高中立體幾何-直線、平面平行的判定與性質(zhì)課件

高中數(shù)學(xué)第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)高中數(shù)學(xué)第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件a∩α=?①

a?α,b?α,

a∥b

a∥α②

a∥α,a?β,α∩β=b

結(jié)論a∥αb∥αa∩α=?a∥b1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀判定性質(zhì)定義定理圖形22.面面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件α∩β=?③

a?β,b?β,

a∩b=P,a∥α,b∥α

④

α∥β,

α∩γ=a,

β∩γ=b

α∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個(gè)平面.

(×)2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形????條件α3(2)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一

條直線.

(×)(3)如果一條直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行,則a∥α.(×)(4)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平

行.

(×)(5)如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行.

(×)(6)設(shè)l為直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,若l∥α且l∥β,則α∥β.

(×)(7)若α∥β,直線a∥α,則a∥β.

(×)

(2)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的41.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是

()A.平行

B.相交C.異面

D.以上均有可能答案

D與一個(gè)平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.2.下列命題中,正確的是

()A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b?α,則a∥bC.若a∥α,b∥α,則a∥bD.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α答案

D由直線與平面平行的判定定理知,只有選項(xiàng)D正確.1.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是?(53.設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面β

內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個(gè)充分不必要條件是

()A.m∥l1且n∥l2

B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β

D.m∥β且l1∥α答案

A由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理,l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,

反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個(gè)充分不必要條件.3.設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線64.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:①a與β內(nèi)的所有直線平行;②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行;③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號(hào)是

.答案②解析由面面平行的性質(zhì)可知,過(guò)a與β相交的平面與β的交線才與a平

行,故①錯(cuò)誤;②正確;平面β內(nèi)的直線與直線a平行、異面均可,其中包括

異面垂直,故③錯(cuò)誤.4.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:75.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的是

(只填序

號(hào)).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析

如圖,因?yàn)锳BC1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;由圖易知AD1與DC1異面,故③錯(cuò)誤;因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正確.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的8考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn).(1)證明AD1∥平面BDC1;(2)證明BD∥平面AB1D1.

證明(1)∵D1,D分別為A1C1與AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,∴C1D1

DA,∴四邊形ADC1D1為平行四邊形,∴AD1∥C1D,考點(diǎn)突破考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點(diǎn)突破9又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D,∵BB1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,(2)連接D110∴BB1∥D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),∴BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,∴BD∥B1D1,又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.∴BB1∥D1D,11方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).方法技巧12變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)”,則當(dāng)

等于何值時(shí),BC1∥平面AB1D1?解析當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點(diǎn),此時(shí)

=1,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1,由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴O為A1B的中點(diǎn),在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的13∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1,∴當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB14考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1

C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.

證明(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)15又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.易知A1GEB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,16方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另

一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證

明.方法技巧172-1一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所

示.

(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.2-1一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖18

(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.?解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.19考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問(wèn)題典例3

如圖所示,平面α∥平面β,點(diǎn)A∈α,點(diǎn)C∈α,點(diǎn)B∈β,點(diǎn)D∈β,點(diǎn)E,F

分別在線段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求證:EF∥平面β;(2)若E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求

EF的長(zhǎng).

考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問(wèn)題20解析(1)證明:①當(dāng)AB,CD在同一平面內(nèi)時(shí),由平面α∥平面β,平面α∩

平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD.∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF?β,BD?β,∴EF∥平面β.②當(dāng)AB與CD異面時(shí),如圖所示,設(shè)平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC,

解析(1)證明:①當(dāng)AB,CD在同一平面內(nèi)時(shí),由平面α∥平21∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,∴四邊形ACDH是平行四邊形,在AH上取一點(diǎn)G,使AG∶GH=CF∶FD,連接EG,FG,BH.則AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH.∴GF∥HD,EG∥BH.又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.又EF?平面EFG,∴EF∥平面β.綜合①②可知EF∥平面β.(2)如圖所示,連接AD,取AD的中點(diǎn)M,連接ME,MF.∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,22

∵E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),∴ME∥BD,MF∥AC,且ME=

BD=3,MF=

AC=2.∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補(bǔ)角,∴∠EMF=60°或120°.∴在△EFM中,由余弦定理得EF=

=

=

,即EF=

或EF=

.?EF=?231.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系,它們之

間可以相互轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:

規(guī)律總結(jié)2.在解決線面、面面平行的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的

轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應(yīng)用性

質(zhì)定理時(shí),其順序正好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體

條件而定,絕對(duì)不可過(guò)于“模式化”.1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系,它243-1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接AC、BD交于點(diǎn)O,P是

DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn).問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面

PAO?

