理論力學(xué)課件-點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)

第1篇運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)的任務(wù)描述物體的機(jī)械運(yùn)動，包括研究描述運(yùn)動的方式，確定速度、加速度和其它運(yùn)動學(xué)量的方法。不考慮運(yùn)動產(chǎn)生和變化的原因，僅從幾何的觀點(diǎn)分析物體如何運(yùn)動，確立描述運(yùn)動的方法。參考物：運(yùn)動情況已知的物體參考系：與參考物固連的整個空間地球參考系：與地球固連的抽象的三維空間地心參考系：原點(diǎn)位于地心，坐標(biāo)軸指向恒星2022/12/221第1篇運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)的任務(wù)2022/12/2011第1篇運(yùn)動學(xué)參考系與坐標(biāo)系是兩個不同的概念例如滑塊沿斜面運(yùn)動，選地球參考系,可以建立兩種坐標(biāo)系22022/12/22第1篇運(yùn)動學(xué)參考系與坐標(biāo)系是兩個不同的概念22022/122第1節(jié)矢量描述法32022/12/22運(yùn)動方程位移矢量端圖OPP′速度加速度第1節(jié)矢量描述法32022/12/20運(yùn)動方程位移矢3第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法42022/12/22yzP(x,y,z)ox運(yùn)動方程速度加速度第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法42022/12/20yzP(x,4第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法52022/12/22例1設(shè)梯子的兩個端點(diǎn)A和B分別沿著墻和地面滑動，它和地面夾角是時間的已知函數(shù)，求梯子上M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、速度和加速度。AMabB第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法52022/12/20例1設(shè)梯子的兩5第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法解：62022/12/22取如圖所示的直角坐標(biāo)系，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為由此得M點(diǎn)的軌跡方程為yOABMaxb第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法解：62022/12/20取如圖所示的6第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法72022/12/22M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)的加速度為yOABMaxb第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法72022/12/20M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)7第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法82022/12/22當(dāng)a=b=l

時，M點(diǎn)的速度：M點(diǎn)的速度垂直于其矢徑！yOABMlxl討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法82022/12/20當(dāng)a=b8第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法92022/12/22當(dāng)a=b=l

且時，M點(diǎn)的加速度：加速度指向O點(diǎn)—勻速圓周運(yùn)動yOABMlxl第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法92022/12/20當(dāng)a=b9第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法102022/12/22例2半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾動)。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且輪心的速度和加速度分別為u和aO，試求輪子邊緣點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡、速度、加速度。MMRO第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法102022/12/20例2半徑為R10第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法112022/12/22解：取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，設(shè)M點(diǎn)所在的一個最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個角度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為這是旋輪線的參數(shù)方程。ORCAxy第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法112022/12/20解：取坐標(biāo)系A(chǔ)11第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法122022/12/22第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法122022/12/2012第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法132022/12/22M點(diǎn)的速度為：ORCAxyM點(diǎn)的加速度為：第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法132022/12/20M點(diǎn)的速度為：13第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法接觸點(diǎn)速度討論142022/12/22—M點(diǎn)在該瞬時速度為零！當(dāng)M點(diǎn)位于最高點(diǎn)時，即當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸時，即為什么？第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法接觸點(diǎn)速度討論142022/12/2014第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法152022/12/22M點(diǎn)的速度始終垂直于CMORCAxy速度的大?。