2022-2023學(xué)年蘇教版江蘇高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第03講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（教師版）

第7章三角函數(shù)第03講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)號目標導(dǎo)航課程標準重難點理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借助圖象變換，了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過三角函數(shù)圖象的三種畫法：描點法、幾何法、五點法，體會用“五點法”作圖給我們學(xué)習(xí)帶來的好處，并會熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，會求三角函數(shù)的最小正周期.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最大值與最小值的概念.會判斷三角函數(shù)的奇偶性，會求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會求三角函數(shù)的最值.冊女識精講一、正弦函數(shù)圖象i.正弦函數(shù)的圖象2.正弦函數(shù)圖象的畫法(-)幾何法：(1)利用①畫出v=sinx,xG［0,2n］的圖象：(2)將圖象向②平行移動(每次2n個單位長度).(-)五點法：TOC\o"1-5"\h\zTT 3萬(1)五個關(guān)鍵點： ③ ，(工，1), ④,(―,-1), ⑤2 - 2(2)畫出正弦曲線在［0,2n］上的圖象的五個關(guān)鍵點，用光滑的曲線連接:(3)將所得圖象⑥一平行移動(每次2n個單位長度).二、余弦函數(shù)圖象.余弦函數(shù)的圖象.余弦函數(shù)圖象的畫法TOC\o"1-5"\h\z(1)要得到y(tǒng)=cosx的圖象，只需把v=sinx的圖象向⑦單位長度即可,這是由于cosx= ⑧ .⑵五個關(guān)鍵點： ⑨ ,(-.0), ⑩ ,(―,0), 61)2 __ 2 -(3)用“五點法”：畫余弦曲線y=cosx在［0,22上的圖象時，選取五個關(guān)鍵點，分別為再用光滑的曲線連接.三、正切函數(shù)圖象四、正余弦函數(shù)的性質(zhì).周期函數(shù)(1)對于函數(shù)/(X),如果存在一個，使得當x取定義域內(nèi)的 值時，都有,那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，叫做這個函數(shù)的周期.(2)如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個,那么這個最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期.(3)正弦函數(shù)y=sinx(xCR)和余弦函數(shù)y=cosx(xGR)都是周期函數(shù)，最小正周期為,2kn(ZeZ且上0)是它們的周期..正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosx定義域R值域

圖象32 y-2IT37rTy-^4TT 一0少2奇偶性②函數(shù)③函數(shù)周期性最小正周期：六④ 單調(diào)性在⑤（kWZ）上遞增；在⑥~（fcez）上遞減在⑦ （kCZ）上遞增；在⑧（kGZ）上遞減最值當心⑨時，ymin=-1；當':⑩時，ymax=l當X=?時，ymin=l；當X=?時，ymax=l對稱軸乃X-——+/ox,k￡Z2x=/cn,k￡Z對稱中心(kn,0),kCZ71,(一+酎i,0),kGZ2五、正切函數(shù)的性質(zhì)定義域值域②奇偶性③-函數(shù)單調(diào)性在④_上單調(diào)遞增周期性最小正周期為丁=⑤_對稱性對稱中心⑥六、函數(shù)y=Asin（0x+0）的圖象9對y=sin（x+<p）,xGR的圖象的影響y=sin（x+<p）（<pWO）的圖象可以看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點向①_（當.>0時）或向②_（當@<0時）平行移動③個單位長度而得到.3（3>0）對y=sin（wx+<p）的圖象的影響函數(shù)y=sin（3x+（p）的圖象，可以看作是把y=sin（x+<p）的圖象上所有點的橫坐標④（當3>1時）或⑤（當0<3<1時）到原來的⑥倍（縱坐標⑦）而得到.A(A>0)對y=Asin(wx+<p)的圖象的影響

