HL判定三角形全等【核心知識(shí)精細(xì)梳理+鞏固提升訓(xùn)練】人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 上冊(cè) 核心考點(diǎn)精講精練

HL判定三角形全等判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理（HL）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.注意：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.題型1：用HL判定三角形全等1.如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求證：△ACB≌△BDA．【變式1-1】已知：如圖，∠A=∠D=90°，BE=EC.求證：△ABC≌△DCB.【變式1-2】已知：如圖，點(diǎn)C、D，在線段AB上，且AC=BD，AE=BF，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB．求證：AE∥BF．題型2：全等的判定條件選擇2.如圖，AC⊥BE于點(diǎn)C，DF⊥BE于點(diǎn)F，BC＝EF，如果添加一個(gè)條件后，可以直接利用“HL”來(lái)證明△ABC≌△DEF，則這個(gè)條件應(yīng)該是（）A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E【變式2-1】如圖所示，在下列條件中，不能判斷△ABD≌△BAC的條件是（）A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．BD=AC，∠BAD=∠ABCC．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC D．AD=BC，BD=AC【變式2-2】如圖，在△ABC和△DEC中，已知CB=CE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（）A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC，∠A=∠DC．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E題型3：直角三角形全等的判定與求度數(shù)3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度數(shù)．【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，且∠B=70°，求【變式3-2】如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．題型4：直角三角形全等的判定與求長(zhǎng)度4.如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，點(diǎn)P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D，E，已知DC=2，求BE的長(zhǎng)．【變式4-1】如圖，∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F，且BC=DC.（1）BE與DF是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若DF=1cm，AD=3cm，則AB的長(zhǎng)為cm.【變式4-2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）若AD=12，DE=7，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．題型5：直角三角形全等的判定與證明5.如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線AE、BF，垂足分別為E、F，AE=CF，求證：∠ACB=90°【變式5-1】如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BE=DF．求證：點(diǎn)A在∠BCD的平分線上．題型6：直角三角形全等的判定與求探究6.（1）問(wèn)題原型：如圖1，在銳角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，在AD上取點(diǎn)E，連接BE，使BE=AC．求證：DE=CD；（2）問(wèn)題拓展：如圖2，在問(wèn)題原型的條件下，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM=EF，連接CM．判斷線段AC與CM的大小關(guān)系，井說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題延伸：在上述問(wèn)題原型和問(wèn)題拓展條件及結(jié)論下，在圖②中，若連接AM，則△ACM為三角形．【變式6-1】如圖①，C、F分別為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC⊥AD，垂足為C，EF⊥AD，垂足為F，且AB==DE，AF=CD，點(diǎn)G是AD與BE的交點(diǎn).（1）求證∶BG=EG;（2）當(dāng)C、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立?若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式6-2】已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AC=CE，BC=DE．（1）試猜想線段AC與CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將CD沿CB方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論AC（3）若將CD沿CB方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論AC一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論，一定成立的是（）A．BD＝AD B．∠B＝∠CC．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD2．如圖，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，則∠2=（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．如圖，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，DE⊥BC，若BC=10cm，則△DEC的周長(zhǎng)為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm4．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)E，若∠BEC=40°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．55° D．50°5．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作FA＝AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB＝4，則四邊形AFCE的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．無(wú)法計(jì)算6．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD=PE，則直接判定△APD與△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL8．如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③二、填空題9．如圖所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若AB＝13cm，則△DBE的周長(zhǎng)為.10．如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝．11．如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝．三、解答題12．如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，DB＝BC，求證：AC=AE+DE．13．如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，C為BD上一點(diǎn)，AC=CE，B