高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第八篇第七節(jié)配套（教師用） 理

第7節(jié)空間向量及其運(yùn)算編輯ppt4．掌握向量的長(zhǎng)度公式，兩向量夾角公式、空間兩點(diǎn)間的距離公式，并會(huì)解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題．編輯ppt(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第109～110頁(yè))1．空間向量的概念編輯ppt編輯ppt2.空間向量的線性運(yùn)算(1)空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的推廣．設(shè)a，b是空間任意兩向量，若OA―→＝AC―→＝a，AB―→＝b，P∈OC，則OB―→＝OA―→＋AB―→＝a＋b，BC―→＝AC―→－AB―→＝a－b.OP―→＝λa(λ∈R)．編輯ppt(2)向量加法與數(shù)乘向量運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律①加法交換律：a＋b＝b＋a.②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．③數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．④數(shù)乘結(jié)合律：λ(μ

a)＝(λμ)a.(λ∈R，μ∈R)．編輯ppt3．空間向量中的有關(guān)定理編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt質(zhì)疑探究：(1)對(duì)實(shí)數(shù)a、b，若ab＝0一定有a＝0或b＝0，而對(duì)向量a，b，若a·b＝0也一定有a＝0或b＝0嗎？(2)對(duì)實(shí)數(shù)a，b，c，有(ab)c＝a(bc)而對(duì)向量a，b，c，也有(a·b)c＝a(b·c)成立嗎？提示：(1)不一定．因?yàn)楫?dāng)a≠0，b≠0，且a⊥b時(shí)，也有a·b＝0.(2)一般地，(a·b)c≠a(b·c)，這是因?yàn)?a·b)c與c共線，a(b·c)與a共線，若a與c不共線，則(a·b)c與a(b·c)就不共線，更不可能相等．編輯ppt編輯ppt1．下列命題是真命題的是(

D

)(A)分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量是不共面向量(B)若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反(C)若向量AB―→，CD―→滿足|AB―→|＞|CD|―→，且AB―→與CD―→同向，則AB―→＞CD―→(D)若兩個(gè)非零向量AB―→與CD―→滿足AB―→＋CD―→＝0，則AB―→∥CD―→解析：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，故A假；若|a|＝|b|，則a與b的模相等，方向不確定，故B假；兩個(gè)向量不能比較大小，故C假；AB―→＋CD―→＝0?AB―→＝－CD―→，∴AB―→∥CD―→，故D真．編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt4．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個(gè)點(diǎn)是否共面________(填“共面”或“不共面”)．編輯ppt(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第110～111頁(yè))空間向量的線性運(yùn)算【例1】如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AA1―→＝a，AB―→＝b，AD―→＝c，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)AP―→；(2)A1N―→；(3)MP―→＋NC1―→.編輯ppt編輯ppt編輯ppt用已知不共面的向量表示某一向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來(lái)．編輯ppt共線向量定理與共面向量定理的應(yīng)用

【例2】已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：BD∥平面EFGH；(2)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OM―→＝(OA―→＋OB―→＋OC―→＋OD―→)．編輯ppt編輯ppt編輯ppt應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較：三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面PA―→＝λPB―→且同過(guò)點(diǎn)PMP―→＝xMA―→＋yMB―→

對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP―→＝OA―→＋tAB―→對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP―→＝xOA―→＋(1－x)OB―→對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP―→＝xOM―→＋yOA―→＋(1－x－y)OB―→

編輯ppt變式探究21：設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．編輯ppt空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用

【例3】在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60°角(如圖)．求B、D間的距離．思路點(diǎn)撥：①轉(zhuǎn)化為求向量BD―→的模；②在封閉圖形中用向量表示出BD―→；③運(yùn)用求模的公式求B、D間的距離．編輯ppt編輯ppt①求向量m和n所成的角，首先應(yīng)選擇合適的基底，將目標(biāo)向量m和n用該組基底表示出來(lái)，再求他們的數(shù)量積及自身長(zhǎng)度，最后利用公式cos〈m，n〉＝求得．②在向量性質(zhì)中，|a|2＝a·a是向量與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，運(yùn)用此公式，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)相等向量的數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題．③運(yùn)用數(shù)量積的定義及性質(zhì)可以解決立體幾何中求異面直線所成的角、求兩點(diǎn)間距離或線段長(zhǎng)度以及證明線線垂直、線面垂直等問(wèn)題．編輯ppt空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例4】(2010年寧波模擬)如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.思路點(diǎn)撥：建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算AE―→·CD―→，判斷是否AE⊥CD.要證PD⊥平面ABE，只要證PD垂直于平面ABE內(nèi)兩條相交直線即可．編輯ppt編輯ppt編輯ppt【例題】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt錯(cuò)源：對(duì)空間向量的坐標(biāo)表示理解錯(cuò)誤【例題】已知向量a，b，c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空間的另一組基底，若向量p在基向量a＋b，a－b，c下的坐標(biāo)為(，－，3)．求p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)．編輯ppt編輯ppt【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)線性運(yùn)算2、3、6、10共線、共面問(wèn)題1、6數(shù)量積的應(yīng)用3、4、5、7、8、9、10編輯ppt一、選擇題1．在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

A

)(A)0(B)1(C)2(D)3編輯ppt解析：a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②錯(cuò)誤；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，故選A.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt5.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，且有OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)P，A，B，C，D共面的(

C

)(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件解析：這是共面向量定理的一個(gè)推論，選C.編輯ppt編輯ppt編輯ppt二、填空題7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，〈b，c〉＝________.編輯ppt8．已知F1＝i＋2j＋3k，F(xiàn)2＝－2i＋3j－k，F(xiàn)3＝3i－4j＋5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于一物體上，使物體從點(diǎn)M1(1，－2,1)移動(dòng)到點(diǎn)M2(3,1,2)，則合力所做的功是________．解析：F1＝(1,2,3)，F(xiàn)2＝(－2,3，－1)，F(xiàn)3＝(3，－4,5)，W＝(F1＋F2＋F3)·M1M2―→＝(2,1,7)·(2,3,1)＝14.答案：14編輯ppt三、解答題9．(2010年寧波模擬)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面