人教版導與練總復習數(shù)學一輪教師用書：第五章數(shù)列

第五章數(shù)列（選擇性必修第二冊）第1節(jié)數(shù)列的概念

課程標準要求.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表法、圖象法、通項公式法）..了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).必備知識?課前回顧 ?招敖材夯實四條■知識梳理.數(shù)列的概念及分類（1）定義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號ai表示,第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用aZ表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用a1,表示.其中第1項也叫做首項表示aba2,a3,a”…，簡記為｛aj⑵分類①項數(shù)直限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.②從第2項起,每一項都大王它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項起,每一項都小壬它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.特別地,各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列.(3)數(shù)列與函數(shù)數(shù)列｛aj是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…,n｝)到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n,對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項劣,記為an=f(n).另一方面,對于函數(shù)y=f(x),如果f(n)(n￡N*)有意義那么f⑴，f(2),…，f(n),…構成了一個數(shù)列｛f(n)｝.(4)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法,它們分別是列表法、圖象法和解析法..數(shù)列的通項公式如果數(shù)列｛4｝的第n項以與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式,根據(jù)通項公式可以寫出數(shù)列的各項..數(shù)列的遞推公式與前n項和公式遞川；公式一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示,這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式前n項和數(shù)列｛aj從第1項起到第二項止的各項之和,稱為數(shù)列｛aj的前n項和，記作S”即Sn=ai+a2+…+a。

定義刖n項數(shù)列｛aj的前n項和?與它的序號n之間的對應關系可以用一和個式子來表示,這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式公式.數(shù)列中須與Sn的關系若數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,則劣=整二=1">2—3對點自立—.數(shù)列⑸｝的前幾項為a3,y,8,y,…，則此數(shù)列的通項公式可能是（A）A.am5n~4B.anA.am5n~4B.an-3n-2c6n-5「 10n-9C.an= D.an= 2 2解析:數(shù)列為J,v-T-T-…，其分母為2,分子是首項為1,公差為5的等差數(shù)列，故通項公式為an=^.故選A..在數(shù)歹！J｛aJ中，a】=l,an=l+工（n，2）,貝!）a」等于（B）an-lA.-B.-C.-D.-2 3 4 5.已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若Sn=n：貝ljan=;若Sn=n'+1,則an=解析:若Sn=n2,則當n=l時,ai=Si=l,當n22時，an=Sn-Sn-i=n2-(n-1)2=2n-1.當n=l時滿足上式,所以an=2n-l.若Sn=n2+1,當n=l時,ai=Si=2.當n22時，an=Sn-Sn-i-n2+1-[(nT尸+1]=2nT,當n=l時不滿足上式，的aJ2,n=1,l2nl,n>2,neN*.答案,2nT(2,n=l,口呆.zni3—I,ziN2.已知an=n2+Xn,且對于任意的n￡N：數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)入的取值范圍是解析：因為｛aj是遞增數(shù)列，所以對任意的n￡N*,都有an+1>an,即(n+1)?+入(n+1)>n2+入n,整理,得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)因為n21,所以-(2n+l)W-3,要使不等式(*)恒成立，只需人>~3.答案：(-3,+8).在數(shù)歹U｛aj中，an=-n2+6n+7,當其前n項和Sn取最大值時,n=.解析：由題可知n￡N*,令an=-n2+6n+7^0,得l〈n<7(n￡N*),所以該數(shù)列的第7項為零,且從第8項開始an<0,則S6=S,且最大.答案：6或7關鍵能力?課堂突破岐'考點一由4與Sn的關系求通項公式.記Sn為數(shù)列｛aj的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=.解析：因為Sn=2an+1,所以當n-1時,ai-2ai+l,解得ai--l,當n22時,an=Sn-Sn-F2an+l-(2an-,+l),所以an=2an-b所以數(shù)列｛aj是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列，所以a=-2自，所以S6--lx(1?26)—63.1-2答案:-63.已知數(shù)列｛aj滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2",貝！]an=.解析：當n=l時，由已知，可得al=2l=2,因為a1+2az+3a3+…+皿=2",①故ai+2a2+3a3+,,,+(n-1)an-i=2n'(n22),②由①-②,得nan=2n-2n1=2n,,7^-1所以a?=——(n22).n顯然當n=l時不滿足上式，(2)?i=1,所以an=]2nl、°J11”(2,n=1,答案：2%1Hr心2

3.設Sn是數(shù)列｛aj的刖n項和，且31——1,an+l—SnSn+l,貝！JSn二.解析：因為an+i=Sn+i-Sn,an+i=SnSn+i,所以Si所以SiSn二SS+1.因為SnWO,所以工—二一=l,gp——-1.，/，“，c*c1 1c*c?n+l ?n+l3n又■^T,Si所以數(shù)列｛白｝是首項為-1,公差為T的等差數(shù)列.所以9=T+(nT)X(-l)=-n,所以Sn二-二.n答案:二n入題后悟通已知S0求a”的常用方法是利用an=，n：士？一定要檢驗an=n°nT，n占4，啜考點二由遞推關系求通項公式口角度一累加法——形如an+1-an=f(n),求an(例1T)設數(shù)列｛aj滿足ai=l,且a9i-an=n+l(n￡N*),則數(shù)列｛aj的通項公式為解析：由題意得32—ai=2,a，3—a2=3,,,,,所以an-an-i=n(n22).以上各式相加,得/冏=2+3+?,?+n=.（-1）^2-n）-n2+n-22因為a1=l,所以a〕n；n(n22).因為當n=l時也滿足此式，所以aE呼.答案:暗?解題策略當出現(xiàn)a“+尸adf(n)時，用累加法求解.即利用an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+,?,+(a2-ai)+a)=f(n-l)+f(n-2)+…+f⑴+ai求解.幅度二累乘法 形如皿=f(n),求anan(例1-2)設數(shù)列｛aj中，ai=2,an+i=-^an,則an=解析：因為a1=2,n+1所以an#O,所以外+1-n.ann+1所以當n22時，TOC\o"1-5"\h\za ,至2 ￡2. .a,an1an2an3 a2aln~ln~2n_3 1n__? ??????_)nn-ln-2 22——nai=2也符合上式，則al.n答案3n解題策略當出現(xiàn)%l=f(n)時，用累乘法求解.即利用ana4.吧?— 也?也.a1求解.an-lan-2an-3 a2al口角度三構造等差法一一形如ae=^(A,B,C為常數(shù))，求anBan+CCWH3)已知數(shù)列｛aj中，a尸2,an+尸駕(n￡N*),則數(shù)列｛%｝的通項公式

%i+2an=.解析：因為a?H-2ctn.ai=2,On+2所以an^0,又a=2,則24，2所以數(shù)列｛工｝是以;為首項,;為公差的等差數(shù)列.所以三工+(nT)anat 22所以an—.n答案2n解題策略形如a—W/A,B,C為常數(shù))，將其變形為」：--+^Ban+C an+1AanA(1)若A=C,則｛工｝是等差數(shù)列,且公差為可直接用公式求通項公式.an A(2)若A#C,則采用待定系數(shù)法,構造新數(shù)列求解.口角度四構造等比法 形如an+i=Aan+B(A#O且Arl,B#0),求an(例1-4已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,an+i=3an+2(n￡N*),則數(shù)列｛aj的通項公式為.解析：因為an+1=3an+2,所以an+i+l-3(an+1),所以&±193,an+l所以數(shù)列區(qū)+1｝為等比數(shù)列，公比q=3,又ai+l=2,所以4+1=2?37所以a=2?31-1.答案:a=2?3nl-l解題策略對于形如an+i=Aan+B(A#:O且A#4,B/0),通常采用待定系數(shù)法將其轉化為an+i+x=A(an+x),先求出x,再借助等比數(shù)列｛a0+x｝求解.［針對訓練］根據(jù)下列條件,求數(shù)列｛4｝的通項公式.1(1)ai—2,an+i~3n+In(1+—);(3)a]磊an+i=^an+(^)nH;(4)ai=l,an=—(n^2).3ani+l解：⑴因為a*an+ln(l+3,n所以an+「an=]n匕n所以an-an-i=ln-^-(n^2),71-1TOC\o"1-5"\h\z幾―1 2an-i-an-2=ln—,…，a2-ai=ln-(n^2).n-2 1所以an-ai=ln—+ln—+,,,+ln-=lnn(n22),n-1 n-2 1即an=lnn+2(n22).又a1=2,所以an=lnn+2.(2)因為a產(chǎn)三ae(n，2),n+1所以當n22時，馬二M，On1n+1

