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瓜豆原理(與相似有關(guān))編者的話:上一節(jié)課已經(jīng)體驗(yàn)了瓜豆妙用,能解決相應(yīng)的最值問題.本節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)瓜豆相關(guān)知識(shí),但是難度要比上一節(jié)課要增大,本節(jié)不僅需要旋轉(zhuǎn)還需要進(jìn)行放縮,即與相似有聯(lián)系.不過相信在理解前一節(jié)的基礎(chǔ)上,再學(xué)本節(jié)會(huì)簡單很多,我們一起來攻克吧!一、典型例題例1.如圖,/AOB=60°,C,D是邊OA上的兩點(diǎn),且OD=8,CD=2,點(diǎn)P是射線OB上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn),連CQ,則CQ的最小值為.OPB解:第一步:判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn),P為主動(dòng)點(diǎn),Q為從動(dòng)點(diǎn),滿足瓜豆原理.1第二步:畫路徑.局部變化:點(diǎn)Q是點(diǎn)P以定點(diǎn)D為位似中心,以2為相似比縮小而來.P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動(dòng),則整體上變化:Q點(diǎn)的路徑是射線OB以定點(diǎn)D為位似中心,1歹為相似比縮小而來,即射線Q1Q為Q的運(yùn)動(dòng)路徑.(實(shí)際作圖:兩點(diǎn)確定一條直線,只要尋找兩個(gè)特殊點(diǎn)即可.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí),取OD中點(diǎn)Q1,連Q1Q并延長即可).由位似的性質(zhì),△DQ1Qs'DOP,且相似比為1,Q1Q//OB.第三步:計(jì)算.即當(dāng)CQ±Q1Q時(shí),CQ2最小.ZAOB=ZAQ1Q=60°,CQ1=2,則UCQ2=.例2.平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B之間的距離為8,P為一動(dòng)點(diǎn),且PB=2,連接AP,并且以AP為斜邊在AP的上方作等腰直角△APC,如圖,連接BC,則BC的最大值與最小值的差為.解:第一步,判斷.確定P點(diǎn)的路徑為。B.A為定點(diǎn),P為主動(dòng)點(diǎn),C為從動(dòng)點(diǎn),滿足瓜豆原理.第二步,畫路徑.局部變化是點(diǎn)P到點(diǎn)C的變化是先繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,再以A、再.為位似中心,以e2為相似比縮小.點(diǎn)P在。B上運(yùn)動(dòng),則整體的變化:將。B先繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再以A為位似中心,以當(dāng)為相似比縮小得到。0.(實(shí)際作圖:以AB為斜邊向上構(gòu)造等腰直角三角形,頂點(diǎn)即為圓心。,連0C,以0為圓心0C為半徑畫圓即得到。0)第三步:計(jì)算.BC的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系,則BC2—BC1=C1C2,即為。0的直徑2v2.例3.如圖,等腰直角△ABC中,/A=90°,AB=AC=3,D是AB上的點(diǎn),且AD=、3.點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn),過E作EF±ED,使DE:EF=1:<3,連接FD,CF,則CF的最小值是.A解:第一步:判斷.點(diǎn)D為定點(diǎn),E為主動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為從動(dòng)點(diǎn),滿足瓜豆原理.第二步:畫路徑.局部變化:點(diǎn)F是點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,再以定點(diǎn)D為位似中心,以2為位似比放大得到;點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng),則整體上變化:F的路徑為BC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,再以定點(diǎn)D為位似中心,以2為位似比放大得到B'C’.(實(shí)際作圖:將BD,DC分別順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再擴(kuò)大2倍得到B',C',連接即可).第三步:計(jì)算最小值CK.AD:AC=1:V3,可得/ADC=60°=ZBDB,,則B',D,C共線且BBC=6?"△BDCs^BDC,所以/B'=/B=45。,則CK=3T2.例4.如圖,△AB0為等腰直角三角形,A(-4,0),直角頂點(diǎn)B在第二象限,點(diǎn)C在y軸上移動(dòng),以BC為斜邊作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)也在一條直線上運(yùn)動(dòng),這條直線的函數(shù)解析式是.圖1圖2解:第一步:判斷.點(diǎn)B為定點(diǎn),點(diǎn)C為主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D為從動(dòng)點(diǎn),滿足瓜豆原理.由于D點(diǎn)的位置沒有明確,故分兩種情況進(jìn)行討論.第二步:畫路徑.局部變化:點(diǎn)D是點(diǎn)C先繞B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以£為位似比縮小而來.則整體上:D點(diǎn)的路徑為y軸繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°,再以B為位似中心以包2為位似比縮?。?實(shí)際作圖:直線型的我們可以尋找兩個(gè)特殊點(diǎn),兩點(diǎn)確定一條直線.如圖1,點(diǎn)C在y軸上,當(dāng)BC1±y軸時(shí),D1(-1,3);當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí),D2(0,2);如圖2,當(dāng)BC1±y軸時(shí),D1-11,1);當(dāng)C2在O點(diǎn)時(shí),D2(-2,0)第三步:計(jì)算.y=—x+2;y—x+2.二、鞏固練習(xí)1.如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),以E為直角頂點(diǎn),AE為直角邊作等腰直角及△AEF,A,E,F按逆時(shí)針排列.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)到到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長為【答案】5J2.提示:法1,尋找始末位置,F(xiàn)1為開始的位置,F(xiàn)2為最終的位置,連接即為F的路徑.利用勾股即可求得.法2,口算.E點(diǎn)的路徑長為5,F點(diǎn)是由E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)擴(kuò)大得到,滿足瓜豆,知其路徑也為線段,并且擴(kuò)大%2倍,即F的路徑為5<2..如圖,AB=2,點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),以BD為邊向右下作等腰△BDE,其中頂角ZBDE=120°,則點(diǎn)D從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中,則E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為.
