【600分考點-700分考法】2020版高考理數(shù)：專題9直線與圓的方程課件

專題九

直線與圓的方程專題九直線與圓的方程目錄CONTENTS考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系2目錄考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系必備知識全面把握核心方法重點突破考法例析成就能力考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系必備知識全面把握核心必備知識全面把握考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1．直線的傾斜角和斜率的概念（1)傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0.(2)斜率：不等于的傾斜角的正切值叫做直線的斜率，即斜率的取值范圍是全體實數(shù)R.(3)斜率公式：過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝tanα＝x1－x2(y1－y2)(α為直線的傾斜角)．必備知識全面把握考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1．

(1)確定一條直線需要兩個條件，即兩個定點．第二個定點起的作用是確定直線的方向．直線的方向用代數(shù)的形式刻畫出來就是直線的傾斜角．傾斜角的大小準(zhǔn)確、直觀地刻畫了直線的傾斜程度．每條直線都有唯一確定的傾斜角．(3)已知傾斜角α的范圍，求斜率k的范圍，實質(zhì)是求k＝tanα的值域；已知斜率k的范圍，求傾斜角α的范圍，實質(zhì)是在

上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式，可借助正切函數(shù)的圖像來解決此類問題．(2)垂直于x軸的直線沒有斜率．若斜率存在，傾斜角不同，斜率也不同．斜率k的值與P1，P2兩點的順序無關(guān)，x，y在公式中的次序可以同時改變，但比值不變．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系(1)確定一條直線需要兩個條件，即兩個定點．第62．直線方程的五種表示形式考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系62．直線方程的五種表示形式考點一直線的方程、兩條直線的位7

(1)解決“直線過定點”的問題多用“點斜式”．(2)“斜截式”最能體現(xiàn)直線的函數(shù)性質(zhì)(一次函數(shù)，一次項系數(shù)是斜率)，“斜截式”中所含的參數(shù)有2個，而其他各種形式中是3個或2個，所以用待定系數(shù)法求直線方程時多設(shè)為“斜截式”．(3)“截距式”中截距不是距離，它可正可負也可為0，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為－1或過原點．(4)“兩點式”的變形(“積式”)：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)能表示所有的直線．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系2．直線方程的五種表示形式7

(1)解決“直線過定點”的問題多用“點斜式”．考點一直83．兩條直線的位置關(guān)系在判定兩條直線平行或垂直時，

不要忽略斜率不存在的情形．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系83．兩條直線的位置關(guān)系在判定兩條直線平行或垂直時，不要忽94．兩直線的交點設(shè)兩條直線的方程分別是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組

的解．若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；反之，亦成立．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系94．兩直線的交點設(shè)兩條直線的方程分別是l1：A1x＋B1y105．距離(1)兩點間的距離：平面上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式d(A，B)＝|AB|＝.(2)點到直線的距離：點P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離(3)兩條平行直線間的距離：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系105．距離(1)兩點間的距離：平面上的兩點A(x1，y1)11方法1求直線的斜率及傾斜角范圍的方法1．求斜率的常用方法(1)已知直線上兩點時，由斜率公式求斜率．(2)已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值時，由求斜率．(3)直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率2．求傾斜角α的取值范圍的一般步驟先求出斜率k的取值范圍，再由k＝tanα及三角函數(shù)的單調(diào)性，確定傾斜角的取值范圍，注意斜率不存在的情況．核心方法重點突破考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系11方法1求直線的斜率及傾斜角范圍的方法1．求斜率的12【答案】[0，＋∞)

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直線l不經(jīng)過第四象限，則k的取值范圍為________．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【解析】直線l的方程可化為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則

解得k≥0，∴k的取值范圍是[0，＋∞)．12【答案】[0，＋∞)已知直線l：kx－y＋1＋213

曲線y＝x3－x＋5上各點處的切線的傾斜角的取值范圍為________．【解析】設(shè)曲線上任意一點處的切線的傾斜角為θ(θ∈[0，π))．∵y′＝3x2－1≥－1，∴tanθ≥－1，結(jié)合正切函數(shù)的圖像可知，θ的取值范圍為考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【答案】13曲線y＝x3－x＋5上各點處的切線的傾斜角的取14方法2求直線方程的方法點的坐標(biāo)確定直線的位置，斜率確定直線的方向，也就是說，要確定直線的方程，只需找到兩個點的坐標(biāo)或一個點的坐標(biāo)與過該點的直線的斜率即可．因此確定直線的常用方法有兩種：(1)待定系數(shù)法，先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)；(2)直線系法，先根據(jù)一個已知條件設(shè)出直線系方程，再根據(jù)另一個條件來確定直線的參數(shù)值．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系14方法2求直線方程的方法點的坐標(biāo)確定直線的位置，斜151．待定系數(shù)法待定系數(shù)法是求直線方程的基本方法，其中要注意有時我們對參數(shù)“設(shè)而不求”，有時需要“巧設(shè)坐標(biāo)”，有時需要借助定比分點公式、面積公式等，總之要靈活處理．

