生物醫(yī)學(xué)信號處理-33-隨機信號通過線性時不變系統(tǒng)課件

在生物醫(yī)學(xué)的隨機信號的分析與處理中，必然涉及隨機信號作用于各類系統(tǒng)情況下系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系問題，最簡單的例子：將隨機信號通過放大、平方檢波、包絡(luò)檢波、濾波等等。眾所周知，確定性信號通過線性系統(tǒng)時，基本關(guān)系是：時域上的卷積關(guān)系：頻域上的乘積關(guān)系：3.3隨機信號通過線性時不變系統(tǒng)在生物醫(yī)學(xué)的隨機信號的分析與處理中，必然涉及隨機信號作用于各如果x(t)是隨機信號，就不可能對時域卷積做傅氏變換，因為隨機信號不存在傅氏變換。雖然直接分析輸出信號的概率密度函數(shù)是最基本的辦法，但除高斯型信號外，一般的來說，輸出信號的概率密度函數(shù)比較難求（高斯型信號通過線性系統(tǒng)后仍是高斯型的）。因此，研究隨機信號通過線性系統(tǒng)的任務(wù)主要是研究輸入與輸出間相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。所以，本節(jié)討論的主要內(nèi)容如下：1)輸入、輸出間自相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系以及兩者間的互相關(guān)函數(shù)和互譜，把它們和系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性聯(lián)系起來，這些是用于隨機問題的基本關(guān)系。如果x(t)是隨機信號，就不可能對時域卷積做傅氏變換2)初步介紹一些線性系統(tǒng)在處理隨機信號時的應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)指出：本節(jié)介紹的分析方法只適用于輸出能保證平穩(wěn)的情況下。怎樣才能保證輸出是平穩(wěn)的呢？條件是：

1、輸入是平穩(wěn)的；

2、系統(tǒng)是平穩(wěn)時不變的。這是由于（和確定性情況一樣）輸出應(yīng)包含兩個分量----由輸入引起的強制分量和由系統(tǒng)特性及初始狀態(tài)決定的自由分量。只有滿足上述兩條件時，自由分量才會逐漸消失，強制分量才是平穩(wěn)的。本節(jié)介紹的分析方法正是對平穩(wěn)的強制分量而言。2)初步介紹一些線性系統(tǒng)在處理隨機信號時的應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)指出：本離散隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)均值的均值按定義為

這里是確定的系統(tǒng)特性。又因是平穩(wěn)隨機過程。有

所以有 即當(dāng)是與時間無關(guān)的常數(shù)時，也是與時間無關(guān)的常數(shù)。離散隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)均值自相關(guān)函數(shù)及功率譜我們暫時假設(shè)輸出是非平穩(wěn)的，則其自相關(guān)函數(shù)為

因為是平穩(wěn)的，所以所以 由于求和結(jié)果與n無關(guān)，從而，輸出自相關(guān)序列也只與時間差m有關(guān)。因此可以得出結(jié)論：對于一個線性非時變系統(tǒng)，如果用一個平穩(wěn)隨機信號激勵，則輸出信號也將是一個平穩(wěn)隨機信號。自相關(guān)函數(shù)及功率譜令l=r-k，上式可表示為

這里 可稱之為的自相關(guān)序列，它是一個時間卷積的結(jié)果。是一個確定的（而不是隨機的）序列，它并無統(tǒng)計平均的含義可言。它是與的卷積，具有相關(guān)函數(shù)的形式，說明著系統(tǒng)特性的前后波及性。變換得 （1）令l=r-k，上式可表示為（1）將式(1)進(jìn)行z變換有：

將代入，并用功率譜密度表示，上式為

上式稱為維納--辛欽定理。它表明：一個隨機信號通過系統(tǒng)，從頻域看其輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度與的模平方的乘積。這里是ω的非負(fù)、實、偶函數(shù)。設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在）將式(1)進(jìn)行z變換有：設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度線性非時變系統(tǒng)的輸入和輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。按定義

上式又稱為輸入-輸出互相關(guān)定理。將其代入式(1)得

互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在），變換到z域有：

用功率譜表示有

設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在），變換到z域有連續(xù)隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)連續(xù)隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)例1用白噪聲激勵一線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，頻率特性為H(W)。設(shè)白噪聲的功率譜為N/2。求輸入、輸出間的互相關(guān)函數(shù)和互譜。解：而則可見，直接反映系統(tǒng)的沖響應(yīng)，直接反映系統(tǒng)的頻率特性。例1用白噪聲激勵一線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，頻率可以直接用下圖所示的辦法來測定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性：應(yīng)用白噪聲激勵來測定生理系統(tǒng)的特性是近年來開展的研究課題。測試時激勵源可以采用統(tǒng)計特性接近于白噪的偽隨機信號。這類方法既可以用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng)?？梢灾苯佑孟聢D所示的辦法來測定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性：應(yīng)用例2將隨機信號x(n)加到一個遞歸濾波器上，如下圖所示，設(shè)輸入是零均值、方差為σx2的白噪聲。求

解：依圖有先求

：例2將隨機信號x(n)加到一個遞歸濾波器上，如下圖所示，設(shè)則有可見距離越遠(yuǎn)的采樣值，相關(guān)性越小。再求對遞歸方程做Z變換得：a值大，則