所以工三,…On-|Zl+1Q，24即3以上n-1個式子相乘得上?趾1 包?—dji-1€ln-2 a2 zi+1n即&=J_.1x2X1,n+1n所以a所以an-n(n+l)當n=l時,a尸一,也與已知aL；相符，I.X4/ 乙所以數(shù)列｛aj的通項公式為an--i-.n(n+l)⑶在2”某嗚嚴兩邊分別乘以2叱得2*an+1=1(2n?an)+l.令bn=2n?an,則bn+1=|bn+l,根據(jù)待定系數(shù)法，得bn+1-3^(b-3).所以數(shù)列瓜-3｝是首項為b「3=2X，3=-；,公比為;的等比數(shù)列.所以b:3=—?吟尸，即bn=3-2(1)n.于是,屆上3(312(31(4)取倒數(shù),得上=瑪口口3+」-(n22).anan-lan-l所以數(shù)列｛工｝是等差數(shù)列,J+3(n-1)=1+3(nT)=為小.an an% 3n-2族考點三數(shù)列的性質及其應用口角度一數(shù)列的周期性(例2T)數(shù)列｛aj滿足an+i=-^—,as=2,則a尸1a? 解析：由a*--,得an=l--,1an an+l因為a8=2,所以37=1_1=1,ao=l--=-1,a5=l--2,???,a7 a6

所以｛aj是以3為周期的數(shù)列，所以ai-a?-^.答案§解題策略解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項,確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.幅度二數(shù)列的單調性霞D已知數(shù)列｛aj的通項公式為a.=*,若數(shù)列｛aj為遞減數(shù)歹！J,則實數(shù)k的取值范圍為()A.(3,+8)B.(2,+8)C.(1,+°°)D.(0,+8)解析：因為an+-an^3zi+3+k解析：因為an+-an^3zi+3+k2n+1誓:嘿U，由數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列知,對任意nRN*,a/「an二3~3nk

2n+1<0,所以k>3-3n對任意n￡N*恒成立,所以kG(0,+8).故選D.解題策略

解決數(shù)列單調性問題的三種方法(1)用作差比較法,根據(jù)的符號判斷數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.(2)用作商比較法，根據(jù)皿(a)0或aWO)與1的大小關系進行判斷.an(3)結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷.口角度三求數(shù)列中的最大(小)項已知數(shù)列｛aj的通項公式為an=n(|)n,則數(shù)列｛aj中的最大項為()A.-B.-C.-D.—9 3 81 243解析：(n+1)(1)n+1-n(§三號.(1)",當n<2時,an+i-an>0,即an+i>an;當n=2時，an+i-an=O,即an+i=an;當n>2時,an+i-an<0,即an+1<an.所以ai〈a2=a3>￡u>a5>c?〉an,所以數(shù)列｛aj中的最大項為a2或a3,且a2=a3=2X(1)2=|.故選A.解題策略求數(shù)列最大項或最小項的方法(1)可以利用不等式組［］“一6/1"'(n22)找到數(shù)列的最大項.(2)利用不等式組If(n22)找到數(shù)列的最小項.(an￡?n+l［針對訓練］(1)若數(shù)列｛aj滿足aE,加尸警,貝Ua2儂的值為()lOnA.2B.-3C.--D.-2 3(2)已知數(shù)列｛aj的通項公式為an=^—,則數(shù)列｛4｝中的最大項為nz+90()A.3V10B.19C.—D.—19 60⑶已知等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn(neN*),且%=2n+X,若數(shù)列｛SJ(n27,n￡N*)為遞增數(shù)歹U,則實數(shù)人的取值范圍為解析：⑴因為a:2,a*瞿，所以22乎=-3,‘，…，可得an+4=an,同理可得a3=-1,a3,‘，…，可得an+4=an,則3.2022二@505X4+2=a2=-3.故選B.(2)由題意得an=Ao.運用基本不等式得4〈篇=占,當且僅當n+—— n+——2V906V10n n5=90時,等號成立,結合n￡N*,可知a9=au)*最大.故選C.(3)當n，7時，數(shù)列｛S?｝為遞增數(shù)列，設Sn+i>Sn,即Sn+1-Sn=an+i>0,所以am=2(n+l)+入>0,則入>-2n-2.又因為n27,所以-2n-2WT6,即入>-16.答案：(DB(2)C(3)(-16,+8)息備選例題CffiD已知n￡N*,給出4個表達式:①a4°'”為奇數(shù)，②4=獨斗③(1,n為偶數(shù), 2a0=i+c；snn,④a=sin學，其中能表示數(shù)列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項公式的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④解析:選A.CM）已知數(shù)歹U｛aJ滿足ai=l,an=an-i+2n（n22）,貝!Ja?等于（）A.53B.54C.55D.109解析：由題意知,a2=a,+2X2,a3=a2+2X3,…,a7=a6+2X7,各式相加得a7=ai+2X（2+3+4+…+7）=55.故選C.CTO在數(shù)列｛aj中，ai=l,an+i=2an-2n,則等于（）A.-15X216 B.15X2“C.-16X2'6 D.16X2"解析：因為an+i=2an-2n,所以辨償冶,所以數(shù)列既｝是等差數(shù)列,公差為3,首項為詈=1,所以第WW(n-1)=等，所以4=(2-n)-2二所以a17=T5X2?故選A.CSK)若數(shù)列｛aj的前n項和Sn=n2TOn(n￡N*),則數(shù)列｛naj中數(shù)值最小的項是()A.第2項B.第3項C.第4項D.第5項解析：因為Sn=n2-10n,所以當n22時,a?=Sn-Sn-i=2n-ll;當n=l時,ai=Si=-9也適合上式.所以a?=2n-ll(n￡N*).記f(n)=nan=n(2nT1)=2*1111,此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n=:,但n￡N*,所以當n=3時,f(n)取最小值.所以數(shù)列｛naj中數(shù)值最小的項是第3項.故選B.課時作業(yè)

選題明細表知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練由數(shù)列的前幾項歸納通項公式1,74與Sn的關系4,8,916數(shù)列的遞推關系2,312數(shù)列的性質5,614綜合問題10,11,13,1517,18A級基礎鞏固練.若數(shù)列的前4項分別是占則此數(shù)列的一個通項公式為