已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點為P(2，3)，求過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程．【解】∵P(2，3)在已知直線上，∴2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0.故所求直線方程為y－b1＝

，即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，∴2x＋3y＋1＝0.∴過Q1，Q2兩點的直線方程為2x＋3y＋1＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系151．待定系數(shù)法已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和162．直線系法設(shè)l：ax＋by＋c＝0，那么(1)與l平行的直線系是ax＋by＋m＝0(m≠c)；(2)與l垂直的直線系是bx－ay＋n＝0.設(shè)l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，l1與l2相交于P點，

則過交點P的直線系方程為(a1x＋b1y＋c1)＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系162．直線系法設(shè)l：ax＋by＋c＝0，那么考點一直線17

正方形的中心在原點，若它的一條邊所在的直線方程為3x＋4y－5＝0，求這個正方形的其他邊所在的直線方程．【解】根據(jù)正方形的性質(zhì)可設(shè)與已知直線平行的一邊所在的直線方程為3x＋4y＋λ1＝0，與已知直線垂直的邊所在的直線方程為4x－3y＋λ2＝0.由于正方形的中心到四邊的距離相等，∴λ1＝5(λ1＝－5時與所給直線重合)，λ2＝±5.故所求的直線方程分別為3x＋4y＋5＝0，4x－3y＋5＝0，4x－3y－5＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系17正方形的中心在原點，若它的一條邊所在的直線方程18方法3對稱問題的解法

1．點關(guān)于點對稱若點M(x1，y1)和點N(x2，y2)關(guān)于點P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得2．直線關(guān)于點對稱(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的點的坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線的方程．3．點關(guān)于直線對稱若點P1(x1，y1)與點P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系18方法3對稱問題的解法1．點關(guān)于點對稱2．直線關(guān)194．直線關(guān)于直線對稱設(shè)直線l1關(guān)于直線l的對稱直線為l2，(1)當(dāng)l1與l相交時，則l2必過交點．再求出l1上某個點P1關(guān)于對稱軸l對稱的點P2，那么由交點及點P2即可求出直線l2的方程．(2)當(dāng)l1∥l時，借助兩直線平行所滿足的條件設(shè)出對稱直線l2的方程，再利用兩平行直線間的距離公式列出方程，解得直線l2方程中的常數(shù)項，從而得l2的方程．5．求解對稱問題的關(guān)鍵點①已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直．②以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系194．直線關(guān)于直線對稱5．求解對稱問題的關(guān)鍵點考點一直線20

(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對稱的直線方程；(2)求點A(－2，3)關(guān)于直線l：3x－y－1＝0對稱的點A′的坐標(biāo)；(3)求與直線2x＋y－4＝0關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的直線的方程．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【解】(1)方法一：兩條直線關(guān)于點M對稱，則其中一條直線上任意一點關(guān)于M的對稱點在另一條直線上，利用中點坐

標(biāo)公式可由兩個對稱點中的一個點的坐標(biāo)表示另一個點的坐標(biāo)．設(shè)P(x，y)是待求直線上任意一點，Q(x0，y0)為點P關(guān)于點M(2，3)的對稱點，則點Q在直線y＝－4x＋1上，即y0＝－4x0＋1，代入y0＝－4x0＋1中，得4x＋y－21＝0.20(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對21方法二：由中心對稱定義可知，若兩條直線關(guān)于點M對稱，則它們是一對與定點M距離相等的平行直線，利用兩平行直線斜率相等及點到直線的距離公式即可求出所求直線方程．將已知直線方程y＝－4x＋1化為4x＋y－1＝0.設(shè)所求直線方程為4x＋y＋c＝0，則42＋12(|4×2＋3＋c|)＝42＋12(|4×2＋3－1|)，整理，得c＝－21或c＝－1(舍去)．故所求直線方程為4x＋y－21＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系

(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對稱的直線方程；(2)求點A(－2，3)關(guān)于直線l：3x－y－1＝0對稱的點A′的坐標(biāo)；(3)求與直線2x＋y－4＝0關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的直線的方程．21方法二：考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系22方法二：

