北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

2016年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）第Ⅰ部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出切合題目要求的一項.（1）已知會集A{x||x|2}，B1，0，1，2，3，則AIB（）（A）0，1（B）0，1，2（C）1，0，1（D）1，0，1，22xy≤0,（2）若x，y滿足xy≤3,則2xy的最大值為（）x≥0,（A）0（B）3（C）4（D）5（3）執(zhí)行以以以下圖的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為（）（A）1（B）2（C）3（D）4（4）設(shè)a，b是向量．則“|a||b|”是“|ab||ab|”的（）（A）充分而不用要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不用要條件（5）已知x，yR，且xy0，則（）（A）1xy10（B）sinxsiny0（C）110（D）lnxlny0xy22（6）某三棱錐的三視圖以以以下圖，則該三棱錐的體積為（）A）161B）131（C）1正（主）視圖側(cè)（左）視圖112D）1俯視圖（7）將函數(shù)ysin(2x)圖象上的點(diǎn)P(,t)向左平移s(s0)個單位長度獲取點(diǎn)P.若P位于函數(shù)34ysin2x的圖象上，則（）（A）t1，s的最小值為（B）t3，s的最小值為2626（C）t1，s的最小值為（D）t3，s的最小值為2323（8）袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，若是這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中紅球與丙盒中黑球相同多（C）乙盒中紅球不多于丙盒中紅球（D）乙盒中黑球與丙盒中紅球相同多第Ⅱ部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每題5分，共30分.（9）設(shè)aR，若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實軸上，則a．（10）在(12x)6的張開式中，x2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）（11）在極坐標(biāo)系中，直線cos3sin10與圓2cos交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|．（12）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a16，a3a50，則S6．（13）雙曲線x2y21a0，b0的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該a2b2雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長為2，則a．（14）設(shè)函數(shù)f(x)x33x,x≤a,2x,xa.①若a0，則f(x)的最大值為；②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題13分）在ABC中，a2c2b22ac．（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）求2cosAcosC的最大值．（16）（本小題13分）A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為檢查他們的體育熬制情況，經(jīng)過分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的熬制時間，數(shù)據(jù)以下表（單位：小時）：A組678B組6789101112C組36912（Ⅰ）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)采用一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的熬制時間相互獨(dú)立，求該周甲的熬制時間比乙的熬制時間長的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的熬制時間分別是7，9，（單位：小時）．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)組成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大小．（結(jié)論不要求證明）（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPDABDAB1AD2，ACCD5．PPAPD，，A，，（Ⅰ）求證：PD平面PAB；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上可否存在點(diǎn)DA求M，使得BM∥平面PCD若存在，AM的值；若不存在，說明原由．BCAP（18）（本小題13分）設(shè)函數(shù)f()eaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y(e1)x4．xx（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間．（19）（本小題14分）已知橢圓x2y23，A(a,0)，，，OAB的面積為1．C:B(0,b)O(0,0)a2b21(ab0)的離心率為2（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N．求證：|AN||BM|為定值．（20）（本小題13分）設(shè)數(shù)列A:a,a,,aN(N≥2)．若是對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有aka，則稱n是數(shù)列12nA的一個“G時辰”．記G(A)是數(shù)列A的所有“G時辰”組成的會集．（Ⅰ）對數(shù)列A:2,2,1,1,3，寫出G(A)的所有元素；（Ⅱ）證明：若數(shù)列A中存在an使得ana1，則G(A)；（Ⅲ）證明：若數(shù)列A滿足anan1≤1(n2,3,,N)，則G(A)的元素個數(shù)不小于aNa1．2016年北京高考數(shù)學(xué)（理科）答案與分析1.C【分析】會集A{x|2x2}，會集B{x|1,0,1,2,3}，因此AIB{1,0,1}.2.C1,2，最大值為【分析】可行域如圖陰影部分，目標(biāo)函數(shù)平移到虛線處獲取最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為2124.3.B【分析】開始a1，k0；第一次循環(huán)a1，k1；第二次循環(huán)a2，k2，第三次循環(huán)a1，2條件判斷為“是”跳出，此時k2.4.Drrrrrrrr【分析】若a=b成立，則以a，b為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形，a+b，ab表示的是該菱形的對角線，而菱形的對角線不用然相等，因此rrrra+b=ab不用然成立，從而rrrrrr不是充分條件；反之，a+b=ab成立，則以a，b為邊組成平行四邊形，則該平行四邊形為矩形，矩形的鄰邊不用然相等，因此rra=b不用然成立，從而不是必要條件.5.C1在單調(diào)遞減，因此11即11【分析】A.觀察的是反比率函數(shù)y0,0因此A錯；B.xxyxy觀察的是三角函數(shù)ysinx在0,單調(diào)性，不是單調(diào)的，因此不用然有sinxsiny，Bxxy即1xy錯；C.觀察的是指數(shù)函數(shù)y1在0,單調(diào)遞減，因此有111022222因此C對；D觀察的是對數(shù)函數(shù)ylnx的性質(zhì)，lnxlnylnxy，當(dāng)xy0時，xy0不必然有l(wèi)nxy0，因此D錯.6．A【分析】經(jīng)過三視圖可還原幾何體為以以以下圖三棱錐，則經(jīng)過側(cè)視圖得高h(yuǎn)1，底面積S1111，22因此體積V1Sh1.367．A【分析】點(diǎn)Pπ,t在函數(shù)ysin2xπ上，因此tsin2ππsinπ1，今后434362yπ向左平移s個單位，即ysin2(xs)πsin2x，因此πZ，因此ssin2x3s+kπ,k36的最小值為π.68．B【分析】取兩個球往盒子中放有4種情況：①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；③紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數(shù)加1個；④黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加1個．因為紅球和黑球個數(shù)相同，因此①和②的情況相同多，③和④的情況圓滿隨機(jī)．③和④對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響．①和②出現(xiàn)的次數(shù)是相同的，因此對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)相同．綜上，選B．1【分析】1iaia1a1i∵其對應(yīng)點(diǎn)在實軸上∴a10，a160【分析】由二項式定理得含x2的項為C262x260x211.2【分析】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)變成直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算xcos，ysin直線的直角坐標(biāo)方程為x3y10∵2cos，2222222xsincoscos∴xy圓的直角坐標(biāo)方程為x2y211圓心1,0在直線上，因此AB為圓的直徑，AB212.6【分析】∵a3a52a4∴a40∵16，413d∴d2aaa∴S66a166162d13.2【分析】沒關(guān)系令B為雙曲線的右焦點(diǎn)，A在第一象限，則雙曲線圖象如圖∵OABC為正方形，OA2∴cOB22，AOBπ4bx，∴b∵直線OA是漸近線，方程為ytanAOB1又∵a2b2c2aa8∴a214．2，a1．【分析】由x33x3x230，得x1，以以以下圖，是fx的兩個函數(shù)在沒有限制條件時的圖象．⑴fxmaxf12；y⑵當(dāng)a≥1時，fx有最大值f12；當(dāng)a1時，2x在xa時無最大值，且2ax33xmax．2因此，a1．1O1xx33x2x15．【分析】⑴∵a2c2b22ac∴a2c2b22ac∴cosBa2c2b22ac22ac2ac2π∴B4⑵∵ABCπ∴AC3π4∴2cosAcosC∵AC3π4∴A(0,3π)4∴Aπ(π,π)44∴sin(Aπ最大值為1)4上式最大值為116．【分析】⑴810040，C班學(xué)生40人20⑵在A班中取到每個人的概率相同均為15設(shè)A班中取到第i個人事件為Ai,i1,2,3,4,5C班中取到第j個人事件為Cj,j1,2,3,4,5,6,7,8A班中取到AiCj的概率為Pi所求事件為D則P(D)1P1P1P1P1P55555⑶10三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值08.2但1中多加的三個數(shù)據(jù)7,9,8.25,平均值為8.08，比0小，故拉低了平均值17．【分析】⑴∵面PADI面ABCDAD面PAD面ABCD∵ABAD，AB面ABCDAB面PADPD面PAD

