2023年人教版高考數(shù)學總復習第一部分考點指導第八章立體幾何第三節(jié)空間直線、平面的平行

第三節(jié)空間直線、平面的平行【考試要求】.會利用直線、平面平行的判定與性質定理解決問題..會利用面面平行的判定與性質定理解決問題.【高考考情】考點考法：高考命題經(jīng)常是以簡單幾何體作為載體，以解答題形式呈現(xiàn)是主要命題方式，通過對圖形或幾何體的認識，考查線面平行、面面平行的判定與性質.考查轉化思想、空間想象能力、邏輯思維能力及運算能力.核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象。 =_、如福赫理?恩傕?落,__ o歸納?知識必備1.直線與平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形a / 7b //a //plL. //—/卜/Ib/條件-Ga=0aua,反a,且a〃6allaa〃a,au￡,aC￡=b結論a〃ab//a-Ga=0allb2.平面與平面平行的判定與性質”判定性質定義定理圖形口4%/口r_7一條件aC￡=0auB,Ou￡,aCb=P,aa〃￡,aDy—a,a〃￡,auB〃a,6〃aBGy=b結論a〃Ba〃￡a//ba//a注解1如果兩個面平行，那么分別在兩個平面內的直線平行或異面.智學?變式探源1.必修二P142練習必 2.必修二P141例51.（改變題型）下列命題中正確的是（）A.若a,6是兩條直線，且a〃兒那么a平行于經(jīng)過6的任何平面B.若直線a和平面。滿足a〃。，那么a與。內的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個平面平行D.若直線a,6和平面a滿足a〃6,a//a,ma,則6〃a【解析】選D.A中，a可以在過6的平面內，錯誤；B中，a與。內的直線可能異面，錯誤；C中，兩平面可能相交，錯誤；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b//a,正確.2.（改變圖形）如圖，平面?！ㄆ矫妗?4C是。內不同的兩點，B,〃是￡內不同的兩點，E,夕分別是線段48,切的中點，則下列所有判斷正確的編號是（）①當48,徵共面時，直圾AC"BD?,②當|相|=2\CD\時，E,b兩點不可能重合；③當AB,⑦是異面直線時，直線）一定與。平行；@AC,而一定平行.A.①③B.②④C.①②D.③④【解析】選A,對于①，當AB,勿共面時，則平面力咖0平面a=AC,平面四"C平面￡=BD,因為平面?！ㄆ矫妗?所以AC〃BD,所以①正確；對于②，如圖，當月￡=2廢1時，|力引=2\CD\成立，而此時反尸兩點重合，所以②錯誤;對于③，如圖，連接力〃，取4〃的中點機連接防EM,FM,因為反6分別是線段4ACD的中點，所以EM〃BD,FM//AC,因為“施￡,￡依a,ACc:a,￡,所以EM〃8,FM//

a,因為平面a〃平面f,所以FM//B,因為EMCFM=M,所以平面EFM//￡,平面EFM//a,因為牙t平面后%所以直線砥一定與。平行，所以③正確；對于④，當AB,切是異面直線時，AC,8〃一定異面，所以④錯誤.-慧考?四基自測3.基礎知識4.基本方法5.基本應用6.基本能力3.（線面平行判定）如圖所示，已知正方體力比？45。〃中，E,￡分別是它們所在線段的中點,則滿足力小〃平面砌￡的圖形為（）③③A.①A.①B.①②C.②D.①②③【解析】選【解析】選C.①中，平移4夕至〃戶,知"與平面陰￡只有一個交點〃，則46與平面物￡不平行;②中，在正方體力比9454〃中，E,b分別是它們所在線段的中點，則易知46〃〃￡,而力尸a平面BI\E,D\Eu平面BD\E,故4F〃平面BRE；③中，同①平移46至〃/'，知〃/’與平面陰￡只有一個交點〃，則與平面劭￡不平行；