函數(shù)y=Asin(3x+@)的圖象，可以看作是把片sin(3x+(p)圖象上所有點的縱坐標⑧(當A>1時)或逐短(當O<A<1時)到原來的⑨倍(橫坐標不變)而得到，函數(shù)片Asinx的值域為⑩」最大值為4,最小值為?.七、圖象平移伸縮變換【探究問題】.函數(shù)y=sinx、y=sin2x、y=sin]X的周期分別是多少？.要作出y=sin2x的圖象，需要求哪幾個關(guān)鍵點的坐標？.要作出y=sin；x的圖象，又需要求哪幾個關(guān)鍵點的坐標？.由上述探究和思考，你能得到y(tǒng)=$3》和y=sin2x、y=singx圖象的關(guān)系嗎？TOC\o"1-5"\h\z.是否可由y=sin2x的圖象得到y(tǒng)=sin'x的圖象？- 2【探究提示】.2兀、兀、4元；TT 3兀.分別令2x等于0、p兀、半、2?？傻煤瘮?shù)y=sin2x圖象上點的坐標：TT TT 37r(0,0),(-,1),(-,0),(—,-1),(k,0)；4 2 4a1y 71 3lt , If . HA,—,,.分別令一x等于0、一、兀、一、2兀可得函數(shù)y=sin2x圖象上點的坐標：2 2 2y=sin2x>y=sin-x的圖象.(0,0),(71,1),(271,0),(3兀，-1),(4兀,0)；請在同一個坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=sin2x>y=sin-x的圖象..y=sinx圖象上點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的;，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；y=sinx圖象上點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=sin；x的圖象；.可以，把曠=5m2%的圖象伸長為原來的4倍，得到y(tǒng)=singx的圖象.修?了* ° 。4.U■ W?尸堵 ?。?七?。*J參考答案一、①正弦線②左、向右③(0,0)④(n,0)⑤(2n,0)⑥向左、向右二⑦左移工個⑧sin(x+3⑨(0,1)⑩(n,-1)?(2n,1)2 2三、1.①非零常數(shù)7，②每一個，@f(x+T)=/(x),④非零常數(shù)丁，⑤最小的正數(shù)，⑥2兀jr jr?[—1,1]⑧奇⑨偶⑩2n?]—^*+2左4,耳+22萬]jr 37r 7T?[一+2%4,5+ ?[-71+2k兀,2A幻?[2々乃,2k兀+^]04)--+1kn{keZ)TT(15)-+2k兀(kgZ)(16)(2A+1)4伏eZ) (17)2k或keZ)u能力拓展考法u能力拓展考法01正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1.圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）y=|sinx|C.y=sin-y=|sinx|C.y=sin-1x|y=sin|x|D.y=-|sinx|【答案】c【解析】考慮取特殊值.2.丁=1+5由入,％6[0,2萬]的圖象與丁=3的交點的個數(shù)是.【思路分析】作出的圖象y=sinx-?平移得到的圖象y=l+sinx,xe[O,27t]-+作出直線丁=]【答案】2【解析】由y=sinx的圖象向上平移：1.個單位，得y=l+sinx,xe[0,2/r]的圖象，故與y=^交點的個數(shù)是2個.Ji【跟蹤訓(xùn)練】1.利用“五點法”畫出函數(shù)/*)=丁=4。(一元+一)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.614【思路分析】先列表如圖確定五點的坐標，后描點并畫圖，利用“五點法"所出函數(shù)y=sin(2x+勺)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖；【解析】先列表，后描點并畫圖1 7t—x+-2 6°34T27rX--8萬IE亍y?！恪?.作出函數(shù)y=Jl-cos?。的圖象.【思路分析】耍善于利用函數(shù)丫=/(x)的圖象來作丫=|/")|及卜=/(|x|)的圖象.【解析】將y=71-cos2x化為y=|sinx|,Isinx(2k/r<x<2kjr+兀)因為y=|sinx|=《［一sinx(2Z;r+;r 224+2萬)，(％ez)(keZ)所以作出y=71-COS2X的圖象如下圖所示..用五點法畫出下列函數(shù)的圖象：y=2-sinx,xe[0,2^r]；y=g+sinx,xe【思路分析】按列表、描點、連線的步驟作圖象，抓住關(guān)鍵點，另外注意曲線凹凸的方向.【解析】按五個關(guān)鍵點列表如下：X07t2n3兀T2ny=2—sinx212321.13111y=—+sinx———一^―—222222在直角坐標系中描出這五個點，再用平滑曲線將它們連接起來，即得到圖象.(1)作出y=2-sinx,xw[0,2?t]的圖象，如下圖.(2)作出y=；+sinx,xw[0,2兀]的圖象，如下圖.yy=；+sinx,工6［0,2宣］

1再大茅二二

_飛:號-彳-,

00-1L---1 2考法02正切函數(shù)圖象正切函數(shù)的圖象點兩線法''作簡圖，這里的三點的坐標分別為（0,0）,（：/）,（-至，一1）,兩線是直線》=2和》=-四，根據(jù)這三點和兩條直線，便可以得到函數(shù)y=tanx（xxE+wZ）在一個周期上的簡圖.畫出y=tanx,xe（-^,—）的圖象后，再把圖象向左、向右平行移動（每次移動兀個單位長度），就可得到y(tǒng)=tanx,xeR,xx]+ht,keZ的圖象.正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線.利用圖象求函數(shù)y="tanx-6的定義域.【思路分析】根據(jù)題意列出不等式，然后畫出函數(shù)丫=1311為；＜：k也+四（462）的簡圖，再根據(jù)圖象找出不等式的解集.【解析】要使函數(shù)丫=向二二方有意義,則tanx-G…0,得tan.r…6.如圖，利用函數(shù)丫=1加工的圖象可知,所求定義域為仁+祈看+E卜"）.【解題技巧】先在一個周期內(nèi)得出x的取值范圍，然后加周期即可，亦可利用單位圓求解.【跟蹤訓(xùn)練】畫出函數(shù)y=|tanx|的簡圖，并根據(jù)圖象寫出其周期和單調(diào)區(qū)間.【思路分析】y=|tanx|可寫成分段函數(shù)的形式..ftanx(tanx...O),【解析】y=|tanx|=〈[-tanx(tanx<0).它的圖象如圖所示.由圖象可知函數(shù)的周期為IT，單調(diào)增區(qū)間為E,E+])(keZ),單調(diào)減區(qū)間為(E-5,E)(keZ).考法03三角函數(shù)的定義域、值域問題求函數(shù)y=Jlog2^——1的定義域.