2 34 5a.^22n+1a.^22n+1r(-l)nnB.比

n+1

(-1嚴D.——n.若數(shù)列｛aj滿足ai=l,a『「an-l=2n,則a。等于（A）A.2n+n-2B.2nl+n-lC.2n+1+n-4D.2n+1+2n-2解析：因為an+-an=2n+l,所以a21al=241,&3-32—22+l,&4—as=23+1,,,,,an-an-i-2n'+1(n^2),以上各式相力口得an-ai=2I+*-*+2n(n-1)=2^2—-+n-l=2n+n-3.l-2所以an=2n+n-2.故選A..已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,am=W-2an+l(n￡N*),貝(Ja2()22等于(B)A.1A.12022D.-2022解析：因為ai=l,所以a2=(a-l)2=0,a3=(a2-l)2=l,a4=(a3-l)2=0,…，可知數(shù)列｛aj是以2為周期的數(shù)列，所以a2022=a2=0.故選B.4.已知數(shù)列｛aj的前n項和為50,2尸2,5田=2511-1(11￡1<),則a］。等于(B)A.128B.256C.512D.1024解析：因為S*2S「l(n￡N*),n22時,SESzT,所以an+i~2an.n=1時，ai+a2=2a「1,q,i—2,q，2~1?所以數(shù)列｛aj從第二項開始為等比數(shù)列，公比為2.則a10=a2X28-lX28=256.故選B..(多選題)在數(shù)列｛aj中,an=(n+l)(Rn,則數(shù)列｛aj中的最大項可以是(AB)A.第6項B.第7項C.第8項D.第9項解析:假設編最大,則有伊金：…

(九+1)。

(n+l)(|)n3(九+2)(九+1)。

(n+l)(|)所以n+1>-(n+2),8所以；(ri+1)>n,o即6WnW7,所以最大項為第6項和第7項.故選AB..設數(shù)列｛aj的通項公式為an-n2-bn,若數(shù)列｛aj是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍是(C)A.(-°°,-1]B.(-8,2]C.(-8,3)D.(-8,0解析：因為數(shù)列｛aj是單調遞增數(shù)列，所以an+1-an=2n+l-b>0(n￡N*),所以b〈2n+l(n￡N*),所以b<(2n+l]s=3,即b<3.故選C..已知數(shù)列鼻fg2斐，…,根據(jù)前3項給出的規(guī)律,實數(shù)對2 4 6m-n10(m,n)為.解析：由數(shù)列的前3項的規(guī)律可知(19m=—,32”5，故實數(shù)對(m,n)為號,|).答案:號,|).若數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=3n2-2n+l,則數(shù)列｛an｝的通項公式解析：當n=l時,a】=Si=3X12-2X1+1=2.當n22時，4=5?/-2/1-[3(廠IF-2(n-l)+l]=6n-5,顯然當n=l時，不滿足上式.故數(shù)列｛aj的通項公式為4=6'1'、9(6九一5,n>2.牲空.(2,n=1,n^l6n-5,n>2.已知數(shù)列｛aj中，ai=l,前n項和Sn=^an.(1)求0.2,3,3；(2)求｛aj的通項公式.解：⑴由$2=孑2得3(ai+a2)-4a2,解得3a)—3.由S31a3得3(ai+az+a?)=5a3,解得a3=|(a]+a2)=6.(2)由題設知,當n22時,有a產(chǎn)Sn-Si昔&告a,,整理得?飛?-nH,QtiT九一1TOC\o"1-5"\h\z因此而?丘一] 幺.a2n+l._n_ -X-,1a?i—2 。2Q]九-1Ti--2 21/izg/日 (n+l)n n(n+l)化簡得an=———?ak一--,NX1 2當n=l時,ai=l滿足上式，所以｛aj的通項公式為9(n￡N*).B級綜合運用練.數(shù)列｛xj滿足xn+,=|Xn-xn-i|(n^2,n￡N),xfI,x2=a(aeR,a#0),Xn+T—X”當T取最小值時，該數(shù)列的前2021項和是(D)A.673B.674C.1347D.1348解析:若T=l,則｛xj為常數(shù)列,故X2=Xi=l,此時X3=0Wxi,故T=1舍去.若T=2,則X3-X1-I,故|aT|=1,故a=2或a=0(舍去).故X4=11-21=1,但X5=IIT|=0Wx3,故T=2舍去.若T=3,貝(Jx3=Ia-11,x4=|a-|a-l||二Xi=l,x5=|1-|l-a|\=x2=a,若a，l,則|a-(aT)|=1,且|l-(aT)\-a,整理得到|2-a|=a,解得a=l.若0<a<l,則|a-(1-a)|=1,且11-(1-a)\=a,整理得到|2aT=1,無解.又當a-1時，有X2=Xi=l,X3=0,x4=l,x5=l,X6=0,此時｛x“｝為周期為3的周期數(shù)列.該數(shù)列的前2021項和為號竺X2+l+l=l348.故選D..設數(shù)列｛aj中31—&2~1>且滿足a2n+i=3a2n-i與a2n+2-a2n+i=a2n,則數(shù)列｛aj的前12項的和為(C)A.364B.728C.907D.1635解析:數(shù)列｛aj中31—32—1,且病足a2n”=3a2nT,貝Ua3=3ai=3,as=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a“=3a9=243.a2n+2-二a2n,所以a2n+2=@2|1+1+22”故=己3+82=4,%二己5+@4二13,38=37-*-36=40,310=39^38~121,@12=411+340=364,所以數(shù)列｛aj的前12項的和為1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.故選C.12.已知數(shù)列區(qū)｝滿足皿*2,aN0,則幺的最小值為(C)n nA.4V5B.4V5-1C.8D.9解析：由3n+i—3n~2n知&-ai=2X1,a31a2=2X2,???,an—3n-i~2(n—1),nN2,以上各式相加得an—ai~n2—n,nN2,所以an=r?-n+20,n22,當n=l時,ai=20符合上式，所以￡n+型-l,n￡N*,nn所以當n<4時,出單調遞減，當n25時,回單調遞增，n n因為手？，45所以&的最小值為？=?=8.故選C.n 45.某數(shù)學大會會徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的(如圖),其中0A尸AiAz=A2A3=c=A7A8=1■，記OAi,OA2,OA3,?,,,OAs的長度構成的數(shù)列為｛an｝(n￡N*,n<8),則｛aj的通項公式an=.(n￡N*,n<8)解析：根據(jù)題意OAi-AiA2-A2A3-,?,-AzAs-1,所以W=W-1+1(n22),且憂=1,所以｛a豺是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以咸=n,an=Vn.答案:小.已知數(shù)列區(qū)｝的通項公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)?n為何值時,a”有最小值?并求出最小值；(2)若對于n￡N*,都有an+1>an,求實數(shù)k的取值范圍.解：(1)由n-5n+4<0,解得Kn<4.因為nGN*,所以n—2,3,所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為a2,a3.因為an=r?-5n+4=(n-|)2-3,由二次函數(shù)的性質，得當n=2或n=3時,a有最小值，其最小值為&2=8,3=~2.(2)由an+i>anKTW(n+1)2+k(n+1)+4>n?+kn+4,整理得k>-2n-l,且對任意的n￡N*恒成立，所以ke(-3,+8),所以實數(shù)k的取值范圍為(-3,+8).

