(完整版)瓜豆原理(與相似有關(guān))

瓜豆原理（與相似有關(guān)）編者的話：上一節(jié)課已經(jīng)體驗(yàn)了瓜豆妙用，能解決相應(yīng)的最值問題．本節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)瓜豆相關(guān)知識(shí)，但是難度要比上一節(jié)課要增大，本節(jié)不僅需要旋轉(zhuǎn)還需要進(jìn)行放縮，即與相似有聯(lián)系．不過(guò)相信在理解前一節(jié)的基礎(chǔ)上，再學(xué)本節(jié)會(huì)簡(jiǎn)單很多，我們一起來(lái)攻克吧！一、典型例題例1.如圖，/AOB=60°,C,D是邊OA上的兩點(diǎn)，且OD=8,CD=2，點(diǎn)P是射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，連CQ,則CQ的最小值為.OPB解：第一步：判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn)，P為主動(dòng)點(diǎn)，Q為從動(dòng)點(diǎn)，滿足瓜豆原理.1第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)Q是點(diǎn)P以定點(diǎn)D為位似中心，以2為相似比縮小而來(lái).P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動(dòng)，則整體上變化：Q點(diǎn)的路徑是射線OB以定點(diǎn)D為位似中心,1歹為相似比縮小而來(lái)，即射線Q1Q為Q的運(yùn)動(dòng)路徑.（實(shí)際作圖：兩點(diǎn)確定一條直線，只要尋找兩個(gè)特殊點(diǎn)即可.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，取OD中點(diǎn)Q1，連Q1Q并延長(zhǎng)即可）.由位似的性質(zhì)，△DQ1Qs'DOP，且相似比為1,Q1Q//OB.第三步：計(jì)算.即當(dāng)CQ±Q1Q時(shí)，CQ2最小.ZAOB=ZAQ1Q=60°,CQ1=2,則UCQ2=.例2.平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B之間的距離為8,P為一動(dòng)點(diǎn)，且PB=2，連接AP,并且以AP為斜邊在AP的上方作等腰直角△APC,如圖，連接BC,則BC的最大值與最小值的差為.解：第一步，判斷.確定P點(diǎn)的路徑為。B.A為定點(diǎn)，P為主動(dòng)點(diǎn)，C為從動(dòng)點(diǎn)，滿足瓜豆原理．第二步，畫路徑.局部變化是點(diǎn)P到點(diǎn)C的變化是先繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以A、再.為位似中心，以e2為相似比縮小.點(diǎn)P在。B上運(yùn)動(dòng)，則整體的變化：將。B先繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再以A為位似中心，以當(dāng)為相似比縮小得到。0.（實(shí)際作圖：以AB為斜邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，頂點(diǎn)即為圓心。，連0C,以0為圓心0C為半徑畫圓即得到。0）第三步：計(jì)算.BC的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系，則BC2—BC1=C1C2，即為。0的直徑2v2.例3.如圖，等腰直角△ABC中，/A=90°,AB=AC=3,D是AB上的點(diǎn)，且AD=、3.點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作EF±ED,使DE:EF=1:<3，連接FD,CF，則CF的最小值是.A解：第一步：判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn)，E為主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為從動(dòng)點(diǎn)，滿足瓜豆原理.第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)F是點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以定點(diǎn)D為位似中心，以2為位似比放大得到；點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，則整體上變化：F的路徑為BC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以定點(diǎn)D為位似中心，以2為位似比放大得到B'C’.（實(shí)際作圖：將BD,DC分別順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再擴(kuò)大2倍得到B',C',連接即可）.第三步：計(jì)算最小值CK.AD:AC=1:V3,可得/ADC=60°=ZBDB，，則B',D,C共線且BBC=6?"△BDCs^BDC,所以/B'=/B=45。，則CK=3T2.例4.如圖，△AB0為等腰直角三角形，A（-4,0），直角頂點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)，以BC為斜邊作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)也在一條直線上運(yùn)動(dòng)，這條直線的函數(shù)解析式是.圖1圖2解：第一步：判斷.點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)C為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為從動(dòng)點(diǎn)，滿足瓜豆原理.由于D點(diǎn)的位置沒有明確，故分兩種情況進(jìn)行討論.第二步：畫路徑.局部變化：點(diǎn)D是點(diǎn)C先繞B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以￡為位似比縮小而來(lái).則整體上：D點(diǎn)的路徑為y軸繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以包2為位似比縮小．(實(shí)際作圖：直線型的我們可以尋找兩個(gè)特殊點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．如圖1，點(diǎn)C在y軸上，當(dāng)BC1±y軸時(shí)，D1(-1,3)；當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí)，D2(0,2)；如圖2，當(dāng)BC1±y軸時(shí)，D1-11,1)；當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí)，D2(-2,0)第三步：計(jì)算.y=—x+2；y—x+2.二、鞏固練習(xí)1.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn)，AE為直角邊作等腰直角及△AEF,A,E,F按逆時(shí)針排列.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)到到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為【答案】5J2.提示：法1，尋找始末位置，F(xiàn)1為開始的位置，F(xiàn)2為最終的位置，連接即為F的路徑.利用勾股即可求得.法2,口算.E點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為5,F點(diǎn)是由E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)擴(kuò)大得到，滿足瓜豆，知其路徑也為線段，并且擴(kuò)大%2倍，即F的路徑為5<2..如圖，AB=2,點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向右下作等腰△BDE,其中頂角ZBDE=120°,則點(diǎn)D從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，則E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