寫出AA′的垂直平分線的方程，利用它與l重合，求出A′的坐標(biāo)．設(shè)所求點A′的坐標(biāo)為(x0，y0)，則線段AA′的垂直平分線的方程是整理，得2(x0＋2)x＋2(y0－3)y(x02＋y02－13)＝0.此方程即為直線l的方程，于是所以點A關(guān)于直線l對稱的點為A′(4，1)(2)方法一：由題意，直線AA′的方程為與3x－y－1＝0聯(lián)立解得它們的交點的坐標(biāo)為P(1，2)．∵A，A′關(guān)于直線l對稱，也關(guān)于點P對稱，∴A′(2×1－(－2)，2×2－3)，即A′(4，1)．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系22方法二：

寫出AA′的垂直平分線的方程，利用它與l重合，23(3)方法一：兩條直線關(guān)于一條定直線成軸對稱，則這兩條直線中的任何一條直線上的任意一點關(guān)于對稱軸的對稱點必在另一條直線上，對稱軸是這兩點連線線段的垂直平分線，由此可寫出兩點坐標(biāo)間的關(guān)系式，用代入法寫出直線的方程．設(shè)P(x，y)是待求直線上任意一點，Q(x0，y0)是P關(guān)于直線x－y＋1＝0的對稱點，則Q在直線2x＋y－4＝0上，由軸對稱圖形的性質(zhì)有代入2x0＋y0－4＝0，得x＋2y－5＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系23(3)方法一：考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系24

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系24

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系25方法4兩條直線位置關(guān)系問題的解法判斷兩直線的位置關(guān)系時，注意：①討論直線的斜率是否存在，②在斜率相等時，需對兩直線是否重合討論．解答這類問題時要根據(jù)直線方程中的系數(shù)進行分類討論，求出結(jié)果后再代入直線方程中進行檢驗．1．兩直線是否具有公共點問題兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0是否有公共點的問題轉(zhuǎn)化為對方程組

解集的討論．當(dāng)解集為?，即l1與l2無公共點時，l1∥l2；當(dāng)解集有唯一元素，即l1與l2有唯一公共點時，l1與l2相交；當(dāng)解集有無數(shù)多個元素，即l1與l2有無數(shù)個公共點時，l1與l2重合．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系25方法4兩條直線位置關(guān)系問題的解法判斷兩直線的位置關(guān)262．兩直線平行、重合、相交的條件若l1：a1x＋b1y＋c1＝0(a1b1≠0)，l2：a2x＋b2y＋c2＝0(a2b2≠0)，則①l1∥l2(或重合)a1b2－a2b1＝0；②l1與l2相交a1b2－a2b1≠0，l1與l2垂直a1a2＋b1b2＝0.若l1，l2斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則③l1∥l2(或重合)

k1＝k2；④l1與l2相交k1≠k2，l1與l2垂直k1k2＝－1.應(yīng)特別注意：結(jié)論③④使用的前提是l1，l2斜率都存在，而結(jié)論①②卻沒有這個限制．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系262．兩直線平行、重合、相交的條件考點一直線的方程、兩條27

根據(jù)下列每組直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點坐標(biāo)．(1)l1：3x－2y－6＝0，l2：9x＋4y＋7＝0；(2)l1：3x－2y－6＝0，l2：4y－6x－3＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【解】(1)解方程組故直線l1，l2相交于點

(2)∴k1＝k2.又b1≠b2，故直線l1，l2平行．27根據(jù)下列每組直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系28

設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值是______．

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系

28設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定29考法1

求直線方程

求符合下列條件的直線方程：(1)過點P(3，－2)，且與直線4x＋y－2＝0平行；(2)過點P(3，－2)，且與直線4x＋y－2＝0垂直；(3)過點P(3，－2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．考法例析成就能力考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系29考法1求直線方程求符合下列條件的直線30

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系30

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系31考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系[課標(biāo)全國Ⅰ2014·20]已知點A(0，－2)，橢圓E：

的離心率為

，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為

，O為坐標(biāo)原點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．31考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系[課標(biāo)全323233考法2

判斷直線與直線位置關(guān)系及相關(guān)問題

【解析】由直線ax＋y＋7＝0與4x＋ay－3＝0平行，可得解得a＝±2，故選B.【答案】B考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系

直線ax＋y＋7＝0與4x＋ay－3＝0平行，則a＝(

)

A．2B．2或－2C．－2D．33考法2判斷直線與直線位置關(guān)系及相關(guān)問題【解析】34

已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝(

)

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【答案】B34已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l35考法3

兩條直線的交點與距離問題

設(shè)直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：mx＋y＋3＝0的交點為A,P,Q分別為l1，l2上任意兩點，點M為PQ的中點．若

則m的值為(

)A．2B．－2C．3D．－3

【答案】A考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系35考法3兩條直線的交點與距離問題設(shè)直36考法4

對稱問題

一條光線從點A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(

)【解析】點A(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為A′(2，－3)，由題知反射光線所在直線的斜率存在，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，化為kx－y－2k－3＝0.

