十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編（全國(guó)文科數(shù)學(xué)）專題08三角函數(shù)與數(shù)列解答題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新課標(biāo)文科卷)專題08三角函數(shù)與數(shù)列解答題...?⑥真題匯總■??..【2022年全國(guó)甲卷文科18】記S”為數(shù)列｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和.已知—+n=2冊(cè)+1.(1)證明：｛aj是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求S”的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)-78.【解析】(1)解：因?yàn)?71=2czn+1,即2Sn+序=2na.n+幾①，當(dāng)riN2時(shí)，2Sn-i+(n—l)2=2(n—l)an_j+(n-1)②，①一②得，2Sn+n2_ —(n—l)2—2m%+n—2(n—1)%_]—(n-1),即2%+2n—1=2nan—2(n-l)%_i+1,即2(n—l)tzn—2(n—1)q-i=2(幾一1),所以％—%t=1,nN2且nWN*,所以｛即｝是以1為公差的等差數(shù)列.(2)解：由(1)可得。4=%+3,+6，Qg=Q1+8,又Q4，Q7，09成等比數(shù)列，所以劭2=。4，。9，即(Q1+6)2=(Qi+3)?(%+8),解得力=-12,所以%=n-13,所以Sn=—i2n+竽=Tn2_gn=T(n_m)2_^，所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)(Sn)mm=-78..【2022年全國(guó)乙卷文科17〕記△4BC的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為小b,c,已知sinCsinQl-B)=sin8sin(C-4).(1)若4=28,求C；(2)證明：2q2=b2+c2【答案】(錯(cuò)；(2)證明見解析.【解析】⑴由A=2B,sinCsin(i4-B)=sinFsin(C-4)可得，sinCsinB=sinBsin(C-4),而0VBV所以sinBE(0,1),即有sinC=sin(C-A)>0,而0vC<n,0vC-AVn,顯然CHC-4所以，C+C-71=n,而4=28,4+B+C=ir,所以C=乎.(2)由sinCsin(/l-B)=sinfisin(C-A)可得,sinC(sirii4cosF—cos/lsinF)=sin8(sinCcosA-cosCsin?!),再由正弦定理uj得，accosB—bccosA=bccosA—abcosC.然后根據(jù)余弦定理可知，1(a2+c2—b2)—1(h2+c2—a2)=1(b2+c2—a2)—1(a2+〃—c2),化簡(jiǎn)得：2a2=ft24-c2?故原等式成立..12021年全國(guó)甲卷文科18】記5rl為數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，已知冊(cè)>0,。2=3%,且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列，證明：｛an｝是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.??數(shù)歹史后｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d=醫(yī)一區(qū)=y/a2+ax一歷=屈~V?i+(n-1)V?1=ny/a^^(ne/V*)』=耍2,(nGAT*):.當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn_i=axn2—ar(n—l)2=2atn—at當(dāng)n=1時(shí)，2QiXl—Qi=a],滿足冊(cè)=2。述—,?｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為=2ajn-Qi，(neAT)Aan—Q〃_]=(2arn—qJ—[Za^fn—1)—a1]=2a1...｛4｝是等差數(shù)列..[2021年全國(guó)乙卷文科19]設(shè)｛a“｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛九｝滿足砥=詈.已知a「3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求｛%｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式:(2)記Sn和及分別為｛即｝和%｝的前〃項(xiàng)和.證明：Tn吟.【答案】⑴an=(I)"-1.bn=親⑵證明見解析.因?yàn)椋鸻“｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且如，3a2,9a3成等差數(shù)列，所以6a2=%+9。3，所以6aiq=%+9aiq2,即9q2-6q+l=0,解得q=g,所以％.=(/一1,所以/=等=*（2）證明：由⑴可得L=2字=[1—專）,~3Tn=]+>…+巖+嬴①所以乙=(1-點(diǎn))-所以及一李=*1_束)一/一與1—表)=一為<0，所以7\〈申..【2020年全國(guó)1卷文科18】A/IBC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知8=150。.(1)若a=*c,6=2V7,求△48C的面積；(2)若siM+6sinC=^,求C.【答案】(1)V3；(2)15°.【解析】(1)由余弦定理可得。2=28=a2+c2-2ac-cosl50°=7c2,??c=2,a=2a/3,???△4BC的面積S=^acsinB=V3；(2)???4+C=30。，??s\nA+V3sinC=sin(30°-C)+V3sinC=1cosC+^sinC=sin(C+30°)=浮??0°<C<30°,???30。VC+30°<60%C4-30°=45°,aC=15°..【2020年全國(guó)2卷文科17]△ZBC的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2(]+4)+cos4=*(1)求小(2)若b-c=?a,證明：△49。