數(shù)學(xué)建模-人口遷移的動態(tài)分析

.z......資料...數(shù)學(xué)建模人口遷移的動態(tài)分析摘要本文主要是計算A1、A2、A3三地區(qū)經(jīng)過遷移后的人口及人口比例的變化，經(jīng)過分析列出方程組，利用C程序計算出10年后、100年后三地區(qū)的人口數(shù)。由計算所得繪制出人口數(shù)量的走勢圖，加以數(shù)據(jù)的分析，進(jìn)而對時間無限的增長各地區(qū)人口比例的穩(wěn)定性進(jìn)展了很好的分析。通過對該問題的數(shù)學(xué)模型建立，培養(yǎng)了團隊合作能力，鍛煉了我們的發(fā)散思維能力，增強了用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力。關(guān)鍵詞：人口遷移模型，研究性學(xué)習(xí)，VC++，遞歸方法

問題重述在工業(yè)化的進(jìn)程中，經(jīng)濟欠興旺地區(qū)的人口會向經(jīng)濟興旺地區(qū)遷移，形成一個穩(wěn)定的朝向城市的人口流動趨勢。假設(shè)有三個地區(qū)、、，第一年初三個地區(qū)的總?cè)丝跒?億人，各個地區(qū)人口在總?cè)丝谥械谋壤謩e是25％、35％、40％。地區(qū)每年有人口的1％流向地區(qū)，有人口的1％流向地區(qū)；地區(qū)每年有人口的1％流向地區(qū)，有人口的2％流向地區(qū)；地區(qū)每年有人口的3％流向地區(qū)，有人口的2％流向地區(qū)?！?〕假設(shè)三個地區(qū)的總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去，問10年以后三個地區(qū)的人口各是多少.100年以后呢.時間無限增大各地區(qū)人口比例是否會穩(wěn)定在*一個水平?！?〕設(shè)地區(qū)的人口自然增長率5‰；地區(qū)的人口自然增長率為7‰；地區(qū)的人人口自然增長率為11‰。并且假定人口遷移是在每年初或年末一次完成的，問10年以后三個地區(qū)的人口各是多少.100年以后呢.時間無限增大各地區(qū)人口比例是否會穩(wěn)定在*一個水平。問題分析：〔1〕、我們需要建立一個描述這3個地區(qū)人口流動的模型，并求出在多少年后A1、A2、A3地區(qū)的人口。問題假設(shè)1、A1、A2、A3地區(qū)是相對封閉的地區(qū)，人口的流動只發(fā)生在這3個地區(qū)。2、問題中提過3個地區(qū)的總?cè)丝诓蛔?，所以假設(shè)該3個地區(qū)的出生率等于死亡率。在問〔2〕中則不是，A1、A2、A3地區(qū)的人口是增長的，沒個地區(qū)的增長率不一樣，而遷移的時候是在增長了人口后。3、假設(shè)人口的遷移時是一次性完成的，在每年末完成。4、每個地區(qū)的遷入、遷出的比例不變。5、符號的說明：Aij〔i=1、2、3，j=1、2、3…..〕：Ai地區(qū)在j年后的人口數(shù)。ri(i=1、2、3)：為Ai地區(qū)的自然增長率。問題的解決問題〔1〕我們從問題中獲得的信息可以列出數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：設(shè)*為總?cè)丝跀?shù)，則:第一年：A11=0.25**+0.35***0.02+0.40***0.03-0.25***0.02A21=0.35**+0.25***0.01+0.40***0.02-0.35***0.03A31=0.40**+0.25***0.01+0.35***0.01-.0.40***0.05第二年則在第一年的根底上遷移：A12=0.25*A11+0.35*A21*0.02+0.40*A31*0.03-0.25*A11*0.02A22=0.35*A21+0.25*A11*0.01+0.40*A31*0.02-0.35*A21*0.03A32=0.40*A31+0.25*A11*0.01+0.35*A21*0.01-.0.40*A31*0.05第三年則在第二年的根底上遷移…以此類推，用遞歸的方法可求出*年的A1、A2、A3地區(qū)的人口。問題〔2:〕：從問題中分析可知：每個地區(qū)每年增長了人口后，則遷移人口數(shù)則與問題〔1〕有所不同，用的數(shù)據(jù)和條件求A1、A2、A3地區(qū)遷移過后的人口。設(shè)A1、A2、A3地區(qū)未增長時的總?cè)丝跀?shù)是*,則：第一年：A11=0.25***(1+0.005)+0.35***(1+0.007)*0.02+0.40***(1+0.011)*0.03-0.25***(1+0.005)*0.02A215***(1+0.007)*0.03A31=0.40***(1+0.011)+0.25***(1+0.005)*0.01+0.35***(1+0.007)*0.01-0.40***(1+0.011)*0.05第二年則在第一年的根底上遷移，同時也有人口的增長：A12=0.25*A11*(1+0.005)+0.35*A21*(1+0.007)*0.02+0.40*A31*(1+0.011)*0.03-0.25*A11*(1+0.005)*0.02A22=0.35*A21*(1+0.007)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.40*A31*(1+0.011)*0.02-0.35*A21*(1+0.007)*0.03A32=0.40*A31*(1+0.011)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.35*A21*(1+0.007)*0.01-0.40*A31*(1+0.011)*0.05第三年在第二年的根底上遷移，同時也有人口的增長…..