∵反射光線所在直線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圓心(－3，2)到反射光線所在直線的距離d＝

化為24k2＋50k＋24＝0，

或

【答案】D考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系36考法4對稱問題一條光線從點A(－2考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系必備知識全面把握核心方法重點突破考法例析成就能力考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系必備知識全面把握核心方381．圓的兩種方程形式

必備知識全面把握考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系381．圓的兩種方程形式

必備知識全面把握考點二圓的方程392．點與圓的位置關(guān)系有三種：圓外、圓上、圓內(nèi)(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d>r,點在圓外；d=r，點在圓上；d<r，點在圓內(nèi).(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標(biāo)與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系392．點與圓的位置關(guān)系有三種：圓外、圓上、圓內(nèi)(1)根據(jù)點403．直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則

考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系403．直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交設(shè)圓的半徑41判斷方法有兩種：考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系41判斷方法有兩種：考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系424．圓與圓的位置關(guān)系有五種：內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離設(shè)圓O1的半徑為R，圓O2的半徑為r，R>r，圓心距d＝|O1O2|，則

考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系424．圓與圓的位置關(guān)系有五種：內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離判斷方法有兩種：方法一：若圓C1與圓C2的半徑分別為r和R，則當(dāng)0＜|C1C2|＜|R－r|時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)|C1C2|＝|R－r|時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)|R－r|＜|C1C2|＜R＋r時，兩圓相交；當(dāng)|C1C2|＝R＋r時，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＞R＋r時，兩圓外離．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法有兩種：考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系44方法二：聯(lián)立兩個圓的方程，得方程組x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，)消去x2，y2，得到一個二元一次方程，然后代入其中一個圓的方程得到一個一元二次方程．利用判別式Δ的值判斷兩圓的位置關(guān)系：

(1)當(dāng)r1＝r2時，不會出現(xiàn)內(nèi)切、內(nèi)含或同心圓的情況．

若d＝0且r1＝r2，則兩圓重合．(2)對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論．如當(dāng)Δ<0時，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含；當(dāng)Δ＝0時，還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系44方法二：聯(lián)立兩個圓的方程，得方程組x2＋y2＋D2x＋E455．圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，要注意檢驗圓C2是否滿足題意)．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系455．圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)466．兩圓相交時，公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0

①，圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0

②，若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0

③.方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．(1)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．(3)求公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單且易求．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系466．兩圓相交時，公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y247方法1圓的方程的解法求圓的方程的一般步驟(1)根據(jù)已知條件選擇圓的方程形式．由已知條件易得到圓心坐標(biāo)和半徑時，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；已知條件與圓心、半徑關(guān)系不密切時，選用一般方程．(2)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組．(3)解方程組，代入所設(shè)方程即可．核心方法重點突破考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系47方法1圓的方程的解法求圓的方程的一般步驟核心方法48

求滿足下列條件的圓的方程：(1)經(jīng)過兩點A(－1，4)，B(3，2)且圓心在y軸上；(2)圓過兩點A(3，1)，B(－1，3)，且它的圓心在直線3x－y－2＝0上；(3)經(jīng)過三點A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)．【解】(1)設(shè)圓心為(a，b)，∵圓心在y軸上，∴a＝0.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵該圓經(jīng)過A，B兩點，∴圓的方程是x2＋(y－1)2＝10.考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系48求滿足下列條件的圓的方程：【解】(1)設(shè)圓心為(49(2)設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，∵|CA|＝|CB|＝r，點C在直線3x－y－2＝0上，∴所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.(3)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A，B，C三點坐標(biāo)代入，整理，得

∴所求圓的方程為x2＋y2－7x－3y＋2＝0.考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系49(2)設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，(3)設(shè)圓的方程為x50方法2圓的切線方程的解法

(2)求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程①幾何法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k·(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求出k的值，進而寫出切線方程．當(dāng)斜率不存在時要進行驗證．②代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k·(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出．當(dāng)斜率不存在時要進行驗證．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系50方法2圓的切線方程的解法

(2)求過圓外一點(51(3)在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)先判斷定點與圓的位置關(guān)系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線有兩條；若點在圓內(nèi)，則切線不存在．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

已知點

點M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．51(3)在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)先判斷定點與圓的位52考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系52考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系53方法3與圓有關(guān)的最值問題的解法與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及求解策略(1)最小圓(圓的面積最小)問題，可轉(zhuǎn)化為求半徑最小值問題；(2)圓上的點到圓外的點(或直線)的距離的最值，應(yīng)先求圓心到圓外的點(或直線)的距離，再加上半徑長或減去半徑長求得最值；(3)形如μ＝x－a(y－b)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過定點(a，b)的動直線斜率的最值問題；(4)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，也可用三角代換求解；(5)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系53方法3與圓有關(guān)的最值問題的解法與圓有關(guān)的最值問題54考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系54考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系55方法4直線與圓位置關(guān)系的判斷的應(yīng)用