喝我膺吘夵c(diǎn)速度討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法152022/12/20M點(diǎn)的速度始終15第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法162022/12/22當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸時為什么a向上？接觸點(diǎn)加速度討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法162022/12/20當(dāng)M點(diǎn)與地面接16172022/12/22ORCAxy如何求出和172022/12/20ORCAxy如何求出和17第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法182022/12/22例3繩的一端連在小車的A點(diǎn)上另一端跨過B點(diǎn)的小滑車?yán)@在鼓輪C上，滑車離地的高度為h。若小車以勻速度v沿著水平方向向右運(yùn)動，求當(dāng)時BC之間繩上一點(diǎn)P的速度和加速度。hPθCAB第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法182022/12/20例3繩的一18第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法192022/12/22幾何關(guān)系：對時間求導(dǎo)hPθCABl第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法192022/12/20幾何關(guān)系：對時19第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法202022/12/22如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動，運(yùn)動方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。運(yùn)動方程：第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法202022/12/20如果點(diǎn)沿著已知20第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法速度212022/12/22P′Po第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法速度212022/12/20P′Po21第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法加速度222022/12/22切向加速度法向加速度大?。糠较颍康?節(jié)自然坐標(biāo)描述法加速度222022/12/20切向加速22第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法232022/12/22P′Po返回—曲線上P點(diǎn)的曲率第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法232022/12/20P′Po返回—23第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法242022/12/22n就是曲線在P點(diǎn)的法向單位向量。P′P與垂直，其單位向量用n表示。返回第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法242022/12/20n就是曲線在P24第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法252022/12/22例4設(shè)有一點(diǎn)M的軌跡是平面曲線，M點(diǎn)的向徑為r，速度為v。直線OA垂直于過M點(diǎn)的切線，并且與切線交于A點(diǎn)。試求A點(diǎn)速度的大小。第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法252022/12/20例4設(shè)有一25第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法262022/12/22第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法262022/12/2026第4節(jié)極坐標(biāo)描述法272022/12/22點(diǎn)P沿著平面曲線運(yùn)動，其在任意時刻的位置可以用極坐標(biāo)表示為：P點(diǎn)的矢徑:oP—徑向單位矢量—橫向單位矢量由矢量對時間的導(dǎo)數(shù)的物理意義可得：第4節(jié)極坐標(biāo)描述法272022/12/20點(diǎn)P沿著平面曲線27第4節(jié)極坐標(biāo)描述法282022/12/22P點(diǎn)的速度為徑向速度橫向速度oPv的方向？第4節(jié)極坐標(biāo)描述法282022/12/20P點(diǎn)的速度為徑向28第4節(jié)極坐標(biāo)描述法292022/12/22P點(diǎn)的加速度為請注意徑向和法向、橫向和切向之間的差別！徑向加速度a橫向加速度aOP第4節(jié)極坐標(biāo)描述法292022/12/20P點(diǎn)的加速度為請29第4節(jié)極坐標(biāo)描述法例5行星沿著橢圓形軌道繞太陽運(yùn)動，橢圓方程為在行星運(yùn)動過程中，從太陽到行星的矢徑掃過的面積與時間成正比，或者說面積速度始終保持是常數(shù)即求行星的加速度。302022/12/22第4節(jié)極坐標(biāo)描述法例5行星沿著橢圓形軌道繞太陽運(yùn)動，橢30第4節(jié)極坐標(biāo)描述法312022/12/22行星的加速度始終指向太陽！第4節(jié)極坐標(biāo)描述法312022/12/20行星的加速度始終31第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法322022/12/22空間一點(diǎn)可以由三個獨(dú)立變量(稱為曲線坐標(biāo))來描述，該點(diǎn)的矢徑寫成為則該點(diǎn)的速度用曲線坐標(biāo)表示為第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法322022/12/20空間一點(diǎn)可以32332022/12/22第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法其中容易證明：如果相互垂直，則點(diǎn)加速度為同理，點(diǎn)加速度也可以用曲線坐標(biāo)寫出來。則若令332022/12/20第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法其中容易證明33342022/12/22第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法徑向、橫向和z方向速度為由此得于是徑向、橫向和z方向加速度為解：令則有例6試求柱坐標(biāo)形式的速度和加速度公式。342022/12/20第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法徑向、橫向和34追擊問題352022/12/22假設(shè)追擊者只知道目標(biāo)現(xiàn)在的位置，不能預(yù)知目標(biāo)將來的位置，因此追擊者的速度方向總是指向目標(biāo)現(xiàn)在的位置，例如狗追兔子、導(dǎo)彈打飛機(jī)等。