.已知數(shù)列｛aj中，a,-l,其前n項和為Sn,且滿足2Sn=(n+l)an(n￡N*).(1)求數(shù)列｛aj的通項公式;⑵記＞=3"-入W，若數(shù)列瓜｝為遞增數(shù)列,求實數(shù)人的取值范圍.解：⑴因為2Sn=(n+l)an,所以2Sn+j—(n+2)an+i,所以2an+i=(n+2)an+i-(n+1)an,即nan+F(n+l)an,所以an+l_所以an+l_ann+1n所以￡咄=..二生=1,nn-l1所以an=n(nG所.(2)由(1)得，bn=3"-入n~.bn+i-bn—3n'一人(n+1)2_(3n-An2)-2,3”-入(2n+l).因為數(shù)列｛bj為遞增數(shù)列,所以2?3n-X(2n+l)>0,即入＜令C即入＜令Cn:2?3n2n+l2?3n'2n+lcn2n+3 2?3n2n+3cn+12-3cn2n+3 2?3n2n+3所以數(shù)列｛cj為遞增數(shù)歹I所以入3=2,即實數(shù)人的取值范圍為(-8,2).c級應用創(chuàng)新練.在數(shù)列｛xj中,Xn+W四奢,nel,設其前n項和為Sn,則下列命題正確的是(D)Xio-Xi210(x2-xi)9xi+xio〈Sio〈Xi+9xio2D.若Xn*「X尸g貝!|Sn〉nXn+「n”l)n+1 2解析：由Xn+W里產(chǎn)得Xe-xWxxXm,Xn+I-Xl5,則dWdzW…Wd”Xio-Xi=di+d2+…+d929dl=9(x2-Xi),故A錯誤.取Xi=10,Xio=l,故B錯誤.當k=3時,數(shù)列10,9,8,7,6,5不滿足，故C錯誤.對于D,由Xn+l-Xn=-^7>0,知｛xj遞增,Xi<xn+1,n+1S=Xi+2(x2-X1)+3(X3-X2)+…+n(Xn-Xn-1)+(n+1)(xn+1-Xn)-(n+l)xn+i=X1+1+2+…+n-(n+1)Xn+K竺產(chǎn)匕眸+1,所以Sn>nxn「竺盧，故D正確.故選D.17.已知數(shù)列｛4｝滿足:"￡@^(n￡N*),則下列選項正確的是an+i an(D)A.當0<an<l時，an+i>anB.當an>l時，an+i<anC.當aH時，an<+^—>3n+184 41+1

D.當ai=4D.當ai=4時，ai>2n+2解析:對于A,由于0<an<l,0<an+i<l,則(“n+i+l)((1n+2)(Qn+1)an+1anan又由函數(shù)f(x)=(x+i)』2+2x+i=x+：+2,當x￡(0,1)時，函數(shù)單調遞減，XXX可得f(an+i)>f(an),所以anH<an,所以A錯誤.對于B,由于an>l,an+i>l,且f(an+i)>f(an),由一分=回￡立/=*+工+2在(1,+8)上單調遞增，XXX可得an+i>an,所以B錯誤.對于C,D,由于(州+】+1)2(%+2)2,an+ian可得Hn+1+——-3n+—+2+—,Qn+1anan當a]=~,n=l時,可得a2+-^-=ai+—+2=-+18<3X1+18=21,所以C錯誤；4 a2 4又由當ai>0時，可得an>0,從而an+i+ >a1】+—+2,利用疊力口法,可得an+1+—>a!+-+2n,an+lal故當a1=4時,an+i+二一>2n+2,所以D正確.an+l故選D.18.大衍數(shù)列來源于中國古代著作《乾坤譜》中對《易?系辭上》“大衍之數(shù)五十”的推論,其前10項為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,通(中，九為奇數(shù)，項公式a0=12 如果把這個數(shù)列｛aj排成如圖所示的形狀,;小為偶數(shù)，\2并記A(m,n)表示第m行中從左向右第n個數(shù)，那么A(10,4)的值為.0

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121824324050-解析：由題意可知，前9行共有1+3+…+17=等=81項，所以A(10,4)為數(shù)列的第85項，所以A(10,4)的值為等=3612.答案：3612第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和

課程標準要求L理解等差數(shù)列的概念..掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式..能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題..了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系.必備知識.課前回顧 ⑻歸成材夯實四條知識梳理L等差數(shù)列的有關概念(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.數(shù)學語言表示為an「an=d(n￡N*),d為常數(shù).⑵等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是歸等，其中A叫做a與b的等差中項..等差數(shù)列的有關公式⑴通項公式:an=ai+(nT)d.當d#0時,等差數(shù)列{a』的通項公式a產(chǎn)dn+(a「d)是關于d的一次函數(shù).(2)前n項和公式:Sn=na+誓d=^^.當d#0時，等差數(shù)歹U{aJ的前n項和S^rMai-fn是關于n的二次函數(shù)(沒有常數(shù)項)..等差數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣:an-am+(n-m)d(n,m￡N*).(2)若｛an｝為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則am+an-ap+aq(m,n,p,q￡N*).⑶若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,m￡N*)是公差為皿的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sn,S211rsm,S3m-S2m,…(iD￡N*)也是等差數(shù)列，公差為1112d.I ■釋疑⑴若｛aj為等差數(shù)列，則m+n-p+q是am+an=aP+a()(m,n,p,q￡N*)的充分不必要條件.(2)等差數(shù)列的前n項和為權,當公差d=0時,Serial不是關于n的二次函數(shù).乏重要結論L等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列｛4｝中,若a,>0,d<0,則和存在最大值;若aKO,d>0,則Sn存在最小值..若｛aj,｛bj均為等差數(shù)列且其前n項和為S0, 則好學二.若｛aj是等差數(shù)歹U,貝U｛也｝也是等差數(shù)歹山其首項與｛aj的首項相同,n公差是｛%｝的公差的意.若等差數(shù)列｛aj的項數(shù)為偶數(shù)2n,則S2n=n(ai+a2n)二???二n(an+an+i);S偶—S奇二nd,S偶an+l5.若等差數(shù)列｛aj的項數(shù)為奇數(shù)2n+l,則(1)S2n+i~(2n+l)an+i；對點自處：.在等差數(shù)列｛a,J中,若a2=4,a5=10,則a6等于（B）A.8B.12C.14D.16解析：a5=a2+3d,所以d=2,所以a6=az+4d=12.故選B..已知等差數(shù)列｛aj中，a2=l,前5項和S5=-15,則數(shù)列｛an｝的公差為（D）A.-3B.-2C.-1D.-4解析:設等差數(shù)列的公差為d,由題意得1r1,iC15al+-^-d—-15,解得d=-4.故選D..在等差數(shù)列｛aj中,a】=29,S.o=S2（b則數(shù)列｛an｝的前n項和Sn的最大值為（A）A.S15B.SieC.S15或SQS]7解析:因為ai=29,Sio=S2O,八.10x9.nn,20x19,所以10a,+—d=20ai+-^—d,解得d=-2,所以Sn=29n+^y^-X(-2)=-n+30n-(n-15)2+225.所以當n-15時,S0取得最大值.故選A..在等差數(shù)列｛aj中，a.i+a8=10,a,0=6,則公差d=.解析：由a4+a8=2a6=10,得a6=5,所以4d—Sio-&6—1>解得d=；.4答案::4.在等差數(shù)列｛aj中，已知a」+a8=16,則該數(shù)列前11項的和答案：88關鍵能力?課堂突破質考點一等差數(shù)列的基本量運算.記Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項和.已知S4=0,a5=5,則（A）A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n-8nD.Sn^n-2n解析：由等差數(shù)列性質可得（+4d=5,解得｛;二-3故｛代之言故選A-.設等差數(shù)列｛aj的前n項和為S”若a.+a3=6,Sio=1OO,則a$等于A.8B.9C.10D.11解析:設等差數(shù)列的公差為d.因為ai+a3=6,Sio—100,(2al+2d=6,110%+45d=100,

解得Si-1,d=2,因止匕a5=ai+4d=9.故選B..《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著,它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著.在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為a”則印等于(C)A.23B.32C.35D.38解析：由題意可知年齡構成的數(shù)列為等差數(shù)列,其公差為-3,則9a1+瞪X(-3)=207,解得a1=35.故選C..已知等差數(shù)列列｝的通項公式為an=ll-n,則|ai|+1a2|+—+=?解析:設Sn是數(shù)列｛aj的前n項和，Iai|+1&21+,?,+1a201-(ai+a2+,>,+an)-(aiz+ar?+…■*-3-20)=S11—(Szo-Su)=2S“—S20,而Su二而Su二11x(10+0)-55,S2o-20X10+2O-(^°-1)X(-1)=10,所以|ai|+|a2|+-+|a20|=100.答案：100*題后悟通