已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3，0)的直線，則(

)A．l與C相交B．l與C相切C．l與C相離

D．以上三個選項均有可能【解析】方法一(代數(shù)法)：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時顯然l與C相交．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)．由x2＋y2－4x＝0，(y＝k(x－3)，)消去y，得(k2＋1)x2－(6k2＋4)x＋9k2＝0.因為判別式Δ＝[－(6k2＋4)]2－4(k2＋1)·9k2＝12k2＋16>0，所以l與C相交．方法二(幾何法)：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時顯然l與C相交．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)．因為圓心(2，0)到直線y＝k(x－3)的距離d＝

<2＝r，所以l與C相交．【答案】A考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系55方法4直線與圓位置關(guān)系的判斷的應(yīng)用已知圓56

已知圓x2＋y2＝8，定點P(4，0)，問過P點的直線的斜率在什么范圍內(nèi)取值時，這條直線與已知圓：(1)相切，寫出過P點的切線方程；(2)相交；(3)相離．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【解】方法一(代數(shù)法)：設(shè)過P點的直線的斜率為k(由已知條件知k存在)，則其方程為y＝k(x－4)．得x2＋k2(x－4)2＝8，即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0.Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．56已知圓x2＋y2＝8，定點P(4，0)，問過57(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.∴當(dāng)k＝±1時，直線與圓相切．此時過點P的切線方程為x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(2)令Δ>0，即32(1－k2)＞0，解得－1<k<1.∴當(dāng)－1<k<1時，直線與圓相交．(3)令Δ<0，即32(1－k2)<0，即k2>1，解得k<－1或k>1.∴當(dāng)k<－1或k>1時，直線與圓相離．

已知圓x2＋y2＝8，定點P(4，0)，問過P點的直線的斜率在什么范圍內(nèi)取值時，這條直線與已知圓：(1)相切，寫出過P點的切線方程；(2)相交；(3)相離．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系57(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.58考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系方法二(幾何法)：設(shè)過P點的直線的斜率為k(由已知條件知k存在)，則其方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.設(shè)圓心(0，0)到該直線的距離為d，(1)令d＝r，即

∴k2＝1，∴當(dāng)k＝±1時，直線與圓相切，過P點的切線方程為x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(2)令d<r，即

∴k2<1，∴當(dāng)－1<k<1時，直線與圓相交．(3)令d>r，即∴k2>1，∴當(dāng)k<－1或k>1時，直線與圓相離．58考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系方法二(幾何法)：設(shè)59方法5圓中的弦長問題的解法1．求解圓的弦長問題的方法(1)幾何法：如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2

.(2)代數(shù)法：若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則特別地，當(dāng)k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|.考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系59方法5圓中的弦長問題的解法1．求解圓的弦長問題的602．當(dāng)直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形(如圖中的Rt△ADC)．在解題時要注意把它和點到直線的距離公式結(jié)合起來使用．3．在研究與弦的中點有關(guān)的問題時，注意運用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為(x0，y0)，由考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系602．當(dāng)直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形(61

如果一條直線經(jīng)過點M，且被圓x2＋y2＝25截得的弦長為8，求這條直線的方程．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【解】圓x2＋y2＝25的半徑r為5，直線被圓所截得的弦長l＝8，于是弦心距圓心O(0，0)到直線x＝－3的距離恰為3，∴直線x＝－3是符合題意的一條直線．設(shè)直線y＋2(3)＝k(x＋3)也符合題意，即圓心到直線kx－y＋2(3)＝0的距離等于3，于是∴直線方程為3x＋4y＋15＝0.綜上所述，滿足題意的直線有兩條，分別為x＝－3和3x＋4y＋15＝0.61如果一條直線經(jīng)過點M62

已知圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0內(nèi)一點A(4，－2)，求以A為中點的弦所在的直線方程．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【解】方法一：當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的斜率為k，則過點A的直線為y＋2＝k(x－4)．代入圓的方程，得(1＋k2)x2－(8k2－2k＋4)x＋16k2－8k－20＝0.

