圓錐曲線的最值問題常見類型及解法

關于圓錐曲線的最值問題常見類型及解法第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日類型一:兩條線段最值問題利用圓錐曲線的定義求解根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法。關鍵：用好圓錐曲線的定義第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1、已知點F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上動點，則的最小值為

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思維導圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點A、P與兩焦點之間的關系兩點之間線段最短FAPyx第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1、已知點F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上動點，則的最小值為

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解析：設雙曲線右焦點為F/FAPyx第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2：如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點到兩個定點之間的距離為定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|=10+(|MA|-|MF’|)≤10+|AF’|因此，當|AF’|最大時，|MA|+|MF|是最大值。具體解題過程如下：已知橢圓的右焦點F，且有定點A（1，1），又點M是橢圓上一動點。問|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出點M的坐標分析：第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日則F’的坐標為(－4,0)解：設橢圓的左焦點為F’由橢圓的定義得：|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|連AF’，延長交橢圓于M’則||MA|-|MF’||≤|AF’|當且僅當M,A,F’三點共線時，等號成立。∴|MA|-|MF’|的最大值為|AF’|，這時M與M’

重合∵|AF’|=∴|MF|+|MA|的最大值為要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大，問題：本題解題到此結束了嗎？最小值為第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日變式訓練：已知P點為拋物線上的點，那么P點到點Q（2，-1）的距離與P點到拋物線焦點的距離之和的最小值為___，此時P點坐標為_.Qxy第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日類型二：圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值切線法當所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點。第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1：在圓x2+y2=4上求一點P，使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。略解：圓心到直線L的距離d1=所以圓上的點到直線的最短距離為d=d1-r思考：例1是否還有其他解題方法？問題：直線L的方程改為3x-2y-6=0，其結果又如何？第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日∴圓上的點到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離另解：設平行于直線L且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0∵直線與圓相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±∴m2=52，代入圓x2+y2=4整理得：第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2、求橢圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標.思維導圖：求與平行的橢圓的切線切線與直線的距離為最值，切點就是所求的點.xyo第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2、求橢圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標.解：設橢圓與平行的切線方程為第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日變式訓練：

動點P在拋物線上，則點P到直線的距離最小時，P點的坐標為_________.第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日例3求點到橢圓上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標。本題可以根據(jù)橢圓的方程設出滿足條件的點的坐標，然后根據(jù)兩點間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點的坐標。分析：類型三：圓錐曲線上點到x軸（Y軸）上某定點的距離的最值第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日此時，所以的最大值為即此時Q的坐標為：設點Q(x,y)為橢圓上的任意一點，則又因為x2=4-4y2所以（－1≤y≤1）解：例3求點到橢圓上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標。第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日思考題：第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日變式訓練：

已知雙曲線C：，P為C上任一點，點A（3，0），則|PA|的最小值為________.第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1：已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點A(4,4)、B(1,-2)的連線為底邊的△ABP，其頂點P在拋物線的弧AB上運動，求：△ABP的最大面積及此時點P的坐標。

動點在弧AB上運動，可以設出點P的坐標，只要求出點P到線段AB所在直線AB的最大距離即為點P到線段AB的最大距離，也就求出了△ABP的最大面積。要使△ABP的面積最大，只要點P到直線AB的距離d最大。設點P()解：由已知：

|AB|=2x-y-4=0直線AB：*解題過程如下：*分析：類型四第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日d=由已知：－2＜y＜4∴dmax=此時，y=1,x=d=∴點的坐標為(，1)∴Smax=第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日我們可以連接AB，作平行AB的直線L與拋物線相切，求出直線L的方程，即可求出直線L與AB間的距離，從而求出△ABP面積的最大值和點P的坐標。分析：y2-2y+2m=0設直線L與拋物線y2=4x相切，直線AB：2x-y-4=0直線L的方程為：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=此時，y=1,x=∴直線L的方程為：2x-y+=0兩直線間的距離d=另解：把（*）代入拋物線的方程得其他過程同上。第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日回顧反思與能力提升：1、此法用了哪種數(shù)學思想方法？2、有沒有別的辦法？3、要注意畫出草圖，根據(jù)圖形確定何時取最大值，何時取最小值.第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日類型五:基本不等式法先將所求最值的量用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達式的最值.這種方法是求圓錐曲線中最值問題應用最為廣泛的一種方法.第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日例4、設橢圓中心在坐標原點A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與橢圓交于E、F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.AFEBxy思維導圖：用k表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日例4、設橢圓中心在坐標原點A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與橢圓交于E、F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.解析：依題意設得橢圓標準方程為直線AB、EF的方程分別為設第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日根據(jù)點到直線距離公式及上式，點E、F到AB的距離分別為∴四邊形AFBE的面積為第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日變式訓練：

已知橢圓的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值.第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日方法四:函數(shù)法把所求最值的目標表示為關于某個變量的函數(shù)，通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.關鍵：建立函數(shù)關系式第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日例5、點A、B分別是橢圓的長軸的左右端點，F(xiàn)為右焦點，P在橢圓上，位于x軸的上方，且PA⊥PF若M為橢圓長軸AB上一點，M到直線AP的距離等于|MB|.求橢圓上點到點M的距離的最小值.xyABFMP思維導圖：把所求距離表示為橢圓上點的橫坐標的函數(shù)求這個函數(shù)的最小值第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日解析：由已知可得點A(-6，0)、F(4,0),設點P(x,y)，則由(1)、(2)及y>0