下降快，

下降慢。則有可見距離越遠(yuǎn)的采樣值，相關(guān)性越小。再求對遞歸方程做Z變換例3設(shè)有圖所示RC電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機過程,且相關(guān)函數(shù)為求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。解RC電路的沖激響應(yīng)為

例3設(shè)有圖所示RC電路，假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機過程,且沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為在生物醫(yī)學(xué)的隨機信號的分析與處理中，必然涉及隨機信號作用于各類系統(tǒng)情況下系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系問題，最簡單的例子：將隨機信號通過放大、平方檢波、包絡(luò)檢波、濾波等等。眾所周知，確定性信號通過線性系統(tǒng)時，基本關(guān)系是：時域上的卷積關(guān)系：頻域上的乘積關(guān)系：3.3隨機信號通過線性時不變系統(tǒng)在生物醫(yī)學(xué)的隨機信號的分析與處理中，必然涉及隨機信號作用于各如果x(t)是隨機信號，就不可能對時域卷積做傅氏變換，因為隨機信號不存在傅氏變換。雖然直接分析輸出信號的概率密度函數(shù)是最基本的辦法，但除高斯型信號外，一般的來說，輸出信號的概率密度函數(shù)比較難求（高斯型信號通過線性系統(tǒng)后仍是高斯型的）。因此，研究隨機信號通過線性系統(tǒng)的任務(wù)主要是研究輸入與輸出間相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。所以，本節(jié)討論的主要內(nèi)容如下：1)輸入、輸出間自相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系以及兩者間的互相關(guān)函數(shù)和互譜，把它們和系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性聯(lián)系起來，這些是用于隨機問題的基本關(guān)系。如果x(t)是隨機信號，就不可能對時域卷積做傅氏變換2)初步介紹一些線性系統(tǒng)在處理隨機信號時的應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)指出：本節(jié)介紹的分析方法只適用于輸出能保證平穩(wěn)的情況下。怎樣才能保證輸出是平穩(wěn)的呢？條件是：

1、輸入是平穩(wěn)的；

2、系統(tǒng)是平穩(wěn)時不變的。這是由于（和確定性情況一樣）輸出應(yīng)包含兩個分量----由輸入引起的強制分量和由系統(tǒng)特性及初始狀態(tài)決定的自由分量。只有滿足上述兩條件時，自由分量才會逐漸消失，強制分量才是平穩(wěn)的。本節(jié)介紹的分析方法正是對平穩(wěn)的強制分量而言。2)初步介紹一些線性系統(tǒng)在處理隨機信號時的應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)指出：本離散隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)均值的均值按定義為

這里是確定的系統(tǒng)特性。又因是平穩(wěn)隨機過程。有

所以有 即當(dāng)是與時間無關(guān)的常數(shù)時，也是與時間無關(guān)的常數(shù)。離散隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)均值自相關(guān)函數(shù)及功率譜我們暫時假設(shè)輸出是非平穩(wěn)的，則其自相關(guān)函數(shù)為

因為是平穩(wěn)的，所以所以 由于求和結(jié)果與n無關(guān)，從而，輸出自相關(guān)序列也只與時間差m有關(guān)。因此可以得出結(jié)論：對于一個線性非時變系統(tǒng)，如果用一個平穩(wěn)隨機信號激勵，則輸出信號也將是一個平穩(wěn)隨機信號。自相關(guān)函數(shù)及功率譜令l=r-k，上式可表示為

這里 可稱之為的自相關(guān)序列，它是一個時間卷積的結(jié)果。是一個確定的（而不是隨機的）序列，它并無統(tǒng)計平均的含義可言。它是與的卷積，具有相關(guān)函數(shù)的形式，說明著系統(tǒng)特性的前后波及性。變換得 （1）令l=r-k，上式可表示為（1）將式(1)進(jìn)行z變換有：

將代入，并用功率譜密度表示，上式為

上式稱為維納--辛欽定理。它表明：一個隨機信號通過系統(tǒng)，從頻域看其輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度與的模平方的乘積。這里是ω的非負(fù)、實、偶函數(shù)。設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在）將式(1)進(jìn)行z變換有：設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度線性非時變系統(tǒng)的輸入和輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。按定義

上式又稱為輸入-輸出互相關(guān)定理。將其代入式(1)得

互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在），變換到z域有：

用功率譜表示有

設(shè)（自相關(guān)函數(shù)的z變換存在），變換到z域有連續(xù)隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)連續(xù)隨機信號通過單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)例1用白噪聲激勵一線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，頻率特性為H(W)。設(shè)白噪聲的功率譜為N/2。求輸入、輸出間的互相關(guān)函數(shù)和互譜。解：而則可見，直接反映系統(tǒng)的沖響應(yīng)，直接反映系統(tǒng)的頻率特性。例1用白噪聲激勵一線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，頻率可以直接用下圖所示的辦法來測定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性：應(yīng)用白噪聲激勵來測定生理系統(tǒng)的特性是近年來開展的研究課題。測試時激勵源可以采用統(tǒng)計特性接近于白噪的偽隨機信號。這類方法既可以用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng)。可以直接用下圖所示的辦法來測定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和頻率特性：應(yīng)用例2將隨機信號x(n)加到一個遞歸濾波器上，如下圖所示，設(shè)輸入是零均值、方差為σx2的白噪聲。求

解：依圖有先求

：例2將隨機信號x(n)加到一個遞歸濾