2023屆浙江省杭州市高級中學數(shù)學高一上期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知指數(shù)函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的每個點的橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則a的值是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù).若對于都有，且當時，，則的值為（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.23．已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.5．若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）A.1 B.C.2 D.36．已知點，直線，則點A到直線l的距離為（）A.1 B.2C. D.7．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A. B.C. D.8．方程的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.9．已知一扇形的周長為28，則該扇形面積的最大值為（）A.36 B.42C.49 D.5610．已知α，β是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線a，使得a⊥α，a⊥β；②存在兩條平行直線a，b，使得a//α，a//β，b//α，b//β；③存在兩條異面直線a，b，使得a?α，b?β，a//β，b//α；④存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β其中可以推出α//β的條件個數(shù)是A.1 B.2C.3 D.411．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度12．已知函數(shù),若實數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．如圖，已知△和△有一條邊在同一條直線上，，，，在邊上有個不同的點F,G，則的值為______14．若在冪函數(shù)的圖象上，則______15．某房屋開發(fā)公司用14400萬元購得一塊土地，該地可以建造每層的樓房，樓房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層整幢樓房每平方米建筑費用提高640元．已知建筑5層樓房時，每平方米建筑費用為8000元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平米的平均綜合費用最低（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），公司應把樓層建成____________層，此時，該樓房每平方米的平均綜合費用最低為____________元16．一個扇形的中心角為3弧度，其周長為10，則該扇形的面積為__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且不等式對一切實數(shù)都成立（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍18．已知函數(shù)（常數(shù)）.（1）當時，用定義證明在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；（2）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）令，設在區(qū)間上的最小值為，求的表達式.19．化簡求值：（1）；（2）已知，求的值20．已知函數(shù)的圖象（部分）如圖所示，（1）求函數(shù)的解析式和對稱中心坐標；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間21．已知直線（1）求與垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4直線方程：（2）已知圓心為，且與直線相切求圓的方程；22．已知函數(shù)，.（1）利用定義證明函數(shù)單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】根據(jù)函數(shù)圖象變換求出變換后的函數(shù)解析式，結合已知條件可得出關于實數(shù)的等式，進而可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意可得，再將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，又因為，所以，，整理可得，因為且，解得.故選：D.2、C【解析】根據(jù)題意求得函數(shù)的周期，結合函數(shù)性質(zhì)，得到，在代入解析式求值，即可求解.【詳解】因為為上的偶函數(shù)，所以，又因為對于，都有，所以函數(shù)的周期，且當時，，所以故選：C.3、C【解析】利用不等式的性質(zhì)和充要條件的判定條件進行判定即可.【詳解】因為，，所以成立；又，，所以成立；所以當時，“”是“”的充分必要條件.故選：C.4、D【解析】根據(jù)給定條件利用對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性列式求解作答.【詳解】函數(shù)中，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D5、B【解析】根據(jù)以及周期性求得.【詳解】依題意函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，解得.故選：B6、C【解析】利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】解：點，直線，則點A到直線l的距離,故選：C.【點睛】點到直線的距離.7、D【解析】由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)8、C【解析】分析函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理可得出結論.【詳解】因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，因為，，，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：C.9、C【解析】由題意，根據(jù)扇形面積公式及二次函數(shù)的知識即可求解.【詳解】解：設扇形的半徑為R，弧長為l，由題意得，則扇形的面積，所以該扇形面積的最大值為49，故選：C.10、B【解析】當α，β不平行時，不存在直線a與α，β都垂直，∴a⊥α，a⊥β?α∥β，故1正確；存在兩條平行直線a，b，a∥α，b∥β，a∥β，b∥α，則α，β相交或平行，所以2不正確；存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，由面面平行的判定定理得α∥β，故3正確；存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β，則α，β相交或平行，所以4不正確；故選B11、D【解析】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.