zP∴ABPD

D

A又PDPAPD面PAB⑵取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)CO，PO∵CDAC5∴COAD∵PAPD

OyBCx∴POAD以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建系易知P(0，01)，，B(110)，，，D(0，1，0)，C(2，0，0)，uuuvuuuv(11，，1)uuuvuuuv(2，1，0)則PB，PD(0，1，1)，PC(2，0，1)，CDvv(x0，y0,1)設(shè)n為面PDC的法向量，令nvuuuv0vnPD1，1,1，則PB與面PCD夾角有vuuuvnnPC02⑶假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥面PCD設(shè)AM，M0,y',z'APuuuruuuur由（2）知A0,1,0，P0,1,1，B1,1,00,0,1，AP，AM0,y'1,z'uuuuruuurM0,1,有AMAPuuuur1,,∴BMuur∵BM∥面PCD，n為PCD的法向量uuuurr0∴BMn即102∴=14∴綜上，存在M點(diǎn)，即當(dāng)AM1時，M點(diǎn)即為所求.AP418．【分析】（I）Qf(x)xeaxbxf(x)eaxxeaxb(1x)eaxb∵曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y(e1)x4∴f(2)2(e1)4，f(2)e1即f(2)2ea22b2(e1)4①f(2)(12)ea2be1②由①②解得：a2，be（II）由（I）可知：f(x)xe2xex，f(x)(1x)e2xe令g(x)(1x)e2x，∴g(x)e2x(1x)e2x(x2)e2x極小值∴g(x)的最小值是g(2)(12)e221∴f(x)的最小值為f(2)g(2)ee10即f(x)0對xR恒成立∴f(x)在,上單調(diào)遞加，無減區(qū)間.19．【分析】⑴由已知，c3,1ab1，又a2b2c2，a22解得a2,b1,c3.∴橢圓的方程為x2y21.4⑵方法一：設(shè)橢圓上一點(diǎn)Px0,y0，則x02y021.y042y0直線PA：yx令x0，得yM.x022,x02∴BM12y0x02直線PB：yy01x1,令y0，得xNy0x0.x01∴AN2x0y012x02將y01代入上式得ANBM=4故ANBM為定值.方法二：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P2cos,sin，直線PA:ysinx2,令x0，得yMsin2.2cos1cossincos1∴BMcos1sin11,令y2cos.直線PB:yx0，得xN2cos1sin2sin2cos2∴ANsin故ANBM為定值.20．【分析】⑴GA2，5⑵因為存在ana1，設(shè)數(shù)列A中第一個大于a1的項為ak，則aka1≥ai，其中2≤i≤k1，因此kGA，GA．⑶設(shè)A數(shù)列的所有“G時辰”為i1i2Lik，對于