(1)等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式共涉及五個量a1,n,d,an,Sn,知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項、和公差d.啜考點二等差數(shù)列的判斷與證明CM)在數(shù)列｛aj中,a】=2,an是1與aa+i的等差中項.⑴求證:數(shù)列｛七｝是等差數(shù)列，并求｛aj的通項公式；(2)求數(shù)列｛；｝的前n項和出.n￡an(1)證明：因為an是1與anan+1的等差中項，所以2an—l+anan+i,所以a所以an+-l-n2dw-l_]_Qn1所以^2-=l+.所以因為」Q1T所以數(shù)列｛二;｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，an-l所以‘7=l+(nT)=n,Onl所以a/巴.n⑵解:由⑴得；白，n￡ann(n+l)nn+l所以s產(chǎn)(卜?+(H)+(H)+，,，+&一擊)=1一去看?解題策略等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有ae-a”等于同一個常數(shù).(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2a“an+a*(3)通項公式法:得出an=pn+q后,再根據(jù)定義判定數(shù)列｛aj為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定義法證明數(shù)列｛aj為等差數(shù)列.［針對訓練］若數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn_1=0(n22),a弓.(1)求證：｛白｝成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛aj的通項公式.⑴證明：當n22時，由an+2SnSn-i=0,得Sn-Sn-l=_2SnSn-l,所以^~一^—=2.又三32,$1al故｛5｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.⑵解:由⑴可得9=2n,所以S產(chǎn)；.Sn Zn當n22時，,o_1_ 1 _nl-n_anVCn--(n-1廣2n -12n(n-l)'當n=l時,ai=g不適合上式.f-,n=l,故an=i>7(2n(nl)'11-2，暝考點三等差數(shù)列的性質及其應用口角度一等差數(shù)列項的性質?ED在等差數(shù)列｛aj中，ai+3a8+aF120,則az+a.的值為()A.6B.12C.24D.48解析：由等差數(shù)列的性質可得，3j+3a8+ai5=5a8=120,所以a8-24,所以a2+ai4=2a?=48.故選D.解題策略如果｛aj為等差數(shù)列,m+n=p+q,則aB+an=ap+aq(m,n,p,qGN*).因此,若出現(xiàn)am-n,am,a,n等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與須(或其他項)有關的條件.口角度二等差數(shù)列前n項和的性質(1)已知等差數(shù)列｛4｝的前n項和為Sn.若S5=7,S10=21,貝!)S15^于()A.35B.42C.49D.63(2)已知也是等差數(shù)列｛an)的前n項和，若a尸-2018,急-笠券=6,貝！IS2020_?解析：(1)在等差數(shù)列｛a“｝中，S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即7,14,S121成等差數(shù)列，所以7+⑸5-21)=2X14,解得Sm42.故選B.(2)由等差數(shù)列的性質可得但｝也為等差數(shù)列.n設其公差為d,則鬻-笠器=6d=6,所以d=l.故篝§=4+2019d=-2018+2019=1,所以Sz020=1X2020=2020.答案：⑴B(2)2020解題策略等差數(shù)列前n項和的性質：在等差數(shù)列｛a“｝中,S.為其前n項和,則(DS2n=n(ai+a2n)=,,,=n(an+an+i);②依次k項和成等差數(shù)列，即Sk,S2k_Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.口角度三等差數(shù)列前n項和的最值?=3)(多選題)已知等差數(shù)列｛aj的前n項和為S0(n￡N*),公差d20,S6=90,a7是a?與ag的等比中項,則下列選項正確的是( )ai=22d=-2C.當n=10或n=ll時,C取得最大值D.當Sn>0時,n的最大值為20解析：因為S6=90,所以6ai+^^d=90,即2a1+5d=30,①又因為a:是a3與a9的等比中項，所以好二a3a9,所以(ai+6d)J(ai+2d)(ai+8d),整理得a尸-10d,②由①②解得31-20,d=-2,故A錯誤,B正確；所以Sn=20n+t°X(-2)-n2+21n-.(n卷尸+攀，又n￡N*,所以當n=10或n=11時,Sn取得最大值，故C正確；令Sn=-n2+21n>0,解得0<n<21,又n￡N*,所以n的最大值為20,故D正確.故選BCD.解題策略

求等差數(shù)列前n項和也的最值的兩種方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an2+bn,通過配方或借助函數(shù)圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項變號法：①當ai>0,d<0時,滿足n的項數(shù)m使得S.取得最大值S.lam+l$U②當aWO,d>0時,滿足'In的項數(shù)m使得S0取得最小值Sm.lam+lNU［針對訓練］(1)已知等差數(shù)列｛aj的前10項和為30,它的前30項和為210,則其前20項和為()A.100B.120C.390D.540(2)已知等差數(shù)列｛4｝的前n項和為Sn,38=1,S16=0,當Sn取最大值時n的值為()A.7B.8C.9D.10(3)已知等差數(shù)列｛aj的公差d=-2,ai+a」+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+,,,+a99的值是.解析：(1)設Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項和，則Sio,S2o_Sio,S30-S20成等差數(shù)列，所以2(S20-Sio)=Sio+(Sao-S20)又等差數(shù)列｛aj的前10項和為30,前30項和為210,所以2⑸「30)=30+(210-S20),解得S2°=100.故選A.(2)因為｛aj是等差數(shù)列，所以Sie-8(ai+ai6)=8(as+ag)-0,貝(ja9--a8--l,即數(shù)列｛aj的前8項是正數(shù),從第9項開始是負數(shù)，所以(和)皿=$8.故選B.(3)因為ai+a.i+a7+…+a97=50,公差d--2,所以as+ae+ag+?,?+a99=(ai+2d)+(a.i+2d)+(a7+2d)+,??+(a9?+2d)-(ai+a]+a?+…+a97)+33X2d-50+66X(-2)--82.答案：(1)A(2)B(3)-82一備選例題C?D設等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,S“=22,a4=T2,若a=30,則m等于()A.9B.10C.11D.15解析:設等差數(shù)列｛aj的公差為d,依題意得