V.smx【思路分析】除log,—!--120外，還應(yīng)注意sinx>0,列出不等式組，可借助單位圓或止弦函數(shù)、余弦sinx函數(shù)的圖象求解.【解析】為使函數(shù)有意義，需滿足log2T——120J-sinxsinx>0) 『1sinx<—叫2sinx>0X.正弦函數(shù)或單位圓如圖所示，/.定義域為{x12k1<x<2匕r+看，kez}d{x|2kl+葛<x<2k兀+兀、kwZ【名師點評】(1)求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結(jié)合”，借助于數(shù)軸畫線求交集的方法進行.在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強的三角函數(shù)的定義域時，我們同樣可以利用“數(shù)形結(jié)合”，在單位圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成.(2)求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的特征和性質(zhì)，如在轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組后要注意三角函數(shù)的符號及單調(diào)性，在進行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步變形都要保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練】求下列函數(shù)的值域：y=|sinx|+sinx;；y=2sin(2x+—),xg[--,—]；3 66【思路分析】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性及值域的求法.(1)可以利川|sinx|Wl與|cosx區(qū)1求解；(2)7T注意確定的范圍，利用單調(diào)性確定值域.3f2sinx(sinx>0)【解析】(1)y=|sinx|+sinx=4[0(sinx<0)又,:-l<sinx<l./.ye[0,2],即函數(shù)的值域為[0,2].(2)TOC\o"1-5"\h\z6 6：.0<2x+-<—.3 3. 五/.0<sin(2x+-)^l-7T.-.0<2sin(2x+-)^2./.0<y<2.二函數(shù)的值域為[0,2].【點評】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了.考法04正切函數(shù)性質(zhì)正切函數(shù)的性質(zhì)

.周期性由誘導(dǎo)公式可知，tan(x+7t)=tanx,xeR,x豐kit十三，kwZ,因此九是正切函數(shù)的一個周期.2一般地，函數(shù)y=Atan(0r+e)+Z(/Vy工0)的最小正周期7=-^-.|如.奇偶性正切函數(shù)的定義域為｛x|xeR,x^to+-,A:eZ)?關(guān)于原點對稱，由于/(一x)=tan(-x)= *2 cos(-x)Z^=-tanx=-/(x),因此正切函數(shù)是奇函數(shù).COSX.單調(diào)性和值域單位圓中的正切線如圖所示.利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表:角X兀 c 兀 -?Q-? 2 2兀 3兀——兀一＞一2 2正切線AT-00f0—+oo—00f()f4-00tanx增函數(shù)增函數(shù)由上表可知正切函數(shù)在(-工,工)和(二，羽)上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為22 22(-|+far,|+far)OteZ).此外由其變化趨勢可知正切函數(shù)的值域為(to,2)或R,因此正切函數(shù)沒有最值.【深化拓展】y=|tanx|的周期性函數(shù)y=|sinx|及y=|cosx|的周期是其對應(yīng)函數(shù)y=sinx,y=cosx周期的一半，而函數(shù)y=|tanx|的圖象是把y=tanx在x軸下方的圖象翻折到x軸上方，但其周期與y=tanx的周期相等，均為乃求函數(shù)y=tan(2x-二)的定義域.3【思路分析】整體代換法，解不等式+2即可得；3 2TOC\o"1-5"\h\z【解析】由丁-函數(shù)y=tanx的定義域為+ ,■jr jr故2x——工質(zhì)+―次wZ,3 2解得I出+型入z.2 12故所求函數(shù)的定義域為{x|xeR,x端+!|,ZeZ}【跟蹤訓(xùn)練】求下列函數(shù)的最小正周期：y=tan(-^x)；y=tan(2x+^).【思路分析】利用周期函數(shù)的定義來解，對于正切函數(shù)y=tanx,若tanx=tan(x+T),則丁為正切函數(shù)的周期.丁的最小值為最小正周期.【解析】(1)y=tan(-^x)=tan[(-^x)-7u]=tan[(-^)(x+2;t)]./.y=tan(-的最小正周期為27r.7T TT TT TT(2)y=tan(2x4--)=tan(2x+—+兀)=tan[2(x+—)+一].12 12 2 12y=tan(2x+^|)的最小正周期為g.考法05五點作圖法jr用五點法畫函數(shù)y=Asin(s+0)(x￡R)的簡圖，先作變量代換，令X=5+e,再用方程思想由X取0,—,兀，,2幾來確定對應(yīng)的冗值，最后根據(jù)的值描點、連線，畫出函數(shù)的圖象.作出函數(shù)y=|sin(Ix一至在長度為-個周期的閉區(qū)間上的圖象.【思路分析】

【解析】列表“1 兀X=x-3 307C27t3nT2itXn57r~24兀IE7兀3.A兀、y=s\n(—x—)0320_3~20描點畫圖如下圖所示:【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)y=2sin(±+>).26(1)試用“五點法”畫出它的圖象；(2)求它的振幅、周期和初相.【思路分析】換元 ?列表求值描點作圖66【解析】⑴令，=二+巴，列表如下26Xn~32兀T5兀T8兀TIEt0n2it3nT27ry020-20【技巧點撥】利用五點法作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象之后，只需把函數(shù)圖象向左右兩方伸展出一部分即可.如果要作出函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的圖象，則要注意函數(shù)圖象端點的處理.考法06圖象的變換如何由函數(shù)y=sinx的圖象得到函數(shù)y=3sin⑵」)的圖象？【思路分析】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象變換，可根據(jù)兩種變換方式中的一種進行，正確寫出平移或伸縮變換的方向、大小即可.向右平移g個單位長度TOC\o"1-5"\h\z［解析］解法―：y=sinx >將各點的橫坐標縮短為原來的L倍y=sin(x-1) >n 將各點的縱坐標伸長為原來的3倍、y=sin(2x—) ty=3sin(2x-^)?將各點的橫坐標縮短為原來的;倍解法二：y=sinx 向右平移;個單位長度y=sin2x >y=sin2(x--)6將各點的縱坐標伸長為原來的3倍、 _.一兀 ry=3sin2(x—)67C=3sin(2x--).【點評】(1)本題用了由函數(shù)y=sinx,xwR的圖象變換到函數(shù)y=Asin(〃zr+0),xwR的圖象的兩種方法.第一種方法是先進行相位變換；第二種方法是先進行周期變換,在先進行周期變換時，要注意下一步的變換平移的長度.(2)若此問題改為“如何由y=3sin(2x-')的圖象得到函數(shù)y=sinx的圖象”.請同學(xué)們自己敘述一下變換過程.【跟蹤訓(xùn)練】將函數(shù)y=sinx依次進行怎樣的變換可得到y(tǒng)=；sin(2x+含+1的圖象？【思路分析】先相位變換，再周期變換，再振幅變換，最后平移即可.【解析】①將函數(shù)丫=而》的圖象向左平移工個單位，得函數(shù)y=sin(x+指)的圖象；②將所得y=sin(x+言圖象上各點橫坐標縮短到原來的L倍(縱坐標不變)，得到尸sin(2x+E)的圖象;