本題選擇D選項.12、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)做出函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結合的思想可求出函數(shù)的零點的個數(shù)，得出選項.【詳解】令，得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，做出函數(shù)的圖象，如下圖所示，因為，由圖象可得出函數(shù)的零點個數(shù)為3個，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點,考查學生分析解決問題的能力,關鍵在于做出函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結合的思想得出零點個數(shù)，屬于中檔題.多選題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、16【解析】由題意易知：△和△為全等的等腰直角三角形，斜邊長為，，故答案為16點睛：平面向量數(shù)量積類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.本題就是利用幾何意義處理的.(2)求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡.14、27【解析】由在冪函數(shù)的圖象上，利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再計算的值【詳解】設冪函數(shù)，，因為函數(shù)圖象過點，則，，冪函數(shù)，，故答案為27【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義與解析式，意在考查對基礎知識的掌握情況，是基礎題15、①.15②.24000【解析】設公司應該把樓建成層，可知每平方米的購地費用，已知建筑5層樓房時，每平方米建筑費用為8000元，從中可得出建層的每平方米的建筑費用，然后列出式子求得其最小值，從而可求得答案【詳解】設公司應該把樓建成層，則由題意得每平方米購地費用為（元），每平方米的建筑費用為（元），所以每平方米的平均綜合費用為，當且僅當，即時取等號，所以公司應把樓層建成15層，此時，該樓房每平方米的平均綜合費用最低為24000元，故答案為：15，2400016、6【解析】利用弧長公式以及扇形周長公式即可解出弧長和半徑，再利用扇形面積公式即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，解得，所以，答案為6.【點睛】主要考查弧長公式、扇形的周長公式以及面積公式，屬于基礎題.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）觀察不等式，令，得到成立，即，以及，再根據(jù)不等式對一切實數(shù)都成立，列式求函數(shù)的解析式；（2）法一，不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用函數(shù)與不等式的關系，得到的取值范圍，法二，代入后利用平方關系得到，恒成立，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意得：①，因為不等式對一切實數(shù)都成立，令，得：，所以，即②由①②解得：，且，所以，由題意得：且對恒成立，即對恒成立，對③而言，由且，得到，所以，經(jīng)檢驗滿足，故函數(shù)的解析式為（Ⅱ）法一：二次函數(shù)法，由題意，對恒成立，可轉(zhuǎn)化為，對恒成立，整理為對恒成立，令，則有，即，解得，所以的取值范圍為法二，利用乘積的符號法則和恒成立命題求解，由①得到，，對恒成立，可轉(zhuǎn)化為對恒成立，得到對恒成立，平方差公式展開整理，即即或?qū)愠闪?，即或即，或，即或，所以的取值范圍為【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，重點考查函數(shù)，不等式與方程的關系，轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于中檔題型.18、（1）證明見解析（2）當時，奇函數(shù)；當時，非奇非偶函數(shù)，理由見解析.（3）【解析】（1）當時，得到函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出證明；（2）分和兩種情況，結合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出結論.（3）根據(jù)正負性,結合具體類型的函數(shù)的單調(diào)性,進行分類討論可以求出的表達式；【小問1詳解】當時，函數(shù)，設且，則，因為，可得又由，可得，所以所以，即，所以函數(shù)是上是嚴格增函數(shù).【小問2詳解】由函數(shù)的定義域為關于原點對稱，當時，函數(shù)，可得，此時函數(shù)為奇函數(shù)；當時，，此時且，所以時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【小問3詳解】，當時,,函數(shù)在區(qū)間的最小值為；當時,函數(shù)的對稱軸為：.若,在區(qū)間的最小值為；若,在區(qū)間的最小值為;若,在區(qū)間的最小值為；當時,,在區(qū)間的最小值為.綜上所述：；19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算公式求解即可；(2)根據(jù)誘導公式，轉(zhuǎn)化為其次問題進行求解即可.【詳解】(1)原式.(2)原式.20、（1），對稱中心；（2），【解析】(1)由函數(shù)的圖象得出A，求出函數(shù)的四分之一周期，從而得出ω，代入最高點坐標求出φ，得函數(shù)的解析式，進而求出對稱中心坐標；（2）令，從而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）由題意可知，，，，又當時，函數(shù)取得最大值2，所以，，又因為，所以，所以函數(shù)，令，，得對稱中心，.（2）令，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，【點睛】求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標時，要把ωx+φ看作整體，分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標分別求出x，這兒利用整體的思想；求y＝Asin（ωx+φ）的最大值，需要借助正弦函數(shù)的最大值的求解方法即可21、（1）或；（2）【解析】分析：（1）由題意，設所求的直線方程為，分離令和，求得在坐標軸上的截距，利用三角形的面積公式，求得的值，即可求解；（2）設圓的半徑為，因為圓與直線相切，列出方程，求得半徑，即可得到圓的標準方程.詳解：（1）∵所求的直線與直線垂直，∴設所求的直線方程為，∵令，得；令，得.∵所求的直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為4∴，∴∴所求的直線方程為或（2）設圓的半徑為，∵圓與直線相