【答案】：2v'6.提示：滿足瓜豆原理.法人畫出路徑具體求解.法2:口算法，D到E旋轉(zhuǎn)放大、3倍，即E點(diǎn)的路徑為<3AC=2T6..如圖，在等邊^(qū)ABC中，BC=6,D,E是BC邊上的兩點(diǎn)，且BD=CE=1,P是DE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,連接MN,AP交于點(diǎn)G,則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)E的過(guò)程中，線段BG掃過(guò)BG掃過(guò)的區(qū)域面積為.BIyPEBIyPEC【答案】：323提示：滿足瓜豆原理.找始末位置G1，G2，則GG為^ADE的中位線即叩2二即叩2二2DE=勺二2AU二羊?1一-3<3??S=GG-GV=——21222.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCO,A(0,4)，點(diǎn)D為％軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,NADE=90°，連接OE，則OE的最小值為.【答案】：2<2.提示：瓜豆直線型，路徑是％軸繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到.實(shí)際操作，找一個(gè)特殊點(diǎn)(圖上已經(jīng)有一點(diǎn))，C點(diǎn)為開始點(diǎn)，連接CE即為E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑，則OE1為OC最小值．即oe=OC=1<2最小值．5.如圖，在Rt5.如圖，在Rt△ABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D是半徑為2的。A上一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則BE長(zhǎng)的最大值是.【答案】：7.提示：以C為位似中心，1為位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系..如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2y2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.【答案】：兀提示：法/：畫路徑求路徑，以C為位似中心，1為位似比縮小，即為點(diǎn)M2的路徑長(zhǎng).法2:口算.M路徑為P點(diǎn)路徑長(zhǎng)的一半.

.如圖，在矩形ABCD中，AD=2,AB=4,長(zhǎng)度為2的動(dòng)線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接EC,位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系．.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，/AED=90°,F為CE的中點(diǎn)，連接BF,則BF的最大值為.SCBSCB3L€【答案】：＜13+1.提示：確定E點(diǎn)的路徑為圓.以C為位似中心，2為位似比縮小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系．9.如圖，在矩形ABCD中，化為點(diǎn)圓位置關(guān)系．9.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E在AD邊上，且AE：ED=1：3.動(dòng)點(diǎn)P位線．10.如圖，△ABC中，/ACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一動(dòng)點(diǎn)以DC為斜邊向上作等腰直角△DCE，使NCED=90°,連接BE，則BE的最小值為.BB【答案】：弓.提示：線段型瓜豆，找始末位置，得路徑線段E1E2.△E2CE1s△BAC得到NCEE產(chǎn)NCBA=60。，則NBEE=30°,?'.BE=1BE二點(diǎn).2121322211.如圖，直線m//n,m,n之間的距離為3,A,B為直線n上的兩點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)C是直線m上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ACDE為矩形，CD=3AAC，則BD的最小值

【答案】2<3【答案】2<3+1.提示：定點(diǎn)A，主動(dòng)點(diǎn)C,從動(dòng)點(diǎn)為D，點(diǎn)C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,并以A為位似中心放大2倍得到。，滿足直線型瓜豆.找特殊點(diǎn)0即有D點(diǎn)路徑，此時(shí)DD與m，n的夾角為60。，則BD>BD_1BD_2^3+1.122312.如圖，BE,AC為四邊形ABCE的對(duì)角線，CE=2，/CAE=60°,ZCAB=90°,ZCBA=30°,連接BE，則BE的最大值為連接BE，則BE的最大值為.【答案】：2<21+4<3提示：第一步：定角定弦隱圓．點(diǎn)A的路徑是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上（部分圓）.O提示：第一步：定角定弦隱圓．在CE的垂直平分線上，且NCOE=120°.第二步：C為定點(diǎn)，A為主動(dòng)點(diǎn)，B為從動(dòng)點(diǎn)，滿足瓜豆.A到B是繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，再以C為位似中心