.（面面平行判定定理）如圖，在棱長為1的正方體力比D48G〃中，MN分別是AB的中點，過直線8〃的平面?！ㄆ矫婊怂膭t平面。截該正方體所得截面的面積為（ ）A.A.\[2B.~C.[5【解析】選B.如圖1,取8G的中點反G〃的中點￡連接跖，BE,DF,孫則“'〃旦〃，風隊〃BD,所以EF〃BD,故既物在同一平面內，連接於因為機￡分別為4〃，5G的中點，所以ME〃AB,且ME=AB,所以四邊形力龐財是平行四邊形，所以4M〃BE,又因為應t平面質E4M平面助陶所以4V〃平面切陽同理4V//平面的E因為4"0心仁力，所以平面4例，〃平面龍陽L1、歷 、后BD=?2,EF=-8〃=毛-,DF=BE=^r,等腰梯形被叨如圖2,乙 乙 乙圖1圖1過其尸作劭的垂線，垂足分別為〃，G,則四邊形加笫為矩形，所以FG=y/DFi—DG' | ，故所得截面的面積為:X停+詞X乎=|..（面面平行的性質定理）如圖所示，尸是三角形4%所在平面外一點，平面?！ㄆ矫?44。分別交線段為，陽產(chǎn)。于力'，9"'，若用'：AA'=2：3,則以“‘：五.等于（ ）A.2：25B.4：25C.2：5D.4：5【解析】選B.平面?！ㄆ矫?6C,平面R歸與它們的交線分別為，8',A8,所以A8〃A，B',（川\（pa，\ 4同理6'C//BC,易得△/B'C,Sx…：2=t-^rJ2=25-.（探究平行關系）如圖，直三棱柱4跖力’B'C中，△46。為邊長為2的等邊三角形，A4'=4,點區(qū)F,G,從”分別是邊A4',AB,BB',A'B',比的中點，動點〃在四邊形班第內部運動，并且始終有物力平面力CTA',則動點〃的軌跡長度為（）cA.4B.273C.2nD.2【解析】選A.因為版〃/IC,所以步'〃平面〃T4'；取CB'中點M因為腑〃3',所以初V〃平面4+'A',從而平面掰%V〃平面A',即動點〃的軌跡為線段如，因此長度為4.O 一、才點/白?恰法塔工一 O“考點一平行關系命題真假判斷I自主練透.在空間中，a,b,c是三條不同的直線，。，￡是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A.若a//c,c//a,則a//aB.若aua,k6,a〃￡,則a〃6C.若a〃a,6〃￡,a〃B,刻a"bD.若?！ā?aua,則a〃￡【解析】選D.本題中的線面可以放在正方體中判斷.對于A,a可能在平面。內，故A是假命題；對于B,a,6可以平行或異面，故B是假命題；對于C,a,6可能平行、異面、相交，故C是假命題；對于D,若?！ā?aua,則^與￡沒有公共點，則a〃￡,故D是真命題..下列命題正確的是（）A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B.若一條直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行C.若一條直線與兩個相交平面都平行，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行【解析】選C.在A選項中，兩條直線可能平行也可能異面或相交；對于B選項，如圖，在正方體中,平面4期4和平面6%而與所成的角相等,但這兩個平面垂直；

對選項C,如圖，設。0￡=加，1//a,/〃￡,過/作兩個平面分別與。和￡交于直線a,b,則有/〃a,1//b,則a〃6,盡而得a〃￡,a//m,所以/〃勿.D選項中兩平面也可能相交.3.在正方體力BCD48G〃中，M,N,。分別是棱〃G，AQ,比1的中點，點P在班上且彼2=可劭，則下面說法正確的是 （填序號）.①MV〃平面加弓②G0〃平面加匕③4P,〃三點共線；④平面妙Q〃平面力四：【解析】如圖，對于①，連接的V,AC,則加〃4G連接力機CN,DiM易得他CN交于點、P,即M化平面所以掰V〃平面4個是錯誤的.對于②，由①知〃，N在平面4星內，由題易知4V>7C。，且4化平面加匕?！┢矫?氣所以。0〃平面4必是正確的.對于③，由①知，A,只V三點共線正確.對于④，由①知助仁平面如心又崢平面〃惚，所以平面明W〃平面加E是錯誤的.答案：②③，規(guī)律方法.結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷..通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確.