∵1＋k2≠0，Δ>0，∴可設(shè)兩個交點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝

＝4×2，得k＝－2.∴所求直線的方程是2x＋y－6＝0.當(dāng)斜率不存在時，直線x＝4不能滿足題設(shè)要求．∴所求直線的方程是2x＋y－6＝0.62已知圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0內(nèi)一點A(63考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

已知圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0內(nèi)一點A(4，－2)，求以A為中點的弦所在的直線方程．63考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系已知圓x2＋64方法6圓與圓位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用1．圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由兩圓的圓心距d與兩圓的半徑R，r(R>r)的關(guān)系來判斷．d>R＋r外離；d＝R＋r外切；R－r<d<R＋r相交；d＝R－r內(nèi)切；d<R－r內(nèi)含．(2)代數(shù)法：設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.對于方程組如果該方程組沒有實數(shù)解，那么兩圓相離；如果該方程組有一組實數(shù)解，那么兩圓相切；如果該方程組有兩組不同的實數(shù)解，那么兩圓相交．2．判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法，因為利用代數(shù)法不能判斷內(nèi)切與外切，內(nèi)含與外離；利用幾何法的關(guān)鍵是判斷圓心距|C1C2|與R＋r，R－r的關(guān)系．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系64方法6圓與圓位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用1．圓與圓的位置65

若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(1，121)

B．[1，121]C．(1，11)

D．[1，11]【解析】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓有公共點時，它們只能是內(nèi)切、外切或相交，因此圓心距d滿足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0以(－3，4)為圓心，r2＝6為半徑，圓x2＋y2＝m以(0，0)為圓心，【答案】B考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系65若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－166

已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0和圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．【解】如圖，設(shè)兩圓的交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點的坐標(biāo)是方程組。兩式相減，得3x－4y＋6＝0.由于A，B兩點的坐標(biāo)都滿足此方程，故3x－4y＋6＝0為兩圓的公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心為C1(－1，3)，半徑r＝3.又因為點C1到直線AB：3x－4y＋6＝0的距離d＝考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系66已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋167考法1

圓的方程的確定及應(yīng)用圓的方程在高考中涉及三個方面的應(yīng)用，一是利用直接法或待定系數(shù)法或動點軌跡確定圓的方程；二是利用圓的方程求圓心和半徑；三是圓的方程與其他知識結(jié)合起來進行綜合考查，常涉及點到直線的最大或最小距離問題，但不管是哪一方面，掌握圓的實質(zhì)內(nèi)涵“心定位，徑定大”是至關(guān)重要的．考法例析成就能力考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系67考法1圓的方程的確定及應(yīng)用圓的方程在高考中涉及三68

[天津文2018·12]在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________．方法二：設(shè)已知三點為O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，因為OA的垂直平分線方程為

即y＝－x＋1.又OB的垂直平分線方程為x＝1，聯(lián)立方程

即所求圓的圓心坐標(biāo)為C(1，0)，半徑r＝|CO|＝1，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【解析】方法一：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，設(shè)已知三點為O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，代入方程可得

故所求方程為x2＋y2－2x＝0.68[天津文2018·12]在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過69【答案】x2＋y2－2x＝0方法四：設(shè)已知三點為O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)．因為|OA|2＝2，|AB|2＝2，|OB|2＝4，所以|OA|2＋|AB|2＝|OB|2.所以△OAB為直角三角形且OB為斜邊，于是所求圓的圓心坐標(biāo)為OB的中點C(1，0)，半徑r＝

＝1，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系69【答案】x2＋y2－2x＝0方法四：設(shè)已知三點為O(0，70考法2

直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系通常用兩種方式表述，一是代數(shù)方式，即用直線與圓公共點的個數(shù)說明位置關(guān)系；二是幾何方式，即用圓心到直線的距離說明位置關(guān)系．在高考中也主要以這兩種方式進行考查．直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用涉及切線長和弦長，主要以勾股定理、點到直線的距離公式等為基礎(chǔ)，所涉及的題目在高考中屬于中等難度．考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系70考法2直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系71

[課標(biāo)全國Ⅰ文2018·15]直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________．【解析】圓x2＋y2＋2y－3＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4，因此圓心為(0，－1)，半徑r＝2.

則圓心(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離

【答案】

考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系71[課標(biāo)全國Ⅰ文2018·15]直線y＝x＋1與72

[課標(biāo)全國Ⅲ2016·16]已知直線l：mx＋y＋3m－

＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝

，則|CD|＝__________.【答案】4考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【解析】設(shè)圓心O到直線l的距離為d，∴d＝3，即

此時直線l的方程為

x＋y－2＝0.∴l(xiāng)的傾斜角為30°，如圖所示．過C作BD的垂線，垂足為E，則|CE|＝|AB|＝

.∵CE∥l，∴∠ECD＝30°，∴|CD|＝

＝4.72[課標(biāo)全國Ⅲ2016·16]已知直線l：mx＋y73考法3

圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用主要題型有給出兩圓的方程判斷位置關(guān)系、公切線的條數(shù)，求參數(shù)的范圍、公共弦長等，以選擇題、填空題為主，屬中檔題．

已知M，N是圓A：x2＋y2－2x＝0與圓B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共點，則△BMN的面積為________．【答案】考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系73考法3圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用專題九