是直角三角形.【答案】⑴4=j；(2)證明見解析【解析】(1)因?yàn)?S2(1+4)+cosA=所以siM4+cosA=*即1-cos2/l+cosA=4解得cosA=I，又0<4VTT,所以4W；(2)因?yàn)?=三，所以cos4=?；；"-=；，3 2bc2即爐+c2-a2=be?,又b-c=?a②，將②代入①得，b2+c2-3(6—c)2=be,即2bz+2c2—5bc=0.而b>c,解得b=2c,所以a=>/3c,故護(hù)=a2+c2,即△ABC是直角三角形..【2020年全國(guó)3卷文科17】設(shè)等比數(shù)列｛a“｝滿足如+匆=4,a3-^=8.(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；(2)記S”為數(shù)列｛10g3。"｝的前〃項(xiàng)和.若5m+Sm+1=Sm+3，求小【答案】(1)an=3"t；(2)m=6.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛a』的公比為q，根據(jù)題意，有廣尸”3解得口皂，(。廿一Qi=8 (q=3所以an=3n-1；(2)令瓦，=log3a?=log33"-1=n-1,所以5“=*二12=吟2,根據(jù)5m+5m+】=Sm+3,可律等寸=也等坦，整理得nt?-5m-6=0,因?yàn)閙>0,所以m=6,=8sirvL.【2019年新課標(biāo)3文科18]△Z8C的內(nèi)角小B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin：=8sirvL(1)求8；(2)若△48C為銳角三角形，且c=l,求△48C面積的取值范圍.［答案］解：(1)asin§￡=/>sinJ,即為asin^-^-=acosg=6sinJ,可得sinJcos-=sinBsinJ=2sinycos^sinJ,VsiiL4>0,??cos-=2sin-cos-,2 2 2若cosg=0,可得8=(2%+l)TT,依Z不成立，..B1?.sin-=2 2由OV8Vit,可得B=~；(2)若△/5C為銳角三角形，且c=l,由余弦定理可得b=la2+1—2a-1-cos^=Va2—a+1,由三角形ABC為銳角三角形，可得a?+a2-a+1>|且1+a2-a+\>a2,解得g<h<2,可得△Z8C面積S=9?siq=fae(y,y).9.【2019年新課標(biāo)2文科18］已知｛冊(cè)｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=2,aj=2az+l6.(1)求｛a,,｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b“=k>g2a,”求數(shù)列｛兒｝的前”項(xiàng)和.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由°1=2,〃3=2〃2+16,得2/=41+16,即爐-2q-8=0,解得夕=-2(舍)或g=4./.an=Qiq"T=2x4n-1=22n-1；b”=log24〃=log222n~1=2n-1,Vfti=l,bn+\-hn=2(〃+l)-1-2〃+l=2,??.數(shù)列｛瓦｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列｛兒｝的前"項(xiàng)和7\=nx1+*i)x2=n2.【2019年新課標(biāo)1文科18】記￡為等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和.已知Sg=-(1)若。3=4,求｛a“｝的通項(xiàng)公式；(2)若m>0,求使得S,2。"的”的取值范圍.【答案】解：(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列｛小｝中，設(shè)其公差為d,若59=-05.則S9=若2"=9as=-a5,變形可得。5=0，即g+4d=0,若“3=4,則(/=當(dāng)四=一2,則?！?。3+(?-3)d=-2〃+10,(2)若S“2a”,則〃。|+"(：i)d2ai+(〃-1)d,當(dāng)〃=1時(shí)，不等式成立，當(dāng)〃》2時(shí)，有日/-內(nèi)，變形可得(〃-2)d》-m，又由§9=-。5，即S9==警2=9as=-%，則有小=0，即m+4d=0,則有(〃-2)二詈二一⑶,2 4又由。1>0,則有"W10,則有2《〃〈10,綜合可得：”的取值范圍是｛"|1W"WIO,"6N｝..【2018年新課標(biāo)1文科17］已知數(shù)列｛a“｝滿足ai=l,na,^\=2(n+1)an,設(shè)兒=塞.(1)求力，歷，如(2)判斷數(shù)列他“｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求｛為｝的通項(xiàng)公式.【答案】解：(1)數(shù)列｛%｝滿足ai=l,"az=2(n+1)a?,則：音=2(常數(shù))，口由于故：2=2,數(shù)列｛d｝是以bi為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.整理得：bn=bx-2n-1=2“t,所以：6i=l,bi=2,63=4.(2)數(shù)列｛兒｝是為等比數(shù)列，由于好_=2(常數(shù))：bn(3)由(1)得：bn=2“t,根據(jù)久=中,所以：an=n-2n~l..【2018年新課標(biāo)2文科17】記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和，已知ai=-7,S3=-15.(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；(2)求S,,并求S,的最小值.【答案】解：(1):,等差數(shù)列｛"”｝中，。1=-7,Si=-15>.*.ai=-1,3ai+3d=-15,解得ai=-7,d=2,'.an=-7+2(n-1)=2n-9；(2)'：ai=-7,d=2,a?=2n-9,Sn=](a1+an)=|(2n2-16n)=n2-8〃=(n-4)2-16....當(dāng)”=4時(shí)，前”項(xiàng)的和S,取得最小值為-16..【2018年新課標(biāo)3文科17]等比數(shù)列｛a“｝中，a)=l,。5=4的?(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)記S”為｛“"｝的前”項(xiàng)和.