3-1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接25解析當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.證明:∵在正方體AC1中,Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn),∴易知QB∥PA.∵QB?平面PAO,PA?平面PAO,∴QB∥平面PAO.∵P、O分別為DD1、DB的中點(diǎn),∴PO∥D1B,又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO,∴D1B∥平面PAO,又∵D1B∩QB=B,D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ,∴平面D1BQ∥平面PAO.解析當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.26高中數(shù)學(xué)第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)高中數(shù)學(xué)第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件a∩α=?①

a?α,b?α,

a∥b

a∥α②

a∥α,a?β,α∩β=b

結(jié)論a∥αb∥αa∩α=?a∥b1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀判定性質(zhì)定義定理圖形282.面面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件α∩β=?③

a?β,b?β,

a∩b=P,a∥α,b∥α

④

α∥β,

α∩γ=a,

β∩γ=b

α∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個(gè)平面.

(×)2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形????條件α29(2)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一

條直線.

(×)(3)如果一條直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行,則a∥α.(×)(4)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平

行.

(×)(5)如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行.

(×)(6)設(shè)l為直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,若l∥α且l∥β,則α∥β.

(×)(7)若α∥β,直線a∥α,則a∥β.

(×)

(2)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的301.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是

()A.平行

B.相交C.異面

D.以上均有可能答案

D與一個(gè)平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.2.下列命題中,正確的是

()A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b?α,則a∥bC.若a∥α,b∥α,則a∥bD.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α答案

D由直線與平面平行的判定定理知,只有選項(xiàng)D正確.1.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是?(313.設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面β

內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個(gè)充分不必要條件是

()A.m∥l1且n∥l2

B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β

D.m∥β且l1∥α答案

A由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理,l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,

反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個(gè)充分不必要條件.3.設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線324.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:①a與β內(nèi)的所有直線平行;②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行;③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號(hào)是

.答案②解析由面面平行的性質(zhì)可知,過(guò)a與β相交的平面與β的交線才與a平

行,故①錯(cuò)誤;②正確;平面β內(nèi)的直線與直線a平行、異面均可,其中包括

異面垂直,故③錯(cuò)誤.4.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:335.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的是

(只填序

號(hào)).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析

如圖,因?yàn)锳BC1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;由圖易知AD1與DC1異面,故③錯(cuò)誤;因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正確.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的34考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn).(1)證明AD1∥平面BDC1;(2)證明BD∥平面AB1D1.

證明(1)∵D1,D分別為A1C1與AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,∴C1D1

DA,∴四邊形ADC1D1為平行四邊形,∴AD1∥C1D,考點(diǎn)突破考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點(diǎn)突破35又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D,∵BB1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,(2)連接D136∴BB1∥D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),∴BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,∴BD∥B1D1,又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.∴BB1∥D1D,37方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).方法技巧38變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)”,則當(dāng)

等于何值時(shí),BC1∥平面AB1D1?解析當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點(diǎn),此時(shí)

=1,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1,由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴O為A1B的中點(diǎn),在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的39∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1,∴當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB40考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1

C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.

證明(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)41又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.易知A1GEB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,42方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另

一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證

明.方法技巧432-1一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所

示.

(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.2-1一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖44

(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.?解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.45考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問(wèn)題典例3

如圖所示,平面α∥平面β,點(diǎn)A∈α,點(diǎn)C∈α,點(diǎn)B∈β,點(diǎn)D∈β,點(diǎn)E,F

分別在線段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求證:EF∥平面β;(2)若E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求

EF的長(zhǎng).

考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問(wèn)題46解析(1)證明:①當(dāng)AB,CD在同一平面內(nèi)時(shí),由平面α∥平面β,平面α∩

平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD.∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF?β,BD?β,∴EF∥平面β.②當(dāng)AB與CD異面時(shí),如圖所示,設(shè)平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC