±b|=?=?.③若a=(x,y),則|a|=?.第二十五頁，共35頁。方法(fāngfǎ)技巧第二十五頁，共35頁。2-1

(2014北京,10,5分)已知向量(xiàngliàng)a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),

則|λ|=

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=?,∴|λ|=?.第二十六頁，共35頁。2-1

(2014北京,10,5分)已知向量(xiàn2-2已知平面向量a,b滿足(mǎnzú)a=(1,-1),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=

.答案(dáàn)

?解析(jiěxī)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,∴|a|=|b|.又∵a=(1,-1),∴|b|=|a|=?=?.第二十七頁，共35頁。2-2已知平面向量a,b滿足(mǎnzú)a=(1,-1)典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈

R,函數(shù)f(x)=a·(b-c).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減(dìjiǎn)區(qū)間;(2)若f?=?