運用遞歸的方法就可求出*年的A1、A2、A3地區(qū)的人口。對于我們來說求解問題時，首先想到的是運用MicrosoftVisualC++來編程:問題〔1〕的解：運用C程序求出，在人口總數(shù)不變的情況下：10年后地區(qū)人口數(shù)為:A1=36248300，A2=34517400，A3=29234400；100年后地區(qū)人口數(shù)為：A1=53847500，A2=29437900，A3=16714600；當(dāng)時間無限增長時，用C++程序可求的3個地區(qū)的人口趨于穩(wěn)定了，則人口比例也趨于穩(wěn)定，也可作出人口—時間的曲線圖，可看出曲線到后面已趨于穩(wěn)定。問題〔1〕100年人口數(shù)目曲線：問題〔2〕的解：10年后地區(qū)的人口數(shù):A1=38497300，A2=37122300，A3=32457200；100年后地區(qū)人口數(shù)：A1=104040000，A2=59793000，A3=35793400；當(dāng)時間無限增長時，用C++程序運算可求出A1與A2、、A2與A3的人口比例趨于1.6~1.8之間，則可知人口比例趨于穩(wěn)定。問題〔2〕100年人口數(shù)目曲線：模型的結(jié)果分析1、在總?cè)丝诒３植蛔儠r，隨著時間的推移，各地區(qū)的人口數(shù)量會趨于一個穩(wěn)定值。2、在人口自然增長率固定時，隨著時間的推移，各地區(qū)的人口數(shù)量雖然不會到達(dá)一個穩(wěn)定值，會不斷地上升，但最終各地區(qū)的人口比例也會趨于一個穩(wěn)定水平。模型的優(yōu)缺點：優(yōu)點：人口遷移在有限年找到其規(guī)律，建立模型，雖然模型求解要用到計算機幫助，但程序原理簡單，求解方便。缺點：人口遷移局限在了一個很小的地方，忽略了其他地區(qū)的遷入和遷出到其他地區(qū)的情況，假定了3個地區(qū)的總?cè)丝诓蛔兒腿丝谧匀辉鲩L率不變，這是與實際不太相符的。參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)建模〔第二版〕*全智晉浩編著數(shù)學(xué)模型〔第三版〕啟源金星葉俊編著附錄*include<stdio.h>*include<stdlib.h>voidcount_p(){ doublea,b,c; inti;intp; doubleA1,A2,A3; A1=2.5e7; A2=3.5e7; A3=4e7; printf("請輸入需要計算的時間〔以年為單位〕:"); scanf("%d",&p); if(p<0) { while(p<0) { printf("輸入錯誤!請重新輸入!\n");scanf("%d",&p); } } for(i=1;i<=p;i++) { a=A1; b=A2; c=A3; A1=a+b*0.02+c*0.03-a*0.01-a*0.01; A2=b+a*0.01+c*0.02-b*0.01-b*0.02; A3=c+a*0.01+b*0.01-c*0.03-c*0.02;} printf("%d年后個地區(qū)人口數(shù)統(tǒng)計如下：\n",p); printf("A1地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A1); printf("A2地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A2); printf("A3地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A3);}count_p2(){ doublea,b,c; inti;intp; doubleA1,A2,A3; A1=2.5e7; A2=3.5e7; A3=4e7; printf("請輸入需要計算的時間〔以年為單位〕:"); scanf("%d",&p); if(p<0) { while(p<0) { printf("輸入錯誤!請重新輸入!\n");scanf("%d",&p); } } for(i=1;i<=p;i++) { a=A1; b=A2; c=A3; A1=(a+A1*0.005)+(b+A2*0.007)*0.02+(c+A3*0.011)*0.03-(a+A1*0.005)*0.01-(a+A1*0.005)*0.01; A2=(b+A2*0.007)+(a+A1*0.005)*0.01+(c+A3*0.011)*0.02-(b+A2*0.007)*0.01-(b+A2*0.007)*0.02; A3=(c+A3*0.011)+(a+A1*0.005)*0.01+(b+A2*0.007)*0.01-(c+A3*0.011)*0.03-(c+A3*0.011)*0.02; } printf("%d年后個地區(qū)人口數(shù)統(tǒng)計如下：\n",p); printf("A1地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A1); printf("A2地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A2); printf("A3地區(qū)人口數(shù)：%g\n",A3);}main(){ intj; while(1) { printf("\t\t\t人口動態(tài)分析人口計算\n"); printf("\t\t\t1流動趨勢人口計算\n"); printf("\t\t\t2考慮增長率在的人口計算\n"); printf("\t\t\t3退出程序\n"); printf("請輸入選擇:");scanf("%d",&j); if(j<0||j>3) { while(j<0||j>3) { printf("\n"