③將所得y=sin(2x+W圖象上各點縱坐標縮短到原來的;倍(橫坐標不變)，得到y(tǒng)=gsin(2x+W的圖象：④將所得圖象向上平移1個單位長度，得到y(tǒng)=gsin(2x+R)+l的圖象.考法07根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式解析式.已知函數(shù)丁=4解析式.已知函數(shù)丁=45皿(5+0)(其中A>0。>0,|同〈兀)一個周期的圖象如圖所示，求函數(shù)的【思路分析】A,3的值可以直接從圖中讀取.根據(jù)“五點法”的作圖規(guī)律，認清圖象中的一些已知點屬于五點法中的哪一點，而選擇對應(yīng)的方程3七+。=0,—,7t,—,2n(/=1,2,3,4,5),得出°的值.【解析】由圖象知A=2,T=3n.由——=3兀得@=2,co 32即y=2sin(—x+⑼.由“五點法”知，第一個零點為(棗,0),4?23兀n??一? \-(p=\J,34?！?一萬.故y=2sin(—x-^).【解題技巧】求9的值是本類問題的難點，正確選擇恰當?shù)狞c構(gòu)造相應(yīng)的方程是解決問題的關(guān)鍵.【跟蹤訓(xùn)練】若函數(shù)y=Asin(axr+s)+B(其中A>0,<y>0>|9|<§)在其一個周期內(nèi)的圖象上有一個最高點(g,3)和一個最低點(四,-5),求這個函數(shù)的解析式.

【思路分析】函數(shù)y=Asin(〃)x+°)+3(其中A>0,0>0)的圖象可看作把丫=Asin(0r+°)(其中A>0,0>0)的圖象向上(8>0)或向下(8<0)平移|3|個單位得到的.由圖象可知，取最大值與最小值時相應(yīng)的x的值之差的絕對值只是半個周期.先求A,B,再求3,最后求【解析】由已知條件，知一個周期內(nèi)的圖象上有Na=3,ymin=-5,則/4=~(Jmax_%1！)=4,鳥二夕八+%.=_]，7_7兀7C_71?"1212-2，即T=兀...T2兀1=—?co?CD=2.y=4sin(2x+0)—l..?點(1,3)在函數(shù)的圖象上，3=4sin(2x2+e)-l,即sin(弓+夕)=1.：I租K],二所求函數(shù)的解析式為y=4sin(2x+-)-1.考法08函數(shù)y=Asin(0x+°)性質(zhì)的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)-Asin(<yx+<p)xgR(其中A>0,<y>0已知函數(shù)f(x)-Asin(<yx+<p)2上的一個最低點為M(§,-2).(1)求f(x)的解析式：(2)當xe[06]時，求f(x)的最值.【思路分析】由周期求“ >由最低點的縱坐標確定A由最低點的橫坐標確定。【解析】(1)由函數(shù)/(為圖象上的一個最低點為M(m,-2),得4=2.由周期7=兀，得0=芻=史=2.Tn47r由點〃(三,—2)在圖象上，得2sin(3~+e)=—2,即sin(g+p)=-1,47T 7T所以y+3=2E-3(%cZ),1Ijr故夕=Ikn (kgZ),6TT乂夕￡(°,~)1所以攵=1,(p=—6TT所以函數(shù)的解析式為/Cr)=2sin(2x+—).6(2)因為xw[O,f],所以2x+巴€[2,當,663所以當緘+二=工，66即％=0時，函數(shù)/(x)取得最小值1;當法+巴=0,63即X=已使，函數(shù)/(X)取得最大值6.【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)丫=4-48$(8+夕)(A>0,rw>0,。<。<兀)，且y=/(x)的最大值為2,其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,并過點(1,2).(1)求心(2)計一算/(1)+/(2)+…+/(2014).【思路分析】【解析】(1)因為y=f(x)的最大值為2,A>0,所以A+A=2,

