行列式按行(列)展開定理課件

1§1.3

行列式按行(列)

展開定理一.按一行(列)展開行列式

二.行列式按某k行(列)展開三.小結(jié)與思考題1§1.3行列式按行(列)一.按一行(列)展開行列式2可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來(lái)計(jì)算.

問(wèn)題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n

-1階行列式來(lái)計(jì)算？

一.按一行(列)展開行列式2可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來(lái)計(jì)算.問(wèn)題3定義1.5在

n

階行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.記為稱為元素的代數(shù)余子式.例如第j列劃去后,余下的n-1階行列式叫做元素3定義1.5在n階行列式中,把元素所在的第i行和余子式4的余子式.的代數(shù)余子式.4的余子式.的代數(shù)余子式.5

注

行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.5注行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和6

引理若在n

階行列式D的第i行中有一個(gè)元素aij≠0,其余元素全為零,則D=aijAij.

定理1.4

設(shè)n階行列式則n

階行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.即6引理若在n階行列式D的第i行中有一個(gè)7證(只證按行展開第一式)將行列式D改寫為

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或7證(只證按行展開第一式)將行列式D改寫為D=a1jA8由行列式性質(zhì)2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可證按列展開式成立.8由行列式性質(zhì)2及引理，得=ai1Ai1+ai2Ai9解按第一行展開,得例1

計(jì)算行列式9解按第一行展開,得例1計(jì)算行列式10

推論

n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即證由定理1,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.10推論n階行列式D的任意一行(列)的元素與11在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．11在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如12則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.12則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.13綜上所述,得公式

注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n－1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的．13綜上所述,得公式注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),14利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：

計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.例2

計(jì)算行列式14利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行15解

15解161617例3計(jì)算n階行列式17例3計(jì)算n階行列式18解

將Dn按第一列展開于是,得遞推公式而由遞推公式,得繼續(xù)遞推公式,得18解將Dn按第一列展開于是,得遞推公式而由遞推公式故19例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式故19例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式20

證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)設(shè)n-1階范德蒙行列式成立,證明n階也成立.20證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)21n-1階范德蒙行列式21n-1階范德蒙行列式22證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開）=57練習(xí)題22證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開）23例5

利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的值.解23例5利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的值.解24按第二列展開按第二行展開24按第二列展開按第二行展開25例6計(jì)算行列式25例6計(jì)算行列式26解

將行列式每一列加到第一列，則26解將行列式每一列加到第一列，則272728例7計(jì)算行列式解

我們稱行列式D為箭形行列式解決的目標(biāo)：化為上三角形行列式.28例7計(jì)算行列式解我們稱行列式D為箭形行列式292930例8計(jì)算行列式30例8計(jì)算行列式31箭形行列式31箭形行列式323233例9（可以化為箭形行列式）33例9（可以化為箭形行列式）3434353536二.行列式按某k行(列)展開定義1.6在n階行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),稱位于這些行與列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的k階行列式N為D的一個(gè)k階子式.36二.行列式按某k行(列)展開定義1.6在n階行列式D中任37稱劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的n-k階行列式M為N的余子式.若N所在的行與列的行標(biāo)與列標(biāo)分別為37稱劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對(duì)38例10

設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為及則稱為N的代數(shù)余子式,記作A.即38例10設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為39，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3階子式為，N2的代數(shù)余子式為39，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、340顯然,n階行列式D位于某k行的k階子式有個(gè),從而D共有個(gè)k階子式.定理1.5n階行列式D等于其位于某k行的所有k階與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,...,At的乘積之和,即

顯然,定理1.4是定理1.5中k=1時(shí)的特例.按照定理1.5展開行列式似乎很繁,但當(dāng)行列式的某些行中有眾40顯然,n階行列式D位于某k行的k階子式有個(gè),從而41多的零時(shí),定理1.5的實(shí)用價(jià)值立即展現(xiàn)出來(lái).例11計(jì)算行列式解因?yàn)镈中第2、4