BA目標(biāo)追擊者追擊問題352022/12/20假設(shè)追擊者只知道目標(biāo)現(xiàn)在的位35追擊問題362022/12/22由假設(shè)知又由可得追擊問題的相對運(yùn)動微分方程：當(dāng)時，目標(biāo)被擊中或捕獲。通常追擊者速率是已知的，如果目標(biāo)的速度或軌跡也是已知函數(shù)，則求解上面微分方程可得相對運(yùn)動軌跡。oA目標(biāo)追擊者B追擊問題362022/12/20由假設(shè)知又由可得追擊問題的當(dāng)36追擊問題372022/12/22例7設(shè)靶機(jī)以水平速度u飛行，飛行高度為h，地對空導(dǎo)彈從O點(diǎn)發(fā)射，其飛行速率為常數(shù)v，試求相對飛行軌跡。huvO追擊問題372022/12/20例7設(shè)靶機(jī)以水平速度u37追擊問題382022/12/22解：根據(jù)已知條件，在圖示平面直角坐標(biāo)系中有：追擊問題的相對運(yùn)動微分方程：如何求解？xyOhv追擊問題382022/12/20解：根據(jù)已知條件，在圖示平面38追擊問題392022/12/22用極坐標(biāo)系(以任意時刻導(dǎo)彈的位置為坐標(biāo)原點(diǎn))，則有追擊問題的相對運(yùn)動微分方程在極坐標(biāo)下寫成結(jié)論？追擊問題392022/12/20用極坐標(biāo)系(以任意時刻導(dǎo)彈的39第1篇運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)的任務(wù)描述物體的機(jī)械運(yùn)動，包括研究描述運(yùn)動的方式，確定速度、加速度和其它運(yùn)動學(xué)量的方法。不考慮運(yùn)動產(chǎn)生和變化的原因，僅從幾何的觀點(diǎn)分析物體如何運(yùn)動，確立描述運(yùn)動的方法。參考物：運(yùn)動情況已知的物體參考系：與參考物固連的整個空間地球參考系：與地球固連的抽象的三維空間地心參考系：原點(diǎn)位于地心，坐標(biāo)軸指向恒星2022/12/2240第1篇運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)的任務(wù)2022/12/20140第1篇運(yùn)動學(xué)參考系與坐標(biāo)系是兩個不同的概念例如滑塊沿斜面運(yùn)動，選地球參考系,可以建立兩種坐標(biāo)系412022/12/22第1篇運(yùn)動學(xué)參考系與坐標(biāo)系是兩個不同的概念22022/1241第1節(jié)矢量描述法422022/12/22運(yùn)動方程位移矢量端圖OPP′速度加速度第1節(jié)矢量描述法32022/12/20運(yùn)動方程位移矢42第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法432022/12/22yzP(x,y,z)ox運(yùn)動方程速度加速度第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法42022/12/20yzP(x,43第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法442022/12/22例1設(shè)梯子的兩個端點(diǎn)A和B分別沿著墻和地面滑動，它和地面夾角是時間的已知函數(shù)，求梯子上M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、速度和加速度。AMabB第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法52022/12/20例1設(shè)梯子的兩44第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法解：452022/12/22取如圖所示的直角坐標(biāo)系，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為由此得M點(diǎn)的軌跡方程為yOABMaxb第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法解：62022/12/20取如圖所示的45第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法462022/12/22M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)的加速度為yOABMaxb第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法72022/12/20M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)46第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法472022/12/22當(dāng)a=b=l

時，M點(diǎn)的速度：M點(diǎn)的速度垂直于其矢徑！yOABMlxl討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法82022/12/20當(dāng)a=b47第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法482022/12/22當(dāng)a=b=l

且時，M點(diǎn)的加速度：加速度指向O點(diǎn)—勻速圓周運(yùn)動yOABMlxl第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法92022/12/20當(dāng)a=b48第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法492022/12/22例2半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾動)。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且輪心的速度和加速度分別為u和aO，試求輪子邊緣點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡、速度、加速度。MMRO第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法102022/12/20例2半徑為R49第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法502022/12/22解：取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，設(shè)M點(diǎn)所在的一個最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個角度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為這是旋輪線的參數(shù)方程。