人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章菱形正方形創(chuàng)新題及解析

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章菱形、正方形創(chuàng)新題及解析一、操作題例1．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求11111的值（結(jié)果用n22324n222表示），設(shè)計(jì)如圖1－1所示的幾何圖形．（1）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求11111的值為__________．2222324n2（2）請(qǐng)你利用圖2－2，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求11111223242n的值的幾何圖22形．解：由圖形知利用的是面積法：第一次把面積為1的正方形均分，獲取1，1的一個(gè)矩形均分獲取12，第三次把面積為122第二次把面積為的一個(gè)正方形等222分獲取13，第四次把面積為13的一個(gè)等腰直角三角形均分獲取14，，最后把222面積為1的一個(gè)等腰直角三角形的面積均分獲取兩個(gè)1n1n，從而易知221111112234n=1n，由以上過程知：首次把正方形的面積等份，以22222后每次均為均分前一次所得的兩個(gè)圖形中的一個(gè)，n-1次即達(dá)到目的，如圖2給出供參照，事實(shí)上，方法還有很多，不再列舉，答案以下：1（1）1n．（2）如圖2－1或如圖2－2或如圖2－3或如圖2－4等，圖形正確．11111222213121111222112242422312323222圖2－1圖2－2圖2－3圖2－4二、拼圖題例2．如圖3，是由四個(gè)形狀大小完好相同的長方形拼成的圖形，利用面積的不相同表示法，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．解析：如何顯現(xiàn)一個(gè)代數(shù)恒等式的幾何意義，又如何從一個(gè)圖形中挖掘提煉一個(gè)抽象的代數(shù)恒等式，成為近來幾年中考命題的一大亮點(diǎn)，事實(shí)上，利用面積的割補(bǔ)原理，可列出(ab)2(ab)24ab，或(ab)24ab(ab)2，或(ab)2(ab)24ab．三、研究題例3．如圖4甲，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形．(1)求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2)試試究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明原因；(3)現(xiàn)有圖甲中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎?若能，請(qǐng)你畫出大體的表示圖．圖4解：(1)如圖，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，因此3∠1=360°，即∠1=120°．因此梯形的上底角均為120°，下底角均為60°(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，因此梯形的腰等于上底．連接MN，則∠FMN=∠FNM=30°．1從而∠HMN=30°，∠HNM=90°．因此NH=AH．2因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰長．(3)能拼出菱形．如圖5：(拼法不唯一)．評(píng)析：本題是觀察學(xué)生觀察能力和綜合解析能力的好素材，由圖甲（等腰梯形）到圖乙（平行四邊形）的拼合中隱含了等腰梯形內(nèi)角之間的內(nèi)在的關(guān)系．只要認(rèn)真觀察，就不難發(fā)現(xiàn)角的關(guān)系：即下底角的3倍等于180°或三個(gè)上底角拼成了一個(gè)周角，同時(shí)由乙圖中隱含的信息很簡單看出等腰梯形上底等于其腰長，這樣問題便很簡單獲取解決了．四、猜想題例4．如圖6－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．1）如圖6－2，當(dāng)EF與AB訂交于點(diǎn)M，GF與BD訂交于點(diǎn)N時(shí)，經(jīng)過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖6－3所示的地址時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線訂交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線訂交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明原因．FNDCD(F)CNFOOOGEAABMA(G)MBB(E)EG圖6－3圖6－1圖6－2解析：本題是以正方形為背景的操作研究題，以學(xué)生特別熟悉的學(xué)具------等腰直角三角尺進(jìn)行操作，只要著手、動(dòng)腦就能發(fā)現(xiàn)不變量，用“不變應(yīng)萬變”、“以靜制動(dòng)”，借助正方形和全等知識(shí)就可以解決了．解：（1）BM=FN．證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN．2）BM=FN依舊成立．證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．議論：本題是一道以正方形為背景的三角板操作題，它實(shí)行旋轉(zhuǎn)角度的變化，來研究圖形的規(guī)律，搜尋出不變量，并證明猜想的開放題．五、方案設(shè)計(jì)題例5．正方形經(jīng)過剪切可以拼成三角形，方法以下：仿上用圖7（1）示的方法，解答以下問題：操作設(shè)計(jì)：1）對(duì)直角三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形．2）如圖7（2），對(duì)任意三角形設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形．②②①①圖（71）圖（72）解析：本題經(jīng)過對(duì)圖形的剪裁拼接，觀察學(xué)生的創(chuàng)新求索，發(fā)散思想，優(yōu)化解題方案和過程的策略．本題的方案很多，略舉幾例：（1）方案1．方案2．中點(diǎn)①①中點(diǎn)①中點(diǎn)①中點(diǎn)（2）方案1．方案2．