行的個(gè)2階子式中只有

一個(gè)是非零的.故將D按第2、4

行展開得41多的零時(shí),定理1.5的實(shí)用價(jià)值立即展現(xiàn)出來(lái).例11計(jì)42例12計(jì)算m+n階行列式42例12計(jì)算m+n階行列式43解按前m列展開,得43解按前m列展開,得44例13計(jì)算2n階行列式(其中未寫出的元素皆為零）解按第1、2n行展開,因位于這兩行的全部2階子式中只有1個(gè)(即位于第1、2n列的2階子式)可能非零且其余子式恰為0,相應(yīng)的代數(shù)余子式為44例13計(jì)算2n階行列式(其中未寫出的元素皆為零）解按45故得于是,得遞推公式從而45故得于是,得遞推公式從而46三.小結(jié)與思考題2.行列式按某行(列)展開降階方法求行列式.1.行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念和計(jì)算方法.思考題146三.小結(jié)與思考題2.行列式按某行(列)展開降階方法求行47思考題1解答47思考題1解答48思考題2求第一行各元素的代數(shù)余子式之和48思考題2求第一行各元素的代數(shù)余子式之和49思考題2解答第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成49思考題2解答第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成50§1.3

行列式按行(列)

展開定理一.按一行(列)展開行列式

二.行列式按某k行(列)展開三.小結(jié)與思考題1§1.3行列式按行(列)一.按一行(列)展開行列式51可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來(lái)計(jì)算.

問(wèn)題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n

-1階行列式來(lái)計(jì)算？

一.按一行(列)展開行列式2可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來(lái)計(jì)算.問(wèn)題52定義1.5在

n

階行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.記為稱為元素的代數(shù)余子式.例如第j列劃去后,余下的n-1階行列式叫做元素3定義1.5在n階行列式中,把元素所在的第i行和余子式53的余子式.的代數(shù)余子式.4的余子式.的代數(shù)余子式.54

注

行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.5注行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和55

引理若在n

階行列式D的第i行中有一個(gè)元素aij≠0,其余元素全為零,則D=aijAij.

定理1.4

設(shè)n階行列式則n

階行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.即6引理若在n階行列式D的第i行中有一個(gè)56證(只證按行展開第一式)將行列式D改寫為

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或7證(只證按行展開第一式)將行列式D改寫為D=a1jA57由行列式性質(zhì)2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可證按列展開式成立.8由行列式性質(zhì)2及引理，得=ai1Ai1+ai2Ai58解按第一行展開,得例1

計(jì)算行列式9解按第一行展開,得例1計(jì)算行列式59

推論

n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即證由定理1,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.10推論n階行列式D的任意一行(列)的元素與60在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．11在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如61則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.12則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.62綜上所述,得公式

注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n－1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的．13綜上所述,得公式注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),63利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：

計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.例2

計(jì)算行列式14利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行64解

15解651666例3計(jì)算n階行列式17例3計(jì)算n階行列式67解

將Dn按第一列展開于是,得遞推公式而由遞推公式,得繼續(xù)遞推公式,得18解將Dn按第一列展開于是,得遞推公式而由遞推公式故68例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式故19例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式69

證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)設(shè)n-1階范德蒙行列式成立,證明n階也成立.20證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)70n-1階范德蒙行列式21n-1階范德蒙行列式71證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開）=57練習(xí)題22證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開）72例5

利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的值.解23例5利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的值.解73按第二列展開按第二行展開24按第二列展開按第二行展開74例6計(jì)算行列式25例6計(jì)算行列式75解

將行列式每一列加到第一列，則26解將行列式每一列加到第一列，則762777例7計(jì)算行列式解

我們稱行列式D為箭形行列式解決的目標(biāo)：化為上三角形行列式.28例7計(jì)算行列式解我們稱行列式D為箭形行列式782979例8計(jì)算行列式30例8計(jì)算行列式80箭形行列式31箭形行列式813282例9（可以化為箭形行列式）33例9（可以化為箭形行列式）8334843585二.行列式按某k行(列)展開定義1.6在n階行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),稱位于這些行與列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的k階行列式N為D的一個(gè)k階子式.36二.行列式按某k行(列)展開定義1.6在n階行列式D中任86稱劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對(duì)位置所組成的n-k階行列式M為N的余子式.若N所在的行與列的行標(biāo)與列標(biāo)分別為37稱劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對(duì)87例10

設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為及則稱為N的代數(shù)余子式,記作A.即38例10設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為88，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3階子式為，N2的代數(shù)余子式為39，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、389顯然,n階行列式D位于某k行的k階子式有個(gè),從而D共有個(gè)k階子式.定理1.5n階行列式D等于其位于某k行的所有k階與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,...,At的乘