Sil= Sil= l)da4=+3d=-12,=22,解得［建7一33,所以aa=ai+(m-1)d=7m-40=30,所以m=10.故選B.CWD設等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,貝lja7+as+ag等于A.63B.45C.36D.27解析：由｛aj是等差數(shù)列，得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列，即2(S6-S3)=S3+(S「S6),得S9-S6=2S6-3S3=45.故選B.CW記Sn為等差數(shù)列｛a｝的前n項和,若aHO,a2=3ab則￡10_三一 ,解析:設等差數(shù)列｛aj的公差為d,由ai+d=3ai,得d=2ai,答案：4課時作業(yè) 靈港彳'混方數(shù)爽,定痼怪題明細表 知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練等差數(shù)列的基本量運算1,6,7等差數(shù)列的判定與證明2,410,15,17等差數(shù)列的性質3,8等差數(shù)列前n項和的最值512,1418等差數(shù)列的綜合應用911,13,16A級基礎鞏固練1.已知等差數(shù)列｛aj中,a2=l,前5項和S5=T5,則數(shù)列｛aj的公差為(D)5A.-3B.--2C.-2D.-42.若等差數(shù)列｛aj的公差為d,則數(shù)列匕2『|｝是(B)A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列C.公差為nd的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列解析:數(shù)列EM其實就是aba3,a5,a7,…，奇數(shù)項組成的數(shù)列,它們之間相差2d.故選B.3.設S,是等差數(shù)列｛aj的前n項和，若也小，則羋等于(A)a511S9A.1 B.-1C.2 D.i2(ai+an)解析:畜軍丁舞口?故選A.24.已知Sn是數(shù)列｛aj的前n項和,且Sn+i=Sn+an+3,a4+a5=23,則S&等于(C)A.72B.88C.92D.98解析：由Sn+i-Sn+an+3,得an+「an=3,故數(shù)列｛aj是公差為3的等差數(shù)列.又a.i+a5=23,所以2a1+7d=2a+21=23,所以a1=l,所以S8=8a1+等d=92.故選C..在等差數(shù)列｛aj中，已知a3+a?>0,且S9<0,則S.,S2,S9中最小的是(A)A.S5B.S6C.S7D.S8解析:在等差數(shù)列｛aj中,詈匹9a5<0,所以a5<0.又a3+a8=a5+a6〉0,所以a6>0,所以數(shù)列從第6項開始大于零,前5項都小于零,所以S5最小.故選A..已知數(shù)列｛aj滿足an-an-i=k(n22,n￡N*),a1=k,則數(shù)列｛aj的通項公式為.解析：因為數(shù)列｛aj滿足an-an-i=k(n22,n￡N*),所以數(shù)列｛aj為公差為k的等差數(shù)列，又Sj—k,所以an=ai+(n-l)k=k+(n-l)k,即an=nk.答案：a/nk.設Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項和,滿足S2=S6,替?=2,貝!ja尸公差d=.解析：由｛%｝為等差數(shù)列,得數(shù)列｛邑｝是公差為g的等差數(shù)列.n 2因為各學=2,54所以g=2nd=4.又S2=S6=>2a1+4=6a,+—X4=>aF-14.答案：T44.在等差數(shù)列｛aj中，公差d=1,前100項的和Sioo-45,則ai+as+as+…+499=?解析：因為Sioo--^-(ai+aioo)=45,所以ai+aioo--,2貝Ua】+a99=ai+aio。一d二15貝!Ja】+a?+a5+…+a99號(a,+a99)號X|=10.答案：10.已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列.(1)前四項和為21,末四項和為67,且各項和為286,求項數(shù)；(2)項數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)項和為44,偶數(shù)項和為33.求數(shù)列的中間項和項數(shù).解：⑴由已知得ai+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-i+an=67,所以ai+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-i+an=88,所以ai+a0=%22.4因為8=286,所以71（%；而）=286,所以lln=286,所以n=26.⑵法一設項數(shù)為2k+l,貝?。輆1+a3+…+a2k+i=44=-^—（ai+a2k+i）,a2+a4+???+a2k=33=5（a2+a2k）,又因為ai+a2k+i=a2+&k,所以牛嘿KJJ所以k=3,項數(shù)為7,所以中間項為生啜三11.法二記等差數(shù)列｛aj的中間項為a中,奇數(shù)項和為S奇，偶數(shù)項和為S偶，前n項和為Sn.（Sim+Sq=Sn,根據(jù)題意得Jc苛所以Sn=77,a中=11,（S奇-S偶=a中，又naip=Sn,所以n=7.B級綜合運用練.已知無窮數(shù)列｛aj是各項均為正數(shù),且公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為S,,n￡N*,則（D）A.數(shù)列｛包｝不可能是等差數(shù)列nB.數(shù)列｛竽不可能是等差數(shù)列712

C.數(shù)列｛1｝不可能是等差數(shù)列11rlD.數(shù)列｛詈｝不可能是等差數(shù)列5n解析：由題可知Sn-nai+w(n21)d,an=ai+(n-l)d,其中at>0,d>0,對A,如ai+7-d,n2所以數(shù)列｛包｝是公差為9的等差數(shù)列，故A錯誤;n 2對B,凈也+上i?d1+"2n2n2n2n當a1，時~~口12J，n22'所以數(shù)列｛與｝可能是等差數(shù)列,故B錯誤；nz對C,.n(ni)d5九吟+^—ana1對C,.n(ni)d5九吟+^—ana1+(n'l)d,當a1=d時,SnJ+lan2所以數(shù)列｛&｝可能是等差數(shù)列，故C錯誤;anana1+(n-l)dSnna1+n(ni)d,詈不可能轉化為關于n的一次函數(shù)形式,Sn故數(shù)列｛詈｝不可能是等差數(shù)列，故D正確.故選D.11.(多選題)已知數(shù)列｛aj是公差不為0的等差數(shù)列，前n項和為Sn,滿足a1+5a3=S8,則下列選項正確的有(AC)A.310~0B.Sio最小C.S7=Si2D.S20=0解析:根據(jù)題意，數(shù)列｛aj是等差數(shù)列,若為+5a3=S8,即ai+5ai+10d=8ai+28d,變形可得ai=-9d.又由an=ai+(n-1)d=(n-10)d,則有a、=0,故A一定正確;不能確定和d的符號,不能確定Su,最小,故B不正確;又由S：,=nai+n(?)d=_9nd+n(號)號X(n2T9n),貝U有S7-S12,故C一定正確;則S20=20a,+^|^d=-180d+190d=10d.因為d#0,所以S20^0,則D不正確.故選AC..（2021?寧夏吳忠高三一模）數(shù)列｛aj是等差數(shù)列,&為其前n項和,且aKO,a,2Q2o+a2ozKO,0.2020,a202X0,則使SWO成乂的最大正整數(shù)n是A.2020B.2021C.4040D.4041解析：設數(shù)列｛aj的公差為d,由a〈0,3.2O2o+a202X0,3.2020,a202K0,可知9.2020^0,&2021>0,所以d>0,數(shù)列｛aj為遞增數(shù)列,S404尸4。411廣4041)一4041a2021>0,S4040—2020(ai+&ieno)二2020(a2020+^2021)<0,所以可知使Sn<0成立的n的最大值為4040.故選C..等差數(shù)列｛aj,瓜｝滿足：對任意的n￡N*,都有/落，則07+b3+b9b4+b8解析：由等差數(shù)列的性質可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6.所以。7+05―a7+052。6。62><6+31bs+bg匕4+882b62b6匕64x6~*9答案：1.在等差數(shù)列｛aj中，a尸7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時,取得最大值,則d的取值范圍是

解析:因為當且僅當n=8時,S”有最大值,d<0,rd<0,所以k8>0,即7+7d>0,.Q9V0, 、7+8dV0,解得8答案：（T,［）.已知數(shù)列｛aj,若數(shù)列｛am-aj與數(shù)歹U｛*—｝都是公差不為0的an+lan等差數(shù)列，則數(shù)列｛-^｝的公差是 .an+lan解析:設等差數(shù)列｛an+「aj的公差為d,且dWO,貝(Ian+i-an=dn+ci,所以a,、=ai+[d+2d+…+(n-1)d]+(n-1)Ci=ai+n(n21)d+(n-1)cb所以，ZL_an+lan,n(n-l)d,,