?考點二直線與平面平行I講練互動I[典例1](1)一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面PFED平行于棱VB和AC,則截面PFED的面積為()VAA.2B.2^/2C.2^/3D.4【解析】選〃P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面PFED平行于棱VB和AC,VB/7平面PFED,VBu平面VBA,平面VBACl平面PFED=PF,所以VB〃PF,同理可得：VB/7DE,AC〃EF,AC〃PD,所以EF〃PD,PF〃DE,所以四邊形PFED是平行四邊形，且P,F,E,D均是中點，又因為正四面體對棱互相垂直，所以VBJ_AC,所以PF_LEF,所以四邊形PFED是邊長為2的正方形，所以該四邊形面積為4.(2)(2021?深圳模擬)在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AABC是正三角形，AC與BD的交點為M,又PA=AB=4,AD=CD,點N是CD中點.①求證：MN〃平面PAD；②求三棱錐M-PBC的體積.c【解析】①因為AABC是正三角形,所以BA=BC,又因為AD=CD,所以BD所在直線為線段AC的垂直平分線，所以M為AC的中點，又點N是CD中點，所以MN/7AD,又ADc平面PAD,MN。平面PAD,所以MN〃平面PAD.②AABC是邊長為4的等邊三角形，且M是AC的中點，所以$4畋=巳X4x1X4s加60°=2^3,PA_L平面ABCD,PA=AB=4,所以V*pbc=Vp-mbc=qXSambcXPA=-X2*^3X4=，規(guī)律方法.判斷或證明線面平行的常用方法.(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a。a,bua,a〃bna〃a).(3)利用面面平行的性質(a〃B,aca=a〃B；a〃B,auB=a〃a)..用判定定理證明線面平行的步驟|自主完善，老師指導(1)作輔助直線.將直尺放在所證直線上，往所證平面內移動，同時觀察與平面內哪條直線壬任(一般是三角形的三邊或中線)，最后根據(jù)需要取點連線.(2)證線線平行.(3)證線面平行.注意不要忽略所證直線不在所證生面內.，對點訓練1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB〃CD,ZBAD=60°,AB=2,CD=4,E為PC的中點.求證：BE〃平面PAD.【證明】設F為PD的中點，連接EF,FA.因為EF為APDC的中位線，所以EF〃CD,且EF=gCD=2.又AB〃CD,AB=2,所以AB4EF,故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE〃AF.又AFc平面PAD,BEa平面PAD,所以BE〃平面PAD.2.(2021?臨汾模擬)如圖，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，0”E分別為BD,AB的中點，AiB_LBD,AA(=4,ZA,AB=60°.(1)證明：OF〃平面BBCG；(2)求四棱柱ABCD-ABCD的體積.【解析】(1)連接AC，BC.,因為Q為BD的中點，所以。為AC的中點，又E為AB的中點,所以在△ABC中，0E〃BC”而BCu平面BBCG,0網(wǎng)平面BiBCC”所以QE〃平面B.BCC,；⑵連接BD,則四邊形BBDD為平行四邊形，則BD〃BD,又AiB_LBD，所以AB_LBD,在AAiAB中，AA,=4,ZA1AB=60°,AB=2,由余弦定理可得AB=\/16+4—2X4X2xg=24所以AB?+AE=AiA2,即A,B1AB,而ABABD=B,所以AiB_L平面ABCD,則四棱柱ABCD-ABCD的體積為V=2X2X2，5=8芯.考點三平面與平面平行講練互動[典例2](金榜原創(chuàng)?易錯對對碰)(I)如圖所示，平面a〃平面B,點AWa,點CWa,點BWB,點DGB,點E,F分別在線段AB,CD上，MAE：EB=CF：FD.(1)求證：EF〃平面B；(2)若E,F分別是AB,CD的中點，AC=4,BD=6,且異面直線AC,BD所成的角為60°,求EF的長.(H)如圖所示，平面a〃平面B,點AGa,點Cea,點BGB,點DGB,直線AC,BD異面，點E,F分別在線段AB,CD±,且AE：EB=CF：FD.(1)求證：EF〃平面B；(2)若E,F分別是AB,CD的中點，AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求EF的長.【解析】(1)(1)①當AB,CD在同一平面內時，由平面a〃平面B,平面an平面ABDC=AC,平面BC平面ABDC=BD知，AC/7BD.因為AE：EB=CF：FD,所以EF〃BD.又EFCB,BDuB,所以EF〃平面B.②當AB與CD異面時，如圖所示，設平面ACDHA平面B=DH,且DH=AC,因為平面a〃平面B,平面an平面ACDH=AC,所以AC〃DH,所以四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點G,使AG：GH=CF：FD,連接EG,FG,BH.又因為AE：EB=CF：FD=AG：GH,所以GF〃HD,EG〃BH.又EGAGF=G,BHDHD=H.所以平面EFG〃平面B.又EFu平面EFG,所以EF〃平面B.綜合①②可知，EF〃平面B.(2)如圖所示，連接AD,取AD的中點M,連接ME,MF.因為E,F分別為AB,CD的中點，所以ME〃BD,MF〃AC,廣 1 1且ME=%BD=3,MF=~AC=2.所以NEMF為AC與BD所成的角或其補角,所以NEMF=60°或120°.所以在4EFM中，由余弦定理得EF=^ME2+MF2-2ME?MF?cosZEMF=^32+22±2X3X2x1川13±6，即EF=S或EF=yfl9.(H)⑴參見(I)⑴②；⑵參見(I)(2).【點撥】問題(I)與(ID的區(qū)別在于直線AC,BD是否共面.［典例3］如圖所示，在三棱柱ABC-ABG中，E,F,G,H分別是AB,AC,AB,AC的中點,求證：(1)B,C,H,G四點共面.(2)平面EFAi〃平面BCHG.【證明】(1)因為G,H分別是AB,AC的中點,所以GH是△ABG的中位線，所以GH〃BC.又因為BC〃BC,所以GH〃BC,所以B,C,H,G四點共面.(2)因為E,F分別是AB,AC的中點，所以EF/7BC.因為EF4平面BCHG,BCu平面BCHG,所以EF〃平面BCHG.因為A￡〃EB,且AG=EB,所以四邊形A.EBG是平行四邊形，所以AiE〃GB.因為AEQ平面BCHG,GBu平面BCHG,所以AF〃平面BCHG.因為AiEAEF=E,所以平面EFAi〃平面BCHG.【一題多變】在本例條件下，若D為BG的中點，求證：HD〃平面AABBi.【證明】如圖所示，連接HD,A,B.B因為D為BG的中點，H為AC的中點,所以HD〃AB又HM平面AABB”