ORCAxy第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法112022/12/20解：取坐標(biāo)系A(chǔ)50第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法512022/12/22第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法122022/12/2051第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法522022/12/22M點(diǎn)的速度為：ORCAxyM點(diǎn)的加速度為：第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法132022/12/20M點(diǎn)的速度為：52第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法接觸點(diǎn)速度討論532022/12/22—M點(diǎn)在該瞬時速度為零！當(dāng)M點(diǎn)位于最高點(diǎn)時，即當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸時，即為什么？第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法接觸點(diǎn)速度討論142022/12/2053第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法542022/12/22M點(diǎn)的速度始終垂直于CMORCAxy速度的大?。喝我膺吘夵c(diǎn)速度討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法152022/12/20M點(diǎn)的速度始終54第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法552022/12/22當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸時為什么a向上？接觸點(diǎn)加速度討論第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法162022/12/20當(dāng)M點(diǎn)與地面接55562022/12/22ORCAxy如何求出和172022/12/20ORCAxy如何求出和56第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法572022/12/22例3繩的一端連在小車的A點(diǎn)上另一端跨過B點(diǎn)的小滑車?yán)@在鼓輪C上，滑車離地的高度為h。若小車以勻速度v沿著水平方向向右運(yùn)動，求當(dāng)時BC之間繩上一點(diǎn)P的速度和加速度。hPθCAB第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法182022/12/20例3繩的一57第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法582022/12/22幾何關(guān)系：對時間求導(dǎo)hPθCABl第2節(jié)直角坐標(biāo)描述法192022/12/20幾何關(guān)系：對時58第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法592022/12/22如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動，運(yùn)動方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。運(yùn)動方程：第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法202022/12/20如果點(diǎn)沿著已知59第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法速度602022/12/22P′Po第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法速度212022/12/20P′Po60第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法加速度612022/12/22切向加速度法向加速度大??？方向？第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法加速度222022/12/20切向加速61第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法622022/12/22P′Po返回—曲線上P點(diǎn)的曲率第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法232022/12/20P′Po返回—62第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法632022/12/22n就是曲線在P點(diǎn)的法向單位向量。P′P與垂直，其單位向量用n表示。返回第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法242022/12/20n就是曲線在P63第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法642022/12/22例4設(shè)有一點(diǎn)M的軌跡是平面曲線，M點(diǎn)的向徑為r，速度為v。直線OA垂直于過M點(diǎn)的切線，并且與切線交于A點(diǎn)。試求A點(diǎn)速度的大小。第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法252022/12/20例4設(shè)有一64第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法652022/12/22第3節(jié)自然坐標(biāo)描述法262022/12/2065第4節(jié)極坐標(biāo)描述法662022/12/22點(diǎn)P沿著平面曲線運(yùn)動，其在任意時刻的位置可以用極坐標(biāo)表示為：P點(diǎn)的矢徑:oP—徑向單位矢量—橫向單位矢量由矢量對時間的導(dǎo)數(shù)的物理意義可得：第4節(jié)極坐標(biāo)描述法272022/12/20點(diǎn)P沿著平面曲線66第4節(jié)極坐標(biāo)描述法672022/12/22P點(diǎn)的速度為徑向速度橫向速度oPv的方向？第4節(jié)極坐標(biāo)描述法282022/12/20P點(diǎn)的速度為徑向67第4節(jié)極坐標(biāo)描述法682022/12/22P點(diǎn)的加速度為請注意徑向和法向、橫向和切向之間的差別！徑向加速度a橫向加速度aOP第4節(jié)極坐標(biāo)描述法292022/12/20P點(diǎn)的加速度為請68第4節(jié)極坐標(biāo)描述法例5行星沿著橢圓形軌道繞太陽運(yùn)動，橢圓方程為在行星運(yùn)動過程中，從太陽到行星的矢徑掃過的面積與時間成正比，或者說面積速度始終保持是常數(shù)即求行星的加速度。692022/12/22第4節(jié)極坐標(biāo)描述法例5行星沿著橢圓形軌道繞太陽運(yùn)動，橢69第4節(jié)極坐標(biāo)描述法702022/12/22行星的加速度始終指向太陽！第4節(jié)極坐標(biāo)描述法312022/12/20行星的加速度始終70第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述法712022/12/22空間一點(diǎn)可以由三個獨(dú)立變量(稱為曲線坐標(biāo))來描述，該點(diǎn)的矢徑寫成為則該點(diǎn)的速度用曲線坐標(biāo)表示為第5節(jié)曲線坐標(biāo)描述