Q]+所以，ZL_an+landn+Q因為｛——｝為等差數(shù)列，an+lan所以一氏一=&n+c2（di為公差,且&r0）,Qn+1an所以獷+（er-）n+ai-Ci=ddin2+（cidi+c2d）n+cic2,所以:=d4,因為dWO,所以dig.答案弓.記Sn為等差數(shù)列｛3｝的前n項和，已知s9=-a5.⑴若a3=4,求｛an｝的通項公式；⑵若a90,求使得SnN%的n的取值范圍.解：（1）設｛4｝的公差為d.由S9二一a1+4d=0.由3.3=4,得ai+2d=4.于是a尸8,d——2.因此｛aj的通項公式為an=10-2n.(2)由(1)得aF-4d,故為=(n-5)d,S?=^^.由ai>0知d<0,故SnNan等價于n2Tln+知WO,解得IWnWIO.所以n的取值范圍是｛n|IWnWIO,n￡N*｝..已知數(shù)列｛aj的首項ai=l,2anan+i=an-an+i(nGN*).⑴證明：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；Qn(2)設bn=anan+1,數(shù)歹ij｛bj的前n項和為Sn,求證:證明：⑴由于ai=l,2anan+i=an-an+i,顯然anan+i^O,所以兩邊同除以aL+i可得,—--~—-2,Qn+1an所以數(shù)列｛2｝是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.an(2)由(1)知,—l+(n—1)X2=2n—1,an所以a?=-^—.2n-l所以bn=aa+i-(2nH(2n+i)=a(三匚/公篤),所以Sn-[(1--)+(i-1)+??+(——)]=-(1-—)<-.2 3 35 2n-l2n+l22n+l2C級應用創(chuàng)新練.(2021?湖南永州高三二模)我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣的號長損益相同(害是按照日影測定時刻的儀器,署長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及號長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣號長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的號長為一丈三尺五寸,夏至的號長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法不正確的是（C）唇長逐漸變小署長逐漸變大A.小寒比大寒的號長長一尺B.春分和秋分兩個節(jié)氣的辱長相同C.小雪的號1長為一丈五寸D.立春的唇長比立秋的號長長解析：由題意可知，夏至到冬至的唇長構成等差數(shù)列｛aj,其中a尸15寸,al3=135寸,公差為d寸,則135=15+12d,解得d=10;同理可知，由冬至到夏至的辱長構成等差數(shù)列｛bj,首項b尸135,末項b13=15,公差d=TO（單位都為寸）.故小寒與大寒相鄰，小寒比大寒的辱長長10寸，即一尺,A正確；因為春分的凸長為b7,所以b7=bi+6d=135-60=75,因為秋分的辱長為a7,所以a7=ai+6d=15+60=75,故春分和秋分兩個節(jié)氣的唇長相同,B正確;因為小雪的辱長為alb所以3.^+10(1=15+100=115,115寸即一丈一尺五寸，故小雪的署長為一丈一尺五寸,C錯誤；因為立春的署長,立秋的號長分別為b,,a”，所以a」=ai+3d=15+30=45,b」=b+3d=135-30=105,所以b4>a4,故立春的號長比立秋的署長長,D正確.故選C.第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項和

課程標準要求L理解等比數(shù)列的概念..掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式..能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題..了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.必備知識?課前回顧 ?招敖材夯實四條造知識梳理.等比數(shù)列的有關概念(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為皿=q(n￡N*,q為非 an零常數(shù)).(2)等比中項:如果a,G,b成等比數(shù)列，那么￡叫做a與b的等比中項.即G是a與b的等比中項=a,G,b成等比數(shù)列nG'ab..等比數(shù)列的有關公式(1)通項公式:an=電色.⑵前n項和公式：nar(q=1),Sn=tq(1-qn)=aranqg0])1-qlq”3.等比數(shù)列的常用性質⑴通項公式的推廣:an=am?qn-"(n,m￡N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kGN*),則an,an-apa2=4⑶若數(shù)列｛aj,｛bj(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛入aj,｛馬，｛畸｝,區(qū)bn｝,｛$｝(入#0)仍然是等比數(shù)列.(4)在等比數(shù)列｛aj中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)歹！J,公比為qk.(5)在等比數(shù)列｛aj中，若出為其前n項和，則Sn,S2n-Sn,S『S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且qWT).■釋疑(1)任意兩個實數(shù)不一定都有等比中項，只有同號的兩個非零實數(shù)才有等比中項.(2)&=也?qn,當q>0且q#l時,可以看成函數(shù)y=cqn,其是一個不為0q的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列｛aj各項所對應的點都在函數(shù)y=cq'的圖象上；當q=l時，｛aj為非零常數(shù)列.(3)忖尸嗎父^-魯q”+魯,若設a=魯,貝！JSn=-aqn+a(a#:0,qHO,q#4).l-ql-ql-q l-q由此可知，數(shù)列｛SJ的圖象是函數(shù)y=-ad+a圖象上一系列孤立的點.對于常數(shù)列的等比數(shù)列，即q=l時，因為“0,所以Sn=nai,由此可知，數(shù)列｛SJ的圖象是函數(shù)y=a1x圖象上一系列孤立的點.—匚對點自測三—1.已知在等比數(shù)列｛aj中,a3=7,$3=21,則公比q的值是(C)A.1B.--2C.1或3D.-l或g解析：當q=l時,33=7,S3=21,符合題意；?1Q2=7,當q#l時，ai（lq3）得口=-3-； =4,Ll-q綜上,q的值是1或-去故選C.2.（多選題）已知數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（AD）A.｛—｝B.log?若anC.｛an+an+i｝D.｛an+an+i+an+2｝解析:等比數(shù)列｛aj的通項4=1時，log?硅=0,數(shù)列｛log?W｝不是等比數(shù)列，等比數(shù)列｛aj的公比q=T時,an+an,i=0,數(shù)歹U｛an+aM不是等比數(shù)歹山由等比數(shù)列的定義知｛-｝和｛an+an+1+an+2｝都是等比數(shù)歹（J.故選AD.an.在等比數(shù)列｛aj中，a3=4,a7=16,則as等于（C）A.10B.±10C.8D.±8解析：因為硅=a3a7=4X16=64,所以a5=±8.又因為as-asQ>0,所以a5=8.故選C..在等比數(shù)列｛aj中，a3=9,a7=729,則a3與a7的等比中項為.解析:設a3與a7的等比中項為G.因為a3=9,a?=729,所以G?=9X729=6561,所以G=±81.答案：±81.若等比數(shù)列｛aj的各項均為正數(shù)，且aioau+a9al2=2e;則Ina,+lnaz+c'+lna2o=.解析:因為數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，且aioa“+a9al2=2e,所以ai()aii+a9al2=2ai()au=2e,所以310311-e,所以Inai+lna2+---+lna2o=ln(aia2,,,a2o)=ln(aiOan)10=ln(e5)10=lne50=50.答案：50關鍵能力?課堂突破戚考點一等比數(shù)列基本量的運算1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列瓜｝的前4項和為15,且a5=3as+4ai,則a3等于（C）A.16B.8C.4D.2解析:設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則+a】q+atq2+arq3=15,a1q4=3atq2+4%,解嘴二:所以a3=a,q2=4.故選C.2.設2為等比數(shù)列｛a｝的前n項和，已知3s3=a「2,3S2=a3-2,則公比q等于(B)A.3B.4C.5D.6解析：因為3s3=&-2,3S2=a3-2,所以兩式相減，得3(S3_S2)=(a廠2)-63-2),即3a3=a「a3,得a.i=4a3,所以q=%=4.故選B.a33.已知等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且ai+a3-^,az+a.)^,則TOC\o"1-5"\h\z2 4Sn_an解析:設等比數(shù)列｛aj的公比為q,因為I I\a2+a4=-,(?i+arq2=；，①所以 Q5(?iq+aiq3=『②由①除以②可得斗2,解得q=?代入①得ai=2,所以an=2X0產(chǎn)攝S“=1--4(1-媼,所以吸”起=27.萍答案：2"T一題后悟通(1)等比數(shù)列中有五個量abn,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=l時，｛aj的前n項和S產(chǎn)向；當qrl時，｛aj的前n項和S/i?"刃-即"嗎l-ql-q糜考點二等比數(shù)列的判定與證明例1設數(shù)歹U｛aj的前n項和為Sn,已知ai+2a2+3a：i+…+nan=(n-l)Sn+2n(n￡N*).(1)求a2,a?的值;(2)求證:數(shù)列5+2｝是等比數(shù)列.⑴解：因為ai+2a2+3a34---+nan=(n-l)Sn+2n(n6N*),所以當n=l時,ai=2X1=2;當n—2時,a】+2a2=(ai+a2)+4,所以a2=4;當n=3時，a1+2a?+3a3=2(ai+az+a3)+6,所以a3=8.綜上,a2=4,a3=8.(2)證明：因為ai+2a2+3as+…+皿=(n-1)Sn+2n(nGN*),①所以當n22時，a1+2a2+3a?+…+(n_l)an-i=(n-2)Sn-i+2(n-l).②①-②，得nan=(n-l)Sn-(n-2)Sn-i+2-n(Sn_Sn-l)-Sn+2Sn-l+2-nan_Sn+2Sn-i+2.所以-Sn+2Si+2=0,即Sn=2Sn-i+2,所以Sn+2=2(Si+2).因為S1+2=4#0,所以Sg+2W0,所以衿力2,Sn-l+N故｛Sn+2｝是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.［典例探究1］把本例改為“a=1,%=2%+1(22)”，求數(shù)列｛aj的通項公式.解：由an=2a-+l(n22)得an+l=2(an-i+l),即即+1-2.On-1+l所以數(shù)列｛a+1｝是首項為ai+l=2,公比為2的等比數(shù)列.所以an+l=2n,即an=2n-l.［典例探究2］在本例條件不變的情況下,判斷數(shù)列｛aj是否是等比數(shù)列.解：由本例知｛出+2｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，所以Sn+2=4X2n\即Sn=4X2"L2,①當n22時,Sj4X2"-2.②①-②得a?=4X2n-1-4X2n'2=4X2n'2=2n(n22).又n=l時，ai=2,符合此式，