直線與圓的方程專題九直線與圓的方程目錄CONTENTS考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1考點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系2目錄考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系必備知識全面把握核心方法重點突破考法例析成就能力考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系必備知識全面把握核心必備知識全面把握考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1．直線的傾斜角和斜率的概念（1)傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0.(2)斜率：不等于的傾斜角的正切值叫做直線的斜率，即斜率的取值范圍是全體實數(shù)R.(3)斜率公式：過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝tanα＝x1－x2(y1－y2)(α為直線的傾斜角)．必備知識全面把握考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系1．

(1)確定一條直線需要兩個條件，即兩個定點．第二個定點起的作用是確定直線的方向．直線的方向用代數(shù)的形式刻畫出來就是直線的傾斜角．傾斜角的大小準(zhǔn)確、直觀地刻畫了直線的傾斜程度．每條直線都有唯一確定的傾斜角．(3)已知傾斜角α的范圍，求斜率k的范圍，實質(zhì)是求k＝tanα的值域；已知斜率k的范圍，求傾斜角α的范圍，實質(zhì)是在

上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式，可借助正切函數(shù)的圖像來解決此類問題．(2)垂直于x軸的直線沒有斜率．若斜率存在，傾斜角不同，斜率也不同．斜率k的值與P1，P2兩點的順序無關(guān)，x，y在公式中的次序可以同時改變，但比值不變．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系(1)確定一條直線需要兩個條件，即兩個定點．第792．直線方程的五種表示形式考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系62．直線方程的五種表示形式考點一直線的方程、兩條直線的位80

(1)解決“直線過定點”的問題多用“點斜式”．(2)“斜截式”最能體現(xiàn)直線的函數(shù)性質(zhì)(一次函數(shù)，一次項系數(shù)是斜率)，“斜截式”中所含的參數(shù)有2個，而其他各種形式中是3個或2個，所以用待定系數(shù)法求直線方程時多設(shè)為“斜截式”．(3)“截距式”中截距不是距離，它可正可負也可為0，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為－1或過原點．(4)“兩點式”的變形(“積式”)：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)能表示所有的直線．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系2．直線方程的五種表示形式7

(1)解決“直線過定點”的問題多用“點斜式”．考點一直813．兩條直線的位置關(guān)系在判定兩條直線平行或垂直時，

不要忽略斜率不存在的情形．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系83．兩條直線的位置關(guān)系在判定兩條直線平行或垂直時，不要忽824．兩直線的交點設(shè)兩條直線的方程分別是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組

的解．若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；反之，亦成立．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系94．兩直線的交點設(shè)兩條直線的方程分別是l1：A1x＋B1y835．距離(1)兩點間的距離：平面上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式d(A，B)＝|AB|＝.(2)點到直線的距離：點P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離(3)兩條平行直線間的距離：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系105．距離(1)兩點間的距離：平面上的兩點A(x1，y1)84方法1求直線的斜率及傾斜角范圍的方法1．求斜率的常用方法(1)已知直線上兩點時，由斜率公式求斜率．(2)已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值時，由求斜率．(3)直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率2．求傾斜角α的取值范圍的一般步驟先求出斜率k的取值范圍，再由k＝tanα及三角函數(shù)的單調(diào)性，確定傾斜角的取值范圍，注意斜率不存在的情況．核心方法重點突破考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系11方法1求直線的斜率及傾斜角范圍的方法1．求斜率的85【答案】[0，＋∞)

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直線l不經(jīng)過第四象限，則k的取值范圍為________．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【解析】直線l的方程可化為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則

解得k≥0，∴k的取值范圍是[0，＋∞)．12【答案】[0，＋∞)已知直線l：kx－y＋1＋286

曲線y＝x3－x＋5上各點處的切線的傾斜角的取值范圍為________．【解析】設(shè)曲線上任意一點處的切線的傾斜角為θ(θ∈[0，π))．∵y′＝3x2－1≥－1，∴tanθ≥－1，結(jié)合正切函數(shù)的圖像可知，θ的取值范圍為考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【答案】13曲線y＝x3－x＋5上各點處的切線的傾斜角的取87方法2求直線方程的方法點的坐標(biāo)確定直線的位置，斜率確定直線的方向，也就是說，要確定直線的方程，只需找到兩個點的坐標(biāo)或一個點的坐標(biāo)與過該點的直線的斜率即可．因此確定直線的常用方法有兩種：(1)待定系數(shù)法，先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)；(2)直線系法，先根據(jù)一個已知條件設(shè)出直線系方程，再根據(jù)另一個條件來確定直線的參數(shù)值．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系14方法2求直線方程的方法點的坐標(biāo)確定直線的位置，斜881．待定系數(shù)法待定系數(shù)法是求直線方程的基本方法，其中要注意有時我們對參數(shù)“設(shè)而不求”，有時需要“巧設(shè)坐標(biāo)”，有時需要借助定比分點公式、面積公式等，總之要靈活處理．