中點(diǎn)中點(diǎn)①②①②中點(diǎn)中點(diǎn)①②①②課后自測小練習(xí)1、如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點(diǎn)F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點(diǎn)，連接PG，則PG的長為．第1題圖解析：如圖，延長GE交AB于點(diǎn)O，作PH⊥OE于點(diǎn)H，則PH∥AB.11∵P是AE的中點(diǎn)，∴PH是△AOE的中位線，∴PH＝OA＝(3－1)＝1.∵Rt22△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理可得HE＝PH＝1.∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2.∴在Rt△PHG中，PG＝PH2＋HG2＝12＋22＝5.故答案是5.、在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟示，編寫了下面這道題，請(qǐng)你來解一解：如圖，將矩形ABCD的四邊BA、CB、DC、AD分別延長至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB＝45°，AH＝2AE，求AE的長．2、解析：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAH＝∠GCF＝90°.∵BF＝DH，∴AH＝CF.AE＝CG，在△AEH和△CGF中，∠EAH＝∠GCF，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)∴EH＝FG.(4分)同理EF＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，設(shè)AE＝x，則BE＝x＋1.在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF.∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2.在Rt△AEH中，AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.3、如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF.(1)求證：四邊形BFEP為菱形；(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上搬動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之搬動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖②)，求菱形BFEP的邊長；②若限制P、Q分別在邊BA、BC上搬動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上搬動(dòng)的最大距離.解析：3、(1)證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四邊形BFEP為菱形．解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，∴CE＝BC＝5cm.在Rt△CDE中，DE＝CE2－CD2＝4cm，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．5在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－EP，∴EP2＝12＋(3－EP)2，∴EP＝cm，35∴菱形BFEP的邊長為cm.3②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖②所示．點(diǎn)E離點(diǎn)A近來，由①知，此時(shí)AE＝1cm.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖③所示．點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，∴點(diǎn)E在邊AD上搬動(dòng)的最大距離為2cm.4、如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊向來經(jīng)過點(diǎn)B，直角極點(diǎn)P在射線AC上搬動(dòng)，另一邊交DC于Q.如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想．圖1圖2解：(1)PB＝PQ.證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PFQ＝90°.∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC均分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四邊形PECF為正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)．∴PB＝PQ.(2)PB＝PQ.證明：過P作PE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E，PF⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)F.∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC均分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四邊形PECF為正方形．∴BE∥PF.∴∠EBP＝∠BPF.∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠Q＋∠QPF＝90°，∴∠BPF＝∠Q.∴∠EBP＝∠Q.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(AAS)．∴PB＝PQ.5、先閱讀下面題目及解題過程再依照要求回答以下問題：已知如圖在平行四邊形ABCD中，∠BAD的均分線BC交于E，∠ABD的平分線交AD于F，AE，BF訂交于O，則四邊形ABEF為菱形，說明原因．原因：（1）由于四邊形ABCD為平行四邊形，（2）因此AD//BC（3）因此∠ABE+∠BAF=180（4）由于AE，BF分別是∠BAD，∠ABC的均分線（5）因此∠1=∠2=1∠BAF，∠3=∠4=1∠ABE22（）因此∠1+∠1（∠BAF+∠ABE）=1180=9063=22（7）因此∠AOB=90（8）因此AE⊥BF（