所以an=2(n￡N*).這時皿卷=2,?n2n故數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.解題策略判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法(1)定義法:若出2q(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.an(2)等比中項法:若W+i=anan+2(n￡N*,anKO),則數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.(3)通項公式法:若an=Aqn(A,q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.數(shù)22質考點三等比數(shù)列的性質及應用數(shù)22CW3(1)在各項不為零的等差數(shù)列｛aj中,2a2°Kr歹U｛bn｝ 等比數(shù)列，且bz020二包020,貝!J10g26019*b2021)的值為()A.1B.2C.4D.8(2)已知數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，若a2=l,a5=J,貝！)a^+a2a3+…+2同向(neoN*)的最小值為()oA.-B.1C.2D.33(3)已知各項均為實數(shù)的等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若Sio-10,$30=70,則S?)等于( )A.150B.140C.130D.120解析：(1)因為在等差數(shù)列｛aj中，a.2019+a2021-232020,所以2a所以2a2019O-O2O22-a20O2a4-_1p2a2+o2o因為數(shù)列｛&4的各項均不為零,所以82020=4,因為數(shù)列｛bj是等比數(shù)列,所以b2所以b2019-_1026

=O2O22所以10g2(b2019*b?021)=log216=4.故選c.⑵由已知得數(shù)列｛4｝的公比滿足q比得解得q=*所以aM,a：4故數(shù)列是以2為首項,公比為落號的等比數(shù)列,所以aia?+a2a3+…+ana/i二故選C.⑶在等比數(shù)列｛aj中，設公比為q,由S10=10,S3o=7O可知q#T,所以S.o,所—Si。,S30-S20,S40-S3。構成等比數(shù)列,設其公比為q'.所以(S201sl0)2=SlO?(Sao-S20))即(S2°T0)2=10?(7O-S2o),解得S20=30（負值舍去）.因為,S2O-Sio3°TOS10 10因為,S2O-Sio3°TOS10 10=2=q',所以S401s30=2(S301s20)=80,S4o=S3o+8O=15O.故選A.解題策略在解決與等比數(shù)列有關的問題時,要注意挖掘隱含條件.利用性質時要注意成立的前提條件,有時需要進行適當變形.此外,解題時注意“設而不求”思想的運用.［針對訓練］TOC\o"1-5"\h\z(1)已知數(shù)列｛aj為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則由+④。等于( )A.7B.5C.-5D.-7⑵設Sn是等比數(shù)列｛aj的前n項和,若占3,則言等于()A.2B.-C.—D.1或23 10解析:⑴由解得黑U或目工所以y=二,或產(chǎn)=吃(_1 =-8,所以ai+aio=ai(l+q9)=-7.故選D.⑵設S2—k,Sl3k.因為數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，所以s2,s4-s2,S6-S」也為等比數(shù)列.又S2二k,Si—S2—2k,所以Se—S4—4k,所以Se~7k,所以543k3故選B.皂備選例^C?D（2020?全國I卷）設｛aj是等比數(shù)列，且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8等于( )A.12B.24C.30D.32解析:法一設等比數(shù)列｛aj的公比為q,所以42+1+04(/1+@2+@3池(]_2。1+。2+。3al+a2+a3由ai+a2+a3=ai(l+q+q?)=ai(1+2+29=1,解得a《,所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)4X(25+26+27)^X25X(l+2+2?)=32.故選D.法二令bn=an+an+i+an+2(n￡N*),則bn+尸an+l+an+2+an+3.設數(shù)列｛aj的公比為q,則出=限1+/+2+限3=(巾"[+*2%,所以數(shù)列｛bj為等比數(shù)列bnan~^an+l'^an+2an~^an+l^~an+2題意知b.-l,b2=2,所以等比數(shù)列｛bJ的公比q=2,所以bn=2'i,所以be=a6+3j+a8=25=32.故D.CW3記Sn為等比數(shù)列｛aj的前n項和，若a,=l?S3=1,則4S.i=.解析:設數(shù)列｛aj的公比為q,則有S3=ai+az+a3=l+q+q2。整理可得44q2+4q+1=0,所以q--^,所以Si-Ss+aF^-^^.2 488答案卷CM)已知數(shù)列｛aj和｛bj滿足31~1,bi~0,4an*i—3an—bn-^4,4bn+i—3bn—an—4.⑴證明：?+bn｝是等比數(shù)列，｛a「bj是等差數(shù)列;⑵求｛aj和｛bj的通項公式.(1)證明：由題設得4(an+i+bn+i)=2(an+bn),則an+i+bnH=1(an+bn).又因為a.+bFl,所以區(qū)+bJ是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.由題設得4(an+i-bn+i)-4(an_bn)+8,即an+i-bn+i=an-bn+2.又因為a.-b.-l,所以{a「bj是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.⑵解：由⑴知，an+bn=*,an-bn=2n-l.所以an=1[(an+b)+(an-bn)]=^+n-1,bn=1[(an+bn)-(an-bn)]=^-n+1.(選題明細表知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練等比數(shù)列基本量的運算1,2,4等比數(shù)列的性質及應用3,6,7,8,913等比數(shù)列的判定與證明5,1011,12,17等比數(shù)列的綜合問題14,15,1618A級基礎鞏固練1.已矢口等比數(shù)歹!J{aJ滿足a1」,a3a5=4(a「l),貝!la2等于(C)4A.2B.1C.- D.-2 8解析：因為a3a5二a%a3a5=4(a「l),所以底=4(a4-l),所以欣-4ai+4=0,所以a4=2.又因為q3-M=8,-4所以q二2,所以a2=aiq=-X2=-.4 2故選C.2.設正項等比數(shù)列｛aj的前n項和為S”,若Sz=3,S4=15,則公比q等于(D)A.5B.4C.3D.2解析：因為S2=3,S4=15,S4-S2=12,所以明：武,兩個方程左右兩邊分