【答案】:2v'6.提示:滿足瓜豆原理.法人畫出路徑具體求解.法2:口算法,D到E旋轉(zhuǎn)放大、3倍,即E點(diǎn)的路徑為<3AC=2T6..如圖,在等邊^(qū)ABC中,BC=6,D,E是BC邊上的兩點(diǎn),且BD=CE=1,P是DE上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,連接MN,AP交于點(diǎn)G,則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)E的過程中,線段BG掃過BG掃過的區(qū)域面積為.BIyPEBIyPEC【答案】:323提示:滿足瓜豆原理.找始末位置G1,G2,則GG為^ADE的中位線即叩2二即叩2二2DE=勺二2AU二羊?1一-3<3??S=GG-GV=——21222.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知正方形ABCO,A(0,4),點(diǎn)D為%軸上一動(dòng)點(diǎn),以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,NADE=90°,連接OE,則OE的最小值為.【答案】:2<2.提示:瓜豆直線型,路徑是%軸繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到.實(shí)際操作,找一個(gè)特殊點(diǎn)(圖上已經(jīng)有一點(diǎn)),C點(diǎn)為開始點(diǎn),連接CE即為E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑,則OE1為OC最小值.即oe=OC=1<2最小值.5.如圖,在Rt5.如圖,在Rt△ABC中,/ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D是半徑為2的。A上一點(diǎn),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),則BE長的最大值是.【答案】:7.提示:以C為位似中心,1為位似比縮小,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系..如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2y2,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是.【答案】:兀提示:法/:畫路徑求路徑,以C為位似中心,1為位似比縮小,即為點(diǎn)M2的路徑長.法2:口算.M路徑為P點(diǎn)路徑長的一半.
.如圖,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,長度為2的動(dòng)線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),連接EC,位似比縮小,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系..如圖,邊長為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E,/AED=90°,F為CE的中點(diǎn),連接BF,則BF的最大值為.SCBSCB3L€【答案】:<13+1.提示:確定E點(diǎn)的路徑為圓.以C為位似中心,2為位似比縮小,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.9.如圖,在矩形ABCD中,化為點(diǎn)圓位置關(guān)系.9.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)E在AD邊上,且AE:ED=1:3.動(dòng)點(diǎn)P位線.10.如圖,△ABC中,/ACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一動(dòng)點(diǎn)以DC為斜邊向上作等腰直角△DCE,使NCED=90°,連接BE,則BE的最小值為.BB【答案】:弓.提示:線段型瓜豆,找始末位置,得路徑線段E1E2.△E2CE1s△BAC得到NCEE產(chǎn)NCBA=60。,則NBEE=30°,?'.BE=1BE二點(diǎn).2121322211.如圖,直線m//n,m,n之間的距離為3,A,B為直線n上的兩點(diǎn),且AB=2,點(diǎn)C是直線m上的動(dòng)點(diǎn),四邊形ACDE為矩形,CD=3AAC,則BD的最小值
【答案】2<3【答案】2<3+1.提示:定點(diǎn)A,主動(dòng)點(diǎn)C,從動(dòng)點(diǎn)為D,點(diǎn)C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,并以A為位似中心放大2倍得到。,滿足直線型瓜豆.找特殊點(diǎn)0即有D點(diǎn)路徑,此時(shí)DD與m,n的夾角為60。,則BD>BD_1BD_2^3+1.122312.如圖,BE,AC為四邊形ABCE的對(duì)角線,CE=2,/CAE=60°,ZCAB=90°,ZCBA=30°,連接BE,則BE的最大值為連接BE,則BE的最大值為.【答案】:2<21+4<3提示:第一步:定角定弦隱圓.點(diǎn)A的路徑是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓上(部分圓).O提示:第一步:定角定弦隱圓.在CE的垂直平分線上,且NCOE=120°.第二步:C為定點(diǎn),A為主動(dòng)點(diǎn),B為從動(dòng)點(diǎn),滿足瓜豆.A到B是繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,再以C為位似中心
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