解得A=1?又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,o>0,所以,衛(wèi)=2,2co解得3=工，2所以/(x)=l—cos(5x+q).因為y=〃x)的圖象過點(1,2),所以85(]+°)=-1,兀故一+0=2E+兀,2￡Z,27T即q=2E+又0<e<兀，所以夕(2)由(1)知y=1—cos('x+二)=l+sin二x.故/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=2+1+0+1=4,2兀又函數(shù)的周期為了=一=4,2014=4x503+2,7t2所以/(D+/(2)+...+/(2014)="⑴+/(2)+...+/(2012)]+/(4x503+l)+/(4x503+2)=4x503+/(!)+/(2)=2012+2+1=2015【技巧點撥】對于自變量較大的函數(shù)值的求解，一般要利用函數(shù)的周期性將其轉(zhuǎn)化為較小的自變量對應(yīng)的函數(shù)值來處理，注意函數(shù)值周期性出現(xiàn)的靈活運用.fii分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為X=<，則①2的值不可能是（ ）7_5C.1 D.-3A.I3【答案】BB.【解析】由題意得：■37tT(d=k"—,k2eZ,<2,1,~co——k+—,k￡Z,3 3 =>g=11,171.了'TC2a),0v2,33故選：B.TT2.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+-),貝ij( )6/（X）的最小正周期為1/（x）的圖象可以由函數(shù)g（x）=2sin2x向左平移展個單位得到的圖象關(guān)于直線犬=-5對稱/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［&1+^,后乃+4］伏€2）6 3【答案】B【解析】對于A：/（X）的最小正周期為：7=；=%，故A不正確;對于B：由函數(shù)g(x)=2sin2x向左平移指個單位得到y(tǒng)=2sin2(x+^1)=2sin[2x+Ej,故B正確；jr jr jr K7T TT K7T 7T對于C:令2xd——k7V?解得：X-1 ,若1 = ?得：k-,而左￡Z,矛盾，故C6 2 6 2 6 2 12 2不正確；77" JT TT對于D：令 + —W—卜2k,7v2 6 2解得：一生+04%〈生+丘，故“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為3 6TT TT[k7T一一，％乃+—]伏WZ).故B正確.3 6TT _3.函數(shù)*tan（3x+二）的一個對稱中心是（

6A.C.(0,0)兀B.（-，0）

oD.以上選項都不對【答案】Ck?！窘馕觥恳驗檎泻瘮?shù)y=tanx圖象的對稱中心是（一7,0）,k￡Z：.7tk兀.k兀冗令3x+-=——,解得x= ,k￡Z；62 618所以函數(shù)丫4243*+3）的圖象的對稱中心為（竺一￡,0）,kGZ；6 6 18當k=3時,C正確,故選：C.4.要得到函數(shù)y=sin4.要得到函數(shù)y=sin的圖象,可以將函數(shù)y=sinx的圖象上各點（A.縱坐標不變，橫坐標變成原來的2倍，然后再向左平移J個單位長度B.縱坐標不變，橫坐標變成原來的2倍，然后再向左平移三個單位長度12TOC\o"1-5"\h\zC.縱坐標不變，橫坐標變成原來的!，然后再向左平移2個單位長度2 61 4D.縱坐標不變，橫坐標變成原來的：，然后再向左平移三個單位長度2 12【答案】D【解析】由y=sinx將各點橫坐標變成原來的g?得到y(tǒng)=sin2x.再向左平移專個單位長度變換得到y(tǒng)=sin21x+卷=sin〔2x+目故選：D.5.點外一會］是函數(shù)“x）=sin（0x+0）+m（<0>0,W<y）的圖象的一個對稱中心，且點P到j(luò)r該圖象的對稱軸的距離的最小值為二，則（）4A./（X）的最小正周期是2萬B.加的值為2c.“X）的初相為己54D./（X）在一石,0上單調(diào)遞增【答案】D【解析】因為尸卜看,3）是函數(shù)〃力=而（30）+"（?>0.|^|<y）的圖象的一個對稱中心,所以加二3，①+(P=k兀,左sZ,又因為點尸到該圖象的對稱軸的距離的最小值嗎,T124冗所以一= =—4 469 4所以丁=乃，69=2,71所以°=%）+一,keZ、71又因為|夕|＜耳，/(x)/(x)=sinf2x+y+3,故48,C錯誤,71又xw喑,0’2"梟7t7t5'W5萬,所以71又xw喑,0’2"梟7t7t5'W5萬,所以/（X）在一五,0上單調(diào)遞增，故D正確，故選：D.6,函數(shù)〃x)=-2cos弓j的周期、振幅.初相分別是（A.71-94C.4兀，2,714兀4B.4兀,一2,D.2兀92,兀~4714【答案】【解析】由【解析】由/(x)=-2cos24CD—=47rCD1 ,振幅為2,271 兀當x=0時，°=一,即初相為一.故選:4 47.若要得到一個關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖像，可以將函數(shù)y=&cos（1+?）的圖像（7T人向左平移a個單位長度TTB.向左平移二個單位長度

2TTC.向右平移了個單位長度7TD.向右平移《個單位長度

2【答案】B【解析】對于A,得到的函數(shù)為y=&cos[g(x+?)+?]=及cos(]+^),不是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點不對稱，A錯誤;對于B,得到的函數(shù)為y=&cos[」(x+2)+工]=J^cos(2+-)=-夜sin',是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原

2 2 4 22對于B,點對稱,B點對稱,B正確;得到的函數(shù)為y=&cos8.函數(shù)y(x)=cosCDX-￡(3>0)得到的函數(shù)為y=&cos8.函數(shù)y(x)=cosCDX-￡(3>0)在區(qū)間n21y,—內(nèi)單調(diào)遞減，則。的最大值為(1A.—27B.一45C.-2D.6對于C,--)+-]=V2cos(-+-),不是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點不對稱,