若Sm=63,求機(jī).【答案】解：(1)?.,等比數(shù)列｛ad｝中，ai=1?as=4aj.,lXg4=4X(lXg2),解得g=±2,當(dāng)q=2時(shí)，an=2n當(dāng)q=-2時(shí)，a?=(-2)，｛a“｝的通項(xiàng)公式為，a?=2fll,或a.=(-2)"(2)記&為｛為｝的前"項(xiàng)和.當(dāng)。尸1,產(chǎn)-2時(shí)，S,尸嚴(yán)=卷=『，1—q 1—(-2) 3由Se=63,得Sm=I：)"=63,“wN,無(wú)解：當(dāng)m=l,g=2時(shí)，S?= =2--1,1—q 1—2由Sm=63,得Sm=2M-1=63,mGN,解得m=6..【2017年新課標(biāo)1文科17】記為等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.(1)求｛a.｝的通項(xiàng)公式；(2)求S”并判斷S“+i，S?,S〃+2是否成等差數(shù)列.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛〃"｝首項(xiàng)為0,公比為1，則a3=Si-S?=-6-2=-8,則a\=岑=J，ai==—,qqqq由m+〃2=2, 4--=2,整理得：夕2+4q+4=。，解得：q=-2,則。]=-2,an=(-2)(-2)n,=(-2)w????｛〃〃｝的通項(xiàng)公式以〃=(-2)〃；(2)由(1)可知：S”=當(dāng)一口= =一杷+(-2)/1，則S“+i=_?2+(-2)/2],Sfl+2=-l[2+(-2)/3],由S"+i+S”2=_|[2+(-2)"42]-1[2+(-2)/3],=-i[4+(-2)X(-2)"+,+(-2)2X(-2)叫，=-i[4+2(-2)"+,]=2X[-1(2+(-2)M+l)],=2Sn，即S〃+i+S〃+2=2S〃，工SiS〃，S/2成等差數(shù)列.15.【2017年新課標(biāo)2文科17]已知等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為￡,等比數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和為〃，ai=-1,"=1,歐+岳=2?(1)若出+加=5,求｛瓦｝的通項(xiàng)公式;(2)若73=21,求S3.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的公差為4等比數(shù)列｛兒｝的公比為夕，a\="Lb[=L。2+岳=2,。3+加=5,可得-l+d+g=2,-|+2d+/=5,解得d=l，夕=2或d=3,夕=0(舍去)，則｛瓦｝的通項(xiàng)公式為兒=2〃7,〃WN*；(2)6i=l,73=21,可得l+g+/=21,解得q=4或-5,當(dāng)夕=4時(shí)，厲=4,g=2-4=-2,d=-2-(-1)=7,S3=-1-2-3=-6；當(dāng)g=-5時(shí)，/>2=-5,g=2-(-5)=7,d=7-(-1)=8,S3=-1+7+15=21.16.【2017年新課標(biāo)3文科17］設(shè)數(shù)列｛叫滿足m+3Q2+…+(2n-1)an=2n.(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列｛磊｝的前〃項(xiàng)和.【答案】解：(1)數(shù)列｛〃”｝滿足〃1+3。2+…+(2/?-1)an=2n.時(shí)，3a2+…+(2/?-3)ani=2(w-1).TOC\o"1-5"\h\z??(2〃-1)cin2??? ?2n-1當(dāng)〃=1時(shí)，41=2,上式也成立.? _2?皿尸不？(2)-22-= =— —.2n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l,數(shù)列｛磊｝的前〃項(xiàng)和=(1T+(2)+…+(*-焉)=|一六=懸?17.【2016年新課標(biāo)1文科17］已知｛&｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛d｝滿足4=1,岳=g,%be+be(I)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；(II)求｛兒｝的前〃項(xiàng)和.【答案】解：(1)°；anbn+i+bn+Lnb*.當(dāng)〃=1時(shí)，。也+岳=加.,**61=19/>2=［41=2,又???｛““｝是公差為3的等差數(shù)列，?(In3〃-1,(II)由(/)知：(3〃-1)bn+l+bn+\=nbn.即3be=bn.即數(shù)列｛6“｝是以1為首項(xiàng)，以g為公比的等比數(shù)列，??｛兒｝的前”項(xiàng)和51=上￥=?(1-3")=(一孩718.【2016年新課標(biāo)2文科171等差數(shù)列｛。〃｝中，的+。4=4,。5+。7=6.(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)兒=口“],求數(shù)列｛6｝的前10項(xiàng)和,其中團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛"“｝的公差為d,??〃3+。4=4,〃5+。7=6..12al+5d=4+10d=6'fai=1解得：(d=2，2 ,3?a〃=~n+(ID?"〃=[%],?b\=bz=b3=1，64=65=2,b6=b7=bg=3,b9=bio=4.故數(shù)列｛瓦｝的前10項(xiàng)和Sio=3X1+2X2+3X3+2X4=24..【2016年新課標(biāo)3文科17]己知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝滿足m=l,an2-(2a〃+「1)a〃-2冊(cè)+i=0.(1)求。2，。3；(2)求｛斯｝的通項(xiàng)公式.【答案】解：(1)根據(jù)題意，an2-(2a,t+\-1)an-2an-i=0,當(dāng)〃=1時(shí)，有“J-(2s-1)m-2a2=0,而。]=1,則有1-(2a2~1)-2〃2=0,解可得。2=；,當(dāng)〃=2時(shí)，有療-(2s-1)&-2。3=0，又由。2=：，解可得。3=；，2 4故。2= 。3=(2)根據(jù)題意，Qn-(2a”-]-1)an~2斯+|=0,變形可得(?！ā?跖+1)=0,即有an=2an+\或a〃=-1,又由數(shù)列｛?。黜?xiàng)都為正數(shù)，則有a〃=2a〃+i，故數(shù)列｛4,｝是首項(xiàng)為G=l，公比為g的等比數(shù)歹IJ,則a“=lX(1) (1)故(|)".【2015年新課標(biāo)1文科17］已知a,b,c分別是△NBC內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，sin25=2sinJsinC.(I)若a=b,求cosB；(II)設(shè)8=90°,且〃=遮，求△彳8c的面積.【答案】解：(/)Vsin2S=2sinJsinC?由正弦定理可得：缶=熹=高="0,代入可得(bk)2=2ak*ck,/.b2=2ac,：a=b,***fl=2c>由余弦定理可得：cos8=。2：/一方2=aka=：2ac2ax-a4(〃)由(Z)可得:b2=2aCfVB=90°,且a=VL*.a2+c2=h2=2act解得a=c=V2./.S,mbc=Iac=1.21.【2015年新課標(biāo)2文科17]△ABC中，。是8。上的點(diǎn)，彳。平分NB4GBD=2DC(I)求能(II)若NA4C=60°,求N8.【答案】解：(I)如圖,由正弦定理得:ADBDADDC~~--fsin乙Bsinz.BAD sinz.Csinz.CAD,.1。平分N8/C,BD=2DC,(II)VZC=180°-(/BAC+/B),ZBAC=60°,：.sinZC=sin{ZBAC+ZB)=ycoszfi+|sinzB,由（I）知2sinNB=sinNC,/.tanZ5=y,即/8=30°.22.【2014年新課標(biāo)1文科171已知｛冊(cè)｝是遞增的等差數(shù)列，。2,。4是方程r-5x+6=0的根.(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列碌｝的前〃項(xiàng)和.【答案】解：(1)方程(-5x+6=0的根為2,3.又｛a“｝是遞增的等差數(shù)列，故42=2,44=3,可得2d=1,d=：,11故a”=2+(〃-2)x-=-zz+1,(2)設(shè)數(shù)列｛$｝的前〃項(xiàng)和為工,，一"J?+尹+尹+…+廣+正，①蘇=/+$+號(hào)+…+竽+晶,②①一②得外=1+或表+/+三+…+￡)_晶=＞如，\￥)一晶,解得4升*1-/)-轉(zhuǎn)=2-群.23.【2014年新課標(biāo)2文科17】四邊形48CO的內(nèi)角/與C互補(bǔ)，Z8=l,8c=3,CD=DA=2.(1)求C和8￡)；(2)求四邊形48CQ的面積.【答案】解：(1)在△8。中，8c=3,8=2,由余弦定理得：BD^BO+CD?-2BC-CDcosC=13-12cosC①，在△480中，AB=\,DA=2,A+C=ti,由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB*ADcosA=5-4coM=5+4cosC②，由①②得：cosC=%則C=60°,BD=V7；

(2)7cosC=?co^TsinC=sinJ=則S=^-AB-DA^\nA+扣C?C0sinC=xlX2x—+1x3X2xy=2百.D二B v24.【2013年新課標(biāo)1文科17］已知等差數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S3=0,S5=-5.(I)求｛為｝的通項(xiàng)公式；川)求數(shù)列｛f''的前〃項(xiàng)機(jī)【答案】解：(I)設(shè)數(shù)列｛?。氖醉?xiàng)為ai,公差為d,則Sn=nai+與*.由已知可得5+竽d~5,即解得公…故｛〃”｝的通項(xiàng)公式為a”=m+(/1-1)d=l+(〃-1)?(-1)=2-n；川)由(1)知^七一六).從而數(shù)列｛---｝的前〃項(xiàng)和fl2n-l?2n+l25.【2013年新課標(biāo)2文科17】已知等差數(shù)列｛”“｝的公差不為零，ai=25,且a”au,m3成等比數(shù)列.(I)求｛為｝的通項(xiàng)公式；(H)求。1+。4+。7+…+。3”-2.【答案】解：(/)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為dwo，由題意ai，aw，ai3成等比數(shù)列，山1=%。13，...(%+10d)2=%(%+12d),化為d(2ai+25d)=0,.?.2X25+254=0,解得d=-2.：.a?=25+(/?-1)X(-2)=-2〃+27.(//)由(/)可得2=-2(3”-2)+27=-6"+31,可知此數(shù)列是以25為首項(xiàng)，-6為公差的等差數(shù)列.S"=ai+a4+a7+…S"=ai+a4+a7+…+。3”.2=八(。1+。3，1-2)_n(25—6n+31)2=-3〃2+28〃..???⑥模擬好題???.1.已知a,b,c分別為銳角三角形4BC三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，且V5c=2asinC.⑴求4(2)若a=V7，b=2,求c；7(3)若cosB=§,求sin(2B-4)的值.【答案】(%(2)3(3產(chǎn)818【解析】(1)由于0VCV所以sinC工0?由8c=2asinCWV3sinC=2sin>lsinC,所以sinA=3,且三角形ABC為銳角三角形，2所以4=((2)在4A8C中，由余弦定理有coSi4=>二/=4+c-7=-=^c2—2c—3=0>2bc 4c2解得c=3或c=-l(舍)，故c=3.(3)[|jcosB=可得sinB=叱,cos25=cos2B—sin2H=-3 9Vssin2F=2sinFcosB=—.9所以sin(2B-4)=sin2BcosA-cos2Bs\nA4V51 1V39 2,9， 2_4代+百——18-,2.在△ABC中，角4,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,(b+a)(sin4—sinB)=(c-b)sinC.(1)求角Z的大小；(2)設(shè)a=2,cos-=-.求江2 7【答案】(1)4W；(2)*=y.【解析】(1)由題設(shè)(a+b)(a-b)=(c—b)c,即be=c2+b2—a2,所以cos4=三旺江=工，又0<A<m故TOC\o"1-5"\h\z2bc2 3(2)由(1)知：0VBV則0V￡Vg而cos^=?,故§也2=出，3 2 3 2 7 2 7fillrI.DQ.BBQ2V7wVH4V3加以s\nB=2sm-cos-=2x-x—=—,2 2 7 7 7-r-ab-L.L. 4 4V3 16而而=病，故6=看'丁=亍,3.定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插入這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到〃階和數(shù)列，如｛1,5｝的一階和數(shù)列是｛1,6,5｝,設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為S”.(1)試求｛1,5｝的二階和數(shù)列各項(xiàng)和S2與三階和數(shù)列各項(xiàng)和S3,并猜想S”的通項(xiàng)公式(無(wú)需證明)：(2)若7=一］嘀(s“_3)；g3(s“+i-3)'求｛&｝的前”項(xiàng)和7小并證明：【答案】(1)S2=12+6x3,S3=12+6x(31+32),Sn=3n+1+3(2)Tn=47-7-證明見解析、/ n+2 2【解析】(1)由題意得，Si=1+6+5=12,§2=1+7+6+11+5=12+18=12+6x3,S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+ 18+54= 12 +6 x3 + 6 x32 =12+6x (31+32),S4=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+ 17 +28 + 11 + 27 + 16+ 21+ 5=12+18+54+162=12+6x3+6x32+6x33=12+6x(31+32+33),Sn=12+6x(31+32+33+…+3n-1)(n>1),

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得，Sn=12+6x華詈=3-+3,所以｛S“｝的通項(xiàng)公式Sn=3n+1+3.(2)由于Sn=3n+1+3,n+1所以log3(Sn—3),log3(Sn+i—3) (n+1 n+2) n+2n+1一工一工+工一號(hào)...+-1——n+2 n+1 n+2 2因?yàn)閚eN*,所以白>以所以專一(>一(又7\隨，，的增大而減小,所以當(dāng)n=l時(shí)，7\取得最大值—：，故—o L 64.已知數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和為Sn=*+1,正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為由,且a/3+a2b2+a3bl=14.⑴求數(shù)列&｝和也｝的通項(xiàng)公式；(2)求使不等式兒>(含丫(n>2)成立的所有正整數(shù)n組成的集合.【答案】⑴冊(cè)=LD%=1(2)[3,4,5,6,7).【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn=n?+1,所以當(dāng)n=l時(shí),u=2；當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn_i=2n-l,故冊(cè)二公"，],n>2所以。2=3,。3=5，從而a】3+。2b2+a3bl=14,化為2b3+3b2+5bl=14,又因?yàn)閿?shù)列｛0｝為正項(xiàng)等比數(shù)列且瓦=%=2,設(shè)公比為q,且q>0,又2q2+3q—2=0,解得q=g或q=-2(舍)，從而九=g)”；(2)當(dāng)nN2時(shí)，不等式久>(含)2轉(zhuǎn)化為2-2<5—1)2,即與字>i,記價(jià))=0，/(2)=1，/(3)=2,7(4)= /(5)=2,/(6)=看/(7)= /(8)=熱當(dāng)7124時(shí)，端2=9x6%=汨*<1,/(n)單調(diào)遞減，所以〃n)<l因此使不等式bn>(57y成立的所有正整數(shù)n組成的集合為｛3,456,7｝..已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為又，且2Sn=3%-3.(1)證明數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)瓦,=log3an.求數(shù)列｛%%｝的前n項(xiàng)和7\.【答案】(1)證明見解析，an=3n3 (2n-l)3n+1⑵Tn=1+—i—【解析】(l)當(dāng)n=1時(shí)，由2sl=3d]—3可得%=3,由已知2sli=3an—3,有2Shi=3an+1—3,兩式相減得20n+i=3%+i-30n，即即+i=3%,因?yàn)?=3,所以“H0,所以蜉=3,所以數(shù)列｛詢｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以%=3n；(2)由(1)可得＞=log3%=幾，所以0nblt=n?3麓,Tn=1x34-2x32+3x33+...+nx3n,則37n=1x32+2x33+…+(ri-1)x3"+nx3n+1,所以-27.=3+32+33+...+3n-nx3n+1=(1丁"1_|,所以7T+y空..已知數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和S”滿足40n-2S”+數(shù)一3n-4=0,n6N*.數(shù)列｛bj滿足比=1,2nbn+1=unbn,nGN*.(1)求證：數(shù)列｛Q〃-n｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；⑵求證：勾+1＞勾23-貴,n￡N*.【答案】(1)證明見解析，an=2n+n(2)證明見解析【解析】(1)當(dāng)71=1時(shí)，Qi=3;當(dāng)7122時(shí)，4un_j—2Sn_j+(71—l))—3(n—1)—4=0,n6N*,所以4(%—%-1)-20n+2n-4=0,整理得0n=2an.x-n4-2.所以“—n=2[即-1—(n—1)]?又Gt]-1=2工0,故即一幾工0.所以即：:二1)=2,即｛冊(cè)一71｝為等比數(shù)列.所以冊(cè)一n=2“,冊(cè)=2“+n

(2)由題意得%+i=(1+所以4i+i與九同號(hào)，又因?yàn)橥?1>0,所以%>0,即與+i—勾=式勾>0,即幻+i>所以數(shù)列｛bn｝為遞增數(shù)列，所以勾之瓦=1,即。+1—。=^bn>.累加得"-b]>1+ ,,,+令丁小/力…+繇，所以…+詈兩式相減得：篇=；+,+/…+白-展=1：2,」一展'2所以7n=2-翳，所以4,23—巖，所以以+1>，,23—黠??1.的取值7.已知數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，a2=3,%4=3。5，數(shù)列出"的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足2Sn=3bn(1)求｛%｝和也”｝1.的取值⑵若金=%?”，數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為〃，且7^n-n-3n<(-l)n?m對(duì)neN*恒成立，求實(shí)數(shù)范圍.【答案】(l)an=2n-l(nCN+)：bn=3n~\nGA/+)⑵m6(-8,2)【解析】⑴解:等差數(shù)列｛斯｝中，設(shè)公差為乩則(。2=3nf%+d=3J(a14=3a5(cii+13d=3at+12d=>Poa=｛T=；=>an=2n-l(neN+)數(shù)列出n｝中的前〃項(xiàng)和為Sn，且2S“=3bn-1①當(dāng)n=1時(shí)，兒=1當(dāng)nN2時(shí)，2Sn_i=3*-1②②一①得：b=3bn_!(n>2)故數(shù)列｛b“｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以九=3"T(neN+).(2)解:數(shù)列｛呢｝中，Cn=On-h?=(2n-1)-3"-1.則7\=1x30+3x3]+…+(2n-3)?3n-2+(2n-1)-3n-1所以3Tn=1X31+3X32+■?+(2n-3)-3n-1+(2n-1)-3n故-2Tn=1+2(3*+3z+...+3n-1)-(2n-1)-3n=-1+2(30+3]+…+3n-1)l-3n-(2n-1)-3n=-1+2--_--(2n-1)-3n=(2-2n)-3n-21—3所以7\=5-1)-3n+1V(-l)"-m>Tn-n-3n=l-3n對(duì)neN*恒成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(一1)“?m=-m>l-3n=>m<3n-l=>m<(3n-l)min=31-1=2,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(一1)2 = —3"nni>(l-3n)max=1-32=—8綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為mG(—8.2)..已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為S〃，a2=-9,且Sn+1+Sn_i-2Sn=2(n>2)(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)“=」一，數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為7〃，求使得2>0的〃的最大值.anan+l【答案】(\)an=2n-13(2)5【解析】(1)由題意知(S〃+/-S〃)-CSn-Sn.i)=2,解得〃〃+/-〃〃=2(n>2)>又。2■。尸2,所以｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，則an=ai^(??-!)d=2n-13；(2)山題知"n=(2n-13)(2n-ll)=2^2n-13-Zn-lP*則丁篦=瓦+62+…+bn

1/1 11111\=I + +???+ I2\-11-9-9-7 2n-132n-11/=1島-=~l(n+2^n)由7n>°得5+含=n^<°，解得0<n(果所以n的最大值為5..已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：at=l,a2=2,且即+2=?[a，v =1,2,…)12%+1—30rp%+i為奇數(shù)(1)直接與出。3,a4>a5>。6的值；(2)請(qǐng)判斷。2021+。2。22是奇數(shù)還是偶數(shù)，并說明理由；(3)是否存在n,使得0n=2022?若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)。3=1,a4=-4,a5=-5,a6=2；(2)是奇數(shù)，理由見解析；(3)不存在，理由見解析.【解析】(1)解：由題得CI3=1,=一4,=—5,。6=2.(2)解：。2021+&2022是奇數(shù).理由如下：先證引理1：冊(cè)的奇偶性與n相同.假設(shè)不滿足引理1的最小正整數(shù)n=t,即心的奇偶性與t不同，由(1)知t27(也可以寫t23這里是為了保證后面用到的t-1/-2為正整數(shù)).①若t為奇數(shù)，則有a-i為偶數(shù)，a一2為奇數(shù)，進(jìn)而有七=a?1一a一2為奇數(shù)，矛盾；②若t為偶數(shù)，則有為奇數(shù)，a一2為偶數(shù)，進(jìn)而有3a_2為偶數(shù)，矛盾.所以假設(shè)不成立，引理1正確.進(jìn)而有。2021+。2022為奇數(shù)加偶數(shù)，結(jié)果為奇數(shù).(3)解：不存在，理由如下.先證引理2：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，%除以3余數(shù)為1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，冊(cè)除以3余數(shù)為2.假設(shè)不滿足引理2的最小正整數(shù)n=3由(1)知t27.①若t為奇數(shù)，則由(2)有a.i為偶數(shù)且除以3余數(shù)為2,4_2為奇數(shù)且除以3余數(shù)為1,進(jìn)而有4=4_1-/_2除以3的余數(shù)為1,矛盾；②若t為偶數(shù)，則由(2)有&T為奇數(shù)且除以3余數(shù)為1,4-2為偶數(shù)且除以3余數(shù)為2,進(jìn)而有4=24_1-34-2除以3的余數(shù)為2,矛盾.所以假設(shè)不成立，引理2正確.假設(shè)存在n,使得%=2022,由(2)知，n為偶數(shù)，進(jìn)而有即除以3的余數(shù)為2,而2022除以3的余數(shù)為1,矛盾.進(jìn)而有不存在n，使得%=2022..設(shè)數(shù)列｛即｝的前“項(xiàng)和為S”，%=0,a2=1*nSn+1—(2n+l)Sn+(n+l)Sn-i-1=0(n>2).