2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第14講 設(shè)點(diǎn)設(shè)線技巧之設(shè)線技巧歸納總結(jié)（原卷版）

第14講設(shè)點(diǎn)設(shè)線技巧之設(shè)線技巧歸納總結(jié)一．解答題（共16小題）1．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是、．（1）若△為等邊三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程．2．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為8．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．3．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且為原點(diǎn)），求直線的斜率．4．已知橢圓，拋物線，點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，經(jīng)過點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)：（2）是否存在，使得四邊形的面積取得最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．已知橢圓過點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，，且線段與軸的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的離心率；（2）與直線的斜率相同的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)直線的方程．6．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，試判斷是否存在定值，使當(dāng)變化時(shí)總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率為，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足，（1）求拋物線的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)和的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，問直線是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由．10．設(shè)直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)、，與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．（1）若是正三角形為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此三角形的邊長(zhǎng)；（2）若，求直線的方程；（3）試對(duì)進(jìn)行討論，請(qǐng)你寫出符合條件的直線的條數(shù)（只需直接寫出結(jié)果）11．如圖，已知橢圓與圓在第一象限相交于點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)，都在圓上，且線段為圓的直徑．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且直線與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的最大值．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸．（1）求橢圓的方程；（2）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求直線斜率的最小值．13．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為．判斷是否為定值．若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由．14．下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對(duì)圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請(qǐng)你一起合作學(xué)習(xí)，請(qǐng)你思考后，將答案補(bǔ)充完整．（1）圓上點(diǎn)，處的切線方程為．理由如下：．（2）橢圓上一點(diǎn)，處的切線方程為；（3）是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，如圖，則直線的方程是．這是因?yàn)樵?，，，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；（4）問題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，由，得，化簡(jiǎn)得△得．若，則由這個(gè)方程可知點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為．（5）拋物線上一點(diǎn)，處的切線方程為；（6）拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點(diǎn)．則①點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；②點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，，為橢圓的左右頂點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．（1）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，在橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，則求的最大值和最小值分別是多少？（2）如圖1，若直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，若直線過左焦點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)．（4）如圖3，若，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上除，外的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率都存在，并記為為定值．（5）如圖4，若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．（6）如圖5，若過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．試探究：線段上是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由．（7）如圖6，若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的？①點(diǎn)在橢圓上；②點(diǎn)為的重心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．16．已知直線與拋物線交于，、兩點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，．如圖