4 4 對于C,C錯誤;對于D,得到的函數(shù)為y=J5cos[q(x—5)+R=J5cos^,不是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點不對稱，D錯誤;故選：B【答案】B【解析】??71—<CDX <jr因為函數(shù)【解析】??71—<CDX <jr因為函數(shù)/(X)在區(qū)間—JT(0JT2冗(。TC r i內(nèi)單調(diào)遞減，則 , q[2%肛2左1+乃](&wZ),3 63 6所以,nmni >2k兀3 62加y乃 <2K7T+713 67, 、，解得62+540<3女+[(kcZ),I7 5由6&+543&+1(&eZ),可得A4丘，1 7因為AeZ且。>0,則Z=0,-<a)<-.77因此，正數(shù)"的最大值為一.故選：B.題組B能力提升練1.為得到函數(shù)1.為得到函數(shù)y=cos的圖象，只需將y=cos2x的圖象（A.先將橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移?個單位長度6TTB.先將橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移§個單位長度C.先向右平移丁個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變）O7TD.先向右平移不個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變）【答案】BC【解析】如果是先伸縮再平移，那么需先將y=cos2x橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），得到y(tǒng)=cosx,再向右平移?個單位長度，即得y=cos（尤一如果是先平移再伸縮，需先將y=cos2x向右2的單位長度，得到y(tǒng)=cos2（xq）=cos（2x-q）,再將橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），即得y=cos（x-q）.故選：bcTOC\o"1-5"\h\z2.設(shè)。>0,函數(shù)/（x）=-JJsinox+cos<yx在區(qū)間上有零點，則。的值可以是（ ）15 12A.- B.- C.- D.一6 6 3 3【答案】BCD【解析】由題得/（x）=->/3sincox+coscox--2sincox ,JT 1ZTT令。x——=k/r,解得x=——十——,?/>0,取k=0,6 6a）coTTTT0< ,,一?B|JCO...—.故選：BCD6co2 33,分別對函數(shù)y=sin工的圖象進行如下變換：①先向左平移?個單位長度，然后將其上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉?倍，得到y(tǒng)=/（x）的圖象;②先將其上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向左平移（個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，以下結(jié)論正確的是（）A.〃X）=g（X）B.（亨,。）為了（X）圖象的一個對稱中心4萬 .C.直線x= 為函數(shù)g（x）圖象的一條對稱軸D./（X）的圖象向右平移?個單位長度可得g（x）的圖象【答案】BCDjr I/r）【解析】①丫二國!!*向左平移］個單位長度可得丁=411［%+］＞再將橫坐標變?yōu)樵瓉?倍，得到/（x）=sin（gx+（）；1 TT②y=sinx橫坐標變?yōu)樵瓉?倍可得y=sin-x:以向左平移-個單位長度，得到g（x）=sin［；卜+外心+J對于A,兩函數(shù)解析式不同，A錯誤；對于B,當％=——時，—X+—=乃且= ...［-鼠,0）是/（力的一個對稱中心，B正確：4/Z- ］ 7T 7T 彳兀對于C,當工= 時，-XH= ? X- 是g（x）的一條對稱軸，C1上確；3 2 6 2 3對于D,/（X）的圖象向右平移工個單位長度得：.寫出一個值域為［L2］的周期函數(shù)/（力=.（不能用分段函數(shù)形式）1 3【答案】/（司=忖詞+1或〃x）=2sinx+］（答案不唯一）【解析】由所給的值域為［1,2］,且為周期函數(shù),

3寫出一個即可，例如/(工)=卜也可+1,或者/(x)=5sinx+-.? 3故答案為：/(x)=binR+l或/(x)ugsinx+i.若函數(shù)/(力=4彳2*+?)/e0,^的圖象與直線y=。有交點，則實數(shù)。的取值范圍是,【答案】【解析】對于/(力=717T.【解析】對于/(力=717T.入7T] 「冗, 冗 乃乃乃sin2x4—,xg0,—,'jxw0,—時2xH—g—,一,I3J12 12 3 321212所以y(x)=71所以y(x)=71sinI2xh—I(\\xg0,—上單調(diào)遞增，且值域為工￡I3J12要使函數(shù)/(x)=要使函數(shù)/(x)=717T) TTsinl2x+yLxg0,—的圖象與直線y=a有交點,已知函數(shù)/(x)=0sin2x+；只需已知函數(shù)/(x)=0sin2x+；6,I-O ?X(1)用“五點法”作出f(x)在［o,可上的簡圖.(2)由圖象寫出“X)在［0,對上的單調(diào)區(qū)間.7T 5兀 兀5兀【答案】(1)答案見解析；(2)單調(diào)增區(qū)間：0,-,—,71，單.調(diào)減區(qū)間：【解析】(1)列表:X07C83兀T5兀T7nT兀

2x+-4714712713兀T2兀9兀Ty1V21-x/21x/2兀57r tc5兀單調(diào)增區(qū)間：0,—,—,單調(diào)減區(qū)間：—._8_ _8 _ _88_7.已知函數(shù)/。）=5m（的+0（0>0,|同<乃）圖象經(jīng)過點七,-1）,（工,1）,且在區(qū)間（5,葛）上單調(diào)遞增.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；71(2)當xe—,7T時，求/a)的值域._6I TT7717171【解析】(1)由題意知一T=—= =—,故69=2，2 6912122,r( .(兀A17T 717 ，“口r 2乃…又/[Fj=sin[k+°j=-l，—+夕=一萬+2%%，keZ、即。= +2%乃，keZ、2因為乃，所以9=一一乃，所以/(x)=sin2X--7T3,2x--7ve,2x--7ve-

37T4—L43371(2)xe—,n

6y=sinx在7171單調(diào)遞增，在■萬j單調(diào)遞減,所以sin〔2x_g;r)e-y-,1,所以函數(shù)的值域為一8.如圖是函數(shù)/(x)=Asin(a)x+°)(A>0,刃>0,|同的部分圖象.(1)求函數(shù)(1)求函數(shù)/(x)的表達式;(2)若函數(shù)f(x)滿足方程f(x)=a(0<a<l).求在［。,2兀］內(nèi)所有實數(shù)根之和.【解析】(1)【解析】(1)由圖可知:A=\-7 57c 兀 兀 ur e—= =—,即 7=兀，2 6 3 2：./(x)=sin(2x+^>)7萬即7%7萬即7%)=T，——十乂由圖可.知：“6 3、_［，八一—)一TOC\o"1-5"\h\z77r 77r所以sin(2x——+0)=-1,所以sin(——+@)=-1,12 677r 3ti所以 Vco—2kjvH ,keZ,71所以69=2&4+—,k?Z,3jr JT因為1夕區(qū)萬，所以口=§,sin[2x+—（2）因為/（x）=sin［2x+］J的周期為兀，/（行=5汕［2*+］）在［0,2兀|內(nèi)恰有2個周期.①當0＜。＜曰時，方程sin（2x+￡|=a在［0,2句內(nèi)有4個實根，設(shè)為王、與、工3、工4，結(jié)合圖象知X]+/=~~7'?/+*4=乙＞"6 6故所有實數(shù)根之和為 ：3②當n=#時，方程sin（2x+1）=a在［0,2可內(nèi)有5個實根為0,聿，兀，?，2兀,故所有實數(shù)根之和為一^—:③當日＜”1時，方程sin（2x+,）=a在［0,2句內(nèi)有4個實根,設(shè)為再、X1、Xy、,

,.A, 71 1371結(jié)合圖象知工1+七=—，x3+%4=——6 67兀13兀故所有實數(shù)根之和為一丁；13兀時，方程sin(2x+1J=a所有實數(shù)根之和為T；當?shù)┕?/p>

當?shù)┕?/p>

21時，方程sin+方)=a所彳廣義數(shù)根之和為言.題組C培優(yōu)拔尖練TT7T恒成立,1.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e),其中。>0,\(p\?—,一]為f(x)的零點，且/(x),,f恒成立,Jrjr\，⑴在區(qū)間-立五上有最小值無最大值，則。的最大值是【答案】15717t717t【解析】由題意知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)[0>0,|同71\ 7t 7T45，x 為y=/(x)圖象的對稱軸，x=—為2/ 4 4，/、山「一2〃+1247Tf(x)的零點,「? ?一=—,nGZ, w=2n+l.4co2n7i在區(qū)間一五‘五上有最小值無最大值,TT7T周期介(―+—)24120)N—n7i在區(qū)間一五‘五上有最小值無最大值,TT7T周期介(―+—)24120)N—， cu<16.8二要求①的最大值，結(jié)合選項，先檢驗3=15,當3=15時,由題意可得 xl5+(p=kn,(p= ,函數(shù)為y=/(x)=sin(15x ),4 4 4在區(qū)間一五冗24匕i5x--e[--,—),此時f(x)在x=—匕-時取得最小值,

4 2 8 123=15滿足題意.則UJ的最大值為15.故答案為：15..函數(shù)/(x)=cos(與)(xeZ)的值域有6個實數(shù)組成，則非零整數(shù)〃的值是n【答案1±10,±11【解析】由題設(shè)知："X)【解析】由題設(shè)知："X)的最小正周期為,2萬.2乃I—

nXxgZ，I〃|??.〃為非零整數(shù)，在[0,四]k/(x)的值域有6個實數(shù)組成，即/(幻的圖象在以上區(qū)間內(nèi)為6個離散點,且各點橫坐標為整數(shù)，???當〃為偶數(shù)，有皿=5,即〃=±10；2當〃為奇數(shù)，有5<皿<6.即〃=±11：故答案為：±10，+1123.函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足/(^一/=/(1+》],且當工€[0,4)時，/(x)=2sm”12J\2 ) X-71X+7C給出下列四個結(jié)論：①/(乃)=0；②乃是函數(shù)/(X)的周期；函數(shù)/(X)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增；函數(shù)g(x)=f(x)-sinl(xe[-10,l0])所有零點之和為3萬.其中，正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④【解析】對于①：由/67)=/6+工)可得/(%)=/(0)=誓=0，故①正確：對于②：由+可得/(X)關(guān)于直線x=1對稱，因為“X)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(%+X)=/(-X)=-/(X)所以/(2^+x)=-/(x+zr)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期為2萬，故②不正確；對于③：當0<x<l時，y=sinx單調(diào)遞增，且丁=$3%>0，y=x2—7cx+7c=[x-^\+萬一(-在0<x<l單調(diào)遞減，且y>l—4+4=1,

QinV所以/(%)=- 在0<x<l單調(diào)遞增，因為/(X)是奇函數(shù)，x—nx+n所以函數(shù)/3)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增；故③正確；對于④：由—= + UJ得f(x)關(guān)于直線X=1對稱，作出示意圖8。)=/。)一0111(X€[-10,10])所仃零點之和即為函數(shù)丁=/(耳與.丫=疝1兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標之和，當xe一1，言時，兩圖象交點關(guān)=W對稱，此時兩根之和等丁乃22 2時兩圖象交點關(guān)于x=時兩圖象交點關(guān)于x=-?上對稱,此

2象交點關(guān)于x=—對稱，此時兩根之和等于5%，當-25兀、時兩根之和等7-3萬,犬e-10,一5J時兩圖象無交點，所以函數(shù)g(x)=/(x)-5皿1*6[-10,10])所有零點之和為31.故@正確;故答案為：①③④4.已知函數(shù),f(x4.已知函數(shù),f(x)=sin?x+。)(0>0,。<。<萬)的最小正周期為萬，且直線TTX=—巳是其圖象的一條對2稱軸.(1)求函數(shù)/(x)的解析式；(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移?個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作y=g(x),已知常數(shù)/leR,neN*，且函數(shù)

/(6=/(同+公(外在(0,〃乃)內(nèi)恰有2021個零點，求常數(shù)％與"的值.24【解析】(1)由三角函數(shù)的周期公式可得0=——=2,=sin(2%+0),令2x+e=]+A4(AwZ),得x=?一券+段(&wZ),由于直線工=一]為函數(shù)y=/(x)的一條對稱軸，所以一生=工一必+且(AeZ),得°=包+&萬(keZ),242 2 2由于0＜夕＜乃，.?/=-1,則夕=色，2因此，〃x因此，〃x)=sin2x+^=cos2x(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移(個單位，得到函數(shù)y=cos2(=cos^2x-yj=sin2x,再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=sinx.尸(x)=f(x)+2g(x)=cos2x+2sinx=_2sin2x+Asinx+l.令F(x)=O,可得Zsin、-Asim-1=0?令，=sinx￡[—l,l],得2尸一加一1=0，△=丸2+8＞0，則關(guān)于t的二次方程2尸一々一1=0必有兩不等實根KJ，則M：=-g，4，L異號.①當。(同＜1且0＜冏＜1時，則方程sinx=4和sinx=J在區(qū)間(0,〃))(〃eN*)均有偶數(shù)個根，從而方程2出高一存加一1=0在(0,〃句(〃wN*)也有偶數(shù)個根，不合題意；②當％=1，則%=-―，此時2=1，當xw(0,2乃)時，sinx=G只有一根，sinx=，2有兩根，所以，關(guān)于的方程Zsi/x-Asinx-1=0在(0,。)上有三個根，由于2021=3x673+2,則方程2sin、—2sinx-1=0在(0,1346%)上有3x673=2019個根，由于方程sinx=4在區(qū)間(1346%,1347乃)上只有一個根，在區(qū)間(1347^,1348乃)上無實解，方程sinx=t2在區(qū)間(1346^,1347^-)上無實數(shù)解，在區(qū)間(1347%,1348%)上有兩個根，因此，關(guān)于x的方程ZsiMx-zlsinx—1=0在區(qū)間(0,1347萬)上有2020個根，在區(qū)間(0,1348兀)上有2022個根，不合題意；③當f=-1時，則/=一，此時a=一1,2當》€(wěn)(0,2萬)時，sinx=4只有?根，sinxuj有兩根，所以，關(guān)于x的方程2sin2x—/sinx—l=0在(。，2/7)上有三個根，由于2021=3x673+2，則方程2sin,x—asinx-1=0在(0,1346乃)上有3x673=2019個根，由于方程siiiri作區(qū)同(1346%,1347不)上無實數(shù)根，在區(qū)間(1347%,13484)上只有一個實數(shù)根，方程sinx=J在區(qū)間(1346%,1347")上有兩個實數(shù)解，在區(qū)間(13474,1348%)上無實數(shù)解，因此，關(guān)于x的方程Zsi/x-Asinx-1=0在區(qū)間(0,13474)上有2021個根，滿足題意.④若有一根絕對值大于1，則另一根絕對值大于0艮小于1,有偶數(shù)個根，不合題意；綜上所述：2=-1,n=1347.5.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+同(。>0,刨<外，"X)圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差W，(1)①/(X)的一條對稱軸x=_g且/弓)>/⑴;②/(X)的一個對稱中心②/(X)的一個對稱中心7T2乃 .且在--上單調(diào)遞減;③/(X)向左平移個單位得到的圖象關(guān)于V軸對稱且/(0)>0從以上三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式

⑵在(1)的情況下，令〃(x)=gf(x)-cos2x,g(x)=//[//(%)],若存在xe-^-,y使得r(x)+(2-a)^(x)+3-a<0^,求實數(shù)。的取值范圍.【解析】⑴由題意可知，函數(shù)/(X)的最小正周期為T=2x工=%,選①，因為函數(shù)/(X)的一條對稱軸x選①，因為函數(shù)/(X)的一條對稱軸x=-—,則2x3+9=]+%乃(ZeZ),解得8=衛(wèi)+左萬(ZeZ),5乃Q|s|<*所以,尹的可能取值為一一6若展-葛，則f(x)=2若展-葛，則f(x)=2sin(2x-5乃~6，則，-2</(l),不合乎題意;2sin2sin-=2>/(l),合乎題意.5%57r (2sin-=2>/(l),合乎題意.5%57r (若9= ,則〃x)=2sin12%_51~67t27r

不'T-5萬時，2x €6712冗~2此時，函數(shù)/'(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意;若9=V，則/(x)=2sin(2x+J則/所以，/(x)=2sin12x+^J：12選②，因為函數(shù)/(x)的一個對稱中心(言,。］,則2x!q+e=&；r(keZ),I") 1212解得夕=2乃一2(攵wZ),6Q|同<］，所以，9的可能取值為一-勺、?若(p=g則若(p=g則/(x)=2sin(2x+看萬2萬]4,5萬時，2x+—&.63」 67t2此時，函數(shù)y（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意;

63所以，/（x）=2sin12x+7J；選③，將函數(shù)/（力向左平移1個單位得到的圖象關(guān)于V軸對稱，所得函數(shù)為y-2sin[2（x+.）+°=2sin^2x+y+,（jrA jt jt2x+§+°J的圖象關(guān)于y軸對稱，可得一+Q=—+左乃（左wZ）,jr解得夕