(1)證明：｛%｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)以=2%，在以和勾+i之間插入〃個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d”的等差數(shù)列，求｛看｝的前”項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)Tn=6-(n+3)(曠'【解析】(1)證明：因?yàn)榫?gt;2時(shí)，幾一(2n+l)Sn+5+l)Sn_i-l=0,則n(5n+i-Sn)-(n+l)(Sn-Sn-i)-1=0,E|Jnan+1—(n+l)an-1=0,n>2,?因?yàn)閝2-2al—1=0,?則n%+i—(n+l)an-1=0,nGN* ①,所以(n—1)0n—nan_j-1=0,n>2 ②,則①一②得-2nan+幾%_1=0,n>2,HPan+i+an-i=2an,n>2,?所以｛即｝為等差數(shù)列.(2)解：由(1)可得｛%｝的首項(xiàng)為%=0,公差為。2—%=1，所以％=九一1，所以勾=2'T,所以d“=所以d“=皿普2?_2?-1 2n-1m.i1 n+1F-=k則記后｝的前n項(xiàng)和為Tn,則7\=2.6)+3，G)+4,(I)+…+("+】)◎ ①,所以篇=2-g)1+3.g)2+4-g)3+…+*廣1+(n+l)g)"………②,則①-②得篇=2+G)+GF+…+(J1-s+1)削,所以gTn=1+/-(n+l)g)n=3-(n+3)g)",-所以7\=6_(71+3)(3"一).記A4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)。在邊AC上，且滿足DB:DA:DC=2:3:4,aABC的面積s的面積s=BDbsinB(1)證明：2b2=7qc⑵求cosZ.ABC.【答案】(1)證明見解析⑵一1或一：【解析】(1)點(diǎn)。在邊AC上，且滿足DB:ZM:0C=2:3:4,所以。8=：從DA=^b,DC=^b,S=1acsinB=BDb^'nBt故ac=^b2,即2b2=7ac；(2)由圖可知cosZ-ADB+coszCDB=(初產(chǎn))+㈤ 一『=0,2x?x0 2x”x%可得3q2-Qac+4c2=0,解得Q=2c或Q=|c,1°當(dāng)。=2c時(shí)，b2=：qc=7c2,cos^ABC=⑵)+‘_7(___1.2 2x2cxc220當(dāng)Q=?C時(shí)，b2=^ac=^c2fcos^ABC= =-3 2 3 2XyXc 3綜上所述COSZ-ABC=一1或一|..ZiABC的內(nèi)角4&C的對(duì)邊分別為&b、c,已知qcosB=gbsinA(1)求角5的大小；(2)從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)作為己知條件，使三角形存在且唯一確定，并求△ABC的面積.條件①：a=3；條件②：b=2魚；條件③：cosC=-g：?c=2【答案】(1)B=?(2)答案見解析【解析】⑴由acosB=VlbsinA和正弦定理得sinAcosB=V5sinBsinA,因?yàn)?<4<兀，所以sinZHO,所以cosB=gsinB>0，tanB=—.3因?yàn)镺vBVn,所以B=?.o(2)若選條件①：a=3；條件②：b=2V2,由(1)8=也由余弦定理得(2甸2=32+c2-2X3cx日，解得C=吟”，因?yàn)榇鸢覆晃ㄒ?，所以舍?若選條件②：b=2V2；條件③：cosC=-g；由(1)B=F，因?yàn)閏osC=-g,0<C<7T,所以sinC=當(dāng)，由正弦定理得看=半，解得c=S”T2 3由余弦定理得(空)2=8+/+2X2好QX1解得Q=誓蛆，則44BC的面積為S=；absinC=生第述；若選條件①：a=3；條件③：cosC=-g；由(1)B=*因?yàn)閏osC=-g,0<C<it,所以sinC=苧，所以?a./D二、-DrID-r1― 代店V15-2TOC\o"1-5"\h\zs\nA=sin(7r—B—C)=sinucosc4-cosFsinc=-X1—)HX—= ,2 \3/ 2 3 6c3由正弦定理得謁?=?!=,解得c=3。6+12〉,~11則44BC的面積為S=^-absinC=456+】8二.2 22若選條件①：a=3；④c=2,由(1)8=*則448。的面積為S=扣csinB=1若選條件②：b=2V2;④c=2,由(1)8=也由余弦定理得(2>/?2=4+q2—2x2qX亨，解得q=V34-V7?TOC\o"1-5"\h\z則44BC的面積為S=^acsinB=1x2x(V3+V7)x1 .若選條件③：cosC=-；；④c=2,由(1)B=g3 0因?yàn)镃OsC=-g,0<C<7T,所以5也。=澤所以.4 ?ZDr、-DrID-r1^/2、百百V15-2sin/l=sin(it-B-C)=sinucosc+cososinc=-x1—)4 x—= ?2 \3/ 2 3 6由正弦定理得看=看，解得q=M*,--T- 5

則^ABC的面積為S=-acsinB=工x2x迪二在x1=辿二三.2 2 5 2 10補(bǔ)充在下面問題中并完成解.在①a=V7,②4C邊上的高為也，③sinB=且這三個(gè)條件中任選一個(gè),2 7補(bǔ)充在下面問題中并完成解答.問題：記△4BC內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知41=60。，c=b⑴求c的值；(2)若點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，且UDB-n4BC=W，求力。的長(zhǎng).【答案】(l)c=3(2)2【解析】(1)解：選條件①：a=V7,c=b+l，由余弦定理cos4=?忙±=i,則b2+b—6=0,2bc2解得b=2,則c=b+l=3；選條件②：4c邊上的高為逆，2由三角形的面積公式/(b+l)sin^=乎b,解得b=2,c=3.選條件③：sinB=4，TOC\o"1-5"\h\z由題意可知B<C?所以cosB=V1—sin2B=/1—-=過~,\ 7 7因?yàn)锳+B+C=msinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,百?2夕I1?V5T3V21=X F-X = ，2 7 2 7 14叵由正弦定理得當(dāng)=2,即盛=3smCc3Vzib+114解得b=2,C=3.