已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點為P(2，3)，求過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程．【解】∵P(2，3)在已知直線上，∴2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0.故所求直線方程為y－b1＝

，即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，∴2x＋3y＋1＝0.∴過Q1，Q2兩點的直線方程為2x＋3y＋1＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系151．待定系數(shù)法已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和892．直線系法設(shè)l：ax＋by＋c＝0，那么(1)與l平行的直線系是ax＋by＋m＝0(m≠c)；(2)與l垂直的直線系是bx－ay＋n＝0.設(shè)l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，l1與l2相交于P點，

則過交點P的直線系方程為(a1x＋b1y＋c1)＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.

考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系162．直線系法設(shè)l：ax＋by＋c＝0，那么考點一直線90

正方形的中心在原點，若它的一條邊所在的直線方程為3x＋4y－5＝0，求這個正方形的其他邊所在的直線方程．【解】根據(jù)正方形的性質(zhì)可設(shè)與已知直線平行的一邊所在的直線方程為3x＋4y＋λ1＝0，與已知直線垂直的邊所在的直線方程為4x－3y＋λ2＝0.由于正方形的中心到四邊的距離相等，∴λ1＝5(λ1＝－5時與所給直線重合)，λ2＝±5.故所求的直線方程分別為3x＋4y＋5＝0，4x－3y＋5＝0，4x－3y－5＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系17正方形的中心在原點，若它的一條邊所在的直線方程91方法3對稱問題的解法

1．點關(guān)于點對稱若點M(x1，y1)和點N(x2，y2)關(guān)于點P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得2．直線關(guān)于點對稱(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的點的坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線的方程．3．點關(guān)于直線對稱若點P1(x1，y1)與點P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系18方法3對稱問題的解法1．點關(guān)于點對稱2．直線關(guān)924．直線關(guān)于直線對稱設(shè)直線l1關(guān)于直線l的對稱直線為l2，(1)當(dāng)l1與l相交時，則l2必過交點．再求出l1上某個點P1關(guān)于對稱軸l對稱的點P2，那么由交點及點P2即可求出直線l2的方程．(2)當(dāng)l1∥l時，借助兩直線平行所滿足的條件設(shè)出對稱直線l2的方程，再利用兩平行直線間的距離公式列出方程，解得直線l2方程中的常數(shù)項，從而得l2的方程．5．求解對稱問題的關(guān)鍵點①已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直．②以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系194．直線關(guān)于直線對稱5．求解對稱問題的關(guān)鍵點考點一直線93

(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對稱的直線方程；(2)求點A(－2，3)關(guān)于直線l：3x－y－1＝0對稱的點A′的坐標(biāo)；(3)求與直線2x＋y－4＝0關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的直線的方程．考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系【解】(1)方法一：兩條直線關(guān)于點M對稱，則其中一條直線上任意一點關(guān)于M的對稱點在另一條直線上，利用中點坐

標(biāo)公式可由兩個對稱點中的一個點的坐標(biāo)表示另一個點的坐標(biāo)．設(shè)P(x，y)是待求直線上任意一點，Q(x0，y0)為點P關(guān)于點M(2，3)的對稱點，則點Q在直線y＝－4x＋1上，即y0＝－4x0＋1，代入y0＝－4x0＋1中，得4x＋y－21＝0.20(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對94方法二：由中心對稱定義可知，若兩條直線關(guān)于點M對稱，則它們是一對與定點M距離相等的平行直線，利用兩平行直線斜率相等及點到直線的距離公式即可求出所求直線方程．將已知直線方程y＝－4x＋1化為4x＋y－1＝0.設(shè)所求直線方程為4x＋y＋c＝0，則42＋12(|4×2＋3＋c|)＝42＋12(|4×2＋3－1|)，整理，得c＝－21或c＝－1(舍去)．故所求直線方程為4x＋y－21＝0.考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系

(1)求直線y＝－4x＋1關(guān)于點M(2，3)對稱的直線方程；(2)求點A(－2，3)關(guān)于直線l：3x－y－1＝0對稱的點A′的坐標(biāo)；(3)求與直線2x＋y－4＝0關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的直線的方程．21方法二：考點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系95方法二：

寫出AA′的垂直平分線的方程，利用它與l重合，求出A′的坐標(biāo)．設(shè)所求點A′的坐標(biāo)為(x0，y0)，則線段AA′的垂直平分線的方程是整理，得2(x0＋2)x＋2(y0－3)y(x02＋y02－13)＝0.此方程即為直線l的方程，于是