2022屆高三理科數(shù)學(xué)-概率與統(tǒng)計(jì)基本概念匯總

概率與統(tǒng)計(jì)基本概念匯總

隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(nWN)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種——抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.應(yīng)用范圍：總體個(gè)體數(shù)較少.系統(tǒng)抽樣的步驟一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào);N確定分段間隔k對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.當(dāng)n(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(lWk)；⑷按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l+k),再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l+2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.分層抽樣定義：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．用樣本估計(jì)總體作頻率分布直方圖的步驟求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).決定組距與組數(shù).將數(shù)據(jù)分組.列頻率分布表.畫頻率分布直方圖.頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖.⑵總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．4.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征概念優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)?但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)兒個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有吋也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x,X?,…，X/那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)_x+xHx12nx-n平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體吋可靠性降低注意：在頻率分布直方圖中:眾數(shù)等于最高的長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值;③平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.5.標(biāo)準(zhǔn)差和方差及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.標(biāo)準(zhǔn)差：s=]丄心-X)2+(x-X)2++(x-X)2]TOC\o"1-5"\h\zni2n方差：s2=1[(x—X)2+(x—X)2++(x—X)2](X是樣本數(shù)據(jù)，n是樣n12...nn本容量，X是樣本平均數(shù)).⑷若x,x,,x的平均數(shù)為X，那么mx+a,mx+a,,mx+a的平均數(shù)為12n12nmx+a(5)數(shù)據(jù)X,X,,X與數(shù)據(jù)X一x+a,x'=x+a,,x'=x+a的方差相等，[??2n1122n???n即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變.⑹右x,x,,x的方差為s2，那么ax+b,ax+b,,ax+b的方差為a2s212n12n注意：①現(xiàn)實(shí)中總體所包含的個(gè)體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道(或不可求)的，所以我們通常用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差．②平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定．變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例兩個(gè)變量的線性相關(guān)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.回歸方程若變量X與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(x,y)(i=1,2,,n)ii工(x-x)(y-y)y一nxy貝U回歸方程y=bx+a中b=i-i_—=i右',a=y—bx.乙(x-x)2乙x2-nx2iii=1i=1其中x=1iLx=xi+x2++xn,y=1Ky=yi+y2++ynninnin回歸分析定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x,y),(x,y),―,(x,y),1122nn其中(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心.相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，若相應(yīng)于變量x的取值x，變量y的觀測(cè)值為y(1<i<n)，則兩個(gè)變量的相關(guān)0i

(x-x)(y-y)系數(shù)的計(jì)算公式為r=孚:L｛工(x-x)2(y-y)2當(dāng)r>0時(shí)，表明變量x和;正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明變量x和y負(fù)相關(guān)；當(dāng)rg[-1,-0.75]表明變量x和y負(fù)相關(guān)相關(guān)很強(qiáng)；當(dāng)rg[0.75,1]，表明變量x和y正相關(guān)相關(guān)很強(qiáng)；當(dāng)rg[-0.75,-0.30]或rg[0.3,0.75]，則相關(guān)性一般；rg[-0.25,0.25]時(shí)，相關(guān)性較弱.(當(dāng)|r|Wl且|r|越接近于1,相關(guān)程度越強(qiáng)，當(dāng)|r|Wl且|r|越接近于0,相關(guān)程度越弱)刻畫回歸效果的方式方式方法計(jì)算公式刻畫效果相關(guān)指數(shù)R2工(y-y)2iiR2二1—工(y-y)2ii-1R2越接近于1，表示回歸的效果越好殘差圖e稱為相應(yīng)于點(diǎn)(x,y)的殘差，e-iiiy—yii殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高.殘差平方和"(y-y)2iii-1殘差平方和越小，模型的擬合效果越好獨(dú)立性檢驗(yàn)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛x，x｝和｛y，y｝，其樣1212本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為2X2列聯(lián)表y2X2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d為樣本容量.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量竺來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).隨機(jī)事件的概率1．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱

n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)n為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)An的比例f(A)=計(jì)為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率f(A)隨著試驗(yàn)次n數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率f(A)來(lái)估計(jì)概率P(A).n定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B—定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件"B廠BnA（或AcB）相等關(guān)系若BnA且AnBA=B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AUB（或A+B）父事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生AnB（或AB）且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的父事件(或積事件)互斥事件若AnB為不可能事件(AnB=0)，則稱事件A與事件B互斥AnB=0對(duì)立事件若AnB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件AnB=0，P（A）+P（B）=12?事件的關(guān)系與運(yùn)算概率的幾個(gè)基本性質(zhì)概率的取值范圍：0WP(A)W1.必然事件的概率P—⑶不可能事件的概率P(F)=0.概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).對(duì)立事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)=1—P(B).4?基本事件的特點(diǎn)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.5?古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1如果某個(gè)事件A包m括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)=n7?古典概型的概率公式p(a)_A包含的基本事件的個(gè)數(shù)P(A)基本事件的總數(shù)—-8.幾何概型的概率公式p(a)_構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積(丿—試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積°條件概率與獨(dú)立事件條件概率求已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)，A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B),P(A|B)_p^B(其中,AnB也可寫成AB).A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)_P^A=1.獨(dú)立事件—一般地，對(duì)兩個(gè)事件A，B,如果P(AB)_P(A)P(B)，則稱A，B相互獨(dú)立.可以證明，如果A，B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立.離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差一、離散型隨機(jī)變量的分布列1?隨機(jī)變量的有關(guān)概念隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X,Y,g，耳，…表示.離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型

隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x,x，…，x，X取每一12nXx1x2???xi???xnPp1p2???p???pn11Xx1x2???xi???xnPp1p2???p???pn11—2I有時(shí)也用等式P(X」x)=p,i；1,2；,n表示X的分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)p>0(i=1，2,…，n)；p+p+???+p=1?二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差Xx1x2???xiXx1x2???xi???xnPp1p2???pi???pn般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:稱E(X)=xp+xp+???+xp為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平?稱D(X)=工(x-E(X))2p為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)ii變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根寸萬(wàn)而為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.2?均值與方差的性質(zhì)若Y=aX+b,其中a,b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a2D(X).二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp其中O〈p〈1,則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布.其中p=P(X=1)稱為成功概率.超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件{X=/發(fā)生的概率為P(Xk)專，k=o,1'…，，n,其中m=min{M,n}，且nWN,MWN,n,M,NgN*，稱分布列X01???mPCoCn0—M~~NMCn_NC1Cn1MNMCnN???CmCnmMNMCnN為超兒何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超兒何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超兒何分布.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=CkPk(1—p)n—k(k=0,1,2,…,n),此吋稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p),并稱p為成功概率.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1—p).若X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1—p).正態(tài)分布—正態(tài)曲線：函數(shù)?(x)=1一十,xW(—8,+◎,其中實(shí)卩,o{—e2。<2n數(shù)卩和。為參數(shù)(。>0,UWR)?我們稱函數(shù)?(x)的圖象為正P,o態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的^它關(guān)于直線x=卩對(duì)稱;曲線在乂=卩處達(dá)到峰值oi：2n曲線與x軸之間的面積為