(2)選條件①：因?yàn)橐?08—NABC=與所以乙= +cosB=a2+，cosB=a2+，M2ac7+9-4_2V72x77x3一~sinB="-cos2B=Jl十今則sin/ADB=sin(/ABC+^)=—14由正弦定理ADABsinBsin^ADB.cABsinB 3x亨'AD=1^S=1^=sinB="-cos2B=Jl十今則sin/ADB=sin(/ABC+^)=—14由正弦定理ADABsinBsin^ADB.cABsinB 3x亨'AD=1^S=1^=214選條件②;因?yàn)閁DB-/ABC=*所以-1CB= +cosB="+'"=衛(wèi)'紀(jì)2ac2xV7x37sinB=Vl-cos^=11-1=^則sinZJlOB=sin(z.?lBC+；)=14由正弦定理能=sineABgABsinB——,AD=-——3x4*7=2,3V21J—選條件③:sinz/lDF.z.4Dr.萬(wàn)、V21 1 2V7V3=sin(乙48c+-)=—x-+—x—= 、 37 7 2 7 2 143VH由正弦定理能=s\nBAB4cABsinB——,AD=-——s\n/.ADBsin^ADB3x浮 Z_=73V21J—.在△ZBC中，V3sin(B+7)=-cos(i54-7).o o(1)求3的值；若這三個(gè)條件中僅有(2)給出以下三個(gè)條件：①次-扶++3c=0；②a=V3,b=1；③S08c=若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問題：⑴求sin4的值；(ii)求NZ8C的角平分線8。的長(zhǎng).【答案】=~(i)sin4=—.(ii)BD=^-.14 8【解析】(1)由題設(shè)Wsin(8+?)+cos(F+?)=2sin(8+g)=0,而三<8+g<?,所以B+g=7T,故8=g.(2)若①②正確，則c2+3c+2=(c+1)(c+2)=0,得c=-1或c=-2,所以①②有一個(gè)錯(cuò)誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則Saabc="bsinC=竽，可得sinC=￡>l,即②為錯(cuò)誤條件:綜上，正確條件為①③，(i)由2accosB=a2+c2—d2,則c(3-a)=0,即a=3,又Smbc=gacsinB=-?可得c=5?TOC\o"1-5"\h\z所以9一〃+25+15=0,可得b=7,則'I=，^=舞故sin/=這，sinAsinoV3 14(ii)由角平分線的性質(zhì)知：40=9*7=^且乙48。=￡8 8 △在△4B。中黑=-^,則8。=?.siil4smZJlSD 8.在aABC中，角48,。所對(duì)的邊分別為,c.在①bcosA+acosB=2ccosC,②(q+b+c)(q+匕-c)=3ab,③cos2C+cosC=0中任選一個(gè)，(1)求角C的大??；(2)若c=2,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【答案】(l)C=g(2)6【解析】(1)選①bcosA+acosB=2ccosC,得sinBcos/l+sinAcosB=2sinCcosCAsin(>1+8)=sinC=2sinCcosCVCG(0,7r)AsinC*0/.cosC=1(0<C<7T)=^C=^選②(a+b+c)(a+b-c)=3ab=(a+b)2-c2=3ab=>c2=a2+b2-ab=a24-b2-2abcosCcosC=g(0vCV7r)nC=g選③cos2C+cosC=0n2cos2c+cost—1=0=(2cosC—l)(cosC+1)=0又OvCVtt所以cosC=p所以C=g(2)由余弦定理知：c2=a2+h2-2ab?cosC=a2+b2—afe=(a+b)2—3ab由基本不等式知：QbK(等丫所以c?=(a+b)2—3ab>(a+b)2--(a+b)2=-(a+b)24 4所以：a+b02c=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立)，所以a+b+c<6綜上：△/8C的周長(zhǎng)的最大值為6..在①2bsinC=bccosB+csinB，②岑=盧兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該cosC2a—c問題.在aABC中，內(nèi)角4、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且.⑴求角B；(2)若a+c=H，點(diǎn)。是4c的中點(diǎn)，求線段BC的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見解析，⑵［渭)【解析】(1)解：選①，由2bsinC=x/3ccosB+csinB及正弦定理可得2sinFsinC=V3sinCcos^+sinCsinB?所以，sinCsinF=V3sinCcosF?因?yàn)?、C6(0,7r)?所以，sinC>0,則sinB=V5cosB>0,所以，tanB=百，???8=g；選②，由竺^=J-及正弦定理可得sin8cosc=(2sin4-sinC)cosB,cost2a-c所以，2s\nAcosB=sin8cosc+cosFsinC=sin(8+C)=sinA,?；A、BE(0,tt),asinA>0,所以，cosB=p則8=2(2)解：因?yàn)閝+c=V5，所以，0VQV汽，由已知而=配，即用一麗=而一直5,所以，2協(xié)=麗+而，所以，4BD2=(麗+BC)2=BA2+BC2+2BA■前,即4BD2=c2+a24-2accos^=c2+a2+ac=(a+c)2-ac=3-a(V3-a)=a2-V3a+3=(a-y)+；6g,3)?所以，-<BD<—.4 2.已知△ABC的內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,tanB+tanC—KtanBtanC+6=0.(1)求角A的大??；(2)若前=2玩，AD=2,且4。平分4B4C,求△ABC的面積.【答案】(1)4=60。(2呼【解析】(1)tanB+tanC-V3tanBtanC+V3=0=>tan(B+C)= =-V3,故tanA=V3?又4€(0,w)nA=60°；(2)設(shè)8c邊的高為人1 1 1 1所以Saabp=萬(wàn)48xADsinz.BAD=-BDxh,ShABC=-ACxADsinz.DAC=-CDxh又4。是角平分線，所以4B/W=H4C所以*=?即c=2b,ACDC又Sa48c=Saabd+Sxacd，則gbcsin6°°=1-c-2sin30°+|h-2sin30°,解得6=V5，c=2V3>Saabc=?bcsin60°=苧..在三角形Z8C